江苏省南京市 2021 中考数学试卷 注意事项 1.本试卷共 6 页，全卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟，考生答题全部答在答题卡上，首在 本试卷上无效． 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自 己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3.答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用像皮擦干净后， 再选涂其他答案，答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其 他位置答题一律无效 4.作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 截至 2021 年 6 月 8 日，31 个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超 过 800000000 次，用科学记数法表示 800000000 是（ A. B. ）0.8109 8108 8109 0.81010 C. D. A【答案】 【解析】 1【分析】先确定原数的整数位数，再将原数的整数位数减去 得到 10 的指数，最后按照科学记数法的书写 规则确定即可． 8800000000= 【详解】解： ；810 A故选： ． 【点睛】本题考查了科学记数法，解决本题的关键是牢记科学记数法的表示方法，本题是基础题，考查了 学生对书本概念的理解与掌握． 3计算 a2 a3 的结果是（ ）2. a2 a3 a5 a9 D. A. B. C. B【答案】 【解析】 【分析】直接利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可． 63 3=【详解】解：原式 ；a ·a a B故选： ． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的运算法则，其中涉及到了负整数指数幂等知识，解决本题的关 键是牢记相应法则，并能够按照正确的运算顺序进行计算即可，本题较为基础，考查了学生的基本功． 3. 下列长度的三条线段与长度为 5 的线段能组成四边形的是（ B. C. ）A. D. 2，2，2 1，1，1 1，1，8 1，2，2 D【答案】 【解析】 【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成． 【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于 5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于 8，根据两点间距离最短即知，此选项错误； C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于 5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于 5，根据两点间距离最短即知，此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而 较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三 条线段的和大于最长的线段即可． 的北京与莫斯科 时差为5 小时，例如，北京时间 13：00，同一时刻的莫斯科时间是 8：00，小丽和小红 4. 分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间 9：00~17：00 之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以 是北京时间（ ）A. 10：00 B. 12：00 C. 15：00 D. 18：00 C【答案】 【解析】 【分析】根据北京与莫斯科的时差为 5 小时，二人通话时间是 9：00~17：00，逐项判断出莫斯科时间，即 可求解． 【详解】解：由北京与莫斯科的时差为 5 小时，二人通话时间是 9：00~17：00， 所以 A. 当北京时间是 10：00 时，莫斯科时间是 5:00，不合题意； B. 当北京时间是 12：00 时，莫斯科时间是 7:00，不合题意； C. 当北京时间是 15：00 时，莫斯科时间是 10:00，符合题意； D. 当北京时间是 18：00 时，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了有理数减法的应用，根据北京时间推断出莫斯科时间是解题关键． n5. 一般地，如果 （n 为正整数，且 ），那么 x 叫做 a 的 n 次方根，下列结论中正确的是（ ）n 1 x a A. 16 的 4 次方根是 2 B. 32 的 5 次方根是 2 C. 当 n 为奇数时，2 的 n 次方根随 n 的增大而减小 D. 当 n 为奇数时，2 的 n 次方根随 n 的增大而增大 C【答案】 【解析】 【分析】根据题意 n 次方根，列举出选项中的 n 次方根，然后逐项分析即可得出答案． 44，【详解】A. 16 的 4 次方根是 ，故不符合题意； (2) =16 2 2 =16 55，32 的 5 次方根是 2，故不符合题意； B. ，(2) 32 2 32 35C.设 x 2, y 2, 则x15 25 32, y15 23 8, x 1, y 1, x15 y15 , x y, 且当 n 为奇数时，2 的 n 次方根随 n 的增大而减小，故符合题意； D.由 的判断可得： 错误，故不符合题意． CD故选 ．C【点睛】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意 x 是 否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键． 