2021 年江苏省泰州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） （﹣3）0 等于（ ） 1. A. B. C. D. ﹣3 013B【答案】 【解析】 【分析】根据任何不为 0 的数的零次幂都等于 1，可得答案． 0【详解】解： ，3 1 故选：B． 【点睛】本题主要考查了零指数幂的性质，正确掌握相关定义是解题关键． 2. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. C. B. D. C【答案】 【解析】 【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：如图所示，几何体的左视图是： 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图． 3. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ） A. 与B. 与C. 与D. 与27 83515 75 212 D【答案】 【解析】 【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断． 【详解】A、 ，与不是同类二次根式，故此选项错误； 8 2 2 32 2 B、 ，与不是同类二次根式，故此选项错误； 12 2 3 2 3 2C、 D、 与不是同类二次根式，故此选项错误； 515 ，，27 3 35 3 与 3 3是同类二次根式，故此选项正确． 75 5 3 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根 式． 4. “14 人中至少有 2 人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为 P，则（ ） A. P＝0 【答案】 【解析】 B. 0＜P＜1 C. P＝1 D. P＞1 C00【分析】根据不可能事件的概率为 ，随机事件的概率大于 而小于，必然事件的概率为 ，即可判断． 11∵【详解】解： 一年有 12 14 12 个月， 个人中有个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，都 12 和前 人中的一个人同一个月过生日 ∴“14 2”人中至少有 人在同一个月过生日是必然事件， 即这一事件发生的概率为 ．P 1 故选： ．C【点睛】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键． CBE 5. 如图,P 为 AB 上任意一点,分别以 AP、PB 为边在 AB 同侧作正方形 APCD、正方形 PBEF,设 ,则为（ ） AFP 1A. B. C. D. 90°﹣ 2α 90°﹣α 45°+α α2B【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得 AFP CBP(SAS) ，从而 【详解】∵四边形 APCD 和四边形 PBEF 是正方形， 即可． AFP CBP 90 ∴AP=CP，PF=PB， ，APF BPF PBE 90 ∴，AFP CBP(SAS) ∴∠AFP=∠CBP， CBE 又∵ ，∴，AFP CBP PBE CBE 90 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定 方法是解题的关键． 6. 互不重合的 A、B、C 三点在同一直线上，已知 AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ） A. 点 A 在 B、C 两点之间 C. 点 C 在 A、B 两点之间 B. 点 B 在 A、C 两点之间 D. 无法确定 A【答案】 【解析】 【分析】分别对每种情况进行讨论，看 a 的值是否满足条件再进行判断． 【详解】解：①当点 A 在 B、C 两点之间，则满足 ，BC AC AB 即，a 4 2a 1 3a 3a 解得： ，符合题意，故选项 A 正确； 4②点 B 在 A、C 两点之间，则满足 ，，AC BC AB 即，2a 1 a 4 3a 3a 解得： ，不符合题意，故选项 B 错误； 2③点 C 在 A、B 两点之间，则满足 AB BC AC 即，3a a 4 2a 1 解得：a 无解，不符合题意，故选项 C 错误； 故选项 D 错误； 故选：A． 的【点睛】本题主要考查了线段 和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关 键． 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 7. 计算：﹣（﹣2）＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可得答案． 【详解】﹣（﹣2）＝2， 故答案为：2 【点睛】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数；熟练掌握定义是解题关键． 