遂宁市 2021 年初中毕业暨高中阶段学校招生考试 数学试卷 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题 卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一个符合题目要求．） 1. A. －2021 的绝对值是（ －2021 ）11B. C. D. 2021 2021 2021 B【答案】 【解析】 【分析】一个数的数绝对值是非负数，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】－2021 的绝对值是 2021； B故选： ． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，以及求绝对值，掌握一个负数的绝对值是它的相反数，是解题的关 键． 2. A. 下列计算中，正确的是（ ） 2a 3 a2 9 a8 a4 a2 B. D. a2 a2 2a2 2 a b 2a b C. D【答案】 【解析】 【分析】分别根据完全平方公式，同底数幂相除，单项式乘以多项式，合并同类项等知识点化简，然后判 断即可． 2【详解】解：A. a 3 a2 6a 9，故选项错误； 4 ，故选项错误； a8 a4 a B. C. D. 2 a b 2a 2b ，故选项错误； 2 ，故选项正确； a2 a2 2a 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，同底数幂相除，单项式乘以多项式，合并同类项等知识点，熟悉相关 知识点是解题的关键． 3. 6如图所示的几何体是由 个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（） A. C. B. D. D【答案】 【解析】 【分析】从正面看：共有 2 列，从左往右分别有 2，1 个小正方形；据此可画出图形． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图是 ．D故选： ． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 4. 2021 511 14.1 14.1 亿人，将 亿用科 国家统计局 年月日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约 学记数法表示为（ ）88910 A. B. C. D. 0.141×10 14.1×10 1.41×10 1.41×10 C【答案】 【解析】 n1 a 10 nn， 为整数．确定的值时，要看把原 【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 a 10 a数变成 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 n≥10 n时， 是正数； 1n当原数的绝对值＜ 时， 是负数． 1410000000 1.41109 亿 ， 14.1 【详解】解： 故选：C． n1 a 10 n，【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 a 10 an为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值． 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若△ADE 的面积是 3cm2，则四边形 BDEC 的面积 为（ 5. ）2222A. B. C. D. 3cm 12cm 9cm 6cm B【答案】 【解析】 1【分析】由三角形的中位线定理可得 DE= BC，DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质， 2即可求解． 【详解】解：∵点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点， 1∴DE= BC，DE∥BC， 2∴△ADE∽△ABC， SADE SABC DE BC 14 ( )2 ∴，∵S△ADE=3， ∴S△ABC=12， ∴四边形 BDEC 的面积=12-3=9(cm2)， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关 键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 xx141314 2b y 2b 是分式 C. 在代数式 ，，，，，中， ，，2x 985 aaaaD. 若一组数据 2、3、x、1、5 的平均数是 3，则这组数据的中位数是 4 A【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断 即可． A. 【详解】解： 角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确； B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； x141314 2b y 2b 是分式，故选项错误； C. 在代数式 ，，，，，中， ，2x 985 aaaaD.若一组数据 2、3、x、1、5 的平均数是 3，则这组数据的中位数是 3，故选项错误； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点， 熟悉相关性质是解题的关键． 2 x 0 7. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） x 1 1 2 A. C. B. D. C【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解，得出不等式组的解，再在数轴上的表示出解集即可． 2 x 0① 【详解】解： x 1 1② 2 解不等式①得， x 2 解不等式②得， x 1 不等式组的解集为 1 x 2 在数轴上表示为 ，，故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和解集的表示，解题关键是熟练运用解不等式组的方法求解， 准确在数轴上表示解集． 8. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3，点 E 为 BC 上一点，把△CDE 沿 DE 翻折，点 C 恰好落在 AB 边上的 F 处，则 CE 的长是（ ）433253A. 1 B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】设 CE=x，则 BE=3-x 由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以 AF=4，BF=AB-AF=5-4=1， 在 Rt△BEF 中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得 x 的值即可． 【详解】解：设 CE=x，则 BE=3-x， 由折叠性质可知， EF=CE=x，DF=CD=AB=5 在 Rt△DAF 中，AD=3，DF=5， 22∴AF= ，5 3 4 ∴BF=AB-AF=5-4=1， 在 Rt△BEF 中，BE2+BF2=EF2， 即(3-x)2+12=x2， 5解得 x= ，3故选：D． 