6. 如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面 垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到 符合题意的选项 【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面， 则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些， 故选 D 【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例 是解题的关键． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 2 2 7. ________； ________． ①. ②. 【答案】 2-2 【解析】 【分析】根据相反数的意义和绝对值的意义即可得解． 2 2； 【详解】解： 2 -2． 故答案为 2，-2． 【点睛】本题考查了相反数和绝对值．掌握相反数的意义和绝对值的意义是解题的关键． 8. 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是________． 5x 【答案】x≥0 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到 5x≥0，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意得 5x≥0， 解得 x≥0． 故答案为：x≥0 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”是解题关 键． 99. 计算 的结果是________． 8 222【答案】 【解析】 9【分析】分别化简 和，再利用法则计算即可． 82322=【详解】解：原式 ；2 2 2 22故答案为： ．2【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，涉及到二次根式的化简等知识，解决本题的关键是牢记二次根 式的性质和计算法则等． 2x , x x 2x k 10. _______ ．设是关于 x 的方程 的两个根，且 2 ，则 x 3x k 0 1212【答案】 【解析】 3【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于 ，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k 的值即 可． x x 3 x ·x k ，【详解】解：由根与系数的关系可得： ，1212x 2x ∵∴∴，123x 3 ，2x 1 ，，2x 2 ∴∴1;k 12 2 2故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方 bacax2 bx c 0 a 0 程，其两根之和为 ，两根之积为 ．aAO, AB 11. 如图，在平面直角坐标系中，AOB 的边 的中点 C，D 的横坐标分别是 1，4，则点 B 的横坐 _______ 标是 ．【答案】6 【解析】 【分析】根据中点的性质，先求出点 A 的横坐标，再根据 A、D 求出 B 点横坐标． 【详解】设点 A 的横坐标为 a，点 B 的横坐标是 b； AO, AB C 的横坐标是 1 ，C，D 是 的中点 O 点的横坐标是 0， 1 (a 0) 1 得得a 2 b 6 21 (2 b) 4 2点 B 的横坐标是 6． 故答案为 6． 【点睛】本题考查了中点的性质，平面直角坐标系，三角形中线的性质，正确的使用中点坐标公式并正确 的计算是解题的关键． 12. O AB 8cm,CD 2cm O 如图， 是的弦，C 是 的中点， 交于点 D．若 AB ，则 的半 OC AB AB cm 径为________ ．【答案】5 【解析】 【分析】连接 OA，由垂径定理得 AD=4cm，设圆的半径为 R，根据勾股定理得到方程 R2 42 (R 2)2 ，求解即可 【详解】解：连接 OA， ∵C 是 的中点， AB ∴OC AB 1AD AB 4cm ∴2O 设∵的半径为 R， CD 2cm OD OC CD (R 2)cm ∴在RtOAD 中， 2 ，即 R2 42 (R 2)2 ，22OA AD OD 解得， R 5 O 即的半径为 5cm 故答案为：5 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出 OC 是 AB 的垂直平分线是解答此题的关 键． 6y kx AC / / y 轴，则 13. y 如图，正比例函数 与函数 的图像交于 A，B 两点， BC // x 轴， xSABC ________． 【答案】12 【解析】 【分析】先设出 A 点坐标，再依次表示出 B、C 两点坐标，求出线段 BC 和 AC 的表达式，最后利用三角形 面积公式即可求解． 6【详解】解：设 A（t， ）, t6y kx y ∵正比例函数 与函数 的图像交于 A，B 两点， x6∴B（-t，- ）, tAC / / y 轴， ∵BC // x 轴， 6∴C（t，- ）, t116 6 12 S BC AC t t t 12 ∴；ABC 22ttt故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的图像与性质、用平面直角坐标系内点的坐标表示线段长、 三角形面积公式等内容，解决本题的关键是抓住反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们关于原 点对称，能正确表示平面内的点的坐标，能通过坐标计算出线段长等． 