18. y 函数： 中，自变量 x 的取值范围是_____． x 1 x 1 【答案】 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为 0 的条件，要使 1在实数范围内有意义，必须 ，即 .x 1 0 x 1 x 1 9. 2021 年 5 月，中国首个火星车“祝融号”成功降落在火星上直径为 3200km 的乌托邦平原．把数据 3200 用科学记数法表示为 ___． 3【答案】 3.210 【解析】 n1 a 10 ，n 为正整数． 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 a 10 3【详解】解： 故答案为： ．3200 3.210 3．3.210 【点睛】本题考查了科学记数法较大数的表示，确定 a 与 n 是解题的关键． 在函数 y (x 1)2 中,当 x＞1 时,y 随 x 的增大而 ___．（填“增大”或“减小”） 10. 【答案】增大 【解析】 【分析】根据其顶点式函数 y (x 1)2 可知,抛物线开口向上,对称轴为 增大,可得到答案． ,在对称轴右侧 y 随 x 的增大而 x 1 【详解】由题意可知: 函数 y (x 1)2 ,开口向上,在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大,又∵对称轴为 ,x 1 ∴当 x 1时,y 随的增大而增大, 故答案为:增大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性,掌握当二次函数开口向上时,在对称轴的右侧 y 随 x 的 增大而增大,在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小是解题的关键． 11. 某班按课外阅读时间将学生分为 3 组，第 1、2 组的频率分别为 0.2、0.5，则第 3 组的频率是 ___． 【答案】0.3 【解析】 【分析】利用 1 减去第 1、2 组的频率即可得出第 3 组的频率． 【详解】解：1-0.2-0.5=0.3， ∴第 3 组的频率是 0.3； 故答案为：0.3 【点睛】本题考查了频率，熟练掌握频率的定义和各小组的频率之和为 1是解题的关键． 关于 x 的方程 x2﹣x﹣1＝0 的两根分别为 x1、x2 则 x1+x2﹣x1•x2 的值为 ___． 12. 【答案】2． 【解析】 x x 1, x x 1 的【分析】先根据根与系数 关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算即可． 1212【详解】解：∵关于 x 的方程 x2﹣x﹣1＝0 的两根分别为 x1、x2， x x 1, x x 1 ∴，1212∴x1+x2﹣x1•x2=1-（-1）=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 2 为一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的两个根，则有 x , x 1bcx1 x2 , x1x2 ，熟记知识点是解题的关键． aa13. 已知扇形的半径为 8 cm，圆心角为 45°，则此扇形的弧长是____cm． 【答案】2π 【解析】 【详解】分析：先把圆心角化为弧度，再由弧长公式求出弧长，扇形的面积等于弧长与半径乘积的一半． 详解：∵扇形中，半径 r=8cm，圆心角 α=45°， 45 8 180 ∴弧长 l= ＝2πcm 故答案为 2π． 点睛：本题考查了弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般. 14. 如图，木棒 AB、CD 与 EF 分别在 G、H 处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将 木棒 AB 绕点 G 逆时针旋转到与木棒 CD 平行的位置，则至少要旋转 ___°． 【答案】20 【解析】 【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN 的度数即 可得出答案． 【详解】解：过点 G 作 MN，使∠EHD＝∠EGN=80°， ∴MN//CD， ∵∠EGB＝100°， ∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°， ∴至少要旋转 20°． 【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 15. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（8，5），⊙A 与 x 轴相切，点 P 在 y 轴正半轴上，PB 与 ⊙A 相切于点 B．若∠APB＝30°，则点 P 的坐标为 ___． 0,11 ．【答案】 【解析】 【分析】连接 AB，作 AD⊥x 轴，AC⊥y 轴，根据题意和 30°直角三角形的性质求出 AP 的长度，然后由圆 和矩形的性质，根据勾股定理求出 OC 的长度，即可求出点 P 的坐标． 【详解】如下图所示，连接 AB，作 AD⊥x 轴，AC⊥y 轴， ∵PB 与⊙A 相切于点 B ∴AB⊥PB， ∵∠APB＝30°，AB⊥PB， ∴PA=2AB= ．25 10 ∠O 90,∠OCA 90,∠ADO 90， ∵∴四边形 ACOD 是矩形， 点 A 的坐标为（8，5）， 所以 AC=OD=8，CO=AD=5， 2222在中， ．