江苏省扬州市 2021 年中考数学试题 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. A. 实数 100 的倒数是（ ）11100 B. C. D. 100 100 100 C【答案】 【解析】 【分析】直接根据倒数的定义求解． 1【详解】解：100 的倒数为 故选 C． ，100 1【点睛】本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为 ．a2. 把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ）A. 五棱锥 B. 五棱柱 C. 六棱锥 D. 六棱柱 A【答案】 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形， 则该几何体为五棱锥， 故选 A． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键． 3. 下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）A. 3 天内将下雨 B. 打开电视，正在播新闻 D. 没有水分，种子发芽 C. 买一张电影票，座位号是偶数号 D【答案】 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、3 天内将下雨，是随机事件； B、打开电视，正在播新闻，是随机事件； C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件； D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件； 故选 D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的 事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可 能发生也可能不发生的事件． 4. 不论 x 取何值，下列代数式的值不可能为 0 的是（ B. ）12×2 1 A. C. D. x 1 x 1 x 1 C【答案】 【解析】 【分析】分别找到各式为 0 时的 x 值，即可判断． 【详解】解：A、当 x=-1 时，x+1=0，故不合题意； B、当 x=±1 时，x2-1=0，故不合题意； 1C、分子是 1，而 1≠0，则 ≠0，故符合题意； x 1 2D、当 x=-1 时， 故选 C． ，故不合题意； x 1 0 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分 子为 0；（2）分母不为 0．这两个条件缺一不可． 5. 如图，点 A、B、C、D、E 在同一平面内，连接 、BC 、、、DE EA ，若 ，则 CD BCD 100 AB （）A B D E 260 A. B. C. D. 220 240 280 D【答案】 【解析】 【分析】连接 BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和， 即可得到结果． 【详解】解：连接 BD，∵∠BCD=100°， ∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°， ∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°， 故选 D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 6. 如图，在 的正方形网格中有两个格点 A、B，连接 ，在网格中再找一个格点 C，使得ABC 是44 AB 等腰直角三角形，满足条件的格点 C 的个数是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的 C 点有 0 个； ②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的 C 点有 3 个． 故共有 3 个点， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合 的思想是数学解题中很重要的解题思想． 30° 交7. 如图，一次函数 的图像与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，把直线 绕点 B 顺时针旋转 AB y x 2 x 轴于点 C，则线段 长为（ ）AC A. B. C. D. 6 2 2 3 3 2 3 2 A【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数表达式求出点 A 和点 B 坐标，得到△OAB 为等腰直角三角形和 AB 的长，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，证明△ACD 为等腰直角三角形，设 CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出 BD，得到关于 x 的方程，解之即可． 【详解】解：∵一次函数 的图像与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， y x 2 令 x=0，则 y= ，令 y=0，则 x= ，2 2 则 A（ ，0），B（0， ）， 2 2则△OAB 为等腰直角三角形，∠ABO=45°， 22 2∴AB= =2， 2过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D， ∵∠CAD=∠OAB=45°， ∴△ACD 为等腰直角三角形，设 CD=AD=x， AD2 CD2 ∴AC= =x， 2∵旋转， ∴∠ABC=30°， ∴BC=2CD=2x， BC2 CD2 ∴BD= =x， 3又 BD=AB+AD=2+x， ∴2+x= 解得：x= ∴AC= x， 3+1， 3x= （+1）= ，36 2 22故选 A． