广西百色市2021年中考真题数学试卷（解析版）

2021 年广西百色市中考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. ﹣2022 的相反数是（ A. ﹣2022 ）B. 2022 C. ±2022 D. 2021 【答案】B 【解析】【分析】根据相反数的定义：相反数是符号不同，数字相同的两个数；改变-2022 前面的符号，即可得-2022 的相反数，再与每个选项比较得出答案．【详解】解：由相反数的定义得，-2022 的相反数是 2022，故选 B．【点睛】本题考查了相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号． 2. 如图，与∠1 是内错角的是（）A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 【答案】C 【解析】【分析】根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两个角，解答即可．【详解】根据内错角的定义，得：∠1 是内错角的是故选：C ．4 的【点睛】本题主要考查了内错角定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义． 3. 骰子各面上的点数分别是 1，2，…，6，抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是（）141612A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 12【分析】根据概率公式知，6 个数中有 3 个偶数，故掷一次骰子，向上一面的点数为偶数的概率是．【详解】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有 6 种情况，其中有 3 种为向上一面的点数为偶数， 1236故其概率是＝．故选：A．【点睛】本题主要考查了概率的求法的运用，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其 m中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）＝，难度适中． n4. 已知∠α＝25°30′，则它的余角为（）A. 25°30′ B. 64°30′ C. 74°30′ D. 154°30′ 【答案】B 【解析】【分析】根据互为余角相加等于【详解】解：∵∠α＝25°30′，以及度分秒的进率计算即可． 90 ∴它的余角为90 2530  6430 ，故选：B．【点睛】本题主要考查余角的性质以及度分秒的计算，熟知度分秒的进率为 60 是解题的关键． 12的解是（ 5. 方程＝）． x3x 3 A. x＝﹣2 【答案】D 【解析】 B. x＝﹣1 C. x＝1 D. x＝3 【分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案． 12【详解】∵ ＝x3x 3 ∴∴3x 3  2x x  3 x经检验，当 x  3时，与3x  3 均不等于 0 12∴方程＝的解是：x＝3 x3x 3 故选：D．【点睛】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解． 6. 一组数据 4，6，x，7，10 的众数是 7，则这组数据的平均数是（）A. 5 B. 6.4 C. 6.8 D. 7 【答案】C 【解析】【分析】先根据众数的定义求出 x 的值，再根据平均数的计算公式列式计算即可．【详解】解：∵数据 4、6、x、7、10 的众数是 7， ∴x=7， ∴这组数据的平均数是（4+6+7+7+10）÷5=6.8；故答案为：C．【点睛】此题考查了众数和平均数，根据众数的定义求出 x 的值是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数． 7. 下列各式计算正确的是（ A. 33＝9 ）B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. （2a2b）3＝8a8b3 C. 2 ＋3 ＝5 222【答案】C 【解析】【分析】分别根据有理数的乘方、二次根式的计算法则和整式的乘法计算法则进行计算判断即可得到答案. 3【详解】解：A、，此选项错误；，此选项错误； 3 =27 2a b  a2  2ab  b2 B、 C、 D、，此选项正确； 2 2 3 2 5 2 32a2b  8a6b3 ，此选项错误. 故选 C. 【点睛】本题主要考查了二次根式的加法运算和整式的乘法运算，解题的关键在于熟练的掌握相关知识进行求解. 8. 下列展开图中，不是正方体展开图的是（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据正方体的展开图特征解题．【详解】解：A.是正方体的展开图，故 A 不符合题意； B.是正方体的展开图，故 B 不符合题意； C.是正方体的展开图，故 C 不符合题意； D.不是正方体的展开图，故 D 符合题意，故选：D．【点睛】本题考查正方体的展开图，熟知正方体的 11 种展开图是解题关键． 9. 如图，在⊙O 中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦 AB 的端点 A、B 为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点 M；（2）作直线 OM 交 AB 于点 N．若 OB＝10，AB＝16，则 tan∠B 等于（）35344543A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 OM 【分析】根据尺规作图的作法，可得解答．