2021 年江苏省镇江市中考数学试卷 一、填空题（本大题共 12 小题） 5 1. 的绝对值是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据绝对值的定义计算即可． 【详解】解：|-5|=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，掌握知识点是解题关键． 的有意义 x 的取值范围是__． 2. 使 x 7 【答案】x≥7 【解析】 【分析】直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案． 【详解】解： 有意义，则 x﹣7≥0， x 7 解得：x≥7． 故答案为：x≥7． 【点睛】]此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式被开方数是非负数是 解题关键． 3. 8 的立方根是___． 【答案】2 【解析】 的【分析】利用立方根 定义计算即可得到结果． 【详解】解：8 的立方根为 2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的定义． 4. 如图，花瓣图案中的正六边形 ABCDEF 的每个内角的度数是__． 【答案】120° 【解析】 【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设 这个正六边形的每一个内角的度数为 x，故又可表示成 6x，列方程可求解． 【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为 x， 则 6x＝(6﹣2)•180°， 解得 x＝120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根 据公式进行正确运算、变形和数据处理． x(x 1) 0 5. 一元二次方程 的解是__________． x 0, x 1 【答案】 【解析】 12【分析】根据 x（x-1）=0 得到两个一元一次方程 x=0，x-1=0，求出方程的解即可． 【详解】x(x−1)=0， x=0 或 x+1=0， x1 0, x2 1 故答案为 x=0 或 x=-1. 【点睛】此题考查解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键在于运用因式分解法. 6. 小丽的笔试成绩为 100 分，面试成绩为 90 分，若笔试成绩、面试成绩按 6：4 计算平均 成绩，则小丽的平均成绩是__分． 【答案】96 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式计算可得． 1006 904 【详解】解：小丽的平均成绩是 ＝96（分）， 6 4 故答案为：96． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求 100，90这两个数的平均 数，对平均数的理解不正确． 7. 某射手在一次训练中共射出了 10 发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中位数是__ 环． 【答案】9 【解析】 【分析】根据统计图中的数据，可以得到中间的两个数据是 9，9，然后计算它们的平均数 即可得到相应的中位数． 【详解】解：由统计图可得， 中间的两个数据是 9，9，故射击成绩的中位数是（9+9）÷2＝9（环）， 故答案为：9． 【点睛】本题考查条形统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数，会计算一组数据的 中位数． 8. 如图，点 D，E 分别在△ABC 的边 AC，AB 上，△ADE∽△ABC，M，N 分别是 DE，BC SADE SABC AM AN 12的中点，若 ＝，则 ＝__． 1【答案】 4【解析】 DE BC 【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出 ，根据相似三角形面积的比等 于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵M，N 分别是 DE，BC 的中点， ∴AM、AN 分别为△ADE、△ABC 的中线， ∵△ADE∽△ABC， DE BC AM AN 12∴∴＝＝，SADE SABC DE 1＝( )2＝ ，BC 41故答案为： ．4【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似 三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 9. 如图，点 A，B，C，O 在网格中小正方形的顶点处，直线 l 经过点 C，O，将 ABC 沿 l 平移得到 MNO，M 是 A 的对应点，再将这两个三角形沿 l 翻折，P，Q 分别是 A，M 的对 应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于 1，则 PQ 的长为__． 【答案】 10 【解析】 【分析】连接 PQ，AM，根据 PQ＝AM 即可解答． 【详解】解：连接 PQ，AM， 由图形变换可知：PQ＝AM， 22由勾股定理得：AM＝ ，1 3 10 ∴PQ＝ ．10 故答案为： ．10 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题 的关键． 10. 已知一次函数的图象经过点(1，2)，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，写出符合条 件的一次函数表达式__．（答案不唯一，写出一个即可） 【答案】y＝﹣x+3 【解析】 【分析】由函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，利用一次函数的性质可得出 k＜0，取 k＝ ﹣1，由一次函数的图象经过点（1，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出 2＝ ﹣1+b，解之即可得出 b 值，进而可得出符合条件的一次函数表达式． 