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质， 勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形． k1 8. y k 0, x 0 的图像上一点，过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为点 如图，点 P 是函数 1xk2 k k y k 0, x 0 的图像于点 C、D，连接 A、B，交函数 、、、，其中 ）2 ，下列 OC OD CD AB 12x2k k k1 k2 2 1S结论：①CD / /AB ；② ；③ SDCP ，其中正确的是（ OCD 22k1 A. ①② 【答案】 【解析】 B. ①③ C. ②③ D. ① Bk1 PD PC 【分析】设 P（m， ），分别求出A，B，C，D 的坐标，得到 PD，PC，PB，PA 的长，判断 和PA mPB 的 关 系 ， 可 判 断 ① ； 利 用 三 角 形 面 积 公 式 计 算 ， 可 得 △PDC 的 面 积 ， 可 判 断 ③ ； 再 利 用 S△OCD SOAPB S△OBD S△OCA S △DPC 计算△OCD 的面积，可判断②． k1 xk2 y y 【详解】解：∵PB⊥y 轴，PA⊥x 轴，点 P 在 上，点 C，D 在 上， xk1 设 P（m， ）， mk2 k1 k1 k2 则 C（m， ），A（m，0），B（0， ），令 ，mxmmk2m k2m k1 k1 mx 则，即 D（ ，）， k1 k2m k1 m k k k1 k2 2 ，k1 k2 m1m ∴PC= =，PD= =k1 mmk1 k2 mk1 m k k 2 1k1 k2 k1 PC PD PC k1 mk1 k2 ，k1 ∵PD PB ，即 ，PA PB PA m又∠DPC=∠BPA， ∴△PDC∽△PBA， ∴∠PDC=∠PBC， ∴CD∥AB，故①正确； 2m k k k k 2 k1 k2 1122 11 PD PC △PDC 的面积= ==，故③正确； 2k1 m2k1 S△OCD SOAPB S△OBD S△OCA S△DPC 2k k 2 111===k1 k2 k2 222k1 2k k 2 1k1 k2 2k1 22k k k k k 1 2k1 2 2 112k1 22k 2 2k k k k 2 1121==2k1 2k12 k2 2k1 ，故②错误； 故选 B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k 的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是 表示出各点坐标，得到相应线段的长度． 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上） 9. 2021 年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博 览会”约有 3020000 个相关结果，数据 3020000 用科学记数法表示为______． 【答案】3.02×106 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将 3020000 用科学记数法表示为 3.02×106． 故答案为：3.02×106． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 2210. 计算： __________． 2021 2020 【答案】4041 【解析】 【分析】利用平方差公式进行简便运算即可． 22【详解】解： 2021 2020 2021 2020 2021 2020 ==40411 =4041 故答案为：4041． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序． P 1 m,5 2m 在第二象限，则整数 m 的值为_________． 11. 在平面直角坐标系中，若点 【答案】2 【解析】 【分析】根据第二象限的点的横坐标小于 0，纵坐标大于 0 列出不等式组，然后求解即可． 1 m 0 【详解】解：由题意得： ，5 2m 0 51 m 解得： ，2∴整数 m 的值为 2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 12. 已知一组数据：a、4、5、6、7 的平均数为 5，则这组数据的中位数是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平均数的定义先算出 a 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位 数． 【详解】解：∵这组数据的平均数为 5， a 4 5 6 7 5 则，5解得：a=3， 将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7， 观察数据可知最中间的数是 5， 则中位数是 5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后， 最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 13. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数 学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日， 问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走 240 里，慢马每天走 150 里，慢马先走 12 天，试问快马几天 追上慢马？答：快马_______天追上慢马． 【答案】20 【解析】 【分析】设良马行 x 日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于 x 的一元一次 方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设快马行 x 天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日， 依题意，得：240x=150（x+12）， 解得：x=20， ∴快马 20 天追上慢马， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 214. 如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为 的正方形，该果罐侧面积为_____ ．10cm cm 【答案】100 【解析】 【分析】根据圆柱体的主视图为边长为 10cm 的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积． 【详解】解：∵果罐的主视图是边长为 10cm 的正方形，为圆柱体， ∴圆柱体的底面直径和高为 10cm， 10 10 ∴侧面积 为=100 ，故答案为：100 ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据． 15. 