江苏省盐城市2021年中考数学试题（解析版）

盐城市二〇二一年初中毕业与升学考试数学试卷一、选择题 1. A. 的绝对值是（）2021 11B. C. D. 2021 2021 2021 2021 D【答案】【解析】【分析】根据绝对值的意义进行计算，再进行判断即可【详解】解：的绝对值是 2021； 2021 故选：D 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键 22. 计算：的结果是（）a a a3 a2 2a2 aA. B. C. D. A【答案】【解析】【分析】利用同底幂乘法的运算法则计算可得 2a a=a2+1=a3 【详解】故选：A 【点睛】本题考查同底幂的乘法，同底幂的乘法法则和乘方的运算法则容易混淆，需要注意 3. 北京 2022 年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（）A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】根据轴对称图形的定义判断即可【详解】A,B,C 都不是轴对称图形，故不符合题意； D 是轴对称图形，故选 D. 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键． 4. 如图是由 4 个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（）A. B. C. D. A【答案】【解析】【分析】根据从正面看得到的是主视图，由此可得答案．【详解】解：观察图形可知，该几何体的主视图是．故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的是主视图． 5. 2020 年 12 月 30 日盐城至南通高速铁路开通运营，盐通高铁总投资约 2628000 万元，将数据 2628000 用科学记数法表示为（）0.2628107 2.628106 26.28105 2628103 A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定 a，数出整数的整数位数，减去 1 确定 n，写成 n 即可 a  10 6【详解】∵2628000= 故选 B．，2.62810 【点睛】本题考查了绝对值大于 10 的大数的科学记数法，将小数点点在最左边第一个非零数字的后面确定 a，数出整数的整数位数，减去 1 确定 n，是解题的关键． 6. 将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为（）1 A. B. C. D. 105 45 60 75 C【答案】【解析】【分析】直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．【详解】解：如图所示：由题意可得，∠2＝30°，∠3＝45° 则∠1＝∠2+∠3＝45°+30°＝75°．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键． 2x , x x  x 7. 若是一元二次方程的两个根，则 2 的值是（）x  2x 3  0 121A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 A【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 2x , x 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个根， x  2x 3  0 12x  x ∴2 =2．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键． 18. OA 、工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在 AOB 的两边上分别 OB OM 的射线在取OC  OD ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点 CDM就是 AOB 的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A. B. C. D. SSS SAS ASA AAS D【答案】【解析】【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可． OC  OD, MC  MD 【详解】解：由题意可知在中△OCM和△ODM OC  OD OM  OM MC  MD ∴∴∴(SSS) △OCM △ODM COM  DOM OM 就是 AOB 的平分线故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．二、填空题 9. 一组数据 2，0，2，1，6 的众数为________．【答案】2 【解析】【分析】根据众数的定义进行求解即可得．【详解】解：数据 2，0，2，1，6 中数据 2 出现次数最多，所以这组数据的众数是 2．故答案为 2．【点睛】本题考查了众数，熟练掌握众数的定义以及求解方法是解题的关键．分解因式：a2+2a+1＝_____． 10. 【答案】（a+1）2 【解析】【分析】直接利用完全平方公式分解. 【详解】a2+2a+1＝（a+1）2． 2故答案为 a 1 .【点睛】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 11. 若一个多边形的每一个外角都等于 40°，则这个多边形的边数是_____． 9【答案】【解析】 360÷40=9 9，即这个多边形的边数是【详解】解： 12. ________ ．如图，在⊙O 内接四边形中，若 ABC 100 ，则 ABCD ADC  【答案】80 【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质计算出 ADC 180 ABC  80即可．【详解】解：∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC＝100°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴ ADC 180 ABC 180100  80 ．故答案为．