2021 年四川省雅安市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的） 1. A. -2021 的绝对值等于（ ）11B. C. D. 2021 -2021 2021 2021 A【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数即可求出答案． 【详解】解：﹣2021 的绝对值即为：|﹣2021|＝2021． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解题的关键． 2. 我国在 2020 年 10 月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国 2020 年总人口达到 14.1 亿（ B. C. D. ）． 14.1107 1.411010 14.1108 1.41109 A. C【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的性质计算，即可得到答案． 9【详解】根据题意，得 14.1 亿= 故选：C． 1.4110 【点睛】本题考查了科学记数法的知识；解题的关键是熟练掌握科学记数法的性质，从而完成求解． A(3,1) 3. 在平面直角坐标系中，点 关于 y 轴的对称点的坐标是（ ）(3,1) (3,1) (3,1) (1,3) A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】关于 y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据此特征即可求得结果． (3,1) 关于 y 轴的对称点的坐标是 A(3,1) 【详解】点 故选：C． 【点睛】本题考查了关于 y 轴对称的两个点的坐标的特征，掌握这一特征是本题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ）3A. x2 x6 B. 3×2 2x x (2x)3 6×3 x6 x2 x3 C. D. A【答案】 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘法运算法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可． 3【详解】解：A、 x2 x6 正确，该选项符合题意； B、 2 与 3x 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； 3 原计算错误，该选项不符合题意； 2x 3C、 (2x) 8x 62D、 4 原计算错误，该选项不符合题意； x x x 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算及合并同类项，熟练掌握幂的运算及合并同类项是解题的关键． | x | 1 x 1 5. 若的值为零，则 x 的值为（ B. 1 ）A. -1 C. D. 0 A【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案． x 1 0 【详解】根据题意知， ，x 1 0 x 1 x 1 解得： 所以 ，，x 1 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为 0；（2）分母不为 0．这两个条件缺 一不可． DE 6 ，则 BF= 6. 如图，在 ）中， ，点 F 为 AC 中点， 是ABC 的中位线，若 RtABC ABC 90 DE （A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 A【答案】 【解析】 【分析】由 DE 是ABC 的中位线，可得 AC=12，在 【详解】解：∵DE 是ABC 的中位线， ∴AC=2DE=2×6=12， RtABC 6中，点 F 为 AC 中点，可得 BF= 即可． ∵在 中， ，点 F 为 AC 中点， RtABC ABC 90 11AC 12 6 ∴BF= ，22故选择 A． 【点睛】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性质是解题关键． 7. 甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上 的小立方块个数（ ）A. 甲和乙左视图相同，主视图相同 C. 甲和乙左视图相同，主视图不相同 B. 甲和乙左视图不相同，主视图不相同 D. 甲和乙左视图不相同，主视图相同 D【答案】 【解析】 【分析】根据俯视图，即可判断左视图和主视图的形状． 【详解】由甲俯视图知，其左视图为 相同，但它们两个的主视图相同，都是 ，由乙俯视图知，其左视图为 ，故它们的左 视图不 ．故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是根据俯视图及题意确定几何体的形状，从而可确定其左视图和 主视图． 8. 下列说法正确的是（ ）A.一个不透明的口袋中有 3 个白球和 2 个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的 2概率为 31B. 一个抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖2 次就必有 1 次中奖 22甲2 ，说明甲的数学成绩比乙的 S S乙 C. 