如图，在 中， ，点 D 是 的中点，过点 D 作 DE BC ，垂足为点 E，连接 AB RtABC ACB 90 CD 5 BC 8 ，，若 ，则 ________． CD DE 【答案】3 【解析】 【 分 析 】 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到AB=10 ， 利 用 勾 股 定 理 求 出AC ， 再 说 明DE∥AC ， 得 到 DE BD 12，即可求出 DE． AC AB 【详解】解：∵∠ACB=90°，点 D 为 AB 中点， ∴AB=2CD=10， ∵BC=8， AB2 BC2 ∴AC= =6， ∵DE⊥BC，AC⊥BC， ∴DE∥AC， DE BD 12DE BD 12∴，即 ，AC AB 6AB ∴DE=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比 例式． EC 16. 如图，在ABCD 中，点 E 在 的面积为________． 上，且 平分 ，若 EBC 30 BED ，，则ABCD BE 10 AD 【答案】50 【解析】 【分析】过点 E 作 EF⊥BC，垂足为 F，利用直角三角形的性质求出 EF，再根据平行线的性质和角平分线 的定义得到∠BCE=∠BEC，可得 BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点 E 作 EF⊥BC，垂足为 F， ∵∠EBC=30°，BE=10， 1∴EF= BE=5， 2∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC=∠BCE， 又 EC 平分∠BED，即∠BEC=∠DEC， ∴∠BCE=∠BEC， ∴BE=BC=10， BC EF ∴四边形 ABCD 的面积= 故答案为：50． ==50， 105 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30 度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识 点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出 EF 的长是解题的关键． 17. 如图，在ABC 中， ，矩形 ，则 DEFG 的顶点 D、E 在 上，点 F、G 分别在 BC 、AC 上， AC BC AB 若，，且 的长为________． CF 4 BF 3 DE 2EF EF 12 【答案】 【解析】 57x AB 【分析】根据矩形的性质得到 GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得 ，证明△ADG≌△BEF，得到 23xAD=BE= ，在△BEF 中，利用勾股定理求出 x 值即可． 4【详解】解：∵DE=2EF，设 EF=x，则 DE=2x， ∵四边形 DEFG 是矩形， ∴GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， GF CF 4472x 47∴∴，即 ，AB CB 4 3 7x AB AB ，2327x 2x x，∴AD+BE=AB-DE= ∵AC=BC， =2∴∠A=∠B，又 DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°， ∴△ADG≌△BEF（AAS）， 341232xx∴AD=BE= =，222在△BEF 中， ，BE EF BF 2 3x x2 32 ，即412 512 5解得：x= 或（舍）， 12 ∴EF= 5，12 5故答案为： ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边 对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到 AB 的长． 18. 将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所 有能被 3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第 33 个数为___________． 【答案】1275 【解析】 【分析】首先得到前 n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第 n 个图形中的黑色圆点的个数为 n n1 ，再判断其中能被 3 整除的数，得到每 3 个数中，都有 2 个能被 3 整除，再计算出第 33 个能被 3 2整除的数所在组，为原数列中第 50 个数，代入计算即可． 【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1， 1 2 2 第②个图形中的黑色圆点的个数为： =3， 21 3 3 第③个图形中的黑色圆点的个数为： =6， 21 4 4 第④个图形中的黑色圆点的个数为： =10， 2… n n1 第 n 个图形中的黑色圆点的个数为 ，2则这列数为 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…， 其中每 3 个数中，都有 2 个能被 3 整除， 33÷2=16…1， 16×3+2=50， 5051 则第 33 个被 3 整除的数为原数列中第 50 个数，即 故答案为：1275． =1275， 2【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： 0111a b （1） ；（2） ． | 3 3| tan60 ab3【答案】（1）4；（2） ab 【解析】 【分析】（1）分别化简各数，再作加减法； （2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算． 013【详解】解：（1） | 3 3| tan60 =1 3 3 3 =；411ba b （2） aa b ab ab a b =a b ==a b ab 【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是 熟练掌握运算法则． 2x y 7 x y 1 ax y 4 的一个解，求 a 的值． 20. 已知方程组 的解也是关于 x、y 的方程 1a 【答案】 【解析】 2【分析】求出方程组的解得到 x 与 y 的值，代入方程计算即可求出 a 的值． 2x y 7① 【详解】解：方程组 ，x y 1② 2 y 1 y 7 把②代入①得： ，y 3 解得： 解得： ，代入①中， ，x 2 y 3 ax y 4 得， 把，代入方程 ，x 2 2a 3 4 12a 解得： ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程 成立的未知数的值． 21. 为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操” 活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表： 抽样调查各类喜欢程度人数分布扇形统计图 A．非常喜欢 抽样调查各类喜欢程度人数统计表 喜欢程度 人数 B．比较喜欢 C．无所谓 D．不喜欢 50 A．非常喜欢 人B．