80 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质． 13. CD  2 如图，在 RtABC 中， CD 为斜边上的中线，若，则 ________． AB AB  【答案】4 【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；【详解】解：如图， ∵△ABC 是直角三角形，CD 是斜边中线， 1∴CD AB， 2∵CD＝2， ∴AB＝4，故答案为 4．【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 14. 一圆锥的底面半径为 2，母线长为 3，则这个圆锥的侧面积为_______．【答案】【解析】 6 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 1【详解】解：该圆锥的侧面积＝ ×2π×2×3＝6π． 2故答案为 6π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15. 劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从 300 x千克增加到 363 千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________． 300(1 x)2  363 【答案】【解析】【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为 x，根据“粮食产量在两年内从 300 千克增加到 363 千克”，即可得出方程．【详解】解：设平均每年增产的百分率为 x；第一年粮食的产量为：300（1+x）；第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；故答案为：300（1+x）2＝363．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2＝b． AB  3 16. 如图，在矩形中，，AD  4 ，、分别是边 BC 、上一点，，将 ABCD CD EFEF  AE  是以为腰的等腰三角形． AE 沿翻折得△EC F ，连接 AC ，当 ________时， △ECF EF BE  AEC 7843【答案】【解析】或 是以为腰的等腰三角形分类讨论，当AE=EC 时，设，可得到 【分析】对 BE  x AE AEC ，再根据折叠可得到 EC  EC =4  x ，然后在 Rt△ABE 中利用勾股定理列方程计算即可；当 EC  4  x ∠C EF=∠FEC 于点 H，然后根据折叠可得到，在结合 A 作 AH 垂直于，AE=AC 时，过 EC EF  AE 利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰 BE  HE ∠BEA ∠AEH 14BE  BC= 三角形三线合一性质得到 EH  C H ，然后在根据数量关系得到．33【详解】解：当 AE=EC 时，设，则，BE  x EC  4  x ∵∴沿翻折得△EC F ，△ECF EF EC  EC =4  x ，(4  x)2  x2  32 ，222在 Rt△ABE 中由勾股定理可得：即AE  BE  AB 7x= 解得：；8AE=AC 时，如图所示，过 A 作 AH 垂直于 EC 于点 H，当AE=AC ，， ∵AH⊥ EC ∴∵∴∵∴∴EH  C H ，，EF  AE ∠C EF ∠AEC =90 ，∠BEA∠FEC  90 沿翻折得△EC F ，△ECF EF ∠C EF=∠FEC ∠BEA ∠AEH ，，B  AHE AEB  AEH AE  AE 在△ABE 和△AHE 中，∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴，BE  HE ∴∴∵∴BE  HE=HC ，1BE  EC 2，EC  EC 1BE  EC ，2143BE  BC= ∴，3743BE  或综上所述，故答案为：，8478或3【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．三、解答题 1 1  0317. 计算：． ( 21)  4   3  【答案】2．【解析】【分析】根据负整数指数幂、0 指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案． 1 1   (3 2 1)0  4 【详解】   3   31 2 ． 2 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、0 指数幂的运算法则及算术平方根的定义是解题关键． 3x 1 x 1 4x  2  x  4 18. 解不等式组：【答案】【解析】 1 x  2 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再找到解集的公共部分． 3x 1 x 1① 【详解】 4x  2  x  4② 解：解不等式①得： x 1 解不等式②得： x  2 在数轴上表示不等式①、②的解集（如图） ∴不等式组的解集为．1 x  2 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式是解题的关键，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）． 1m2 1 m19. 1 先化简，再求值：，其中 m  2 ．m 1 【答案】【解析】，3 m 1 【分析】先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可． m 11 (m 1)(m 1) 【详解】解：原式 m 1 mm(m 1)(m 1) m 1 m． m 1 ∵m  2  2 1 3 ∴原式．【点睛】本题考查分式的化简求值、分式的通分、约分，正确的因式分解将分式化简成最简分式是关键．已知抛物线 y  a(x 1)2  h 经过点和(3,0) ．(0,3) 20. a（1）求、的值； h（2）将该抛物线向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．