广西柳州市2021年中考数学真题试卷（解析版）

2021 年柳州市初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试数学（考试时间：120 分钟第Ⅰ卷满分：120 分）一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 11. A. 在实数 3，，0，中，最大的数为（）2 21B. C. D. 2 302A【答案】【解析】【分析】根据正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，两个正数比较大小，绝对值大数就大，据此判断即可．【详解】根据有理数的比较大小方法，可得： 1- 2 < 0 < <3 ，2因此最大的数是：3, 故选：A．【点睛】本题考查了实数的比较大小，解答此题的关键在于明确：正数＞0＞负数． 2. 如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（）A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】逐项分析，根据三视图的定义，找出主视图为圆的选项．【详解】A. 主视图为三角形，不符合题意； B. 主视图为矩形，不符合题意； C. 主视图为正方形，不符合题意； D. 主视图为圆，符合题意．故选 D．【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知主视图的定义和画三视图的规则是解题的关键． 3. 柳州市大力发展新能源汽车业，仅今年二月宏光 MINIEV 销量就达 17000 辆，用科学记数法将数据 17000 表示为（）0.17105 17103 1.7104 1.7105 A. B. C. D. C【答案】【解析】【分析】用科学计数法表示出即可． 4【详解】．17000 1.710 故选 C．【点睛】本题考查了科学计数法，科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原来的数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 4. 以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（）A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】根据轴对称图形的定义判断即可【详解】∵A,B,C 都不是轴对称图形, ∴都不符合题意; D 是轴对称图形,符合题意, 故选 D. 的【点睛】本题考查了轴对称图形定义,准确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 5. 以下调查中，最适合用来全面调查的是（ A. 调查柳江流域水质情况）B. 了解全国中学生的心理健康状况 C. 了解全班学生的身高情况 D. 调查春节联欢晚会收视率 C【答案】【解析】【分析】逐项分析，找出适合全面调查的选项即可．【详解】A.调查柳江流域水质情况，普查不切实际，适用采用抽样调查，不符合题意； B.了解全国中学生的心理健康状况，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意； C.了解全班学生的身高情况，适合普查，符合题意； D.调查春节联欢晚会收视率，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意．故选 C．【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查；在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键． 6. AC  8, BD  10 如图，在菱形中，对角线，则的面积为（）ABCD △AOD A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 B【答案】【解析】 1【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的．△AOD 2 ABCD 【详解】是菱形  AC  BD, AO  OC, BO  OD 1= AO DO 的面积 △AOD 21 1 1  AC  BD 2 2 21 1 1  8 10 2 2 210 故选 B．【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键． △AOD 7. 如图，有 4 张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案，背面完全相同，现将这 4 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面怡好是冰壶项目图案的概率是（）1A. 133412B. C. D. 4A【答案】【解析】【分析】事件所有可能的结果有 4 种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有 1 种，据此利用概率公式求解即可．的【详解】事件所有可能结果有4 种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有 1 种，所以抽出的卡 1片正面怡好是冰壶项目图案的概率是．4故选：A．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，根据概率计算公式，必须知道所有可能的结果及事件发生的结果． 8. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 3  7  10 3 7  3 7 3 7  21 2 7 2  7 C【答案】【解析】【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可【详解】A. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 3  7 B. C. D. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 3 7 符合题意； 3 7  37  21 ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意． 2 7 2 故选 C．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．某校九年级进行了 3 次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差 2 如右表所示，那么这三 9. S名同学数学成绩最稳定的是（）甲乙丙91 91 91 54 xS2 624 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 A【答案】【解析】【分析】先比较平均成绩，当平均成绩一致时，比较方差，方差小的波动小，成绩更稳定．【详解】甲、乙、丙的成绩的平均分都是91，故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方差分别为 6， x24，54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的．故选 A．【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键． y  kx  b 10. 若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）y  0 A. B. C. y 随 x 的增大而增大 D. x  3时， k  0 b  2 B【答案】【解析】 (0,2),(4,0) 【分析】首先根据图像中过两点可．，求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即 y  kx  b (0,2),(4,0) 【详解】首先将代入一次函数解析式，得 b  2 ，4k  b  0 1k   解得，2b  2 1所以解析式为；y  x  2 21k   A、 B、 ,由求出的，可知此选项错误； k  0 b  2 2，由求出的，可知此选项正确； b  2 的C、因为 k＜0，所以 y 随 x 增大而减小，故此选项错误； 112y  3 2  D、将 x=3 代入，，故此选项错误； 2故选：B． y  kx  b(k  0) 【点睛】本题考查一次函数图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数解 k,b 析式中系数 11. 的关系是解题关键．往水平放置的半径为13cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 AB  24cm ，则水的最大深度为（）8cm A. 5cm 【答案】【解析】 B. C. D. 12cm 10cm B【分析】连接 OA，过点 O 作 OD⊥AB 交 AB 于点 C 交⊙O 于 D，再根据勾股定理求出 AC 的长，进而可得出 CD 的长．【详解】解：连接 OA，过点 O 作 OD⊥AB 交 AB 于点 C 交⊙O 于 D， ∵OC⊥AB，由垂径定理可知， 1∴AC=CB= AB=12， 2在 Rt△AOC 中，由勾股定理可知： 2222∴，OC = OA – AC = 13 – 12 =5 CD  OD OC 135  8 cm ∴，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过 O 点作 AB 的垂线，由此即可求解． 12. 如图所示，点 A，B，C 对应的刻度分别为 1，3，5，将线段绕点 C 按顺时针方向旋转，当点 A 首 CA 次落在矩形 BCDE 的边 BE 上时，记为点 A，则此时线段扫过的图形的面积为（）CA 4C. 8A. B. 6 D. 4 3 33D【答案】【解析】 【分析】由题意可知，AC 扫过的图形为一个扇形，，半径为 4，求出  ，再根据 ÐBA’C =30 ,ÐBCA’ =60 扇形面积公式求解即可．【详解】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2， BC 212sinÐBA’C = = = ∴∴，A’C 4，ÐBA’C =30 ,ÐBCA’ =60 线段扫过的图形为扇形，此扇形的半径为，CA CA  4 60 360 82∴，S扇形ACA’ =p ´ 4 =p 3故选：D．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确 AC 扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为 4 是解决本题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．） a//b,1 60 13. 如图，直线 ，则 2 的度数是______ ．【答案】60 【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3，根据对顶角相等即可求得∠2 的度数．【详解】∵a∥b，如图 ∴∠3=∠1=60 ゜ ∵∠2=∠3 ∴∠2=60 ゜故答案为：60 【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质并熟练运用是关键． 214. 因式分 =．x 1 (x 1)(x 1) 【答案】．【解析】 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) 【详解】原式= ．故答案为．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解． 