垂直平分，在中，利用勾股定理求出 ON，即可 Rt△OBN AB OM 【详解】解：根据尺规作图的作法，得：垂直平分，AB 1BN  AB 即，2∵AB＝16， 1∴，BN  16  8 2在∴中，OB 10 ，Rt△OBN ON  OB2  BN2  102  82  6 ，ON BN 6834∴t an  B  选故：B 【点睛】本题主要考查了尺规作图—垂直平分线的作法和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作法和用勾股定理解直角三角形及求锐角三角函数值． 3×2  27 10. 当 x＝﹣2 时，分式的值是（）9  6x  x2 A. ﹣15 B. ﹣3 C. 3 D. 15 【答案】A 【解析】【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答 x  2 案. 3×2  27 【详解】解： 9  6x  x2 3 x2  9 2x  3 3 x  3 x  3  x  3 23 x  3 x  3 把代入上式中 x  2 3 2 3 原式  15 2  3 故选 A. 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算. 11. 下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是 1：3，则它们的周长比是 1：3，面积比是 1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．其中真命题有（）A. ①③ B. ①④ C. ③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】【分析】根据有关性质，对命题逐个判断即可．【详解】解：①直径是圆的对称轴，直径为线段，对称轴为直线，应该是直径所在的直线是圆的对称轴，为假命题； ②若两个相似四边形的相似比是 1：3，面积比是 1：9，而不是 1：6，为假命题； ③根据平行和垂直的有关性质，可以判定为真命题； ④根据正方形的判定方法，可以判定为真命题；故答案选 C．【点睛】此题考查了命题的判定，熟练掌握命题有关内容的基础知识是解题的关键． 12. 如图，矩形 ABCD 各边中点分别是 E、F、G、H，AB＝2 ，BC＝2，M 为 AB 上一动点，过点 M 作 3直线 l⊥AB，若点 M 从点 A 开始沿着 AB 方向移动到点 B 即停（直线 l 随点 M 移动），直线 l 扫过矩形内部和四边形 EFGH 外部的面积之和记为 S．设 AM＝x，则 S 关于 x 的函数图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】把 M 点的运动过程分为 AE 段（）和 BE 段（）两个过程，然后根据题 0  x  3 3  x  2 3 S  S S  S  S△GHD  S△EOM  S △GPS ，分别表示出四个三角形的面积即可用 x 表示出 S；同意可知在 AE 段理当在 BE 段时 △HAE  S△GHD  S△EO M S△GPS ，分别表示出四个三角形的面积即可用 x 表示出 S； △HAE 111 1 最后根据 x 与 S 的函数关系式对图像进行判断即可【详解】解：如下图所示，当 M 点的运动过程在 AE 段 S  S  S△GHD  S△EOM  S△GPS 则由题意可知 △HAE ∵四边形 ABCD 是矩形，直线 l⊥AB，H、E、F、G 为 AD、AB、BC、CD 的中点 S△HAE =S△GHD S△EOM =S△GPS ，∴∴∵S  2S  2S△EOM △HAE 1111S= AEAH AH  AD  BC  1 AE  AB  3 ，，△HAE 222213∴S△HAE = AEAH= 22∵直线 l⊥AB ∴∠OME=∠A=90° ∴△HAE∽△OME AH OM ∴AE ME 3∴OM  ME 3又∵ ME  AE  AM  3  x 33∴∴∴OM  ME  3  x 33213S△EOM  OM ME  3  x 2623S  2S△HAE  2S△EOM  3  3  x 3如下图所示，当 M 点的运动过程在 BE 段 S  S  S△GHD  S△EO M S△GPS 同理当在 BE 段时 △HAE 111 1 S  2S  2S△EO M 即△HAE 113同理可以得到 O1M1  M1E 3M1E  AM1  AE  x  3 33∴∴∴O1M1  M1E  x  3 33213S△EO M O1M1M1E  x  3 112623S  2S△HAE  2S△EO M 3  x  3 11323综上所述当 M 点的运动过程在 AE 段时，二次函数开口向下； S  2S△HAE  2S△EOM  3  3  x 323当 M 点的运动过程在 BE 段时，二次函数开口向上 S  3  x  3 3故选 D. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 213. 的倒数是________． 33【答案】【解析】 2【分析】根据倒数的定义：乘积为 1 的两个数互为倒数解答即可． 232【详解】解：因为互为倒数的两个数的乘积为 1，所以的倒数是．33故答案为：．2【点睛】本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是要掌握倒数的定义． 14. 某公司开展“爱心公益”活动，将价值 16000 元的物品捐赠给山区小学，数据 16000 用科学记数法表示为________． 4【答案】 1.610 【解析】 a10n 1 a 10 的【分析】科学计数法表示形式为，其中 n 为整数；将 16000 可以看成是1.610000 ，然后改成对应的科学记数法即可得到答案. 【详解】解：∵16000=1.610000 4∴16000=1.610 4故答案为： .1.610 【点睛】本题主要考查了科学记算法的表示方法，解题的关键在于确定 a、n 的值. 15. 如图，是一组数据的折线统计图，则这组数据的中位数是____．【答案】9 【解析】【分析】根据中位数的定义，按从小到大的顺序排列，即可计算得到．【详解】解：按从小到大的顺序排列得：4，8，9，11，12．则中间位置的是：9 故答案是：9 【点睛】本题主要考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 16. 