【详解】解：设一次函数表达式为 y＝kx+b． ∵函数值 y 随自变量 x 的增大而减小， ∴k＜0，取 k＝﹣1． 又∵一次函数的图象经过点（1，2）， ∴2＝﹣1+b， ∴b＝3， ∴一次函数表达式为 y＝﹣x+3． 故答案为：y＝﹣x+3． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“k＞0，y 随 x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小”是解题的关键． 11. 一只不透明的袋子中装有 1 个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅 匀后从中任意摸出两个球，使得 P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为 __． 【答案】3 【解析】 【分析】分别假设放入的红球个数为 1、2 和 3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中 找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意． 【详解】解：（1）假设袋中红球个数为 1， 此时袋中由 1 个黄球、1 个红球， 搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意． （2）假设袋中的红球个数为 2， 列树状图如下： 由图可知，共有 6 种情况，其中两次摸到红球的情况有 2 种，摸出一红一黄的有 4 种结果， 4 2 =2613=∴P（摸出一红一黄）= ，P（摸出两红）= ，不符合题意， 6 3 （3）假设袋中的红球个数为 3， 画树状图如下： 由图可知，共有 12 种情况，其中两次摸到红球的情况有 6 种，摸出一红一黄的有 6 种结果， 612=∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）= ，符合题意， 12 所以放入的红球个数为 3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比． 112. 如图，等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝ ，点P 在边 AC 上运动 3（可与点 A，C 重合），将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 120°，得到线段 DP，连接 BD，则 BD 长的最大值为__． 【答案】9 3【解析】 【分析】由旋转知△BPD 是顶角为 120°的等腰三角形，可求得 BD＝ BP，当 BP 最大时， 3BD 取最大值，即点 P 与点 A 重合时，BP＝BA 最大，求出 AB 的长即可解决问题． 【详解】解：∵将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 120°，得到线段 DP， ∴BP＝PD， ∴△BPD 是等腰三角形， ∴∠PBD＝30°， 过点 P 作 PH⊥BD 于点 H， ∴BH＝DH， BH BP 3∵cos30°＝ ＝，23∴BH＝ ∴BD＝ BP， BP， 23∴当 BP 最大时，BD 取最大值，即点 P 与点 A 重合时，BP＝BA 最大， 过点 A 作 AG⊥BC 于点 G， ∵AB＝AC，AG⊥BC， 1∴BG＝ BC＝3， 21∵cos∠ABC＝ ，3BG AB 13∴，∴AB＝9， ∴BD 最大值为： BP＝9 ．33故答案为：9 ．3【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出 BD= BP 3是解题的关键． 二、选择题（本大题共 6 小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合 题目要求的） 13. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A. 正方形 【答案】C 【解析】 B. 长方形 C. 三角形 D. 圆 【分析】根据俯视图的定义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可． 【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的概念是正确判断的 前提． 14. 2021 年 1﹣4 月份，全国规模以上工业企业利润总额超 25900 亿元，其中 25900 用科学 记数法表示为（ A. 25.9×103 2.59×105 ）B. 2.59×104 C. 0.259×105 D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值≥10 时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负整数． 【详解】解：25900＝2.59×104， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要定 a 的值以及 n 的值． 15. 如图，∠BAC＝36°，点 O 在边 AB 上，⊙O 与边 AC 相切于点 D，交边 AB 于点 E，F， 连接 FD，则∠AFD 等于（ ）A. 27° B. 29° C. 35° D. 37° 【答案】A 【解析】 【分析】连接 OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝ 90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接 OD， ∵⊙O 与边 AC 相切于点 D， ∴∠ADO＝90°， ∵∠BAC＝36°， ∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°， 11AFD AOD 54 27 ∴，22故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的 关键． 