15. 如图，在数轴上表示 x 的取值范围是________．【答案】 x  2 【解析】【分析】根据数轴可知，表示 x 的数在数 2 的右边，且不等于 2，因此即可判断 x 的取值范围．【详解】由数轴知： x  2 故答案为：x>2．，【点睛】本题考查用不等式表示数轴上的数的范围，体现了数与形的结合，要注意是实心点还是空心圆圈． 16. 若长度分别为 3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数 a 的值可以是________．（写出一个即可）【答案】5（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．【详解】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即 1＜a＜7，整数 a 可取 2、3、4、5、6 中的一个，故答案为：5（答案不唯一）．【点睛】本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边 a 的取值范围是解答的关键． 117. AB 长为半径画弧，两弧交于在 x 轴，y 轴上分别截取OA  OB ，再分别以点 A，B 为圆心，以大于 a,2 2点 P，若点 P 的坐标为 ，则 a 的值是_______．【答案】2 或 2 【解析】【分析】分 P 点在第一象限和第二象限分类讨论，由尺规作图痕迹可知，P 为∠AOB 的角平分线，由此得到横坐标与纵坐标相等或互为相反数．【详解】解：当 P 点位于第一象限时，如下图所示：由尺规作图痕迹可知，OP 为∠AOB 角平分线，此时 P 点横坐标与纵坐标相等，故 a=2；当 P 点位于第二象限时，如下图所示：由尺规作图痕迹可知，OP 为∠AOB 角平分线，此时 P 点横坐标与纵坐标互为相反数，故 a=-2； ∴a 的值是 2 或-2．【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，属于基础题，本题要注意考虑 P 点在第一象限和第二象限这两种情况． ky  2x C 2,0 为圆心， 18. y  k  0 如图，一次函数与反比例数的图像交于 A，B 两点，点 M 在以 x3C ON 半径为 1 的上，N 是的中点，已知长的最大值为，则k 的值是_______． AM 232 25 【答案】【解析】 ON ON 【分析】根据题意得出是的中位线，所以取到最大值时，也取到最大值，就转化为研 BM ABM B,C, M 究也取到最大值时的值，根据 k三点共线时， BM 取得最大值，解出的坐标代入反比例函数 BBM 即可求解．【详解】解：连接，如下图： BM 在中， ABM O, N AB, AM 分别是的中点， ON 是的中位线， ABM 1ON  BM ，232ON 已知长的最大值为，此时的显然当，BM  3 B,C, M 三点共线时，取到最大值：，BM  3 BM  BC  CM  BC 1 3 BC  2 ，，22B(t,2t) 设，由两点间的距离公式：，BC  (t  2)  4t  2 (t  2)2  4t2  4 ，4t  ,t  0 解得：（取舍）， 1254 8 B( , ) ，5 5 4 8 kB( , ) y  k  0 将代入，5 5 x32 k  解得：，25 32 故答案是：．25 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时的值． BM 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．） 3  9 1 k19. 计算：【答案】1 【解析】【分析】根据绝对值的定义及算术平方根的定义即可解决．【详解】原式  331 1 【点睛】本题考查了绝对值的定义、算术平方根的定义及实数的运算，关键是掌握绝对值和算术平方根的定义． 1220. 解分式方程： xx  3 【答案】 x  3 【解析】【分析】两边同乘以 x(x+3)，转化为一元一次方程求解即可【详解】解：去分母得： x  3  2x 解得 x  3 检验：将 x  3代入原方程的分母，不为 0 x  3为原方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的求解方法是解题的关键． 21. 如图，有一池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和 B，连接并延长到点D，使，连接BC 并延长到点 E，使，连接，AC CD  CA CE  CB DE 那么量出的长就是 A、B 的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明． DE 证明：在DEC 和ABC 中， CD  _______ ____________ CE  _______ DEC≌ABC SAS ∴∴____________ 【答案】【解析】，CA DCE  ACB ，，AB ED  AB 【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明．ED  AB 【详解】证明：在DEC 和ABC CD  CA DCE  ACB CE  AB SAS ∴∴DEC≌ABC ED  AB 【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键． 22. 如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对 A、B 两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买 20 箱 A 品牌螺蛳粉和 30 箱 B 品牌螺蛳粉共需要 4400 元，购买 10 箱 A 品牌螺蛳粉和 40 箱 B 品牌螺蛳粉则需要 4200 元．（1）求 A、B 品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？