江苏省常州市 2021 年数学中考真题 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题所给出的四个选项中，只有 一项是正确的） 11. A. 的倒数是（ ） 21212B. C. D. 2﹣2 ﹣A【答案】 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义即可得出答案． 1的【详解】解： 倒数是 2， 2故选：A． 【点睛】此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键． 3计算 m2 的结果是（ ）2. m5 m6 m8 m9 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方公式，即可求解． 3【详解】解： m2 =，6m故选 B． 【点睛】本题主要考查幂的乘方公式，掌握幂的乘方公式，是解题的关键． 3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 正方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球 D【答案】 【解析】 【分析】首先根据俯视图将正方体淘汰掉，然后根据主视图和左视图将圆锥和圆柱淘汰，即可求解． 【详解】解：∵俯视图是圆， ∴排除 A， ∵主视图与左视图均是圆， ∴排除 B、C， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图， 分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 4. 观察所示脸谱图案，下列说法正确的是（ ）A. 它是轴对称图形，不是中心对称图形 C. 它既是轴对称图形，也是中心对称图形 B. 它是中心对称图形，不是轴对称图形 D. 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 A【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：脸谱图案是轴对称图形，不是中心对称图形， 故选 A． 【点睛】本题主要考查轴对称和中心对称图形，掌握轴对称和中心对称图形的定义，是解题的关键． 5. O O 如图， BC 是的直径， 是的弦．若 AOC 60 ，则 的度数是（ ）OAB AB 30° A. 20 B. 25 C. D. 35 C【答案】 【解析】 【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，再根据等腰三角形的性质求解，即可． 【详解】解：∵ AOC 60 ，∴∠AOB=180°-60°=120°， ∵OA=OB， ∴=∠OBA=（180°-120°）÷2=30°， OAB 故选 C． 【点睛】本题主要考查圆 基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键． 的6. 以下转盘分别被分成 2 个、4 个、5 个、6 个面积相等的扇形，任意转动这 4 个转盘各 1 次．已知某转盘 1停止转动时，指针落在阴影区域的概率是 ，则对应的转盘是（） 3A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式求出每个选项的概率，即可得到答案． 1【详解】解：A．指针落在阴影区域的概率是 ，21B．指针落在阴影区域的概率是 C．指针落在阴影区域的概率是 ，，，4251D．指针落在阴影区域的概率是 故选 D． 3【点睛】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键． 2 ，当 时，y 随 x 增大而增大，则实数 a 的取值范围是（ ）7. 已知二次函数 y (a 1)x x 0 a 1 AB. C. D. a 0 a 1 a 1 B【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数 ∴二次函数 2 的对称轴为 y 轴，当 时，y 随 x 增大而增大， y (a 1)x x 0 2 的图像开口向上， y (a 1)x a 1 ∴a-1＞0，即： 故选 B． ，【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． y为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格 1 （元/件）随 8. yy时间 t（天）的变化如图所示，设 2 （元/件）表示从第 1 天到第 t 天该商品的平均价格，则 2 随 t 变化的 图像大致是（ ）A. B. C. D. A【答案】 【解析】 yy【分析】根据函数图像先求出 1 关于 t 的函数解析式，进而求出 2 关于 t 的解析式，再判断各个选项，即 可． y【详解】解：∵由题意得：当 1≤t≤6 时， 1 =2t+3， y当 6＜t≤25 时， 1 =15， y当 25＜t≤30 时， 1 =-2t+65， 5 2t 3 t y∴当 1≤t≤6 时， =，t t 4 22 515 6 30 y15 t 6 t 15 当 6＜t≤25 时， =，22t13 2t 65 (t 25) 515 6 y15 25 6 t 当 25＜t≤30 时， =222630 t 64 =，ty∴当 t=30 时， 2 =13，符合条件的选项只有 A． 故选 A． 【点睛】本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的 关键． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上） 计算： 3 ___． 9. 27 3【答案】 【解析】 a【详解】试题分析：根据立方根的定义，求数 的立方根，也就是求一个数，使得 xx3=a x a ，则 就是 的一 个立方根： 3∵33=27 ∴，．