2021 年江苏省淮安市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选 项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. －5 的绝对值等于（ A. －5 ）1515B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的概念即可得出答案． 【详解】解：因为－5 的绝对值等于 5，所以 B 正确； 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值的算法，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数， 0 的绝对值为 0． 2. 第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人 数约为 218360000，将 218360000 用科学记数法表示为（ ）A. 0.21836×109 2.1836×108 B. 2.1386×107 C. 21.836×107 D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值≥10 时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负整数． 【详解】解：218360000＝2.1836×108， 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要定 a 的值以及 n 的值． 3. 计算（x5）2 的结果是（ A. x3 ）B. x7 C. x10 D. x25 【答案】C 【解析】 【分析】直接运用幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：（x5）2＝x5×2＝x10． 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟记幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘是解题关 键． 4. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可． 【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下： 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是正确判断的 前提． 5. 下列事件是必然事件的是（ ）A. 没有水分，种子发芽 B. 如果 a、b 都是实数，那么 a＋b＝b D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向 ＋a C. 打开电视，正在播广告 上【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意； B、如果 a、b 都是实数，那么 a＋b＝b＋a，是必然事件，本选项符合题意； C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意； D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下， 一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事 件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 如图，直线 a、b 被直线 c 所截，若 a∥b，∠1＝70°，则∠2 的度数是（ ）A. 70° B. 90° C. 100° D. 110° 【答案】D 【解析】 【分析】根据邻补角得出∠3 的度数，进而利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵∠1＝70°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝110°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和邻补角，解题关键是熟记两直线平行，内错角相等． 7. 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，连接 AE，若 AE＝4， EC＝2，则 BC 的长是（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵DE 是 AB 的垂直平分线，AE＝4， ∴EB＝EA＝4， ∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的 点到线段的两个端点的距离相等． 8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今 有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几 1何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50 22钱，乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50 钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为 x 钱， 3乙持钱数为 y 钱，列出关于 x、y 的二元一次方程组是（ ）11x 2y 50 x y 50 x y 50 22A. B. C. D. 3 23x y 50 x y 50 x y 50 2 322x y 50 31x y 50 2 【答案】B 【解析】 1【分析】设甲、乙的持钱数分别为 x，y，根据“甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50 钱，乙 22若得到甲所有钱的 ，则乙也有50 钱”，列出二元一次方程组解答即可． 3【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为 x，y， 1x y 50 2根据题意可得： ，2x y 50 3故选 B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关 系列出方程. 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 29. 分解因式： =_______________． a ab 【答案】a（a﹣b）． 【解析】 2【详解】解： =a（a﹣b）． a ab 故答案为 a（a﹣b）． 点睛】本题考查因式分解-提公因式法． 【10. 现有一组数据 4、5、5、6、5、7，这组数据的众数是___． 【答案】5 【解析】 【分析】根据众数的意义求解即可． 【详解】这组数据中出现次数最多的是 5，共出现 3 次，因此众数是 5，故答案为：5． 