（2）小李计划购买 A、B 品牌螺蛳粉共 100 箱，预算总费用不超过 9200 元，则 A 品牌螺蛳粉最多购买多少箱？【答案】（1）A 品牌螺蛳粉每箱售价为 100 元，B 品牌螺蛳粉每箱售价为 80 元；（2）60 箱【解析】 yx【分析】（1）设程组，解方程组即可得；（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，从而可得购买过 9200 元”建立不等式，解不等式，结合为正整数即可得． A品牌螺蛳粉每箱售价为元， B品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据两种购买方式建立方 a100  a AB品牌螺蛳粉为 箱，再根据“预算总费用不超 ay品牌螺蛳粉每箱售价为元， x品牌螺蛳粉每箱售价为元，【详解】解：（1）设 AB20x  30y  4400 由题意得：，10x  40y  4200 x 100 y  80 解得答：，A品牌螺蛳粉每箱售价为 100 元， B品牌螺蛳粉每箱售价为 80 元； 100  a a品牌螺蛳粉为箱，则购买（2）设购买 AB品牌螺蛳粉为 箱， 100a  80 100 a  9200 由题意得： ，解得 a  60 ，答： A品牌螺蛳粉最多购买 60 箱．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． 23. 为迎接中国共产党建党 100 周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示．（1）补全下面图 1 的统计图；（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为________；（3）已知该校七年级有 1200 名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于 4 本的学生人数．【答案】（1）见解析；（2）3 本；（3）360 人【解析】【分析】（1）求出抽取的总人数，即可算出读书量为 4 本的人数，从而能够将条形图补充完整；（2）从补全的条形图中即可解决；（3）求出样本中读书量不少于 4 本的人数占抽取人数的百分比，从而估计出总体中读书量不少于 4 本的人数占总体的百分比，进而问题可解．【详解】（1）∵读书量 1 本的人数为 5 人，占抽取人数的 10%， ∴抽取人数为：（人）． 510%  50 ∴读书量为 4 本的人数为： 50-（5+10+20+5）=50-40=10（人）． ∴图 1 补充完整如下：（2）∵读书量为 3 本的人数最多， ∴抽取学生五月份读书量的众数为 3 本．故答案为：3 本 10  5 50 100%  30% （3）∵样本中读书量不少于 4 本的人数的百分比为：，∴（人）． 120030%  360 答：估计七年级学生中读书量不少于 4 本的学生人数为 360 人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、简单随机抽样、用样本估计总体等知识点，从不同的统计图中提取相对应的信息是解题的基础，熟知用样本估计总体的数学思想方法是关键． A, B 24. 在一次海上救援中，两艘专业救助船正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船相距 120 海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船（2）若救助船 A，分别以40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船试通过计算判断哪艘船先到达．同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船 BPA在的 PAB的西南方向上，且事故渔船与救助船APB与救助船之间的距离； BP处搜救， 1【答案】（）收到求救讯息时事故渔船 P与救助船 B之间的距离为 B海里；（2）救助船先到达． 60 2 【解析】【分析】(1)如图，作于，在△PAC 中先求出 PC 的长，继而在△PBC 中求出 BP 的长即可； CPC  AB (2)根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船 A 和救助船 B 所需的时间，进行比较即可. 【详解】(1)如图，作于，PC  AB C则，PCA  PCB  90 ，由题意得：海里，，A=30 BPC=45 PA=120 1PC  PA  60 ∴∴海里，是等腰直角三角形， BCP 222海里，海里， BC  PC  60 PB  PC  BC  60 2 答：收到求救讯息时事故渔船 P与救助船 B之间的距离为海里； 60 2 A, B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发， (2)∵ 海里，海里，救助船 PA 120 PB  60 2 120 =3 ∴救助船所用的时间为 (小时)， A40 60 2 30 的所用时间为救助船 B(小时)，  2 2 ∵，3  2 2 ∴救助船先到达． B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含 30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 25. 