统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现： x甲=x乙 ，数学成绩稳定 D. 要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式 D【答案】 【解析】 【分析】根据简单事件的概率计算即可对 A 作出判断；根据概率的含义即可对 B 作出判断；根据方差反映 了数据的波动程度这一特征即可对 C 作出判断；根据普查的适用范围即可对 D 作出判断． 【详解】A、由题意知，从中任意摸出一个球共有 5种可能的结果数，摸出的一个球是红球有 2种可能的结 2果数，所以从中任意摸出一个球是红球的概率为 ，故A 选项错误； 51B、一个抽奖活动的中奖概率为 ，只能说抽奖2 次，可能有一次中奖，也可能一次不中甚至 2 次都中， 2故 B 选项错误； 2甲2S S乙 C、方差的大小反映了一组数据的波动程度，方差越小，数据的波动程度越小，由于 且，x甲=x乙 所以乙的波动程度更小，说明乙的成绩更稳定，故 C 选项错误； D、由于一个班的学生人数不多，可以用普查的方法来调查，故 D 选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了统计与概率部分中的有关知识，包括概率的含义及计算，数据收集中的普查，反映一 组数据特征的方差，熟悉这些知识是解决本题的关键． 29. 若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角形的面积是（ ）x 7x 12 0 3 7 23 7 A. 6 B. 12 C. 12 或 D. 6 或 2D【答案】 【解析】 2【分析】根据题意，先将方程 的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜 x 7x 12 0 边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可． 2x 3 x 4 ，【详解】解方程 得x 7x 12 0 121234=6 当 3 和 4 分别为直角三角形的直角边时，面积为 ；123 7 222当 4 为斜边，3 为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 ，面积为 ； 7 3= 4 3 7 3 7 则该直角三角形的面积是 6 或 故选：D． ，2【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练 掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键． 10. 如图，将ABC 沿BC 边向右平移得到 ，DEF DE 交于点 G．若 AC S．16 S．则 △CEG 的值为（ ）BC : EC 3:1 △ADG A 2 B. 4 C. 6 D. 8 B【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得 AD=BE，且 AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性质及已知 条件即可求得△CEG 的面积． 【详解】由平移的性质可得：AD=BE，且 AD∥BE ∴△CEG∽△ADG 2SCEG SADG CE AD ∴2CE AD 即SCEG SADG ∵∴∴BC : EC 3:1 BE : EC 2:1 AD : EC 2:1 16 S∵∴△ADG 21 SCEG 16 4 2 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键． 11. 如图，四边形 为⊙ 的内接四边形，若四边形 O为菱形， 为（ ）． ABCD OBCD A A. 45° B. 60° C. 72° D. 36° B【答案】 【解析】 【分析】根据菱形性质，得OB OD BC CD ；连接 ，根据圆的对称性，得 ；根 OC OB OC OD 据等边三角形的性质，得 BOD ，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵四边形 为菱形 OBCD OB OD BC CD ∴连接 OC ∵四边形 ∴为⊙ 的内接四边形 OABCD OB OC OD ∴∴∴OBC ，OCD 为等边三角形 BOC COD 60 BOD BOC COD 120 1A BOD 60 ∴2故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边 三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解． a(a b) b(a b) min a,b y min x 1， x2 2x 3 12. 定义： ，若函数 ，则该函数的最大值为（ ）A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 C【答案】 【解析】 【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可． y min a,b 【详解】令 当,22y x 1 ，时，即 时， x 1 x 2x 3 x x 2 0 2令，则 w 与 x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， w x x 2 ∴当 w 0时， 1 x 2 ，y x 1 ∴（1 x 2）， ∵y 随 x 的增大而增大， y 3 ；∴当 x=2 时， 最大 222当令时，即 时， ，y x 2x 3 x 1 x 2x 3 x x 2 0 2，则 w 与 x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， w x x 2 ∴当 时， x 2 或x 1 ，w 0 2∴∵（x 2 或x 1）， y x 2x 3 2的对称轴为 x=1， y x 2x 3 ∴当 x 2 时，y 随 x 的增大而减小， 2∵当 x=2 时， =3， y x 2x 3 ∴当 x 2 时，y<3； 当x 1，y 随 x 的增大而增大， 2∴当 x=-1 时， =0； y x 2x 3 ∴当 x 1时，y<0； y min x 1， x2 2x 3 综上， 的最大值为 3． 