【点睛】本题考查的是众数：一组数中出现次数最多的数，熟练掌握众数的意义是解决本题 的关键． 2的=1 解是_______． 11. 分式方程 x 1 【答案】x=1 【解析】 【分析】先给方程两边同乘最简公分母 x+1，把分式方程转化为整式方程 2=x+1，求解后并 检验即可． 【详解】解：方程的两边同乘 x+1，得 2=x+1， 解得 x=1． 检验：当 x=1 时，x+1=2≠0． 所以原方程的解为 x=1． 故答案为：x=1． 【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键． 12. 若圆锥的侧面积为 18π，底面半径为 3，则该圆锥的母线长是___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积＝πrl，列出方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面积为 18π，底面半径为 3， 3πl＝18π． 解得：l＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求 解． 13. 一个三角形的两边长分别是 1 和 4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___． 【答案】4 【解析】 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件， 求得第三边的值． 【详解】解：设第三边为 a，根据三角形的三边关系知， 4﹣1＜a＜4＋1，即 3＜a＜5， 又∵第三边的长是偶数， ∴a 为 4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，掌握第三边满足：大于已知两边的差，且小于已 知两边的和是解决问题的关键． k2 14. 如图，正比例函数 y＝k1x 和反比例函数 y＝ （3，2），则点 B 的坐标是___． 图象相交于 A、B 两点，若点 A 的坐标是 x【答案】（﹣3，﹣2） 【解析】 【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以 A、B 两点关于原点对 称，由关于原点对称的点的坐标特点求出 B 点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B 两点关于原点对称， ∵A 的坐标为（3，2）， ∴B 的坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知 识进行求解. 15. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠CAB＝55°，则∠D 的度数是___． 【答案】35° 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质 得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝ 35°． 【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝55°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°， ∴∠D＝∠B＝35°． 故答案为：35°． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在 于能够熟练掌握相关知识进行求解. 16. 如图（1），△ABC 和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点 B′、C′、B、C 都在直 线 l 上，△ABC 固定不动，将△A′B′C′在直线 l 上自左向右平移．开始时，点 C′与点 B 重合， 当点 B′移动到与点 C 重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为 x，两个三角形重叠部分的面积 为 y，y 与 x 之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC 的边长是___． 【答案】5 【解析】 【分析】在点 B’到达 B 之前，重叠部分的面积在增大，当点 B’到达 B 点以后，且点 C’到达 C 以前，重叠部分的面积不变，之后在 B’到达 C 之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得 出 B’C’的长度为 a，BC 的长度为 a＋3，再根据△ABC 的面积即可列出关于 a 的方程，求出 a 即可． 【详解】解：当点 B’移动到点 B 时，重叠部分的面积不再变化， S 3 根据图象可知 B’C’＝a， ，A BC 过点 A’作 A’H⊥B’C’， 则 A’H 为△A’B’C’的高， ∵△A’B’C’是等边三角形， ∴∠A’B’H＝60°， AH AB 3∴sin60°＝ ，23∴A’H＝ ，a21332∴，即 ，SABC aa a 3 224解得 a＝﹣2（舍）或 a＝2， 当点 C’移动到点 C 时，重叠部分的面积开始变小， 根据图像可知 BC＝a＋3＝2＋3＝5， ∴△ABC 的边长是 5， 故答案为 5． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象和三角函数，关键是要分析清楚移动过程可分为 哪几个阶段，每个阶段都是如何变化的，先是点 B’到达 B 之前是一个阶段，然后点 C’到达 C 是一个阶段，最后 B’到达 C 又是一个阶段，分清楚阶段，根据图象信息列出方程即可． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分．解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解不等式组： 3﹣（π﹣1）0﹣sin30°； 94x 8 0 ． x 3 3 x 2 【答案】（1） ；（2）1＜x≤2 2【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根、零指数幂、三角函数值，再计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小找不到确定不等式组的解集． 1【详解】解：（1）原式＝3﹣1﹣ ，23＝；24x 8 0 （2） x 3 3 x 2 解不等式 4x﹣8≤0，得：x≤2， x 3 解不等式 ＞3﹣x，得：x＞1， 2不等式组的解集为 1＜x≤2． 【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟记三角函数值、和 0 指数幂， 正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小 小找不到”的原则是解答此题的关键． 1a18. 先化简，再求值：（ ＋1）÷ ，其中 a＝﹣4． a 1 a2 1 【答案】a＋1，﹣3 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即 可解答本题． 