；（2） y  x2  4x  2 a 1 【答案】（1）【解析】，h  4 (3,0) (0,3) 【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可；（2）将 y  (x 1)2  4 ，按题目要求平移即可．代入抛物线 y  a(x 1)2  h 得： (3,0) (0,3) 【详解】（1）将点和2a(0 1)  h  3 a(31)2  h  0 a 1 解得： h  4 a 1 ∴，h  4 2（2）原函数的表达式为:y  (x 1)  4 ，向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得： 22平移后的新函数表达式为: y  x2  4x  2 y  (x 11)  4  2=x  4x  2 即【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键． aA是数轴上表示实数的点． 21. 如图，点（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点 P；（保留作图痕迹，不写作法） 2a（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由． 2【答案】（1）见解析；（2），见解析 a  2 【解析】【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大． P，再利用圆规画圆弧即可得到点． 2【详解】解：（1）如图所示，点 P即为所求．（2）如图所示，点 A P 在点的右侧，所以 a  2 【点睛】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键． 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目 22. 前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4 万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0~9 这 10 个数字出现的频率趋于稳定，接近相同． （1）从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6 的概率为________；（2）某校进行校园文化建设，拟从以上 4 位科学家的画像中随机选用 2 幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解） 112【答案】（1）；（2）见解析， 10 【解析】【分析】(1)这个事件中有 10 种等可能性,其中是 6 的有一种可能性,根据概率公式计算即可; (2)画出树状图计算即可. 【详解】（1）∵这个事件中有 10 种等可能性,其中是 6 的有一种可能性, 1∴数字是 6 的概率为 ,10 1故答案为：；10 （2）解：画树状图如图所示： ∵共有 12 种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的画像有 6 种情况． 612∴P（其中有一幅是祖冲之）．12 【点睛】本题考查了概率公式计算，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键． 23. 如图，、、分别是ABC 各边的中点，连接、、．DFDE EF AE E（1）求证：四边形（2）加上条件为平行四边形； ADEF BAC ；③ 后，能使得四边形为菱形，请从① ；② 平分 AE BAC  90 ADEF ，这三个条件中选择条件填空（写序号），并加以证明． AB  AC 【答案】（1）见解析；（2）②或③，见解析【解析】【分析】（1）先证明，根据平行的传递性证明，即可证明四边形为平行四边 EF//AB EF //AD ADEF 形． BAC （2）选② AF  EF 得出平分，先证明，由四边形是平行四边形，得出 AE DAE  FAE ADEF ADEF 1DE  AC ，即可证明平行四边形是菱形．选③ ，由 DE//AC 且，AB  AC AB  AC ADEF 2，即可证明平行四边形是菱形． EF  DE ADEF BC 中点 AB 【详解】（1）证明：已知、是、DE∴DE//AC 又∵ 、是BC 、的中点 AC EF∴∵∴EF//AB DE//AF EF //AD ∴四边形为平行四边形 ADEF BAC （2）证明：选② 平分 AE BAC 平分 ∵∴AE DAE  FAE 又∵平行四边形 ADEF ∴∴∴EF//DA FAE  AEF AF  EF ∴平行四边形是菱形 ADEF 选③ AB  AC 1EF  AB ∵且EF//AB 21DE  AC DE//AC 且2又∵ AB  AC ∴EF  DE ∴平行四边形为菱形 ADEF 故答案为：②或③ 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的性质及判定，熟练进行角的转换是关键，熟悉菱形的判定是重点． 24. 如图，为线段PB 上一点，以为圆心长为半径的⊙O 交 PB 于点 A，点在⊙O 上，连接 PC ，OOOB C2满足．PC  PA PB （1）求证：是⊙O 的切线； PC AC （2）若 AB  3PA，求的值． BC 1【答案】（1）见解析；（2） 2【解析】 2【分析】(1) 连接，把转化为比例式，利用三角形相似证明即可； OC PCO  90 PC  PA PB (2)利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接 OC 2∵∴PC  PA PB PC PB ，PA PC 又∵∠P=∠P， ∴PAC∽PCB ∴∵∴，∠PAC ∠PCB PCA  PBC PCO  PCB  OCB PCO  PAC  OCB 又∵OC  OB ∴∴OCB  OBC PCO  PAC  ABC  ACB O 已知是上的点，AB 是直径， C∴∴∴，ACB  90 PCO  90 AC  PO ，∴PC 是圆的切线；（2）设，则，AB  3a r 1.5a AP  a ∴OC 1.5a 在中Rt△PCO ∵∴，OP  2.5a OC1.5a ，PC  2a 已知PAC∽PCB ，AC PA BC PC AC 1∴．BC 2【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，灵活运用三角形相似的判定证明相似，运用勾股定理计算是解题的关键． 25. 