实数的整数部分是______． 105 【答案】10 【解析】【分析】根据【详解】解：即，即可得出的整数部分． 10＜ 105＜11 105 ， 100＜ 105＜ 121 ，10＜ 105＜11 ∴的整数部分为 10， 105 故答案为：10．【点睛】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是确定无理数位于哪两个整数之间． 17. 数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点 P 处时，与平台中心 O 点的水平距离为 15 米，测得塔顶 A 点的仰角为 30°，塔底 B 点的俯角为 60°，则电视塔的高度为 _________米．【答案】【解析】 20 3 【分析】根据题意可知：，，，，然后分别在 RtAPO AB  OP OP  15m APO  30 BPO  60 中在 RtBPO 中，利用锐角三角函数求解即可．【详解】解：根据题意可知： ，，，，AB  OP OP  15m APO  30 BPO  60 3在RtAPO 中， RtBPO 中，，AO  OP  t an APO  15  t an 30 15   5 3 3在∴，BO  OP  t an BPO  15  t an 60 15  3  15 3 ，AB  AO  BO  5 3 15 3  20 3 即电视塔的高度为米． 20 3 故答案为： 20 3 【点睛】本题主要考查了利用特殊角锐角三角函数值解直角三角形，解题的关键是熟练掌握特殊角锐角三角函数值． 18. 如图，△ABC 中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D，则点 D 是线段 AB 的黄金分割点．若 AC＝2，则 BD＝______．【答案】【解析】 3 5 【分析】先根据 AB=AC，∠B=72°求出∠A 的度数，再根据 CD 是∠CAB 的角平分线得到∠A=∠ACD，即 AD=CD，再根据大角对大边得到 AD>BD，最后利用黄金分割公式计算求解即可. 【详解】解：∵AB=AC，∠B=72° ∴∠ACB=∠B=72° ∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36° ∵CD 是∠CAB 的角平分线 1∠ACB  36o ∴∠ACD=∠BCD= 2∴∠A=∠ACD ∴AD=CD 在△ABC 与△CBD 中 ∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B ∴△ABC∽△CBD AB BC ∴BC BD 在三角形 CDB 中，∠B=72°，∠BCD=36° ∴∠CDB=72° ∴∠CDB=∠B=72° ∴AD=CD=BC AB AD ∴AD BD 2即AD  BD·AB ∴D 点为 AB 的黄金分割点在三角形 CDB 中，∠B=72°，∠BCD=36° ∴CD>BD（大角对大边） ∴AD>BD ∵D 是 AB 的黄金分割点，AD>BD 5 1 2∴AD  AB  5 1 ∴BD  AB  AD  3 5 故答案为： .3 5 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 119. 计算：（π﹣1）0＋| ﹣2|﹣（）﹣1＋tan60°． 33【答案】0 【解析】 1( 1)0 1,( )1  3, 3 2  2  3 【分析】根据，结合 60°角的正切值解题即可． 3【详解】解：原式 1 2  3 3 3 ． 0 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整指数幂、绝对值、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5x  8 x 20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 1 2x  x  2 3【答案】；数轴表示见解析 2  x＜7 【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 5x  8 x ①【详解】解：，1 2x  x  2② 3解不等式①，得，x  2 解不等式②，得 x＜7，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ∴原不等式组的解集是．2  x＜7 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． k21. 如图，O 为坐标原点，直线 l⊥y 轴，垂足为 M，反比例函数 y＝（k≠0）的图象与 l 交于点 A（m， x3），△AOM 的面积为 6 （1）求 m、k 的值；（2）在 x 轴正半轴上取一点 B，使 OB＝OA，求直线 AB 的函数表达式． y  3x 15 .【答案】(1) m  4 ，；(2) k 12 【解析】 1S OM AM OM  3 ，【分析】(1)根据题意可以知道，根据 A 点的坐标为（m，3），可知 △AMO 213m S OM AM   6 ，即，求出 m 值，再把 A 点坐标代入反比例函数解析式中求出 k AM  m △AMO 22即可； y  ax  b (2)设直线 AB 的解析式为，根据(1)得到的 m 值，由勾股定理算出 OA 的长，从而得到 B 点坐标，然后根据一次函数经过 A、B 两点，求出解析式即可【详解】解：(1)∵直线 l⊥y 轴，垂足为 M ∴AM⊥OM 1S OM AM ∴△AMO 2∵A 点的坐标为（m，3） OM  3 ∴，AM  m 13m S OM AM   6 ∴△AMO 22解得 m  4 ∴A 点的坐标为（4，3） kxy  ∵A 点在反比例函数上k3  ∴4解得；k 12 y  ax  b (2) 设直线 AB 的解析式为由(1)得 A 点的坐标为（4，3） OM  3 即∴，AM  4 22OA  OM  AM  5 ∵B 在 x 正半轴上，且 OB=OA ∴OB=5，即 B 的坐标为（5，0） 3  4a  b 0  5a  b ∴a  3 b 15 解得 y  3x 15 的∴直线 AB 解析式为 .