16. 如图，输入数值 1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一 个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）A. 1840 B. 1921 C. 1949 D. 2021 【答案】D 【解析】 【分析】把 1921 代入程序中计算，判断即可得到结果． 【详解】解：把 1921 代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000， 把﹣131 代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000， 则输出结果为 1921+100＝2021． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键． 17. 设圆锥的底面圆半径为 r，圆锥的母线长为 l，满足 2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）949492A. 有最大值 πB. 有最小值 πC. 有最大值 πD. 有最小 9值π2【答案】C 【解析】 【分析】由 2r+l＝6，得出 l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S 侧＝πrl，利用配方法整理得 39出，S 侧＝﹣2π(r﹣ )2+ π，再根据二次函数的性质即可求解． 22【详解】解：∵2r+l＝6， ∴l＝6﹣2r， 39∴圆锥的侧面积 S 侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣ )2﹣ ]＝ 2439﹣2π(r﹣ )2+ π， 22392∴当 r＝ 时，S 侧有最大值 ．2故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的 弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积: 1S 2rl rl 是解题的关键． 218. 如图，小明在 3×3 的方格纸上写了九个式子（其中的 n 是正整数），每行的三个式子的 和自上而下分别记为 A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为 B1，B2，B3，其 中，值可以等于 789 的是（ ）A. A1 B. B1 C. A2 D. B3 【答案】B 【解析】 【分析】把 A1，A2，B1，B3 的式子表示出来，再结合值等于 789，可求相应的 n 的值，即可 判断． 【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789， 整理得：2n＝260， 则 n 不是整数，故 A1 的值不可以等于 789； A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789， 整理得：2n＝254， 则 n 不是整数，故 A2 的值不可以等于 789； B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789， 整理得：2n＝256＝28， 则 n 是整数，故 B1 的值可以等于 789； B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789， 整理得：2n＝252， 则 n 不是整数，故 B3 的值不可以等于 789； 故选：B． 【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式 子． 三、解答题（本大题共 10 小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：（1﹣ ）0﹣2sin45°+ ；221（2）化简：（x2﹣1）÷（1﹣ ）﹣x． x【答案】（1）1；（2）x2 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值即可求出答案． （2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：（1）（1﹣ ）0﹣2sin45°+ 222﹣＝1 2× 2 2＝1． 1（2）（x2﹣1）÷（1﹣ ）﹣x x＝（x+1）（x﹣1）÷ x 1 ﹣x xx＝（x+1）（x﹣1）• ﹣x x 1 ＝x（x+1）﹣x ＝x2． 【点睛】本题考查整式的运算以及分式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及 乘除运算法则． 3220. （1）解方程： ﹣＝0； xx 2 3x 1 x 1 x 4 4x 2 （2）解不等式组： ．【答案】（1）x＝6；（2）x＞2 【解析】 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集 即可． 32【详解】解：（1） ﹣＝0 xx 2 去分母得：3（x﹣2）﹣2x＝0， 去括号得：3x﹣6﹣2x＝0， 解得：x＝6， 检验：把 x＝6 代入得：x（x﹣2）＝24≠0， ∴分式方程的解为 x＝6； 3x 1 x 1 ① （2） ，x 4 4x 2 ② 由①得：x≥1， 由②得：x＞2， 则不等式组的解集为 x＞2． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及 不等式组的解法是解本题的关键． 21. 甲、乙、丙三人各自随机选择到 A，B 两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献 血站献血的概率． 