故选 C． 【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解． 二、填空题（本大题共 5 个小题，将答案直接填写在答题卡相应的横线上） 113. 从-1， ，2 中任取两个不同的数作积，则所得积的中位数是______． 21【答案】 【解析】 2【分析】三个数中任取两个不同的数作积，共有三个积，把这三个积按从小到大排列，则中间的数便是中 位数． 112121的【详解】从-1， ，2 三个数中任取两个不同 数作积，分别是 1 2 1 ，，，12 2 2211212把，-2，1 这三个数按大小排列，则中间的数为 ，则中位数为 ．21故答案为： ．2【点睛】本题考查了反映一组数据集中趋势的统计量：中位数，掌握中位数的概念是本题的关键． 11214. 已知一元二次方程 的两根分别为 m，n，则 的值为______． x x 2021 0 mn1【答案】 2021 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案． 2【详解】∵一元二次方程 的两根分别为 m，n x x 2021 0 ∴∴m n 1 ，mn 2021 11m n mn 1 1mn2021 2021 1故答案为： ．2021 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完 成求解． 15. 如图， ABCDEF 为正六边形， 为正方形，连接 CG，则∠BCG+∠BGC=______． ABGH 【答案】 【解析】 30 【分析】分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案． ∵ABDEF 【详解】解： 是正六边形， 6 2 180 ∴ABC 120． 6∵∴∵ABGH 是正方形， ABG 90． GBC ABC ABG 360， GBC 360 ABC ABG 360 120 90 150． ∴∵∴BCG BGC GBC 180， BCG BGC 180 GBC 180150 30． 故答案为： 30 【点睛】本题考查了多边形的内角和与正多边形每个内角的计算等知识点，熟知多边形的内角和的计算公 式是解题的关键． 1 k x 2 2 x 116. 2 ______ 的解是正数，则 k 的取值范围是 ． 若关于 x 的分式方程 【答案】 【解析】 且k 4 k 0 x【分析】根据题意，将分式方程的解 用含 的表达式进行表示，进而令 ，再因分式方程要有意义则 kx 0 ，进而计算出 的取值范围即可． kx 2 2(2 x) 1 k 1 【详解】解： 4 2x k 0 4 k 2x 根据题意 且x 0 x 2 4 k 24 k 0 2 ∴∴ 2 k 4 k 0 ∴k 的取值范围是 且k 4 k 0 ．【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相 关计算方法是解决本题的关键． 17. 如图，在矩形 中， 和相交于点 O，过点 B 作 于点 M，交 于点 F，过点 D ABCD AC BF AC CD BD 作 DE∥BF 交 AC 于点 N．交 AB 于点 E，连接 ，．有下列结论：①四边形 为平行四边形， FN NEMF EM 2②；③ 为等边三角形；④当 时，四边形 DEBF 是菱形．正确结论的序 △DNF AO AD DN MC NC 号______． 【答案】①②④． 【解析】 【 分 析 】 通 过 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 证 明EN=FM ， EN∥FM ， 判 断 结 论 ① ； 通 过 证 明 △AMB∽△BMC，然后利用全等三角形和相似三角形的性质判断结论②；假设结论成立，找出与题意的矛 盾之处，判断结论③，结合等腰三角形的判定和性质求得 DE=BE，可得结论④ 【详解】解：∵四边形 ABCD 矩形， 是∴AD=BC，AD∥BC，CD∥AB ∴∠DAN=∠BCM， ∵BF⊥AC，DE∥BF， ∴DE⊥AC， ∴∠DNA=∠BMC=90°， DNA BMC DAN BCM AD BC 在△ADN 和△CBM 中， ∴△ADN≌△CBM， ∴DN=BM， 又∵DF∥BE，DE∥BF， ∴四边形 DFBE 是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE-DN=BF-BM，即 EN=FM， ∵NE∥FM， ∴四边形 NEMF 是平行四边形，故①正确， ∵△ADN≌△CBM， ∴AN=CM， ∴CN=AM， ∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°， ∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°， ∴∠ABM=∠BCM， ∴△AMB∽△BMC， AB