比较喜欢 m 人 C．无所谓 D．不喜欢 n 人 16 人根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______； （2）扇形统计图中表示 A 程度的扇形圆心角为_____ m ______； ，统计表中 （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校 2000 名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包 含非常喜欢和比较喜欢）． 【答案】（1）200；（2）90，94；（3）1440 名 【解析】 【分析】（1）用 D 程度人数除以对应百分比即可； （2）用 A 程度的人数与样本人数的比值乘以 360°即可得到对应圆心角，算出 B 等级对应百分比，乘以样本 容量可得 m 值； （3）用样本中 A、B 程度的人数之和所占样本的比例，乘以全校总人数即可． 【详解】解：（1）16÷8%=200， 则样本容量是 200； 50 （2） ×360°=90°， 200 则表示 A 程度的扇形圆心角为 90°； 50 200×（1-8%-20%- ×100%）=94， 200 则 m=94； 50 94 2000 （3） =1440 名， 200 ∴该校 2000 名学生中大约有 1440 名学生喜欢“每日健身操”活动． 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必 要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 一张圆桌旁设有 4 个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙 2 人等可能地坐到①、②、③中的 2 个座位上． （1）甲坐在①号座位的概率是_________； （2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率． 123【答案】（1） ；（2） 3【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画树状图，共有 6 种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有 4 种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）∵丙坐了一张座位， 1∴甲坐在①号座位的概率是 ；3（2）画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有 4 种， 4 2 ∴甲与乙相邻而坐的概率为 =．6 3 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了 20%，现在 生产 240 万剂疫苗所用的时间比原先生产 220 万剂疫苗所用的时间少 0.5 天，问原先每天生产多少万剂疫 苗？ 【答案】40 万 【解析】 【分析】设原先每天生产 x 万剂疫苗，根据现在生产 240 万剂疫苗所用的时间比原先生产 220 万剂疫苗所 用的时间少 0.5 天可得方程，解之即可． 【详解】解：设原先每天生产 x 万剂疫苗， 240 220 0.5 由题意可得： ，1 20% x x解得：x=40， 经检验：x=40 是原方程的解， ∴原先每天生产 40 万剂疫苗． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须 严格按照这 5 步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性． BAC DE / /AB, DF / /AC ．24. 如图，在ABC 中， 的角平分线交 BC 于点 D， （1）试判断四边形 （2）若 的形状，并说明理由； ，求四边形 AFDE ，且 的面积． BAC 90 AFDE AD 2 2 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据 DE∥AB，DF∥AC 判定四边形 AFDE 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的 定义得到∠EDA=∠EAD，可得 AE=DE，即可证明； （2）根据∠BAC=90°得到菱形 AFDE 是正方形，根据对角线 AD 求出边长，再根据面积公式计算即可． 【详解】解：（1）四边形 AFDE 是菱形，理由是： ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形 AFDE 是平行四边形， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠FAD=∠EAD， ∵DE∥AB， ∴∠EDA=∠FAD， ∴∠EDA=∠EAD， ∴AE=DE， ∴平行四边形 AFDE 是菱形； （2）∵∠BAC=90°， ∴四边形 AFDE 是正方形， ∵AD= ，2 2 2 2 2∴AF=DF=DE=AE= =2， ∴四边形 AFDE 的面积为 2×2=4． 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是 掌握特殊四边形的判定方法． 25. AD / /BC ，如图，四边形 中， ，BAD 90 CB CD ，连接 ，以点 B 为圆心， 长ABCD BD BA B 为半径作 ，交 于点 E． BD B （1）试判断 （2）若 与的位置关系，并说明理由； ，求图中阴影部分的面积． CD ，BCD 60 AB 2 3 【答案】（1）相切，理由见解析；（2） 2 3 【解析】 【分析】（1）过点 B 作 BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到 BF=BA，即可证明 CD 与圆 B 相切； （2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出 AD，再利用 S△ABD-S 扇形 ABE 求出 阴影部分面积． 【详解】解：（1）过点 B 作 BF⊥CD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵CB=CD， ∴∠CBD=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB，又 BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°， ∴△ABD≌△FBD（AAS）， ∴BF=BA，则点 F 在圆 B 上， ∴CD 与圆 B 相切； （2）∵∠BCD=60°，CB=CD， ∴△BCD 是等边三角形， ∴∠CBD=60° ∵BF⊥CD， ∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°， ∴∠ABF=60°， ∵AB=BF= ∴AD=DF= ，2 3 AB tan30 =2， ∴阴影部分的面积=S△ABD-S 扇形 ABE 230 2 3 12== 2 3 2 360 ．