【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合的相关应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 22. 如图，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE、CD 相交于点 O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)根据∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE 可以用“AAS”证明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性质，即可得到 OD=OE； (2)根据 D、E 分别是 AB、AC 的中点，可以得到 AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根据 BD=CE，即可得到 AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A 即可用“SAS”证明两个三角形全等. 【详解】解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE ∴△DOB≌△EOC（AAS） ∴OD=OE； (2)∵D、E 分别是 AB、AC 的中点 ∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC 又∵BD=CE ∴AB=AC，AD=AE ∵∠A=∠A ∴△ABE≌△ACD（SAS）【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 23. 为了解某校九年级 500 名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间 t（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．类别人数 ABCD218 3根据所给信息：（1）求被抽查的学生人数；（2）周六做家务 2 小时以上（含 2 小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数；（3）为让更多学生积极做家务，从 A 类与 D 类学生中任选 2 人进行交流，求恰好选中 A 类与 D 类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）． 35【答案】（1）50 人；（2）300 人；（3）【解析】【分析】（1）用 B 类抽查的人数除以它所占的百分比即可；的（2）用总人数乘以周六做家务 2 小时以上百分比即可；（3）根据列表法即可求出．【详解】（1）18  36%  50 （人）（2）C 类的人数为：50-2-18-3=27（人） 3 27 50 500  300 九年级周六做家务 2 小时以上的人数为：（人）（3）设 A 类两人分别是 A1、A2、D 类 3 人分别是 D1、D2、D3 A1 A2 D1 D2 D3 A1 A2 D1 D2 D3 A2 A1 A1 D1 A2 D1 A1 D2 A2 D2 D1 D2 A1 D3 A2 D3 D1 D3 D2 D3 A1A2 A1D1 A1D2 A1D3 A2D1 A2D2 A2D3 D2 D1 D3 D1 D3 D2 12 20 3两次抽取的结果共有 10 种，A 类和 D 类各有一人共 12 种，故概率为；5【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式求出符合事件的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图． 24. 据国际田联《田径场地设施标准手册》，400 米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有 8 条跑道，每条跑道宽 1.2 米，直道长 87 米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为 35.00 米到 38.00 米之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为 36 米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）； …… 请问：（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过 20 秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的 2 倍，求他们的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）【答案】（1）第三圈弯道比第一圈弯道长 15 米，第八圈长 453 米；（2）小王的速度为 6.79m/s ，老师的速度为13.58m/s ．【解析】【分析】（1）根据题意，计算第三圈与第一圈的路程差即可解第一问，根据题中路程公式，可解得第八圈的路程；（2）分析两人在左边的直道上相遇，且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差，小 vv，列关于的一元一次方程，解方程即可解题．王的速度为，则老师的速度为 m/s 2v m/s 【详解】解：（1）根据题意得，第三圈弯道比第一圈弯道长： 872  2 36 1.22 872  2 36 1.20 15 （米）； 872  2 36 1.27  453 第八圈长： （米）答：第三圈弯道比第一圈弯道长 15 米，第八圈长 453 米．