BM ∴，BM CM ∵DN=BM，AM=CN， ∴DN2=CM•CN，故②正确， 若△DNF 是等边三角形，则∠CDN=60°， 即∠ACD=30°，不符合题意，故③错误， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OA=OD， ∵AO=AD， ∴AO=AD=OD， ∴△AOD 是等边三角形， ∴∠ADO=∠DAN=60°， ∴∠ABD=90°-∠ADO=30°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADN=ODN=30°， ∴∠ODN=∠ABD， ∴DE=BE， ∵四边形 DEBF 是平行四边形， ∴四边形 DEBF 是菱形；故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等 边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等 是解题的关键． 三、解答题（本大题共 7 个小题，解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 2 1 (3.14 )0 3 12 4sin 60 18. （1）计算： 2 1x 2 x 1 （2）先化简，再求值： ，其中 ．x 2 x 1 x2 1 2【答案】（1）2；（2） ；x x – 2 – 2 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂、0 指数幂、实数的绝对值和特殊角的三角函数值进行计算即可得解； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再将 代入计算即可求得原式的值． x 2 3【详解】（1）解：原式 =4 1 2 33 4 2=4 1 2 33 2 3 ；=2 (x 1)2 x 1 x 2 1=（2）解：原式 x 1 x2 1 x2 2x x 2 =x 1 x2 1 x(x 2) (x 1)(x 1) x 1 x 2 x2 x 将代入， x 2 2原式 ． ( 2) 2 2 2 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及实数的计算，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键． 19. 为庆祝中国共产党成立 100 周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取 20 名学生的竞赛 成绩进行统计． 组别 A成绩范围 60～70 70～80 80～90 90～100 频数 2Bm9CDn（1）分别求 m，n 的值； （2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如 60～70 的中间值为 65）估计全校学生的平均 成绩； （3）从 A 组和 D 组的学生中随机抽取 2 名学生，用树状图或列表法求这 2 名学生都在 D 组的概率． 2【答案】（1）5,4；（2） 分；（3） 82.5 5【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图、频数的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据加权平均值、用样本估计总体的性质计算，即可得到答案； （3）根据题意画出树状图，即可完成求解． 【详解】（1）根据题意，得 n 2020％ 4 ∴m 20 2 9 4 5 ；（2）根据题意，得从 A 组和 D 组的中间值分别为：65，75，85，95 652 755859 954 82.5 ∴全校学生的平均成绩为 分20 （3）根据题意，树状图如下 总共有：30 种情况，其中 2 名学生都在 D 组的情况有 12 种 12 30 25∴2 名学生都在 D 组的概率为： ．【点睛】本题考查了抽样调查和概率的知识；解题的关键是熟练掌握扇形统计图、频数、加权平均数、用 样本估计总体、树状图法求概率的性质，从而完成求解． 20. 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶 10 元，在销售过程中发现销售量 y（瓶）与每瓶售价 x（元）之 间存在一次函数关系（其中 ，且x 为整数），当每瓶消毒液售价为 12 元时，每天销售量为 90 瓶； 10 x 21 当每瓶消毒液售价为 15 元时，每天销售量为 75 瓶； （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为 w 元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每 天销售利润最大． y 5x 150 【答案】（1） ；（2）当每瓶消毒液售价为 20 元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大， 最大为 500 元． 