2 3 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角 函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y x2 bx c 的图像与 x 轴交于点． 、A 1,0 B 3,0 ，与 26. y 轴交于点 C． c （1）b ________， ________； S 2SABC ，求点 D 的坐标； （2）若点 D 在该二次函数的图像上，且 ABD S SAPB （3）若点 P 是该二次函数图像上位于 x 轴上方的一点，且 ，直接写出点 P 的坐标． APC 【答案】（1）-2，-3；（2）（ ，6）或（ ，6）；（3）（4，5） 1 10 1 10 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出△ABC 的面积，设点 D（m， 可求出点 D 的坐标； 2S 2SABC ，得到方程求出 m 值，即 ），再根据 m 2m 3 ABD （3）分点 P 在点 A 左侧和点 P 在点 A 右侧，结合平行线之间的距离，分别求解． 【详解】解：（1）∵点 A 和点 B 在二次函数 y x2 bx c 图像上， 0 1b c b 2 c 3 则，解得： ，0 9 3b c 故答案为：-2，-3； （2）连接 BC，由题意可得： 2A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）， ，y x 2x 3 143 =6， ∴S△ABC =22∵S△ABD=2S△ABC，设点 D（m， ）， m 2m 3 1212 AB yD 2 6 4 m2 2m 3 2 6 ，∴，即 解得：x= 或1 10 1 10 ，代入 y x2 2x 3 ，可得：y 值都为 6， ∴D（ ，6）或（ ，6）； 1 10 1 10 2（3）设 P（n， ）， n 2n 3 ∵点 P 在抛物线位于 x 轴上方的部分， ∴n＜-1 或 n＞3， 当点 P 在点 A 左侧时，即 n＜-1， 可知点 C 到 AP 的距离小于点 B 到 AP 的距离， S S ∴△APB ，不成立； △APC 当点 P 点 B 右侧时，即 n＞3， 在∵△APC 和△APB 都以 AP 为底，若要面积相等， 则点 B 和点 C 到 AP 的距离相等，即 BC∥AP， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+p， 0 3k p 3 p k 1 则，解得： ，p 3 则设直线 AP 的解析式为 y=x+q，将点 A（-1，0）代入， 则-1+q=0，解得：q=1， 2则直线 AP 的解析式为 y=x+1，将 P（n， ）代入， n 2n 3 2即，n 2n 3 n 1 解得：n=4 或 n=-1（舍）， 2，n 2n 3 5 ∴点 P 的坐标为（4，5）． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离， 一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离． 27. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段 ，使用作图工具作，尝试操作后思考： BC 2 BAC 30 （1）这样的点 A 唯一吗？ （2）点 A 的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 A 的位置不唯一，它在以 BC 为弦的圆弧上（点 B、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为___________； ②ABC 面积的最大值为_________； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图 1 所示的弓形内部，我们 记为 A，请你利用图 1 证明BA C 30 ；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图 2，已知矩形 的边长 ，ABCD AB 2 4tanDPC ，点 P 在直线 的左侧，且 ．BC 3 CD 3①线段 PB 长的最小值为_______； 2S SPAD ②若 ，则线段 长为________． PD PCD 397 5 47 2 4【答案】（1）①2；② ；（2）见解析；（3）① ；② 3 2 【解析】 【分析】（1）①设 O 为圆心，连接 BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，证明△OBC 是等边三角形， 可得半径； ②过点 O 作 BC 的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D，以 BC 为底，则当 A 与 D 重合时，△ABC 的面积 最大，求出 OE，根据三角形面积公式计算即可； （2）延长 BA′，交圆于点 D，连接 CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； 431tanDPC （3）①根据 ，连接 PD，设点 Q 为 PD 中点，以点 Q 为圆心， PD 为半径画圆，可得点 P 2在优弧 CPD 上，连接 BQ，与圆 Q 交于 P′，可得 BP′即为 BP 的最小值，再计算出 BQ 和圆 Q 的半径，相减 即可得到 BP′； 2S SPAD ②根据 AD，CD 和 推出点 P 在∠ADC 的平分线上，从而找到点 P 的位置，过点 C 作 PCD 3CF⊥PD，垂足为 F，解直角三角形即可求出 DP． 