1【答案】 4【解析】 【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的 结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 共 8 种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有 2 种结果， 2814所以这三人在同一个献血站献血的概率为 ．【点睛】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适台两步或两步以上完成的事件，树状 图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情 况数之比． 22. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 DA，BC，使得 AE＝CF，连接 BE，DF． （1）求证： ；△ABE≌△CDF （2）连接 BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝ °时，四边形 BFDE 是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）当∠ABE＝10°时，四边形 BFDE 是菱形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性子和“SAS”可证△ABE≌△CDF； （2）先证明四边形 BFDE 是平行四边形，再通过证明 BE＝DE，可得结论． 【详解】解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD， ∴∠1＝∠DCF， 在△ABE 和△CDF 中， AE CF 1 DCF AB CD ，∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）当∠ABE＝10°时，四边形 BFDE 是菱形， 理由如下：∵△ABE≌△CDF， ∴BE=DF，AE=CF， ∴BF=DE， ∴四边形 BFDE 是平行四边形， ∵∠1=30°，∠2=20°， ∴∠ABD=∠1-∠2=10°， ∴∠DBE=20°， ∴∠DBE=∠EDB=20°， ∴BE=DE， ∴平行四边形 BFDE 是菱形， 故答案为 10． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌 握菱形的判定是解题的关键． 的23. 《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载 关于“盈不足”的 一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？ 这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出 400 钱，会剩余 3400 钱；每人出 300 钱，会剩 余 100 钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题． 【答案】共 33 人合伙买金，金价为 9800 钱 【解析】 【分析】设共 x 人合伙买金，金价为 y 钱，根据“每人出 400 钱，会剩余 3400 钱；每人出 300 钱，会剩余 100 钱”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设共 x 人合伙买金，金价为 y 钱， 400x 3400 y 300x 100 y 依题意得： ，x 33 解得： ．y 9800 答：共 33 人合伙买金，金价为 9800 钱． 【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一 次方程组是解题的关键． 24. 如表是第四至七次全国人口普查的相关数据． 我国大陆人口 总数 其中具有大学文 化程度的人数 每 10 万大陆人口中具 年份 有大学文化程度的人数 1990 年 1133682501 16124678 1422 2000 年 2010 年 2020 年 1265830000 1339724852 1411778724 45710000 119636790 218360767 3611 8930 15467 的（1）设下一次人口普查我国大陆人口共 a 人，其中具有大学文化程度 有b 人，则该次人 口普查中每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ；（用含有 a，b 的代数式表示） （2）如果将 2020 年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的 人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精 确到 1°） （3）你认为统计“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？ （写出一个即可） 100000b 【答案】（1） ；（2）56°；（3）比较直观的反应出“每 10 万大陆人口中具有大学 a文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况 【解析】 【分析】（1）根据“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的意义求解即可； （2）求出 2020 年，“具有大学文化程度的人数”所占总人数的百分比，即可求出相应的圆 心角度数； （3）根据“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义得出结论． 【详解】解：（1）由题意得，下一次人口普查中每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人 100000b 数为 ，a100000b 故答案为： ；a218360767 （2）360°× ≈56°， 1411778724 答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为 56°； （3）比较直观的反应出“每 10 万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民 素质和文化水平的情况． 