Rt△PAC PC= PA AC 10 8 6 如图，当点 P 在 C 点上方时， ∴，OP OC CP 5 6 11 0,11 ．∴点 P 的坐标为 【点睛】此题考查了勾股定理，30°角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅 助线． 16. 如图，四边形 ABCD 中，AB＝CD＝4，且 AB 与 CD 不平行，P、M、N 分别是 AD、BD、AC 的中点， 设△PMN 的面积为 S，则 S 的范围是 ___． 【答案】0＜S≤2 【解析】 11【分析】过点 M 作 ME⊥PN 于 E，根据三角形的中位线定理得出 PM=PN= AB= CD=2，再根据三角形 2212 PN ME 的面积公式得出 S= =ME，结合已知和垂线段最短得出 S 的范围； 【详解】解：过点 M 作 ME⊥PN 于 E， ∵P、M、N 分别是 AD、BD、AC 的中点，AB＝CD＝4， 11∴PM=PN= AB= CD=2， 2212 PN ME ∴△PMN 的面积 S= =ME， ∵AB 与 CD 不平行，∴四边形 ABCD 不是平行四边形， ∴M、N 不重合， ∴ME＞0， ∵ME≤MP=2， ME ∴0＜S≤2 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理以及三角形的面积，掌握三角形的中位线平行第三边，等于第三 边的一半是解题的关键 三、解答题（本大题共有 10 题，共 102 分） （1）分解因式：x3﹣9x； 17. 2x 5（2）解方程： +1＝ ．x 2 2 x 【答案】（1）x（x+3）（x-3）；（2）x=-1 【解析】 【分析】（1）先提取公因式 x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可． 【详解】解：（1）原式=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）， （2）等式两边同时乘以（x-2）得 2x+x-2=-5， 移项合并同类项得 3x=-3， 系数化为 1 得 x=-1 检验：当 x=-1 时，x-2 ， 0 ∴x=-1 是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了因式分解和解分式方程，解题关键是熟练掌握因式分解的方法及注意解分式方程要检 验． 18. 近 5 年，我省家电业的发展发生了新变化．以甲、乙、丙 3 种家电为例，将这 3 种家电 2016～2020 年 的产量（单位：万台）绘制成如图所示的折线统计图，图中只标注了甲种家电产量的数据． 观察统计图回答下列问题： （1）这 5 年甲种家电产量的中位数为 万台； （2）若将这 5 年家电产量按年份绘制成 5 个扇形统计图，每个统计图只反映该年这 3 种家电产量占比，其 中有一个扇形统计图的某种家电产量占比对应的圆心角大于 180°，这个扇形统计图对应的年份是 年； （3）小明认为：某种家电产量的方差越小，说明该家电发展趋势越好．你同意他的观点吗？请结合图中乙、 丙两种家电产量变化情况说明理由． 1【答案】（ ） 2；（ ） 3；（ ）不同意，理由见解析 935 2020 【解析】 1【分析】（ ）首先把这年甲种家电产量数据从小到大排列，然后根据中位数的定义即可确定结果； 52（ ）根据扇形统计图圆心角的计算公式，即可确定； 3（ ）根据方差的意义解答即可． 1∵5【详解】解：（ ） 这年甲种家电产量数据整理得： ，466，921，935，1035，1046 ∴中位数为： ．935 故答案为： ；935 2 ∵ （ ）扇形统计图的圆心角公式为：所占百分比 ，观察统计图可知 年，甲种家电产量和丙种家 360 2020 电产量之和小于乙种产量， ∴年乙种家电产量占比对应的圆心角大于 ．2020 180 故答案为： ；2020 3（ ）不同意，理由如下： 因为方差只是反映一组数据的离散程度，方差越小说明数据波动越小，越稳定；从图中乙、丙两种家电产 量的变化情况来看，丙种家电产量较为稳定，即方差较小，乙种家电产量波动较大，即方差较大，但是从 2018 年起丙种家电的产量在逐年降低，而乙种家电的产量在逐年提高，所以乙种家电发展趋势更好，即家电产 量的方差越小，不能说明该家电发展趋势越好． 【点睛】本题考查了中位数、扇形统计图、方差等，掌握相关知识是解题的关键． 19. 江苏省第 20 届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织 者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各 2 张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相 同．小张从中随机抽取 2 张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取 1 张不放回，再抽取 1 张；第二种是一次性抽取 2 张． （1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 （填“相同”或“不同”）； （2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率． 