14. FA,GB, HC, ID, JE ABCDE 是五边形 的外接圆的切线，则 如图， BAF CBG DCH EDI AEJ ______ ．180 【答案】 【解析】 的【分析】由切线 性质可知切线垂直于半径，所以要求的5 个角的和等于 5 个直角减去五边形的内角和的 一半． ABCDE 【详解】如图：过圆心连接五边形 的各顶点， 则OAB OBC OCD ODE OEA OBA OCB ODC OED OAE 1 (5 2)180 270 2BAF CBG DCH EDI AEJ 590 (OAB OBC OCD ODE OEA) 450 270 ．180 180 故答案为： ．(n 2)180 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，多边形的内角和公式 （n 为多边形的边数）,由半径相 等可得“等边对等角”，正确的理解题意作出图形是解题的关键． ______（用含 的代数式 15. 如图，在四边形 中， ．设 ABC ，则 ABCD AB BC BD ADC 表示）． 1180 2【答案】 【解析】 1190 ABD 90 CBD 【分析】由等腰的性质可得：∠ADB= ，∠BDC= ，两角相加即可得到结 22论． 【详解】解：在△ABD 中，AB=BD 112(180 ABD) 90 ABD ∴∠A=∠ADB= 2在△BCD 中，BC=BD 11(180 CBD) 90 CBD ∴∠C=∠BDC= 22∵∴ABC ABD CBD ADC ADB CBD 1190 ABD 90 CBD ====212180 (ABD CBD) 21180 ABC 21180 21180 故答案为： ．2190 ABD 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出∠ADB= ，2190 CBD ∠BDC= 是解答本题的关键． 2 与 交于点 AB C D 16. 如图，将ABCD 绕点 A 逆时针旋转到 的位置，使点 落在 BC 上， CD BB C AB 3, BC 4, BB 1 E，若 ，则 的长为________． CE 9【答案】 【解析】 85 交 于点 M，证明 求得 ，根据 AAS 证明 C D 【分析】过点 C 作 CM// C DB C ABB ∽ADD 3可求出 CM=1，再由 CM// 证明△ ，由相似三角形的性质查得结 ABB B CM C D CME∽DC E 论． 【详解】解：过点 C 作 CM// 交 于点 M， C DB C ∵平行四边形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到平行四边形 AB C D AD AD , B AB C D D ， ∴，AB AB BAD B AD ∴∴，B D BAB DAD ABB ∽ADD BB AB AB 3∴ , DD AD BC 4∵∴∴BB 1 4DD 3C D C D DD CD DD AB DD 4 3 353ABC ABC CBM ABC BAB ∴∠ CB M BAB ∵B C BC BB 4 1 3 ∴∵B C AB AB AB ∴∠ ABB AB B AB C ∵，AB / /C DC D/ /CM ∴AB / /CM ∴∠ AB C B MC ∴∠ 在AB B B MC 和中， B MC ABB BAB CB M AB B B MC AB B C ∴ABB B CM ∴∵BB CM 1 CM / /C D ∴△ CME∽DC E CM CE 15335∴DC DE CE CD 3∴∴833398CE CD AB 3 88898故答案为： ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判 定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 1 2 x 1 3 17. 解不等式 ，并在数轴上表示解集． 【答案】 x 2 ，数轴上表示解集见解析 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤，直接求解即可． 1 2 x 1 3 详解】 【去括号：1 2x 2 3 移项： 2x 31 2 合并同类项： 2x 4 化系数为 1： x 2 解集表示在数轴上： 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，数轴上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解法和 一元一次方程的解法相似，注意最后一步化系数为 1 的时候，不等号是否要改变方向；正确的计算和在数 轴上表示出解集是解题关键． 2×18. 1 解方程 ．x 1 x 1 【答案】 x 3 【解析】 x 1 x 1 【分析】先将方程两边同时乘以 ，化为整式方程后解整式方程再检验即可． 2x1 【详解】解： ，x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x x1 ，22，2x 2 x 1 x x x 3 ，x 1 x 1 x 1 x 1 0 检验：将 x 3代入 中得， ，∴是该分式方程的解． x 3 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程 化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为 1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验 等． a2ba b ab 19. 计算 ．b2 ab a b a2 ab a b a b 【答案】 【解析】 【分析】先对括号里的分式进行通分，将通分后的分式进行合并，将合并后的结果与最后一项分式相除， 将除法运算转化为乘法运算，最后约分化简后即可得到计算结果． a2bab 【详解】解：原式= b a b a b aa b a b a2 2ab b2 ab =ab a b aba b aba b a b a2 2ab b2 ab =ab a b a b 2a b ab ==ab a b ab a b a b ．