某种落地灯如图 1 所示，为立杆，其高为；BC 为支杆，它可绕点 B旋转，其中 BC 长为 84cm AB ；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆 BC 与悬杆之间的夹角BCD 为．54cm CD 60 DE DE （1）如图 2，当支杆 BC 与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度； DCD 50cm （2）在图 2 所示的状态下，将支杆 BC 绕点泡悬挂点到地面的距离为，求 B顺时针旋转 20，同时调节的长（如图 3），此时测得灯 CD 的长．（结果精确到，参考数据：，90cm tan 20  0.36 CD 1cm sin 20  0.34 Dcos20  0.94 ，，sin 40  0.64 ，cos40  0.77 ，tan 40  0.84 ）【答案】（1）点距离地面113 厘米；（2）长为 58 厘米 CD D【解析】【分析】（ 1 ）过点作交BC 于，利用60° 三角函数可求FC ，根据线段和差 DF  BC DFFA  AB  BC CF 求即可； CG CG CG 交（2）过点作垂直于地面于点 G，过点 B作BN  CG 交于点，过点作DM  CG  50.76(cm) ，利用 MG 与 CN CND于点，可证四边形 ABGN 为矩形，利用三角函数先求 CN  BC  cos20 MMN  6(cm) 的重叠部分求，然后求出 CM，利用三角函数即可求出 CD．【详解】解：（1）过点作交BC 于，DF  BC DF∵∴，FCD  60 CFD  90 ，FC  CD  cos60 1 50 ，2 25(cm) ，FA  AB  BC  CF  84  54  25 113(cm) ∴，答：点距离地面113 厘米； DCG G垂直于地面于点，（2）过点作CCG 过点过点 B作作BN  CG 交于点，NCG DM  CG 交于点，DM∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°， ∴四边形 ABGN 矩形， ∴AB=GN=84(cm)，为BC  54(cm) ∵，将支杆 BC 绕点 B顺时针旋转 20 ，∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°， ∴，CN  BC  cos20 ， 54 0.94  50.76(cm) ，∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)， MN  CN  MG CG  50.76  90 134.76  6(cm) ∴∵∴，MN  6(cm) ，CM  CN  MN  44.76(cm) ，CM  44.76(cm) ∵∴，，CD  CM  cos40 ， 44.76  0.77  58(cm) ，答：长为 58 厘米． CD 【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质是解题关键． 26. 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表：该地区每周接种疫苗人数统计表第 8 周次第 1 周第2 周第3 周第 4 周第 5 周第6 周第7 周周接种人数（万人） 7 10 12 18 25 29 37 42 该地区全民接种疫苗情况扇形统计图 A：建议接种疫苗已接种人群 B：建议接种疫苗尚未接种人群 C：暂不建议接种疫苗人群根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中 (3,12) (8,42) 、的数据描出对应的点，发现从第 3 周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点 y  6x  6 作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为变化趋势．），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的请根据以上信息，解答下列问题：（1）这八周中每周接种人数的平均数为________万人：该地区的总人口约为________万人；的（2）若从第 9 周开始，每周接种人数仍符合上述变化趋势． ①估计第 9 周的接种人数约为________万人； ②专家表示：疫苗接种率至少达 60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？ a(a  0) （3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第 9 周开始接种人数将会逐周减少接种率，一旦周接种人数低于 20 万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在 20 万人．如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？万人，为了尽快提高 a 1.8 【答案】（1）22.5，800；（2）①48；②最早到 13 周实现全面免疫；（3）25 周时全部完成接种【解析】【分析】（1）根据前 8 周总数除以 8 即可得平均数，8 周总数除以所占百分比即可； x即可；②设最早到第周，根据题意列不等式求解； y  6x  6 （2）①将代入 x  9 yx（3）设第周接种人数不低于20 万人，列不等式求解即可 1(7 10 12 18 25 29  37  42)  【详解】（1） 22.5，180  22.5%  800 822.5,800. 故答案为：（2）①把 y  6x  6, 代入 x  9  y  54  6  48. 故答案为：48 ②∵疫苗接种率至少达到 60% ∴接种总人数至少为万800 60%  480 x设最早到第周，达到实现全民免疫的标准 180  (69  6)  (610  6)  (6x  6) 则由题意得接种总人数为 180  (69  6)  (610  6)  (6x  6)  480 (x  7)(x  8) 100 ∴化简得当(13  7)(13  8)  205 100 时， x 13 ∴最早到 13 周实现全面免疫（3）由题意得，第 9 周接种人数为万42 1.8  40.2 yxy  42 1.8(x  8)  1.8x  56.4 以此类推，设第周接种人数不低于20 万人，即 182 x  ∴，即 1.8x  56.4  20 9∴当周时，不低于 20 万人；当 x  21周时，低于 20 万人； x = 20 1.8x  56.4,(9  x  20) 20(x  21) yy  从第 9 周开始当周接种人数为，∴当时x  21 总接种人数为： 180  56.4 1.89  56.4 1.810    56.4 1.8 20  20(x  20)  800 (1 21%) x  24.42 解之得 x∴当为25 周时全部完成接种. 