27 3 2a2 a2 2 10. __________ ．计算： 2【答案】 【解析】 a 2 【分析】先去括号，再合并同类项，即可求解． 22【详解】解：原式= 2a a 2 2=，a 2 2故答案是： ．a 2 【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握去括号法则以及合并同类项法则，是解题的关键． 分解因式： x2 4y2 __________． 11. x 2y x 2y 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式，即可． 【详解】解： x2 4y2 ，x 2y x 2y x 2y x 2y 故答案是： ．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 12. 近年来，5G 在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至 2021 年 3 月底，中国已建成约 819000 座 5G 基站，占全球 70%以上．数据 819000 用科学记数法表示为__________． 【答案】8.19×105 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数 变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数； 当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【详解】解：819000=8.19×105， 故答案是：8.19×105． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 13. 数轴上的点 A、B 分别表示 、2，则点__________离原点的距离较近（填“A”或“B”）． 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求出 A、B 点所对应数的绝对值，进而即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上的点 A、B 分别表示 、2， 3 3 3, 2 2 ∴，且 3＞2， ∴点 B 离原点的距离较近， 故答案是：B． 【点睛】本题主要考查数轴上点与原点之间的距离，掌握绝对值的意义，是解题的关键． xOy 14. 如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是平行四边形，其中点 A 在 x 轴正半轴上．若 OABC ，则点 A 的坐标是__________． BC 3 【答案】（3，0） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可知：OA=BC=3，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， OABC ∴OA=BC=3， ∴点 A 的坐标是（3，0）， 故答案是：（3，0）． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及点的坐标，掌握平行四边形的对边相等，是解题的关键． B 40,C 60 15. 如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 BC 、AC 上， ．若 DE//AB ，则 ________ ． ∠AED 【答案】100 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出 B 40,C 60 ，即可． AED 【详解】解：∵ ，∴∠A=180°-40°-60°=80°， ∵∴DE//AB ，180°-80°=100°． ∠AED 故答案是 100． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的 关键． 16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在 ABC 中，分别取 、AC 的中点 D、E，连接 ，过点 A 作 DE ，垂足为 F，将 ABC 分割后 AB AF DE DE 3, AF 2 拼接成矩形 BCHG ．若 ，则ABC 的面积是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】先证明 ，ADF≌BDG AEF≌CEH ，把三角形的面积化为矩形的面积，进而即可求解． 【详解】解：∵D 是 的中点，四边形 BCHG 是矩形， AB ∴AD=BD，∠G=∠AFD=90°， 又∵∠ADF=∠BDG， ∴，ADF≌BDG ∴DF=DG，AF=BG=2， 同理： ，AEF≌CEH ∴EF=EH， ∴GH=2(DF+EF)=2DE=2×3=6， ∴ABC 的面积=矩形 BCHG 的面积=2×6=12． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，通过全等三角形的判定，把三角形的面积 化为矩形的面积，是解题的关键． AC 3, BC 4 17. 如图，在ABC 中， ，点 D、E 分别在 、CA CB 上，点 F 在ABC 内．若四边形 是边长为 1 的正方形，则sinFBA ________． CDFE 10 【答案】 【解析】 10 S SACF SBCF SABF ，可得 FM=1，再根据锐角三 【分析】连接 AF，CF，过点 F 作 FM⊥AB，由 ABC 角函数的定义，即可求解． 【详解】解：连接 AF，CF，过点 F 作 FM⊥AB， ∵四边形 是边长为 1 的正方形， CDFE ∴∠C=90°， 22∴AB= ，3 4 5 S SACF SBCF SABF ∵∴，ABC 1211134 31 41 5 FM ，222∴ FM=1， ∵BF= 22，．