【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是找到最简公分母，能正确进行分式之间的通 分，同时应牢记相应计算法则，并能灵活运用等． 20. OA OD,ABO DCO ，E 为 BC 延长线上一点，过点 E 作 如图， 与交于点 O， AC BD ，交 的延长线于点 F． EF / /CD BD △AOB≌△DOC （1）求证 ；AB 2, BC 3,CE 1 （2）若 ，求 的长． EF 8EF 【答案】（1）证明见解析；（2） 3【解析】 【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可； （2）先分别求出 BE 和 DC 的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可． OA OD,ABO DCO 【详解】解：（1）∵ ，又∵ ，AOB DOC △AOB ≌△DOC AAS ∴；△AOB ≌△DOC AAS AB 2, BC 3,CE 1 （2）∵ ，∴，AB DC 2 BE BC CE 31 4 ，∵，EF / /CD ∴，BEF∽BCD EF BE ∴，CD BC EF 438∴∴∴，2EF ，383的长为 ．EF 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等， 解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的 几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等． 21. 某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样，获得了 100 个 家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如下表： 12……25 26 4.5 4.5 ……50 51 6.4 6.8 ……75 76 11 13 ……99 100 序号 /t 1.3 1.3 25.6 28 月均用水量 （1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为 9.2t ，你对它与中位数的差异有什么看法？ （2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按 1.5 倍价格收费，若要使 75% 的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？ 1【答案】（ ） 6.6t 2 ；差异看法见解析；（ ） a t （其中 为标准用水量，单位：） 11 a 13 【解析】 1【分析】（ ）从中位数和平均数的定义和计算公式的角度分析它们的特点即可找出它们差异的原因； 2（ ）从表中找到第 75 76 和第 户家庭的用水量，即可得到应制定的用水量标准数据． 1【详解】解：（ ）由表格数据可知，位于最中间的两个数分别是 6.4 6.8 和 ， 6.4 6.8 ∴ 6.6 t（ ）， 中位数为： 2而这组数据的平均数为 9.2t， 它们之间差异较大，主要是因为它们各自的特点决定的，主要原因如下： ①因为平均数与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；主要缺点是易受极端 值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平 均数会降低。 ②中位数将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是 这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数，它的求出不 需或只需简单的计算，它不受极端值的影响； 这 100个数据中，最大的数据是 28，最小的是 1.3，因此平均数受到极端值的影响，造成与中位数差异较 大; （2）因为第 75户用数量为 11t，第 76户用数量为 13t，因此标准应定为 量，单位：t）． （其中 a 为标准用水 11 a 13 【点睛】本题考查了学生对中位数和平均数的概念的理解以及如何利用数据作出决断等，解决本题的关键 是能读懂题意，正确利用表格中的数据特点进行分析，本题较基础，答案较开放，因此考查了学生的语言 组织与应用的能力． 22. 不透明的袋子中装有 2 个红球、1 个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出 1 个球，放回并摇匀，再随机摸出 1 个球．求两次摸出的球都是红球的概率． （2）从袋子中随机摸出 1 个球，如果是红球，不放回再随机换出 1 个球；如果是白球，放回并摇匀，再随 机摸出 1 个球．两次摸出的球都是白球的概率是________． 417【答案】（1） ；（2） ．9【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结 果数，再利用概率公式即可求得答案； （2）方法同（1），注意第一次摸到白球要放回，其余颜色球不放回． 【详解】解：（1）画树状图得， ∴共有 9 种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为 4次， 4∴两次摸出的球都是红球的概率为： ；9（2）画树状图得， ∴共有 7 种等可能的结果数，两次摸出的球都是白球的结果数为 1 次， 1∴两次摸出的球都是白球的概率为： ；717故答案为： 【点睛】此题考查了画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 如图，为了测量河对岸两点 A，B 之间的距离，在河岸这边取点 C，D．