【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，平均数的概念，一次函数的性质，列不等式解决实际问题, 读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． A顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的 27. 学习了图形的旋转之后，小明知道，将点．经过进一步探究，小明发现，当上述点 P绕着某定点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点点P的PPP运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点 的坐标和角度的大小来解决相关问题． A【初步感知】 y  kx  b 图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点 A(1,1) 如图 1，设，  90，点 P是一次函数 P(1,1) ．1（1）点 P P1 旋转后，得到的点的坐标为； ________ 1P (2,1) （2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式． P2【深入感悟】 1A(0,0) y  (x  0) （3）如图 2，设，，点 P反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象   45 Px限角平分线的垂线，垂足为【灵活运用】，求的面积． OMP M1y  x2  2 3x  7 （4）如图 3，设 A (1, 3) ，，点 P是二次函数图像上的动点，已知点   60 2C(3,0) B(2,0) ，试探究△BCP 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．、13211 81(1,3) y  x  【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值， 22【解析】 1A(1,1) 在同一直线上即可直接得出结果． P【分析】（1）根据旋转的定义得，观察点和AP  AP  2 11（2）根据题意得出 P 2 的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可． y  x PQA≌P MA(AAS) （3）先根据计算出交点坐标，再分类讨论①当时，先证明 x  1 1y  (x  0) xk12PHO ≌OP M (AAS) 再计算面积．②当- 时，证，再计算即OMP 1 x  0 SP MO SPHO 2可． C AO ≌CAB(SAS) （4）先证明OAB 为等边三角形，再证明，根据在中， RtC GB 13C,  ，写出，从而得出的函数表达式，当直线与抛物线相切 lC GB  90  C B C  30 OC 2 2 11 S SB C P y  3x  时取最小值，得出，由计算得出△BCP 的面积最小值．   B C’T 2【详解】（1）由题意可得: AP  AP  2 11(1,3) 的坐标为 P∴1(1,3) 故答案为：；P (2,1) （2）∵ ，由题意得 2(1,2) P2 坐标为 P(1,1) P (1,2) ，∵在原一次函数上， y  kx  b 12∴设原一次函数解析式为 k  b 1 k  b  2 则∴1k  23b  2132y  x  ∴原一次函数表达式为；2（3）设双曲线与二、四象限平分线交于点，则 Ny  x 1y  (x  0) xN (1,1) 解得 ①当时x  1 PQ  x Q轴于作∵QAM  POP  45 PAQ  P AN ∴∵∴PM  AM P MA  PQA  90 △ PQA ∴在和中P MA PQA  P MA PAQ  P AM AP  AP PQA≌P MA(AAS) ∴k12SP MA SPQA 21S即；OMP 2②当- 时1 x  0 y轴于点 H作∵于PH  POP  NOY  45 ∴∴PON  P OY MP O  90  MOY  P OY  45  P OY ∴POH  POP  P OY  45  P OY ∴POH  OMP 在和中POH OP M PHO  OMP POH  MP O PO  P O PHO ≌OP M (AAS) ∴k12∴；SP MO SPHO 2（4）连接，，将 B，绕A逆时针旋转得B，C，作轴于 HAC C60 AH  x AB B(2,0) ，∵A(1, 3) ∴∴OH  BH 1 OA  AB  OB  2 B (0,0) 重合，即 ∴OAB 为等边三角形，此时 与OB连接C O ，∵ CAC  BAO  60 ∴CAB  C AB ∴在和△CAB 中C AO C A  CA C AO  CAB BA  OA C AO ≌CAB(SAS) ∴∴，C O  CB 1 C OA  CBA 120 C G  y ∴作在轴于 G  中， RtC GB C GB  90  C B C  30 1C G  OC sinC BG  ∴∴2133C,，即，此时的函数表达式为： OC y  3x OG  2 2 2设过 P且与  平行的直线解析式为 ly  3x  b B C S SB C P ∵  BCP ∴当直线与抛物线相切时取最小值 ly  3x  b 则1y  x2  2 3x  7 213x  b  x2  2 3x  7 即∴212×2  3x  7  b  0 11 b  当∴时，得   0 211 2y  3x  y设与轴交于点lTSS SB C P ∵∴  B C’T 1 B T CG B C P 21 1 11    2 2 211 8【点睛】本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键．