【点睛】本题考查扇形统计图,频数分布表，掌握扇形统计图的制作方法是正确解答的前提， 理解“每 10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义是正确判断的关键． k25. 如图，点 A 和点 E(2，1)是反比例函数 y＝ （x＞0）图象上的两点，点 B 在反比例函 x6数 y＝ （x＜0）的图象上，分别过点 A，B 作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，AC＝ xBD，连接 AB 交 y 轴于点 F． （1）k＝ ； （2）设点 A 的横坐标为 a，点 F 的纵坐标为 m，求证：am＝﹣2； （3）连接 CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点 A 的坐标： ． 6535【答案】（1）2；（2）见解析；（3）( ，)【解析】 【分析】（1）将 E 点坐标代入函数解析式即可求得 k 值； （2）根据 AAS 可证△BDF≌△ACF，根据全等三角形面积相等即可得证结论； 226（3）设 A 点坐标为（a， ），则可得C（0， ），D（0，﹣ ），根据勾股定理求出a 值， aaa即可求得 A 点的坐标． k【详解】解：（1）∵点 E（2，1）是反比例函数 y＝ （x＞0）图象上的点， xk∴＝1， 2解得 k＝2， 故答案为：2； （2）在△BDF 和△ACF 中， ACF BDF CFA BFD AC BD ，∴△BDF≌△ACF（AAS）， ∴S△BDF＝S△ACF ，26121即a×（ ﹣m）＝ a×（ +m）， 2aa整理得 am＝﹣2； （3）设 A 点坐标为（a， ）， 2a26则 C（0， ），D（0，﹣ ）， aa∵E（2，1），∠CED＝90°， ∴CE2+DE2＝CD2， 2626即 22+（1﹣ ）2+22+（1+ ）2＝（ +）2， aaaa65解得 a＝﹣2（舍去）或 a＝ ，6535∴A 点的坐标为( ，)． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识， 熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键． 26. 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在边 BC 上，⊙O 经过 A，B，P 三点． （1）若 BP＝3，判断边 CD 所在直线与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）如图 2，E 是 CD 的中点，⊙O 交射线 AE 于点 Q，当 AP 平分∠EAB 时，求 tan∠EAP 的值． 5 1 2【答案】（1）相切，见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）如图 1 中，连接 AP，过点 O 作 OH⊥AB 于 H，交 CD 于 E．求出 OE 的长， 与半径半径，可得结论． （2）如图 2 中，延长 AE 交 BC 的延长线于 T，连接 PQ．利用面积法求出 BP，可得结论． 【详解】解：（1）如图 1﹣1 中，连接 AP，过点 O 作 OH⊥AB 于 H，交 CD 于 E． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°， 42 32 AB2 BP2 ∴AP＝ ＝＝5， ∵OH⊥AB， ∴AH＝HB， ∵OA＝OP，AH＝HB， 321∴OH＝ PB＝ ，2∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°， ∴四边形 AHED 矩形， 是∴OE⊥CE，EH＝AD＝4， 352∴OE＝EH＝OH＝4﹣ ∴OE＝OP， ＝，2∴直线 CD 与⊙O 相切． （2）如图 2 中，延长 AE 交 BC 的延长线于 T，连接 PQ． ∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC， ∴△ADE≌△TCE（ASA）， ∴AD＝CT＝4， ∴BT＝BC+CT＝4+4＝8， ∵∠ABT＝90°， 42 82 AB2 BT 2 ∴AT＝ ＝＝4 ，5∵AP 是直径， ∴∠AQP＝90°， ∵PA 平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB， ∴PB＝PQ， 设 PB＝PQ＝x， ∵S△ABT＝S△ABP+S△APT ，121×4×8＝ ×4 21∴×x+ ×4×x， 52∴x＝2 ﹣2， 5PB 5 1 2∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝ ＝．AB 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形、相似三角形判定 和性质等知识，解题的关键是掌握切线的证明方法：已知垂直证半径，已知半径证垂直，利 用三角形面积不同的表示方法构建方程解决问题是难点． 27. 将一张三角形纸片 ABC 放置在如图所示的平面直角坐标系中，点 A(﹣6，0)，点 B(0， 2)，点 C(﹣4，8)，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点 A，B，该抛物线的对称轴经 过点 C，顶点为 D． （1）求该二次函数的表达式及点 D 的坐标； （2）点 M 在边 AC 上（异于点 A，C），将三角形纸片 ABC 折叠，使得点 A 落在直线 AB 上， 且点 M 落在边 BC 上，点 M 的对应点记为点 N，折痕所在直线 l 交抛物线的对称轴于点 P， 然后将纸片展开． ①请作出图中点 M 的对应点 N 和折痕所在直线 l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹） ②连接 MP，NP，在下列选项中：A．