4 1 1 10 110 ∴sinFBA 10 10 10 故答案是： ．10 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键． 18. 上一点（点 D 与点 A 不重 AB ACB 90,CBA 30, AC 1 如图，在 中， ，D 是 RtABC 合）．若在 的直角边上存在 4 个不同的点分别和点 A、D 成为直角三角形的三个顶点，则 长的 RtABC 取值范围是________． AD 4【答案】 ＜AD＜2 3【解析】 O 【分析】以 AD 为直径，作 与 BC 相切于点 M，连接 OM，求出此时 AD 的长；以 AD 为直径，作 O ，当点 D 与点 B 重合时，求出 AD 的长，进入即可得到答案． O 【详解】解：以 AD 为直径，作 与 BC 相切于点 M，连接 OM，则 OM⊥BC，此时，在 的直 RtABC 角边上存在 3 个不同的点分别和点 A、D 成为直角三角形，如图， ACB 90,CBA 30, AC 1 ∵在 中， ，RtABC ∴AB=2， ∵OM⊥BC， OM 1sin30 ∴，2OB 设 OM=x，则 AO=x， x123x ∴，解得： ，2 x 224∴AD=2× =，33O 以 AD 为直径，作 ，当点 D 与点 B 重合时，如图，此时 AD=AB=2， ∴在 的直角边上存在 4 个不同的点分别和点 A、D 成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值 RtABC AD 4范围是： ＜AD＜2． 34故答案是： ＜AD＜2． 3【点睛】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理的推论，解直角三角形，画出图形，分类讨论， 是解题的关键． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解 答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 4 (1)2 ( 1)0 21 19. 计算： ．1【答案】 【解析】 2【分析】先算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及平方运算，再算加减法，即可求解． 12 11 【详解】解：原式= 21=．2【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及平方运算法则， 是解的关键． 20. 解方程组和不等式组： x y 0 （1） 2x y 3 3x 6 0 x 2 x （2） x 1 【答案】（1） ；（2）-2＜x＜1 y 1 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法，即可求解； （2）分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可求解． x y 0① 【详解】解：（1） ，2x y 3② ①+②，得 3x=3，解得：x=1， 把 x=1 代入①得：y=-1， x 1 ∴方程组的解为： ；y 1 3x 6 0① （2） ，x 2 x② 由①得：x＞-2， 由②得：x＜1， ∴不等式组的解为：-2＜x＜1 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，掌握加减消元法以及解不等组的基本 步骤，是解题的关键． 21. 为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有 害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理调查小组就某小区居民对垃圾分类知识 的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图． （1）本次调查的样本容量是_______； （2）补全条形统计图； （3）已知该小区有居民 2000 人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数． 【答案】（1）100；（2）补全图形见详解；（3）600 【解析】 【分析】（1）用较多了解的人数÷对应百分比，即可求解； （2）先算出完全了解人数，较少了解人数，再补全统计图，即可； （3）用 2000ד完全了解”的百分比，即可求解． 【详解】解：（1）55÷55％=100（人）， 故答案是：100； （2）完全了解人数：100×30％=30（人）， 较少了解人数：100-30-55-5=10（人）， 补全统计图如下： （3）2000×30％=600（人）， 答：估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数有 600 人． 【点睛】本题主要考查扇形统计图和条形统计图，准确找出相关数据，是解题的关键． 22. 在 3 张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形 是菱形；②四边形 有一个内角是直角； ABCD ABCD ③四边形 的对角线相等．将这 3 张小纸条做成 3 支签，放在一个不透明的盒子中． ABCD （1）搅匀后从中任意抽出 1 支签，抽到条件①的概率是__________； （2）搅匀后先从中任意抽出 1 支签（不放回），再从余下的 2 支签中任意抽出 1 支签．四边形 同时 ABCD 满足抽到的 2 张小纸条上的条件，求四边形 一定是正方形的概率． ABCD 123【答案】（1） ；（2） 3【解析】 【分析】（1）根据等可能事件的概率公式，直接求解，即可； （2）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解． 