如图，四边形中，，以 A 为圆心，为半径作 ABCD AD//BC, AD  AB, AD  AB 1, DC  5 AD A A 圆，延长交于点 F，延长交于点 E，连结，交于点 G． DE CD DA BF A 的值；（1）求证： BC 为的切线；（2）求 cosEDF （3）求线段的长． BG 2 5 510 3【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，证明∠ABC=90°即可；（2）根据平行线的性质，得∠EDF=∠BCD，过点 D 作 DH⊥BC，垂足为 H，在直角三角形 CDH 中，根据三角函数的定义计算即可；（3）过 A 作 AJ  FC 于点 J，证明FGD∽FBC ，后利用勾股定理计算即可 AD∥BC, AD  AB 【详解】（1）证明：∵ ，∴∵∴CBA  BAD  90 AB  AD 1 A 是的切线 CB （2）过 D 作于 H, DH  BC AB  BC, DH  BC AB∥DH ∵∴∴四边形为平行四边形 ABHD DH  AB  1, BH  AD  1,EDF  C ∴在中， Rt△DHC DHC  90, DH  1, DC  5 22∴∴,HC  CD  DH  51  2 ,BC  BH  HC  3 HC DC 225cosEDF  cosC  5∴5（3）过 A 作 AJ  FC 于点 J, FJ  JD ∴AJD  90, AD  1 在∴RtAJD 中， 2525JD  AD cosADJ  1 5  54FD  2JD  5∴∴5FD : FC  FD : (FD  DC)  4 : 9 ∵∵ED∥BC FGD∽FBC GD FD 4∴BC FC 94GD  ∴，313AG  GD  AD  ∴1GAB  90, AG  , AB 1 中， RtGAB 31910 322∴.BG  AG  AB  1 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角形相似，勾股定理，熟练掌握切线的判定，灵活运用勾股定理，垂径定理，三角形相似是解题的关键. 中，已知抛物线： y  ax2  bx  c交 x 轴于 xOy A 1,0 ,B(3,0) 两点，与 y 轴交 26. 在平面直角坐标系 32C 0, 于点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接，过点 B 作 BE  OD ，垂足为 E，若 OD D 的坐标； BE  2OE ，求点（3）如图 2，点 M 为第四象限抛物线上一动点，连接，交 BC 于点 N，连接，记△BMN 的面积 BM AM S1 S2 SS的面程为 2 ，求为，的最大值． ABN 11329y  x2  x  D 1,2 ；（3）【答案】（1）；（2） 216 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可； 3 5 56 5 （2）先根据 BE  2OE 和勾股定理求得，，过点 E 做平行于交 y 轴于 T， OB TF OE  BE  5BE 653OT  TE  易证ETO∽OEB ，利用相似三角形的性质求得，，进而求得点 E 坐标，求得直 55线 OE 的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点 D 坐标； AF∥y MT∥y 轴交（3）延长 BC 于至点 F，使于点 D，证明轴，过 A 点作于点 H，作于点 T，过 M 点 BF AH  BF 作，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得 MD  BF AFH∽MTD S1 MD MT 132M x, x2  x  ，利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，进而可求得 AF，设，则 S2 AH AF 2213123213298，根据二次函数求最值的方法求的 MT 的最大值，进而 MT  x   x2  x   x  222S1 S2 可求得的最大值． y  a(x 1)(x  3) 【详解】解：（1）依题意，设，331C 0, a 1(3)   a  代入得：，解得： 2221113y  (x 1)(x  3)  (x 1)2  2  x2  x  ∴；2222（2）由 BE  2OE ，设 =x，则，OE BE  2x ∵BE⊥OD， 222∴在 Rt△OEB 中，OB=3，由勾股定理得：，OE  BE  OB 3 5 3 5 22即，解得：（舍）， x  4x  9 x1  , x2   553 5 6 5 ∴，，OE  BE  55过点 E 做平行于，交 y 轴于 T， OB TF ∴ETO∽OEB OT OE TE ∴∴，EB OB OE 2，OE  OB TE 45 33TE  TE  即，解得：，25 BE 56OT  ∴∴，553565E, ，y  2x ∴直线的解析式为，OE ∵的延长线交抛物线于点 D， OE y  2x x 1, x  3 ∴，解得：（舍）， 13212y  x2  x  2y  2 当时，，x 1 D 1,2 ∴；AF∥y （3）如图所示，延长 BC 于至点 F，使轴，过 A 点作于点 D，于点 H AH  BF MT∥y 作轴交于点 T，过 M 点作 BF MD  BF ∵∴∵∴∴，AF∥MT AFH  MTD AH  BF, MD  BF ，，AHF  MDT  90 ，，AFH∽MTD AH AF ∴∵，MD MT 11S  NB  MD S NB  AH ，，1222S1 MD MT ∴，S2 AH AF y  kx  b 的设直线 BC 解析式为，将 B，C 两点代入得 33 b b   22解得：，32120  3k  k  13y  x  ∴直线的解析式为，BC 2213y  (1)  2 当时，，x  1 22F(1,2) ∴∴，，AF  2 132M x, x2  x  设，2213123213298∴，MT  x   x2  x   x  2221a   0 ∵∴，29MT ，max 89SMD MT MTmax 9∴．821  S2 AH AF AF 16 max 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识，解答的关键是结合图象，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、探究和计算．