【详解】解：（1）①设 O 为圆心，连接 BO，CO， ∵∠BAC=30°， ∴∠BOC=60°，又 OB=OC， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB=OC=BC=2，即半径为 2； ②∵△ABC 以 BC 为底边，BC=2， ∴当点 A 到 BC 的距离最大时，△ABC 的面积最大， 如图，过点 O 作 BC 的垂线，垂足为 E，延长 EO，交圆于 D， ∴BE=CE=1，DO=BO=2， BO2 BE2 ∴OE= ∴DE= =，3，3 2 12 2 3 2 ∴△ABC 的最大面积为 =；3 2 （2）如图，延长 BA′，交圆于点 D，连接 CD， ∵点 D 在圆上， ∴∠BDC=∠BAC， ∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD， ∴∠BA′C＞∠BDC， ∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°； 3（3）①如图，当点 P 在 BC 上，且 PC= 时， 2∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3， 43CD PC ∴tan∠DPC= =，为定值， 1连接 PD，设点 Q 为 PD 中点，以点 Q 为圆心， PD 为半径画圆， 24∴当点 P 在优弧 CPD 上时，tan∠DPC= ，连接 BQ，与圆 Q 交于 P′， 3此时 BP′即为 BP 的最小值，过点 Q 作 QE⊥BE，垂足为 E， ∵点 Q 是 PD 中点， 3411∴点 E 为 PC 中点，即 QE= CD=1，PE=CE= PC= ，223494∴BE=BC-CE=3- =，97 4∴BQ= BE2 QE2 =，，5CD2 PC2 ∵PD= =，21 5 5 ∴圆 Q 的半径为 ∴BP′=BQ-P′Q= 2 2 497 5 97 5 4的，即 BP 最小值为 ；42S SPAD ②∵AD=3，CD=2， ，PCD 3CD AD 23则，∴△PAD 中 AD 边上的高=△PCD 中 CD 边上的高， 即点 P 到 AD 的距离和点 P 到 CD 的距离相等， 则点 P 到 AD 和 CD 的距离相等，即点 P 在∠ADC 的平分线上，如图， 过点 C 作 CF⊥PD，垂足 ∵PD 平分∠ADC， 为F， ∴∠ADP=∠CDP=45°， ∴△CDF 为等腰直角三角形，又 CD=2， 2∴CF=DF= =，22CF PF 4∵tan∠DPC= =，33 2 ∴PF= ，43 27 2 =∴PD=DF+PF= 2 ．44【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题， 解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点 P 的轨迹． 28. 甲、乙两汽车出租公司均有 50 辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 3000 元，那么 50 辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费 每增加 50 元，那么将少租出 1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 200 元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 3500 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计 1850 元． 说明：①汽车数量为整数； ②月利润=月租车费-月维护费； ③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： （1）当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______ 辆时，两公司的月利润相等； （2）求两公司月利润差的最大值； a 0 （3）甲公司热心公益事业，每租出 1 辆汽车捐出 a 元 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利 润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最 大，求 a 的取值范围． 50 a 150 【答案】（1）48000，37；（2）33150 元；（3） 【解析】 【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以 10，减去维护费用可得甲公司的月利 润；设每个公司租出的汽车为 x 辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为 y 甲，y 乙，月利润差为 y，同（1）可得 y 甲和 y 乙的表达式，再分甲公司的利 润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出 y 关于 x 的表达式，根据二次函数的性质，结合 x 的范围求出最值，再比较即可； y 50×2 1800 a x1850 （3）根据题意得到利润差为 ，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为 17 1800 a 16.5 17.5 辆，结合 x 为整数可得关于 a 的不等式 ，即可求出 a 的范围． =48000 元， 当每个公司租出的汽车为 10 辆时，甲公司的月利润是 48000 元； 100 50 10 50 3000 10 20010 【详解】解：（1） 的设每个公司租出 汽车为x 辆， 50 x 50 3000 x 200x 3500x 1850 由题意可得： ，解得：x=37 或 x=-1（舍）， ∴当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等； （2）设两公司的月利润分别为 y 甲，y 乙，月利润差为 y， 50 x 50 3000 x 200x 则 y 甲= ，3500x 1850 y 乙= ，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37， 50 x 50 3000 x 200x 3500x 1850 y=y 甲-y 乙= 2=，50x 1800x 1850 1800 当 x= =18 时，利润差最大，且为 18050 元； 50 2 当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50， 3500x 1850 50 x 50 3000 x 200x y=y 乙-y 甲= 2=，50x 1800x 1850 1800 50 2 ∵对称轴为直线 x= =18， 当 x=50 时，利润差最大，且为 33150 元； 综上：两公司月利润差的最大值为 33150 元； （3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 50×2 1800 a x1850 ，y 50×2 1800x 1850 ax 则利润差为 =1800 a 对称轴为直线 x= ，100 ∵x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时，月利润之差最大， 1800 a 16.5 17.5 ，∴100 50 a 150 解得： ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关 系式，尤其（3）中要根据 x 为整数得到 a 的不等式．
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