测得CD 80m ，A，B，C，D 在同一平面内， ．） BDC 5619 ，设 ACD 90 ，BCD 45 ，ADC 1917 ，tan1917 0.35,tan5619 1.50 求 A，B 两点之间的距离．（参考数据： 【答案】52m 【解析】 【分析】作 BE⊥CD 于 E，作 BF⊥CA 交 CA 延长线于 F．先证明四边形 CEBF 是正方形，设 CE=BE=xm， 根据三角函数表示出 DE，根据CD 80m 列方程求出 CE=BE=48m，进而求出 CF=BF=48m，解直角三角 形 ACD 求出 AC，得到 AF，根据勾股定理即可求出 AB，问题得解． 【详解】解：如图，作 BE⊥CD 于 E，作 BF⊥CA 交 CA 延长线于 F． ∵∠FCD=90°， ∴四边形 CEBF 是矩形， ∵BE⊥CD， ，BCD 45 ∴∠BCE=∠CBE=45°， ∴CE=BE， ∴矩形 CEBF 是正方形． 设 CE=BE=xm， 在 Rt△BDE 中， BE x2DE ≈ x m， tan BDE tan5619 3∵∴CD 80m ，2x x 80 ，3解得 x=48， ∴CE=BE=48m， ∵四边形 CEBF 是正方形， ∴CF=BF=48m， ∵在 Rt△ACD 中， m， AC CDtan ADC 80 tan1917 ≈800.35=28 ∴AF=CF-AC=20m， 2222∴在 Rt△ABF 中， m， AB AF BF 20 48 52 ∴A，B 两点之间的距离是 52m． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用，理解题意，添加辅助线构造正方形和直角三角形是解题关键． 24. 甲、乙两人沿同一直道从 A 地去 B 地，甲比乙早 出发，乙的速度是甲的 2 倍．在整个行程中，甲 1min y离 A 地的距离 （单位：m）与时间 x（单位： ）之间的函数关系如图所示． min 1y（1）在图中画出乙离 A 地的距离 2 （单位：m）与时间 x 之间的函数图； （2）若甲比乙晚 到达B 地，求甲整个行程所用的时间． 5min 【答案】（1）图像见解析；（2）12 min 【解析】 【分析】（1）根据甲乙的速度关系和甲比乙提前一分钟出发即可确定乙的函数图像； （2）设甲整个行程所用的时间为 x ，甲的速度为 v m / min ，利用甲乙的路程相同建立方程，解方程即 min 可． 【详解】解：（1）作图如图所示： ；（2）设甲整个行程所用的时间为 x ，甲的速度为 v m / min ， min xv 2v x15 ∴，解得： ，x 12 ∴甲整个行程所用的时间为 12 ．min 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，要求学生能根据问题情境绘制出函数图像，能建立相等关系， 列出方程等． 25. O O 如图，已知 P 是 外一点．用两种不同的方法过点 P 作 的一条切线．要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】答案见解析． 【解析】 O 【分析】方法一：作出 OP 的垂直平分线，交 OP 于点 A，再以点 A 为圆心，PA 长为半径画弧，交 点 Q，连结 PQ，PQ 即为所求． 于方法二：作出以 OP 为底边的等腰三角形 BPO，再作出∠OBP 的角平分线交 OP 于点 A，再以点 A 为圆心， O PA 长为半径画弧，交 于点 Q，连结 PQ，PQ 即为所求． 【详解】解： 1作法：连结 PO，分别以 P、O 为圆心，大于 PO 的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交 PO 于点 A； 2O 以点 A 为圆心，PA 长为半径画弧，交 于点 Q，连结 PQ，PQ 即为所求． 1作法：连结 PO，分别以 P、O 为圆心，以大于 PO 的长度为半径画弧交 PO 上方于点 B，连结 BP、BO； 21以点 B 为圆心，任意长为半径画弧交 BP、BO 于 C、D 两点，分别以于 C、D 两点为圆心，大于 CD 的 2长度为半径画弧交于一点，连结该点与 B 点，并将其反向延长交 PQ 于点 A，以点 A 为圆心，PA 长为半径 O 画弧，交 于点 Q，连结 PQ，PQ 即为所求． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法， 圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性 质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 已知二次函数 y ax2 bx c的图像经过 （1）求 b 的值． （2）当 c 1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________． 两点． 2,1 , 2,3 26. m,0 1 m 3 时，结合函数的图像，直接写出 a 的取值 （3）设 是该函数的图像与 x 轴的一个公共点，当 范围． 45a 0 a 或【答案】（1） 【解析】 ；（2）1；（3） ．