1a【详解】解：（ ＋1）÷ a 1 a2 1 1 a 1 (a 1)(a 1) ＝a 1 aa a1 ＝1a＝a＋1， 当 a＝﹣4 时，原式＝﹣4＋1＝﹣3． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行化简，代入数值 后准确进行计算． 19. 已知：如图，在▱ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 BE 平分∠ABC， EF∥AB．求证：四边形 ABFE 是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证四边形 ABFE 是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证 AB＝AE， 依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， 又∵EF∥AB， ∴四边形 ABFE 是平行四边形， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBF， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴平行四边形 ABFE 是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练 运用相关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形． 20. 市环保部门为了解城区某一天 18：00 时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量 点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成 A、B、C、D、E 五组，并将统 计结果绘制了两幅不完整的统计图表． 组别 噪声声级 x/dB 频数 55≤x＜60 60≤x＜65 65≤x＜70 70≤x＜75 75≤x＜80 ABCDE410 m8n请解答下列问题： （1）m＝ ，n＝ ； （2）在扇形统计图中 D 组对应的扇形圆心角的度数是°； （3）若该市城区共有 400 个噪声测量点，请估计该市城区这一天 18：00 时噪声声级低于 70dB 的测量点的个数． 【答案】（1）12、6；（2）72；（3）260 个 【解析】 【分析】（1）先由 B 组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量乘以 C 这组对 应的百分比求出 m 的值，继而根据 5 组的频数之和等于样本容量可得 n 的值； （2）用 360°乘以 D 组频数所占比例即可； （3）用总个数乘以样本中噪声声级低于 70dB 的测量点的个数所占比例即可． 【详解】解：（1）∵样本容量为 10÷25%＝40， ∴m＝40×30%＝12， ∴n＝40﹣（4＋10＋12＋8）＝6， 故答案为：12、6； 8（2）在扇形统计图中 D 组对应的扇形圆心角的度数是 360°× ＝72°， 40 故答案为：72； （3）估计该市城区这一天 18：00 时噪声声级低于 70dB 的测量点的个数为 4 10 12 400 260 （个）． 40 该市城区共有 400 个噪声测量点，估计该市城区这一天 18：00 时噪声声级低于 70dB 的测 量点的个数为 260 个． 【点睛】本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解题的关键是结 合频数分布表和扇形统计图得出样本容量及样本估计总体． 21. 在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为 1、2、﹣1，现将三张 卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出 一张记下数字． （1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是； （2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率． 149【答案】（1） ；（2） 3【解析】 【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即 可． 【详解】解：（1）负数的个数有 1 个，数字的总个数是 3 个， 1所以第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ，31故答案为： ；3（2）画树状图为： 的共有 9 种等可能 结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4 种结果， 4的所以两次抽出 卡片上数字都为正数的概率为 ．9【点睛】本题考查的是求概率和树状图，熟练掌握概率的意义是解决本题的关键． 22. 如图，平地上一幢建筑物 AB 与铁塔 CD 相距 50m，在建筑物的顶部 A 处测得铁塔顶部 C 的仰角为 28°、铁塔底部 D 的俯角为 40°，求铁塔 CD 的高度． （参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77， tan40°≈0.84） 【答案】68.5m 【解析】 【分析】过 A 作 AE⊥CD，垂足为 E．分别在 Rt△AEC 和 Rt△AED 中，由锐角三角函数定 义求出 CE 和 DE 的长，然后相加即可． 【详解】解：如图，过 A 作 AE⊥CD，垂足为 E． 则 AE＝50m， 在 Rt△AEC 中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m）， 在 Rt△AED 中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m）， ∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）． 答：铁塔 CD 的高度约为 68.5m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用–仰角俯角问题，求出 CE、DE 的长是解题的关 键． 23. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，△ABC 的顶点 A、B、C 都在格 点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹 （不要求写画法）． （1）将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°，点 B 的对应点为 B1，点 C 的对应点为 C1，画 出△AB1C1； （2）连接 CC1，△ACC1 的面积为； 15（3）在线段 CC1 上画一点 D，使得△ACD 的面积是△ACC1 面积的 ．