折痕与 AB 垂直，B．折痕与 MN 的交点可以落在抛物 MN MP 32MN MP 线的对称轴上，C. ＝，D. ＝，所有正确选项的序号是 ． 22③点 Q 在二次函数 y＝ax +bx+c（a≠0）的图象上，当 PDQ∼ PMN 时，求点 Q 的坐标． 164216 3×2 + x 2 【答案】（1）y＝ ，D(﹣4，﹣ )；（2）①见解析；②A，D；③(2， )或 3316 (﹣10， )3【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）①根据要求作出图形即可． ②如图 2 中，设线段 MN 的垂直平分线交抛物线对称轴于 P，交 MN 于点 Q，过点 M 作 MH⊥CD，过点 Q 作 QJ⊥CD 于 J，QT⊥MH 于 T．想办法证明△PMN 是等腰直角三角形， 可得结论． ③设 P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN 是等腰直角三角形，推出△PDQ 是等腰直角 210 3三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+ ，推出 Q（﹣ +m，m），构建方程求出 m 即 3可． 【详解】解（1）∵二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点 A(﹣6，0)，点 B(0，2)，且 抛物线的对称轴经过点 C(﹣4，8)， 36a 6b 2 0 c 2 ∴，b 4 2a 14a ,b ,c 2. 解之得： ，63，114×2 + x 2 ∴y＝ 63423(4)2 (4) 2 ∴当 x＝﹣4 时，y＝ ＝﹣ ，632∴D(﹣4，﹣ )． 3（2）①如图 1 中，点 N，直线 l 即为所求． ②如图 2 中，设线段 MN 的垂直平分线交抛物线对称轴于 P，交 MN 于点 Q，过点 M 作 MH⊥CD，过点 Q 作 QJ⊥CD 于 J，QT⊥MH 于 T． 由题意 A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8）， 1∴直线 AC 的解析式为 y＝4x+24，直线 AB 的解析式为 y＝ x+2，直线 BC 的解析式为 y＝﹣ 332x+2， ∵MN∥AB， 1∴可以假设直线 MN 的解析式为 y＝ x+t， 33t 72 11 12t 24 11 1x y y x t 由3，解得 ，y 4x 24 3t 72 12t 24 ∴M（ ，）， 11 11 312 6t 11 y x 2 x 2由．解得 ，14 9t 11 y x t y 312 6t 4 9t ∴N（ ，）， 11 11 60 3t 21t 20 ∴Q（（ ，）， 22 22 ∵QJ⊥CD，QT⊥MH， 60 3t 283t 22 21t 20 24t 48 283t ∴QJ＝ +4＝ ，QT＝ ﹣＝，22 22 22 22 ∴QJ＝QT， ∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT， ∴△PJQ≌△MTQ（AAS）， ∴PQ＝MQ， ∵∠PQM＝90°， ∴∠PMN＝∠MPQ＝45°， ∵PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM＝45°， ∴∠MPN＝90°， ∴△PMN 是等腰直角三角形， MN ∴＝，故选项 D 正确，B，C 错误， 2MP ∵将三角形纸片 ABC 折叠，使得点 A 落在直线 AB 上，且点 M 落在边 BC 上， ∴折痕与 AB 垂直，故选项 A 正确， 故答案为：A，D． ③设 P（﹣4，m）． ∵△PDQ∽△PMN，△PMN 是等腰直角三角形， ∴△PDQ 是等腰直角三角形， 2∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+ ，3210 3∴Q（﹣4+m+ ，m），即 Q（﹣ +m，m）， 314110 410 y x2 x 2 m ( m)2 + ( m) 2 把 Q 的坐标代入 ，得到， ，636333整理得，9m2﹣42m﹣32＝0， 16 32解得 m＝ 或﹣ （舍弃）， 316 ∴Q（2， ）， 316 根据对称性可知 Q′（﹣10， ）也满足条件， 316 16 3综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为(2， )或(﹣10， )． 3【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三 角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题， 证明△PMN 是等腰直角三角形是本题的突破点． 28. 如图 1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC 为铅直方向的边，AF， ED，BC 为水平方向的边，点 E 在 AB，CD 之间，且在 AF，BC 之间，我们称这样的图形 为“L 图形”，记作“L 图形 ABC﹣DEF”．若直线将 L 图形分成面积相等的两个图形，则称 这样的直线为该 L 图形的面积平分线． 【活动】 小华同学给出了图 1 的面积平分线的一个作图方案：如图 2，将这个 L 图形分成矩形 AGEF、矩形 GBCD，这两个矩形的对称中心 O1，O2 所在直线是该 L 图形的面积平分线．请 用无刻度的直尺在图 1 中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕 迹） 【思考】 如图 3，直线 O1O2 是小华作的面积平分线，它与边 BC，AF 分别交于点 M，N，过 MN 的中 点 O 的直线分别交边 BC，AF 于点 P，Q，直线 PQ （填“是”或“不是”）L 图形 ABCDEF 的面积平分线． 