212【答案】（ ）相同；（ ） ．3【解析】 1分析】（ ）画树状图即可判断； 【21（ ）结合第（ ）题所画树状图可求概率． A，A B，B ． 1 2 1【详解】解：（ ）设两张“泰宝”图案卡片为 2 ，两张“凤娃”图案卡片为 1画出两种方式的树状图，是相同的，所以抽到不同图案卡片的概率是相同的． 故答案为：相同 2112 （ ）由（ ）中的树状图可知，抽取到的两张卡片，共有种等可能的结果，其中抽到不同图案卡片的结 8果有 种． 82 ． 3∴P （两张不同图案卡片） 12 【点睛】本题考查了用列举法求概率的知识点，画树状图或列表是解题的基础，准确求出符合某种条件的 概率是关键． 20. 甲、乙两工程队共同修建 150km 的公路，原计划 30 个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工 效率提高了 50%，乙队施工效率不变，结果提前 5 个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多 长？ 【答案】甲工程队原计划每月修建 2 千米，乙甲工程队原计划每月修建 3 千米 【解析】 【分析】设甲工程队原计划每月修建 x 千米，乙甲工程队原计划每月修建 y 千米，根据原计划每月修建 150 150 30 km km 和甲提高效率后每月修建 列出二元一次方程组求解即可． (30-5) 【详解】解：设甲工程队原计划每月修建 x 千米，乙甲工程队原计划每月修建 y 千米，根据题意得， 150 30 x y 150 (1 50%)x y 30 5 x 2 y 3 解得， 答：甲工程队原计划每月修建 2 千米，乙甲工程队原计划每月修建 3 千米 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程． 21. 如图，游客从旅游景区山脚下的地面 A 处出发，沿坡角 α＝30°的斜坡 AB 步行 50m 至山坡 B 处，乘直 立电梯上升 30m 至 C 处，再乘缆车沿长为 180m 的索道 CD 至山顶 D 处，此时观测 C 处的俯角为 19°30′，索道 CD 看作在一条直线上．求山顶 D 的高度．（精确到 1m，sin19°30′≈0.33， cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35） 【答案】114m 【解析】 【分析】过点 C 作 CE⊥DG 于 E，CB 的延长线交 AG 于 F，在 Rt△BAF 中可求得 BF 的长，从而可得 CF 的长；在 Rt△DCE 中，利用锐角三角函数可求得 DE 的长，从而由 DG=DE+CF 即可求得山顶 D 的高度． 【详解】过点 C 作 CE⊥DG 于 E，CB 的延长线交 AG 于 F，设山顶的所在线段为 DG，如图所示 在 Rt△BAF 中，α＝30°，AB=50m 1ABsin 50 25 则 BF= (m) 2∴CF=BC+BF=30+25=55(m) 在 Rt△DCE 中，∠DCE ，CD=180m 1930 ∴(m) DE CDsin DCE 1800.33 59 ∵四边形 CFGE 是矩形 ∴EG=CF ∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m) 即山顶 D 的高度为 114m． 【点睛】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，但这里出现了坡角、俯角等概念， 要理解其含义，另外通过作适当的辅助线，把问题转化为在直角三角形中解决． k22. 如图，点 A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数 y＝ （k＜0）的图象上，AC⊥x 轴，BD⊥y 轴， x垂足分别为 C、D，AC 与 BD 相交于点 E． （1）根据图象直接写出 y1、y2 的大小关系，并通过计算加以验证； （2）结合以上信息，从①四边形 OCED 的面积为 2，②BE＝2AE 这两个条件中任选一个作为补充条件， 求 k 的值．你选择的条件是 （只填序号）． y y 【答案】（1） 2 ，见解析；（2）见解析，①（也可以选择②） 1【解析】 【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据 A、B 两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后 作差比较即可； （2）若选择条件①，由面积的值及 OC的长度，可得 OD的长度，从而可得点 B的坐标，把此点坐标代入函 数解析式中，即可求得 k；若选择条件②，由 DB=6及 OC=2，可得 BE的长度，从而可得 AE长度，此长度即 为 A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得 k． y y 【详解】（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故 ；21kky y 当 x=-6 时， ；当 x=-2 时， 2162kkky y ∵∴即，k＜0 