5【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析 2【解析】 【分析】（1）将 A、B、C 三点分别绕点 A 按顺时针方向旋转 90°画出依次连接即可； （2）勾股定理求出 AC，由面积公式即可得到答案； （3）利用相似构造△CFD∽△C1ED 即可． 【详解】解：（1）如图：图中△AB1C1 即为要求所作三角形； 12 22 （2）∵AC＝ ＝，由旋转知 AC＝AC ，∠CAC ＝90°， 1 1 5521∴△ACC1 的面积为 ×AC×AC1＝ ，25故答案为： ；2（3）连接 EF 交 CC1 于 D，即为所求点 D，理由如下： ∵CF∥C1E， ∴△CFD∽△C1ED， CD CF 14∴＝，C1D C1E 1∴CD＝ CC1， 515∴△ACD 的面积＝△ACC1 面积的 ．【点睛】本题考查了网格作图，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的 1关键是构造△CFD∽△C1ED 得到 CD＝ CC1． 524. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 E 是 BC 的中点，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边 交于点 D，连接 DE． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； 5（2）若 CD＝3，DE＝ ，求⊙O 的直径． 215 【答案】（1）相切，理由见解析；（2） 4【解析】 【分析】（1）连接 DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E 为 BC 的中点得到 DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD， 由于∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根 据切线的判定定理即可得到 DE 与⊙O 相切； （2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解:（1）证明：连接 DO，如图， ∵∠BDC＝90°，E 为 BC 的中点， ∴DE＝CE＝BE， ∴∠EDC＝∠ECD， 又∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， 而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°， ∴DE⊥OD， ∴DE 与⊙O 相切； （2）由（1）得，∠CDB＝90°， ∵CE＝EB， 1∴DE＝ BC， 2∴BC＝5， ∴BD＝ BC2 CD2 52 32 ＝＝4， ∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B， ∴△BCA∽△BDC， AC BC ∴∴＝CD BD ，AC 54＝，315 4∴AC＝ ，15 4∴⊙O 直径的长为 ．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直 即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质． 25. 某超市经销一种商品，每件成本为 50 元．经市场调研，当该商品每件的销售价为 60 元 时，每个月可销售 300 件，若每件的销售价每增加 1 元，则每个月的销售量将减少 10 件．设 该商品每件的销售价为 x 元，每个月的销售量为 y 件． （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣10×2＋1400x﹣45000；（2）每件销售价为 70 元时，获得最大利润；最大 利润为 4000 元 【解析】 【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可． （2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 【详解】解：（1）根据题意，y＝（x﹣50）[300﹣10（x﹣60）]， ∴y 与 x 的函数表达式为：y＝﹣10×2＋1400x﹣45000； （2）由（1）知：y＝﹣10×2＋1400x﹣45000， ∴y＝﹣10（x﹣70）2＋4000， ∴每件销售价为 70 元时，获得最大利润；最大利润为 4000 元． 【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题 意，找到等量关系，求得二次函数解析式． 26. 【知识再现】 学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （简称 HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】 如图（1），在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D、E 分别在边 AC、AB 上．若 CE＝ BD，则线段 AE 和线段 AD 的数量关系是． 【拓展延伸】 在△ABC 中，∠BAC＝ （90°＜ ＜180°），AB＝AC＝m，点 D 在边 AC 上． （1）若点 E 在边 AB 上，且 CE＝BD，如图（2）所示，则线段 AE 与线段 AD 相等吗？如 果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． （2）若点 E 在 BA 的延长线上，且 CE＝BD．试探究线段 AE 与线段 AD 的数量关系（用含 有 a、m 的式子表示），并说明理由． 【答案】【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AE﹣AD＝2AC•cos （180°﹣ ），理由见解析 【解析】 【分析】简单应用：证明 Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论． 拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点 C 作 CM⊥BA 交 BA 的延长线于 M，过 点 N 作 BN⊥CA 交 CA 的延长线于 N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出 CM＝BN，AM＝ AN，证明 Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出 EM＝DN，可得结论． （2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣ ）．在AB 上取一点 E′，使得 BD＝ CE′，则 AD＝AE′．过点 C 作 CT⊥AE 于 T．证明 TE＝TE′，求出 AT，可得结论． 【详解】简单应用：解：如图（1）中，结论：AE＝AD． 