【应用】 在 L 图形 ABCDEF 形中，已知 AB＝4，BC＝6． （1）如图 4，CD＝AF＝1． ①该 L 图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点 P，Q，求 PQ 长的最大值； ②该 L 图形的面积平分线与边 AB，CD 分别相交于点 G，H，当 GH 的长取最小值时，BG 的长为 ． CD （2）设 ＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与 AF 边 AB，CD 相交的面积平分线，直接写出 t 的取值范围 ． 3123【答案】【活动】见解析；【思考】是；【应用】（1）① ；② ；（2） ＜t＜ 543【解析】 【分析】[活动]如图 1，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心 O1，O2 所在直线是该 L 图形的面积平分线； [思考]如图 2，证明△OQN≌△OPM（AAS），根据割补法可得直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF 的面积平分线； [应用] （1）①建立平面直角坐标系，分两种情况：如图 3﹣1 和 3﹣2，根据中点坐标公式和待定 系数法可得面积平分线的解析式，并计算 P 和 Q 的坐标，利用两点的距离公式可得 PQ 的 长，并比较大小可得结论； ②当 GH⊥AB 时，GH 最小，设 BG＝x，根据面积相等列方程，解出即可； （2）如图 5，由已知得：CD＝tAF，直线 DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于 下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相 交的面积平分线，列不等式可得 t 的取值． 【详解】解：【活动】如图 1，直线 O1O2 是该 L 图形的面积平分线； 【思考】如图 2，∵∠A＝∠B＝90°， ∴AF∥BC， ∴∠NQO＝∠MPO， ∵点 O 是 MN 的中点， ∴ON＝OM， 在△OQN 和△OPM 中， NQO MPO NOQ MOP ON OW ，∴△OQN≌△OPM（AAS）， ∴S△OQN＝S△OPM ∵S 梯形 ABMN＝SMNFEDC ∴S 梯形 ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN ，，，即 SABPON＝SCDEFQOM ∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM 即 S 梯形 ABPQ＝SCDEFQP ，，，∴直线 PQ 是 L 图形 ABCDEF 的面积平分线． 故答案为：是； 【应用】（1）①如图 3﹣1，以直线 OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，以 B 为原点，建立平面直角坐 标系，同理确定 L 图形 ABCDEF 的面积平分线：直线 O1O2， ∵AB＝4，BC＝6，AF＝CD＝1， ∴B（0，0），F（1，4），D（6，1），K（1，0）， 72112∴线段 BF 的中点 O1 的坐标为（ ，2），线段 DK 的中点 O2 的坐标为（ ，）， 2设直线 O1O2 的解析式为：y＝kx+b， 127129k b 2 k 则，解得： ，1k b b 2 24941∴直线 O1O2 的解析式为：y＝﹣ x+ ，2991当 y＝0 时，﹣ x+ ＝0，解得：x＝ ，2429∴Q（ ，0）， 29521当 y＝1 时，﹣ x+ ＝1，解得：x＝ ，245∴P（ ，1）， 295( )2 (1 0)2 ∴PQ＝ ＝；52 2 如图 3﹣2，同理确定平面直角坐标系，画出 L 图形 ABCDEF 的面积平分线：直线 O3O4， ∵G（0，1），F（1，4），C（6，0）， 52121∴线段 GF 的中点 O3 的坐标为（ ，），线段 CG 的中点 O4 的坐标为（3， ）， 2设直线 O3O4 的解析式为：y＝mx+n， 4529 12521m m n 则，解得： ，3m n n 210 429 10 ∴直线 O3O4 的解析式为：y＝﹣ x+ ，54当 y＝0 时，﹣ x+ 529 10 29 ＝0，解得：x＝ ，829 ∴Q（ ，0）， 8429 10 19 8当 y＝1 时，﹣ x+ ＝1，解得：x＝ ，519 ∴P（ ，1）， 829 19 41 )2 (1 0)2 ∴PQ＝ ＝；(88441 4∵＜；5∴PQ 长的最大值为 ；5②如图 4，当 GH⊥AB 时 GH 最短，过点 E 作 EM⊥AB 于 M， 设 BG＝x，则 MG＝1﹣x， 根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6， 334解得 x＝ ，即BG＝ ；43故答案为： ；4CD AF （2）∵ ＝t（t＞0）， ∴CD＝tAF， 在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线， 如图 5，直线 DE 将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与 铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边 AB，CD 相交的面积平分线， 即（4﹣tAF）•AF＜6t•AF， 4AF 6 ∴，t∵0＜AF＜6， 4∴0＜ ﹣6＜6， t1323 t ∴．123故答案为： ＜t＜ ．3【点睛】本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积 的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积 平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．
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