12263y y 0 12y y 12（2）选择条件① ∵AC⊥x 轴，BD⊥y 轴，OC⊥OD ∴四边形 OCED 是矩形 ∴OD∙OC=2 ∵OC=2 ∴OD=1 y 1 即2∴点 B 的坐标为(-6,1) k把点 B 的坐标代入 y＝ 中，得k=-6 x若选择条件②，即 BE=2AE ∵AC⊥x 轴，BD⊥y 轴，OC⊥OD ∴四边形 OCED 是矩形 ∴DE=OC，CE=OD ∵OC=2，DB=6 ∴BE=DB-DE=DB-OC=4 1AE BE 2 ∴2y y ∵AE=AC-CE=AC-OD= 12y y 2 即12ky y 2 由（1）知： ∴k=-6 123【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图 象与性质是解决本题的关键． 23. （1）如图①，O 为 AB 的中点，直线 l1、l2 分别经过点 O、B，且 l1∥l2，以点 O 为圆心，OA 长为半径 画弧交直线 l2 于点 C，连接 AC．求证：直线 l1 垂直平分 AC； （2）如图②，平面内直线 l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点 P、Q 分别在直线 l1、l4 上，连接 PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线 l4 上求作一点 D，使线段 PD 最短．（两种工具分别只限使用一次，并保 留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用平行线等分线段定理证明直线 l1 平分 AC；利用直角三角形的判定证明直线 l1 垂直 AC； （2）以 l2 与 PQ的交点 O 为圆心，OP 长为半径画弧交直线 l3 于点 C，连接 PC 并延长交直线 l4 于点 D，此 时线段 PD 最短，点 D 即为所求． 【详解】（1）解：如图①，连接 OC， ∵OB=OA，l1∥l2， ∴直线 l1 平分 AC， 由作图可知：OB=OA=OC， ∴∠ACB=90°， ∴l2 垂直 AC， ∵l1∥l2， ∴l1 垂直 AC， 即直线 l1 垂直平分 AC． （2）如图②，以 l2 与 PQ的交点 O 为圆心，OP 长为半径画弧交直线 l3 于点 C，连接 PC 并延长交直线 l4 于 点 D，此时线段 PD 最短，点 D 即为所求． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形 是直角三角形，与考查了尺规作图． 24. 农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树 上桃子的数量 x（个）为横坐标、桃子的平均质量 y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点， 发现这些点大致分布在直线 AB 附近（如图所示）． （1）求直线 AB 的函数关系式； （2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格 w（元）与平均质量 y（克/个）满足函数表达式 w＝ 1y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？ 100 5y x 500 【答案】（1） ；（2）210． B 240,100 3【解析】 300 120k b y kx b A 120,300 【分析】（1）将 ，代入到 ，得到方程组 ，解得 k 与 b 100 240k b 的值，即可求出直线 AB 的解析式； 51y x 500 w y 2 （2）将 代入 中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶 3100 点式，求出最值即可． 【详解】解：（1）设直线 AB 的函数关系式为 y kx b ，300 120k b A 120,300 B 240,100 代入可得： 将，，100 240k b 5k 解得： 3，b 500 5y x 500 ∴直线 AB 的函数关系式 ．35y x 500 故答案为： ．351y x 500 w y 2 （2）将 代入 中， 3100 15w x 500 2 可得： ，100 31w x 7 化简得： ，60 1z设总销售额为 ，则 z wx x 7 x 60 1z x2 7x 60 1 x2 420x 60 11×2 420x 2102 2102 60 160 2x 210 735 60 1a 0 ∵，60 z∴ 有最大值，当 z时， 取到最大值，最大值为735． x 210 故答案为：210． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关 键． 二次函数 y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a 为常数）图象的顶点在 y 轴右侧． 