【解析】 y kx b 【分析】（1）设 y 与 x 之间的函数关系式 ，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出每天的销售利润 w 元与每瓶售价 x（元）之间的二次函数解析式，利用二次函数的性质 即可求解． y kx b 【详解】（1）设 y 与 x 之间的函数关系式 ，由题意可得， 90 12k b 75 15k b ，k 5 解得， ，b 150 y 5x 150 ∴y 与 x 之间的函数关系式 （2）由题意可得， ；2w=（x-10）（-5x+150）= （，且 x 整数）， 为10 x 21 5x 200x 1500 b200 x 20 y 500 ，当时， 最大 2a 2(5) ∴当每瓶消毒液售价为 20 元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为 500 元． 答：当每瓶消毒液售价为 20 元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为 500 元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确求得每天的销售利润 w 元与每瓶售价 x（元）之间的二次函数解 析式是解决问题的关键． 21. OA 如图， 为等腰直角三角形，延长 至点 B 使OB OD ，其对角线 ，交于点 E． BD △OAD AC （1）求证： ；△OAF≌△DAB DF （2）求 AF 的值． 【答案】（1）见解析；（2） 2【解析】 【分析】（1）通过 是等腰直角三角形可知 ；，再由 ，OAF DAB AFO ABD △OAD AO AD △OAF≌△DAB(AAS) 即可证明 （2）设 x即可得到用含 的 ，则 ，OD OB 2x AB 2x x ，再根据 AO AD x DEF∽DAB DF 表达式表示的 DF，进而即可求得 的值． 是矩形 AF 【详解】（1）证明：∵四边形 ∴E 为 BD 中点 ABCD ∵∴∴OB OD OE BD FDE DFE 90 又∵ ∴为等腰直角三角形 ，△OAD OAF DAB 90 AO AD FDE DBA 90 DFE DAB ∴∴∵∴在DFE OFA OFA=DBA △OAF 与中DAB OFA DBA OAF DAB AO AD △OAF≌△DAB(AAS) ∴；（2）解：设 AO AD x ∵∴为等腰直角三角形 ，△OAD ，OAF DAB 90 OD OB 2x AB 2x x ∵∴∴OE BD DEF 90 DEF DAB 又∵ ∴EDF ADB DEF∽DAB DE DF ∴∵∴DA DB ，AD x AB 2x x 222DB ( 2x x) x (4 2 2)x ∵E 是 DB 中点 112(4 2 2)x2 (4 2 2)x2 ∴DE DB 24(4 2 2)x2 DF (4 2 2)x2 ∴4x∴∴DF (2 2)x DF AF (2 2)x 2 2 = 2 ．x (2 2)x 2 1 的【点睛】本题主要考查了三角形全等 判定，三角形相似的性质与判定，还涉及了等腰直角三角形的性质， 勾股定理，三线合一，矩形的性质等相关内容，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键． mA(2,3) ．22. y 已知反比例函数 的图象经过点 x（1）求该反比例函数的表达式； my （2）如图，在反比例函数 CH 的图象上点 A 的右侧取点 C，作 CH⊥x 轴于 H，过点 A 作 y 轴的垂线 AG x交直线 于点 D． ①过点 A，点 C 分别作 x 轴，y 轴的垂线，交于 B，垂足分别为为 F、E，连结 OB，BD，求证：O，B，D 三点共线； ②若 AC 2OA，求证： ．AOD 2DOH 6y 【答案】（1）反比例函数的表达式为 ；（2）①证明见详解；②证明见详解． x【解析】 mA(2,3) m=xy=6 即可； y 【分析】（1）根据反比例函数 的图象经过点 ，可得 x33（2）①利用锐角三角函数值 tan∠EBO= ，tan∠DBC= 相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义 aa∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可； 1AC ②设 AC 与 OD 交于 K，先证四边形 ABCD 为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC= ，由 AC 2OA ，2可得 AO=AK，由∠AKO 为△AKD 的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由 AD∥OH 性质，可得∠DOH=∠ADK 即可． mxA(2,3) ，y 【详解】解：（1）∵反比例函数 的图象经过点 m=xy 23=6 ∴，6y ∴该反比例函数的表达式为 ；x66a,3 a, （2）①设点 C（ ），则 B（2， ），D（ ）， aa66∴OE= ，BE=2，CD=3- ，BC= ，a 2 aa663a 6 3 OE EB 3CD 3∴tan∠EBO= ，tan∠DBC= ，a2aaaBC a 2 a 2 a∴∠EBO=∠DBC， ∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°， ∴点 O，点 B，点 D 三点共线； ②设 AC 与 OD 交于 K， ∵AD⊥y 轴，CB⊥y 轴， ∴AD∥BC∥x 轴， ∵AF⊥x 轴，DH⊥x 轴， ∴AB∥DC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∵AF⊥x 轴，AD∥x 轴， ∴AF⊥AD， ∴∠BAD=90°， ∴四边形 ABCD 为矩形， 1AC ∴∠KAD=∠KDA，KA=KC= ，2∵AC 2OA ，∴AO=AK， ∴∠AOD=∠AKO， 又∵∠AKO 为△AKD 的外角， ∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK， ∵AD∥OH ， ∴∠DOH=∠ADK， ∴∠AOD=2∠DOH． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三 角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数， 平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键． 23. O 如图，在⊙ 中， O是直径， ，垂足为 P，过点 的的切线与 的延长线交于点 AB CD DAB AB , 连接 ．CE E（1）求证： 为⊙ 的切线； OCE （2）若⊙ 半径为3， ，求sin DEC CE 4 ．O24 25 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接 、OC OD ，由题意可以得到 ，再利用 ，即可得出 △OCE≌△ODE △PCE≌△PDE 即可； OCE ODE 90 DF DF CE sin DEC （2）过点 作于点 ，在 F中， ，由（1）得 ，在 Rt△DEF DE CE 4 DDE 和Rt△DEF Rt△DEF 中，设 EF x ，根据勾股定理建立方程求出 ，再求出 即可． EF DF 【详解】解：（1）证：连接 、OC OD O ∵∴∵∴为的切线 DE ODE 90 是直径， AB CD AB CP DP ，CPE DPE 90 又∵ PE PE △PCE≌△PDE(SAS) ∴∴，CEP DEP CE DE 又∵OE OE △OCE≌△ODE(SAS) OCE ODE 90 ∴∴∴为⊙ 的切线； OCE DF CE 于点 ，如下图： （2）过点 作DF由（1）得 DE=CE 4 22在∴RtOCE 中， ，OC 3 CE 4 ，∴ OE OC CE 5 OC CE 12 CP （等面积法） OE 524 CD 2CP ∴5设在EF x ，则 CF 4 x 和RtDCF Rt△DEF 中， 24 DF2 CD2 CF2 ( )2 (4 x)2 22222，DF DE EF 4 x 524 ()2 (4 x)2 42 x2 ∴528 x 解得 25 DF 42 x2 = 96 25 DF 24 sin DEC ∴DE 25 【点睛】此题考查了圆的切线证明、勾股定理的应用、三角函数的概念，解题的关键是熟练掌握圆的有关 性质、勾股定理的应用和三角函数的有关概念． 已知二次函数 y x2 2bx 3b ．24. A 1,0 ( )时，求该二次函数的表达式； （1）当该二次函数的图象经过点 （2）在(1)的条件下，二次函数图象与 x轴的另一个交点为点 B，与 y 轴的交点为点 C,点 P 从点 A 出发在 线段 AB 上以每秒 2个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 1个单位 长度的速度向点 C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值; y≥0 （3）若对满足 x 1的任意实数 x，都使得 成立，求实数 b 的取值范围． 2【答案】（1） y x2 2x 3；（2） ；（3）-3≤b≤1． 2【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）先求出 A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为 t，则 AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点 M 作 MQ⊥x 2轴，可得 MQ= t，从而得到△BPQ 的面积的表达式，进而即可求解； 2b 1 （3）设 y f (x) x2 2bx 3b ，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况： 或f 1 0 b 1 ，进而即可求解． f b 0 y x2 2bx 3b ，A 1,0 ( )代入 【详解】解：（1）把 2得： ，解得：b=1， 0 1 2b 3b ∴该二次函数的表达式为： y x2 2x 3 ；（2）令 y=0 代入 y x2 2x 3 ，2得： ，0 x 2x 3 x 1 x 3 或解得： ，12令 x=0 代入 y x2 2x 3得：y=-3， ∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)， 设运动时间为 t，则 AP=2t，BQ=t， ∴BP=4-2t， 过点 M 作 MQ⊥x 轴， ∵OB=OC=3， ∴∠OBC=45°， BMQ ∴是等腰直角三角形， 22∴MQ= BQ= t， 22121222222∴△BPQ 的面积= =，BPMQ 4 2t tt 1 222∴当 t=1 时，△BPQ 面积的最大值= ；2（3）抛物线 y x2 2bx 3b 的对称轴为：直线 x=-b，开口向上， 设y f (x) x2 2bx 3b ，y≥0 ∵对 x 1的任意实数 x，都使得 成立， b 1 b 1 ∴或，f 1 0 f b 0 ∴-1≤b≤1 或-3≤b＜-1， ∴-3≤b≤1． 【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出 不等式组，是解题的关键．
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