（2）由于两人是第一次相遇，教练的速度更快，且是在直道上两人相遇，那么两人一定在左边的直道上相遇，两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差：  36 1.22  36 1.20  7.536 （米） v设小王的速度为，则老师的速度为 m/s 2v m/s 20(v  2v)  400  7.536 v  6.79m/s 2v 13.58m/s 答：小王的速度为 6.79m/s ，老师的速度为13.58m/s ．【点睛】本题考查圆的计算、一元一次方程的应用等知识，理解相关路程公式的计算是解题关键． 25. 如图，PM、PN 是⊙O 的切线，切点分别是 A、B，过点 O 的直线 CE∥PN，交⊙O 于点 C、D，交 PM 于点 E，AD 的延长线交 PN 于点 F，若 BC∥PM．（1）求证：∠P＝45°；（2）若 CD＝6，求 PF 的长．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）连接 OB，证明四边形 EPBC 是平行四边形，由平行四边形的性质解得的性质及等腰三角形的性质，解得 C  45，据此解题；，结合切线 P  C PFA(ASA) （2）连接 AC，证明EAC  ，可得，结合（1）中 P  45，解得 E  45 ，PF  EA 再结合切线的性质及等腰三角形的性质解得 EA  OA  OC  3，最后根据全等三角形对应边相等解题即可．【详解】解：（1）连接 OB，如图， CE / /PN，BC / /PM ，四边形 EPBC 是平行四边形， P  C PN 是⊙O 的切线， OB  CD QOC  OB C  OBC  45 P  45 ；（2）连接 AC，如图， PM、PN 是⊙O 的切线， PA  PB,PAF  ECA 四边形 EPBC 是平行四边形， EC  PB PA  EC CE / /PN AEC  P 在与中， EAC PFA AEC  P EC  PA ECA  PAF PFA(ASA) EAC  PF  EA PM 是⊙O 的切线， OA  AE P  45, EC / /PN E  P  45 EA  AO CD  6 OC  OA  3 EA  3 PF  3 ．【点睛】本题考查圆的切线性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 126. 已知 O 为坐标原点，直线 l：y＝﹣ x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点，点 B（4，2）关于直线 l 2的对称点是点 E，连接 EC 交 x 轴于点 D．（1）求证：AD＝CD；（2）求经过 B、C、D 三点的抛物线的函数表达式； 5（3）当 x＞0 时，抛物线上是否存在点 P，使 S△PBC ＝S△OAE？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明 3理由． 99482 17 3y  x2  x  2 【答案】（1）见解析；（2）；（3）P 的坐标（，0）、（，0）或（，4）． +2 16 433【解析】【分析】（1）根据已知条件求出 A、C 的坐标，得到 BC ∥，AO BCA  CAO ，结合点 B（4，2）关于直线 l 的对称点是点 E，得到 AD＝CD；，则BCA  ECA，从而得到，即可证 CEA CBA ECA  CAO 12 565（2）根据点 B（4，2）关于直线 l 的对称点是点 E，求出 E（，），得到直线 CE 的解析式，又 D 4点在 x 轴上，求出 D（，0），设经过 B、C、D 三点的抛物线的函数表达式为 y  ax2  bx  c，将 B（4， 342），D（，0），C（0，2）代入即得抛物线的解析式； 35353（3）分别计算 S△PBC 和 S△OAE，利用 S△PBC ＝S△OAE 列方程，求出 P 点的纵坐标，再代入抛物线得到 P 点的横坐标，即可求出 P 点的坐标． 1【详解】（1）证明：∵直线 l：y＝﹣ x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点，B（4，2）， 2∴A（4，0），C（0，2） ∴∴BC ∥AO BCA  CAO ∵点 B（4，2）关于直线 l 的对称点是点 E， ∴CEA CBA ∴∴BCA  ECA ECA  CAO ∴AD＝CD （2）设 E（a，b） ∵点 B（4，2）关于直线 l 的对称点是点 E， ∴线段 BE 的中点在直线 l 上， AE  AB  2 b  2 21a  4 2   2 则，化简得 a  2b 2652222b  2 b   ，解得：，（舍去） AE= a  4  b  0 2b  4  b  2 2112 65则 E（，）512 6y  kx  b 令直线 CE 的解析式为，将 C（0，2），E（，）代入得： 55b  2 32k   ，解得 12 65k  b   b  2 53y  x  2 ∴2又∵D 点在 x 轴上， 4∴D（，0） 34设经过 B、C、D 三点的抛物线的函数表达式为 y  ax2  bx  c，将 B（4，2），D（，0），C（0，2）代 3入得： 916a  4b  c  2 a  16 16 94a  b  c  0 c  2 b   ，解得 394c  2 99y  x2  x  2 ∴经过 B、C、D 三点的抛物线的函数表达式为（3）存在，理由如下： 16 411SPBC  BC  2  yp  4 2  yp  2 2  yp 22535156 1 SOAE =  AO yE   4  4 3235 2 5S SOAE  4 ∴PBC 32 2  y  4 ∴py  0 y  4 或解得 pp又 x＞0 99483y  x2  x  2 x  x  y  0 当当时，代入时，代入，得，得，pp1 p2 16 43992 17 32 17 3y  x2  x  2 y  4 ，+2 xp2   （舍去） xp1  +2 p16 4482 17 综上，P 的坐标（，0）、（，0）或（，4） +2 333【点睛】本题是二次函数与几何的综合题．需要大量的计算过程，找准关键点进行计算是本题的关键，一般出现在压轴题中，难度较大．