25. （1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含 a 的代数式表示）； （2）该二次函数表达式可变形为 y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求 p 的值； （3）若点 A（m，n）在该二次函数图象上，且 n＞0，过点（m+3，0）作 y 轴的平行线，与二次函数图象 的交点在 x 轴下方，求 a 的范围． a 1 2a；（2）p=-1；（3）1＜ ＜2． 【答案】（1） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案； （2）利用十字相乘法分解因式即可得答案； （3）利用（2）的结果可得抛物线与 x 轴的交点坐标，根据顶点在 y 轴右侧，过点（m+3，0）作 y 轴的平 行线，与二次函数图象的交点在 x 轴下方可得关于 a 的不等式，解不等式即可得答案． 【详解】（1）∵二次函数解析式 y＝﹣x2+（a﹣1）x+a， a 1 2(1) a 1 2∴顶点横坐标为 =．2(x 1)(x a) (x 1)(x a) （2）∵y＝﹣x +（a﹣1）x+a= =﹣（x﹣p）（x﹣a）， ∴p=-1． 2（3）∵y＝﹣x +（a﹣1）x+a= ，∴抛物线与 x 轴的交点坐标为（-1，0），（a，0）， ∵-1＜0， ∴该二次函数的图象开口向下， ∵图象的顶点在 y 轴右侧， a 1 2∴∴＞0， a 1 ，∵点 A（m，n）在该二次函数图象上，且 n＞0， ∴-1＜m＜a， ∵过点（m+3，0）作 y 轴的平行线，与二次函数图象的交点在 x 轴下方， a (1) ∴＜3， 解得： ，a 2 a∴a 的范围为 1＜ ＜2． 【点睛】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关 键． 26. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，P 为 AB 上一点，PA＝1，PB＝m（m 为常数，且 m＞0）．过点 P 的弦 CD⊥AB，Q 为 上一动点（与点 B 不重合），AH⊥QD，垂足为 H．连接 AD、BQ． BC （1）若 m＝3． ①求证：∠OAD＝60°； BQ ②求 的值； DH BQ DH （2）用含 m 的代数式表示 ，请直接写出结果； （3）存在一个大小确定的⊙O，对于点 Q 的任意位置，都有 BQ2﹣2DH2+PB2 的值是一个定值，求此时∠Q 的度数． 【答案】（1）①见解析；②2；（2） ；（3）存在半径为 1 的圆，45° 1+m 【解析】 【分析】（1）①连接 OD，则易得 CD 垂直平分线段 OA，从而 OD=AD，由 OA=OD，即可得△OAD 是等边 三角形，从而可得结论； BQ AB ②连接 AQ，由圆周角定理得：∠ABQ=∠ADH，从而其余弦值相等，因此可得 ，由①可得 DH AD AB、AD 的值，从而可得结论； BQ AB （2）连接 AQ、BD， 首先与（1）中的②相同，有 ，由△APD∽△ADB，可求得 AD 的长，从 DH AD 而求得结果； （3）由（2）的结论可得： BQ2 (1 m)DH 2 ，从而 BQ2﹣2DH2+PB2 (m 1)DH 2 m2 当 m=1 时，即可得是一个定值，从而可求得∠Q 的值． 【详解】（1）①如图，连接 OD，则 OA=OD ∵AB=PA+PB=1+3=4 1AB 2 ∴OA= 2∴OP=AP=1 即点 P 是线段 OA 的中点 ∵CD⊥AB ∴CD 垂直平分线段 OA ∴OD=AD ∴OA=OD=AD 即△OAD 是等边三角形 ∴∠OAD=60° ②连接 AQ ∵AB 是直径 ∴AQ⊥BQ 根据圆周角定理得：∠ABQ=∠ADH， cosABQ cosADH ∴∵AH⊥DQ 在 Rt△ABQ 和 Rt△ADH 中 BQ AB DH AD cosABQ cosADH BQ AB ∴DH AD ∵AD=OA=2，AB=4 BQ AB 42 2 ∴DH AD （2）连接 AQ、BD BQ AB 与（1）中的②相同，有 DH AD ∵AB 是直径 ∴AD⊥BD ∴∠DAB+∠ADP=∠DAB+∠ABD=90° ∴∠ADP=∠ABD ∴Rt△APD∽Rt△ADB PA AD ∴AD AB ∵AB=PA+PB=1+m ∴AD PAAB 1 m BQ AB 1 m 1 m 1 m 1 m ∴DH AD BQ （3）由（2）知， DH ∴BQ= 1 mDH 即BQ2 (1 m)DH 2 ∴BQ2﹣2DH2+PB2= (1+m)DH 2 2DH 2 m2 (m 1)DH 2 m2 当 m=1 时，BQ2﹣2DH2+PB2 是一个定值，且这个定值为 1，此时 PA=PB=1，即点 P 与圆心 O 重合 ∵CD⊥AB，OA=OD=1 ∴△AOD 是等腰直角三角形 ∴∠OAD=45° ∵∠OAD 与∠Q 对着同一条弧 ∴∠Q=∠OAD=45° 故存在半径为 1 的圆，对于点 Q 的任意位置，都有 BQ2﹣2DH2+PB2 的值是一个定值 1，此时∠Q 的度数为 45. 【点睛】本题是圆的综合，它考查了圆的基本性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等边三角 形的判定与性质等知识，难点是第（3）问，得出 BQ2﹣2DH2+PB2 (m 1)DH 2 m2 后，当 m=1即可得出 BQ2﹣2DH2+PB2 是一个定值．
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