理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE， ∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）， ∴AD＝AE． 故答案为：AE＝AD． 拓展延伸：（1）结论：AE＝AD． 理由：如图（2）中，过点 C 作 CM⊥BA 交 BA 的延长线于 M，过点 N 作 BN⊥CA 交 CA 的延 长线于 N． ∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA， ∴△CAM≌△BAN（AAS）， ∴CM＝BN，AM＝AN， ∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN， ∴Rt△CME≌Rt△BND（HL）， ∴EM＝DN， ∵AM＝AN， ∴AE＝AD． （2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣ ）． 理由：在 AB 上取一点 E′，使得 BD＝CE′，则 AD＝AE′．过点 C 作 CT⊥AE 于 T． ∵CE′＝BD，CE＝BD， ∴CE＝CE′， ∵CT⊥EE′， ∴ET＝TE′， ∵AT＝AC•cos（180°﹣ ）＝m•cos（180°﹣ ）， ∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cos（180°﹣ ）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角 形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题. 127. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ x2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣3， 40）和点 B（5，0），顶点为点 D，动点 M、Q 在 x 轴上（点 M 在点 Q 的左侧），在 x 轴下方 作矩形 MNPQ，其中 MQ＝3，MN＝2．矩形 MNPQ 沿 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向右 匀速运动，运动开始时，点 M 的坐标为（﹣6，0），当点 M 与点 B 重合时停止运动，设运 动的时间为 t 秒（t＞0）． （1）b＝ ，c＝ ． （2）连接 BD，求直线 BD 的函数表达式． （3）在矩形 MNPQ 运动的过程中，MN 所在直线与该二次函数的图象交于点 G，PQ 所在 直线与直线 BD 交于点 H，是否存在某一时刻，使得以 G、M、H、Q 为顶点的四边形是面 积小于 10 的平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． （4）连接 PD，过点 P 作 PD 的垂线交 y 轴于点 R，直接写出在矩形 MNPQ 整个运动过程 中点 R 运动的路径长． 1215 4137 4【答案】（1） ，；（2）y＝x﹣5；（3）存在，t＝5 或 t＝5＋ ；（4） 2 6 【解析】 12A 3,0 ,B 5,0 【分析】（1）把 代入 ，列方程组求出 b，c 的值； y x bx c 4（2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点 D 的坐标，再用待定系数法求 直线 BD 的函数表达式； QM •QH 10 QH 0 （3）先由 ，且 ，确定 t 的取值范围，再用含 t 的代数式分别表示点 MG HQ G、点 H 的坐标，由 列方程求出 t 的值； （4）过点 P 作直线 x 1的垂线，垂足为点 F，交 y 轴于点 G，由 R 的最低点和最高点的坐标，再求出点 R 运动的路径长． ，确定点 PRG DPF 12A 3,0 ,B 5,0 【详解】解：（1）把 代入 ，y x bx c 49425 1215 43b c 0 5b c 0 b 得，解得 ，c 4 1215 4故答案为： ，．1115 4142y x2 x （2）∵ x 1 4 ，42D 1,4 ∴该抛物线的顶点坐标为 ；y mx n 设直线 BD 的函数表达式为 ，5m n 0 m n 4 m 1 则，解得 ，n 5 y x 5 ∴．（3）存在，如图 1、图 2． M t 6,0 ,Q t3,0 由题意得， ，1733 4G t 6, t2 t H t3,t 8 ∴∵，；42QM •QH 10 QH 0 ，且 ，3(t 8) 10 14 34 3(8t) 10 t 8 0 ∴，解得 ＜t＜ ，且 ；t 8 33MG//HQ ∵，MG HQ G, M , H,Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴当 时，以 1∴7 33 t2 t 8 t 8 ；4241由7 33 t2 ，424t 5,t 13 解得， （不符合题意，舍去）； 1217 33 t2 t 8 由，424解得， （不符合题意，舍去）， t1 5 2 6,t2 5 2 6 综上所述， 或．t 5 t 5 2 6 1115 4y x2 x （4）由（2）得，抛物线 的对称轴为直线 x 1 ，42过点 P 作直线 x 1的垂线，垂足为点 F，交 y 轴于点 G， 如图 3，点 Q 在 y 轴左侧，此时点 R 在点 G 的上方， 当点 M 的坐标为（﹣6，0）时，点 R 的位置最高， 此时点 Q 与点 A 重合， PGR DFP 90,RPG 90 FPD PDF ∵，∴∴，PRG DPF RG PG ，PF DF PG PF 34 ∴＝＝6， RG DF 2∴R（0，4）； 如图 4，为原图象的局部入大图， 当点 Q 在 y 轴右侧且在直线 x 1左侧，此时点 R 的最低位置在点 G 下方， 由，PRG DPF RG PG 得， ，PF DF PG PF ∴GR＝ ；DF 设点 Q 的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则 P（r，﹣2）， r(1 r) 1211181r2＋ r＝ 2 (r )2 ∴GR＝ ＝，22211∴当 r＝ 时，GR 的最小值为 ，2817 ∴R（0， ）； 8如图 5，为原图象的缩小图， 当点 Q 在直线 x 1右侧，则点 R 在点 G 的上方， 当点 M 与点 B 重合时，点 R 的位置最高， 由，PRG DPF RG PG 得， ，PF DF PG PF 87 ∴GR＝ ＝＝28， DF 2∴R（0，26）， 17 17 137 =4+ +26+ ∴，884137 4∴点 R 运动路径的长为 ．【点睛】本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函 数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等 知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，综合性强、难度大，属于考试 压轴题．
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