b 1 2,1 , 2,3 【分析】（1）将点 代入求解即可得； （2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得； a 0 两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得． （3）分 和a 0 4a 2b c 1 代入 y ax2 bx c得： ，2,1 , 2,3 【详解】解：（1）将点 4a 2b c 3 两式相减得： ，4b 4 解得 ；b 1 （2）由题意得： ，a 0 11y ax2 x c a(x )2 c 由（1）得： ，，2a 4a 1c 则此函数的顶点的纵坐标为 ，4a y ax2 x c 2,3 将点 解得 则代入 得： 4a 2 c 3 ，4a c 1 11c c ，4a c 1 x , y x y 2 x y 下面证明对于任意的两个正数 0 ，都有 ，00000( x y )2 x y 2 x y 0 ，000000x y x0 y0 2 x0 y0 （当且仅当 0 时，等号成立）， 0当c 1时， ，c 1 0 1111c 1 则（当且仅当 ，即 c = 0 时，等号成立）， c c c 1 1 2 (c 1) 11 c 1 c 1 c 1 c 1 11 即，4a 故当 c 1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是 1； （3）由 得： ，4a 2 c 3 c 4a 1 则二次函数 解析式为y ax2 x 4a 1(a 0) ，的由题意，分以下两种情况： y 0 y 0 a 0 ①如图，当 时，则当 时， ；当 x 3时， ，x 1 a 1 4a 1 0 9a 3 4a 1 0 即，a 0 解得 ；②如图，当 时， a 0 y a 1 4a 1 3a 0 当时， ，x 1 y 9a 3 4a 1 0 当x 3时， ，4a 解得 ，54a综上， 的取值范围为 a 0 a 或．5【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关 键． 27. 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ 的中点，点 A 在底面圆周上， 的长为 （1）如图①，圆锥的母线长为12cm ，B 为母线 ．在 OC 4cm AC 图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路径，并标出它的长（结果保留根 号）． （2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O 是圆锥的顶点，点 A 在圆柱的底面圆周上．设 圆锥的母线长为 l，圆柱的高为 h． ①蚂蚁从点 A 爬行到点 O 的最短路径的长为________（用含 l，h 的代数式表示）． ②设 的长为 a，点 B 在母线 上， ．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点 A OC OB b AD 爬行到点 B 的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路． 【答案】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解析． 【解析】 【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接 OA，AC，可以利用弧长与母线长求出 ∠AOC，进而证明出△OAC 是等边三角形，利用三角函数即可求解； （2）①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点 A 爬到圆锥底 面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高 h 加上圆锥的 母线长 l； ②如图，根据已知条件，设出线段 GC 的长后，即可用它分别表示出 OE、BE、GE、AF，进一步可以表示 出 BG、GA，根据 B、G、A 三点共线，在 Rt△ABH 中利用勾股定理建立方程即可求出 GC 的长，最后依次 代入前面线段表达式中即可求出最短路径长． 的【详解】解：（1）如图所示，线段 AB 即为蚂蚁从点 A 爬行到点 B 最短路径； 设∠AOC=n°， 的长为 ∵圆锥的母线长为12cm ，，4cm AC 12n =4 ∴∴，180 n 60 ；连接 OA、CA， ∵，OA OC 12 OAC ∴是等边三角形， ∵B 为母线 的中点， OC ∴，AB OC °∴．AB OAsin 60=6 3 （2）① 蚂蚁从点 A 爬行到点 O 的最短路径为：先沿着过 A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周 上，再沿圆锥母线爬到顶点 O 上，因此，最短路径长为 h+l ② 蚂蚁从点 A 爬行到点 B 的最短路径的示意图如下图所示，线段 AB 即为其最短路径（G 点为蚂蚁在圆柱 上底面圆周上经过的点，图中两个 C 点为图形展开前图中的 C 点）； 求最短路径的长的思路如下：如图，连接 OG，并过 G 点作 GF⊥AD，垂足为 F，由题可知， ，GF=h， OB=b， OG OC l 由 的长为 a，得展开后的线段 AD=a，设线段 GC 的长为 x，则 的弧长也为 x，由母线长为 l，可求 GC AD 出∠COG， 作 BE⊥OG，垂足为 E， 因为 OB=b，可由三角函数求出 OE 和 BE，从而得到 GE，利用勾股定理表示出 BG， 接着由 FD=CG=x，得到 AF=a-x，利用勾股定理可以求出 AG， 将 AF+BE 即得到 AH，将 EG+GF 即得到 HB， 因为两点之间线段最短，∴A、G、B 三点共线， 22利用勾股定理可以得到： 2 ,进而得到关于 x 的方程，即可解出 x， AB AH BH 将 x 的值回代到 BG 和 AG 中，求出它们的和即可得到最短路径的长． 【点睛】本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题， 解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式 不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法．
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