13【详解】解：（1）3 支签中任意抽出 1 支签，抽到条件①的概率=1÷3= ，1故答案是： ；3（2）画出树状图： ∵一共有 6 种等可能的结果，四边形 一定是正方形的可能有 4 种， ABCD 2∴四边形 一定是正方形的概率=4÷6= ．3ABCD 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，熟练画出树状图是解题的关键． 23. AB//DE, AB DE,BF CE 如图，B、F、C、E 是直线 l 上的四点， ．（1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）将ABC 沿直线 l 翻折得到 A BC ．①用直尺和圆规在图中作出 A BC （保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接 ，则直线 与 l 的位置关系是__________． A D A D 【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行 【解析】 【分析】（1）根据“SAS”即可证明△ABC ≌△DEF ；B， （2）①以点 B 为圆心，BA 为半径画弧，以点 C 为圆心，CA 为半径画画弧，两个弧交于 A，连接 AC，即可； AM=DN，证明四边形 MND 是平行四边形， A②过点 A作AM⊥l，过点 D 作 DN⊥l，则 AM∥DN，且 A即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴BC=EF， ，BF CE ∵，AB//DE ∴∠ABC=∠DEF， 又∵ ，AB DE ∴△ABC ≌△DEF ；（2）①如图所示， 即为所求； A BC ②∥l，理由如下： A D ∵△ABC ≌△DEF ，与ABC 关于直线 l 对称， A BC ∴，△A BC ≌△DEF M∥DN，且 M=DN， A过点 A作AM⊥l，过点 D 作 DN⊥l，则 AMND 是平行四边形， A∴四边形 ∥l， ∴A D 故答案是：平行． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边 形是解题的关键． 24. 为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点 在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 吨水可以比原来多用 5 天，该景点在设施改造后平均每 天用水多少吨？ 【答案】该景点在设施改造后平均每天用水 2 吨． 【解析】 【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水 x 吨，则原来平均每天用水 2x 吨，列出分式方程，即可求 解． 【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水 x 吨，则原来平均每天用水 2x 吨， 20 20 5 ，解得：x=2， 由题意得： x2x 经检验：x=2 是方程的解，且符合题意， 答：该景点在设施改造后平均每天用水 2 吨． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键． 1xOy 25. y x b 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，与反比 2ky (x 0) A 4,0 例函数 的图像交于点 C，连接 ．已知点 ，AB 2BC ．OC x（1）求 b、k 的值； （2）求 的面积． △AOC 【答案】（1）b=2，k=6；（2）6 【解析】 1A 4,0 y x b 得 ： b=2 ， 由 【 分 析 】（ 1 ） 过 点C 作 CD⊥x 轴 ， 则OB∥CD ， 把 代 入 2OA OB 23，得 ，进而即可求解； △AOB∽△ADC DA CD （2）根据三角形的面积公式，直接求解即可． 【详解】解：（1）过点 C 作 CD⊥x 轴，则 OB∥CD， 11A 4,0 y x b 0 4 b ，解得：b=2， 把∴代入 得： 221y x 2 ，21y x 2 令 x=0 代入 ∴OB=2， ，得 y=2，即 B(0，2)， 2∵∴AB 2BC ，OB∥CD， ，△AOB∽△ADC OA OB 234223∴，即： DA CD DA CD ∴DA=6，CD=3 ∴OD=6-4=2， ∴D(2，3)， k3 ∴，解得：k=6； 2121OACD 43 6 （2） 的面积= ．△AOC 2【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及函数 图像点的特征，是解题关键． 26. 通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值， 这是“数形结合”思想的典型应用． 【理解】 AC BC,CD AB （1）如图 1， ，垂足分别为 C、D，E 是 的中点，连接 ．已知 ，CE AD a AB BD b 0 a b ．①分别求线段 、CE CD 的长（用含 a、b 的代数式表示）； ②比较大小： __________ CE （填“＜”、“＝”或“＞”），并用含 a、b 的代数式表示该大小关系． CD 【应用】 1xOy y x 0 （2）如图 2，在平面直角坐标系 中，点 M、N 在反比例函数 的图像上，横坐标分别为 m、 x111p m n,q l pq n．设 ，记 ．mn4m 1,n 2 m 3,n 3 ①当 时， __________；当 l 时， ________； l ②通过归纳猜想，可得 l 的最小值是__________．请利用图 2 构造恰当的图形，并说明你的猜想成立． 12129a b a b 【答案】（1）① ，=；②＞， ＞；（2）① ，1；②l 的最小值是 1， CE CD ab ab 8理由见详解 【解析】 2【分析】（1）①先证明 ，从而得 ，进而得 CD 的值，根据直角三角形的性质， △ADC ∽△CDB CD ab 直接得 CE 的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论； 141114m n pq （2）①把 m，n 的值直接代入 =进行计算，即可；②过点 M 作 x，y 轴的平行 l mn11线，过点 N 作 x，y 轴的平行线，如图所示，则 A(n， )，B(m， )，画出图形，用矩形的面积表示 mn141111m m n n ，进而即可得到结论． mnnmAC BC,CD AB 【详解】解：（1）①∵ ，∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD， 又∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴∴，△ADC ∽△CDB AD CD aCD b，即： ，CD BD CD 2∴，即： （负值舍去）， CD ab CD ab ∵E 是 的中点， AB 11AB a b ∴==；CE 22②∵ ，0 a b ，CD AB 1a b ∴＞CE CD ，即： ＞．ab 2故答案是：＞； 1411141 1 9814m 1,n 2 m n 1 2 pq （2）①当 时， ==，l mn1 2 1411141 1 14m 3,n 3 m n 3 3 1 pq 当时， ==，l mn3 3 9故答案是： ，1； 8②l 的最小值是：1，理由如下： 11由题意得：M(m， )，N(n， )，过点 M 作 x，y 轴的平行线，过点 N 作 x，y 轴的平行线，如图所示， mn11则 A(n， )，B(m， )， mn141114111114m n m m n n pq ==l mnmnnm1=4[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面 积）] 1=[（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积） 4+③的面积] 1=(1+1+1+1+③的面积)≥1， 4∴l 的最小值是 1． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练 掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． xOy 两点，若在 y 轴上存在点 T，使得ATA 90 ，且 27. 在平面直角坐标系 中，对于 A、 AM 2,0 N 1,0 ，则称 A、 两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点 A、，TA TA Q m,n y 2x 1 点在一次函数 的图像上． B 2,0 C 0,1 D 2,2 （1）①如图，在点 、、中，点 M 的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）； P 1,1 ②若在线段 上存在点 的关联点 ，则点 的坐标是_______； MN PPQ（2）若在线段 （3）分别以点 上存在点 Q 的关联点 ，求实数m 的取值范围； MN E 4,2 Q Q E E 、Q 为圆心，1 为半径作 、．若对 上的任意一点 G，在 上总存在 点，使得 G、 两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标． GG5 13 22,0 Q , Q 3,5 m 1 【答案】（1）①B；② ；（2） 或；（3） 或．1 m 0 3 3 3【解析】 A．故先 【分析】由材料可知关联点的实质就是将点 A 绕 y 轴上点 T 顺时针或逆时针旋转 90 度的得到点 找到旋转 90°坐标变化规律，再根据规律解答即可， （1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点 T 坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐 标等于 0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可； Q（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点 ，列不等式求解即可； （3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点 E 坐标求出点 Q 坐标即可． A x, y ，xOy A x, y T 0,a ，点 ，关联点 【详解】解：在平面直角坐标系 中，设 aA x, y a 对应点 0 将点 A、点 A、点 T 向下平移 个单位，点T 对应点与原点重合，此时点 A、点 A、 A x, y a 0 ，∵绕原点旋转 90 度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点 坐标为（-y，x）， A x, y a 0 A y a,x A a y, x 0 ∴绕原点旋转 90 度的坐标对应点坐标为 0 或，x y a y a x x y a A y a,a x 即顺时针旋转时， 或逆时针旋转时， 解得： ，即关联点 ，y a x x a y x a y A a y, x a ，解得： ，即关联点 ，y a x y x a A y a,a x xOy A x, y T 0,a 即：在平面直角坐标系 中，设 ，点 ，关联点坐标为 或A a y, x a ，M 2,0 T 0,a A a,a 2 （1）①由关联点坐标变化规律可知，点 关于在 y 轴上点 的关联点坐标为： A a,2 a 或，a 2 a 2 B 2,0 T 0,2 T 0,2 若点 故点 若点 是关联点，则 是关联点； 或，解得： ，即 y 轴上点 或，a 2 2 a 0 2 a 0 B 2,0 a 0 a 0 C 0,1 C 0,1 是关联点，则 或，无解，故点 不是关联点； 2 a 1 2 a 1 a 2 a 2 D 2,2 D 2,2 若点 是关联点，则 或，无解，故点 不是关联点； 2 a 2 2 a 2 故答案为：B； ②由关联点坐标变化规律可知，点 P 1 a,a 1 P 1,1 T 0,a 关于点 的关联点 的坐标为 或PP a1,a 1 ，P 0,0 a 1 若若a 1 0，解得： ，解得： ，此时即点 ，不在线段 上； MN P 2,0 ，此时即点 ，在线段 上； a 1 0 a 1 MN P 2,0 P 1,1 综上所述：若在线段 上存在点 的关联点 ，则点 MN P2,0 故答案为： ；Q a n,a m 与点 是关于点 QQ m,n T 0,a Q n a,a m Q（2）设点 关联点，则点 坐标为 的图像上，即： n 2m 1 N 1,0 或，Q m,n y 2x 1 又因为点 在一次函数 ，M 2,0 Q点在线段 上，点 、，MN a m=0 n 2m 1 当∴ ，2 n a 1 ∴∴，2 2m 1 m 1 2 m 1 ，3a m=0 n 2m 1 2 a n 1 或，∴，2 2m 1 m 1 当；1 m 0 23Q m 1 综上所述：当 或时，在线段 上存在点 Q 的关联点 ．1 m 0 Q MN E （3）对 上的任意一点 G，在 上总存在点 ，使得G、 两点互相关联， GGT 0,a 的故点 E 与点 Q 也是关于同一点 关联，设该点 ，则 Q m,n T 0,a E n a,a m E a n,a m 设点 与点 是关于点 关联点，则点 坐标为 或，EEQ m,n y 2x 1 又因为 在一次函数 的图像上，即： n 2m 1 ，E 4,2 ∵点 ，5m 313 n 2m 1 n a 4 n 若，解得： ，3a m 2 1a 35 13 Q , 即点 ，3 3 n 2m 1 a n 4 m 3 n 5 a 1 若，解得： ，a m 2 Q 3,5 即点 ，5 13 Q , Q 3,5 综上所述： 或．3 3 【点睛】本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转 90°的点 坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解． 128. y x2 bx 3 xOy y kx k 0 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 和二次函数 的图像都 4A(4,3) OA 经过点 和点 B，过点 A 作 的垂线交 x 轴于点 C．D 是线段 上一点（点 D 与点 A、O、B 不重 AB 合），E 是射线 上一点，且 AE OD ，连接 ，过点 D 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，以 、DE DF AC DE 为邻边作Y DEGF ．k （1）填空： ________，b ________； t(t 0) （2）设点 D 的横坐标是 ，连接 ．若FGE DFE ，求 t 的值； EF 1S SDEGF （3）过点 F 作 的垂线交线段 于点 P．若 DE ，求 的长． OD AB DFP 33115 36 15 177 【答案】（1） ，1；（2） ；（3） t 42【解析】 A(4,3) 【分析】（1）把 分别代入一次函数解析式和二次函数解析式，即可求解； 3411732t t2 t 3 t2 t （2）先证明 EF=ED，结合 D(t， )，F(t， )，可得点 E 的纵坐标为： ，过 488EM AE 45cosAOC cosAEM 点 A 作 AM⊥EG，延长 GE 交 x 轴于点 N，由 ，从而得 17323 t2 t 4588，进而即可求解； 54tDP DC 23DQ DP 23DQ DH 332DQ =（3）先推出 ，由 FP∥AC，得 ，结合 ，可得 DA= DA DC DF OD 53 3 11 t2 t 3 ，结合 DA+OD=5，列出方程，即可求解． 2 5 4434A(4,3) y kx k 0 k 得：3 4k ，解得： 【详解】解：（1）把 A(4,3) 代入 ，11y x2 bx 3 3 42 4b 3 把代入 得： ，解得：b=1， 443故答案是： ，1； 4（2）∵ Y DEGF 中， ，FGE FDE 在∵∴FGE DFE ，=，DFE FDE ∴EF=ED， 31 t2 t 3 t(t 0) t∵设点 D 的横坐标是 ，则 D(t， )，F(t， )， 443411732t t2 t 3 t2 t ∴点 E 的纵坐标为：（ ）÷2= ，4881y x2 x 3 x 3 x 4 4联立 ，解得： 或，93y 3 y y x44∴A(4，3)， ∴ 过点A 作 AM⊥EG，延长 GE 交 x 轴于点 N，则∠AEM=∠NEC=∠AOC， EM AE 45cosAOC cosAEM ∴，2 35t2 t t 又∵ AE OD =，441733 t2 t 415 177 15 177 ，882∴，解得： （舍去）或 t t 54522t15 177 ∴；t 21DP DC 23S SDEGF （3）当 时，则 ，DFP 3∵⊥FP，AB⊥AC， AB ∴FP∥AC， DQ DP 23∴，DA DC ∵∠FDQ=∠ODH， 3ttDQ DH 3545cosFDQ cosODH ∴，DF OD 41311 t2 t 3 t t2 t 3 又∵DF= -=，44443∴DQ= 511 t2 t 3 ，443 3 113∴DA= 2 t2 t 3 DQ =，2 5 44∵DA+OD=5， 3 3 115423 9 t2 t 3 tt ∴+=5，解得： 或（舍去）， t 4 2 5 4454115 36 t∴OD= =．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，根据题意画出图形，添加合适的辅助线，熟练掌握锐 角三角函数的定义，平行四边形的性质，是解题的关键．
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