【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． 9. 如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 DF⊥AC，垂 足为点 F，若⊙O 的半径为 ，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ） 4 3 A. B. 16 12 3 16 24 3 C. D. 20 12 3 20 24 3 A【答案】 【解析】 【 分 析 】 连 接AD ， 连 接OE ， 根 据 圆 周 角 定 理 得 到 ∠ADB=90° ， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到 ∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过 O 作 OH⊥AE 于 H，解直角三角形得到 OH=2 ，3AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接 AD，连接 OE， ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC=∠DFA=90°， ∴∠DAC=∠CDF=15°， ∵AB=AC，D 是 BC 中点， ∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°， ∵OA=OE， ∴∠AOE=120°， 过 O 作 OH⊥AE 于 H， ∵AO=4 ，31∴OH= AO=2 ，32∴AH= OH=6， 3∴AE=2AH=12， 2120 4 3 1∴S 阴影=S 扇形 AOE-S△AOE = 122 3 360 2．16 12 3 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合 是解答此题的关键． 已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，有下列 5 个结论：① ；② ；③ 210. abc 0 b 4ac a 2b m(am b) ax2 bx c ＝1 有四个根，则这四个根的和为 2， ；④ （）；⑤若方程 2c 3b m 1 其中正确的结论有（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 A【答案】 【解析】 的【分析】根据抛物线 开口向下，对称轴方程以及图象与y 轴的交点得到 a，b，c 的取值，于是可对①进行 b11 a b 判断；根据抛物线与 x 轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得 ，则 ，根据 22a y a b c 可 得a b c 0， 代 入 变 形 可 对 ③ 进 行 判 断 ； 当 时 ， 的 值 最 大 ， 即 当 x 1 x 1 2，则可对④进行判断；由于方程 ax2+bx+c=1 有 2 个根，方程 x m(m 1) 时，即 >a b c am bm c ax2+bx+c=-1 有 2 个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向下， ∴a＜0， ∵抛物线与 y 轴交于正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴在 y 轴右侧， ∴b＞0， ∴abc＜0，①错误； ②∵抛物线与 x 轴有两个交点 2∴>0 b 4ac 2∴，故②错误； b 4ac ③∵抛物线的对称轴为直线 x=1， b1 ∴∴，2a 1a b 2y a b c 0 由图象得，当 时， ，x 1 1 b b c 0 ∴∴2，故③正确； 2c 3b y a b c ④当 ∴当 时， 的值最大， x 1 2x m(m 1) 时， >，a b c am bm c a b m(am b) ∴（）， m 1 ∵b＞0， a 2b m(am b) ∴（），故④正确； m 1 ⑤∵方程|ax2+bx+c|=1 有四个根， ∴方程 ax2+bx+c=1 有 2 个根，方程 ax2+bx+c=-1 有 2 个根， b2a ∴所有根之和为 2×（- ）=2× =4，所以⑤错误． aa∴正确的结论是③④， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数 a 决定抛 物线的开口方向和大小．当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二 次项系数 a 共同决定对称轴的位置．当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c）．抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交 点；△=b2-4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） ba 2 a b 0 11. 若，则 _____． a 1【答案】 【解析】 4【分析】根据非负数的性质列式求出 a、b 的值，然后计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， a−2=0，a+b=0， 解得 a=2，b=-2， 1ab 22 ∴．414故答案为： ．【点睛】本题考查了两个非负数之和为零的性质，绝对值与算术平方根的非负性，负整数指数幂的运算， 掌握以上知识是解题的关键． 12. ABC 如图，在△ AB 中， ＝， ＝，直线 5AC 7DE BC E垂直平分 ，垂足为，交 AC DABD 于点 ，则△ 的周长是 _____ ． 【答案】12． 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 DB DC ，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵直线 DE 垂直平分 BC， ∴DB DC ， AB AD BD AB AD DC AB AC 5 7 12 ∴△ABD 的周长 12 ，故答案为： ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离 相等是解题的关键． 2x 3y 5a x y 0 13. xy已知关于 ， 的二元一次方程组 a，则 的取值范围是 ____ ．满足 x 4y 2a 3 a 1 【答案】 【解析】 ．x y x y 0 a【分析】根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含 的代数式表示出 ，再根据 ，a即可求得 的取值范围，本题得以解决． 2x 3y 5a① 【详解】解： x 4y 2a 3② x y 3a 3 ①-②，得 x y 0 ∵∴，3a 3 0 a 1 解得 ，a 1 故答案为： ．【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键． 14. ___ 如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第 个图形共有210 个小球． 【答案】20 【解析】 n n1 【分析】根据已知图形得出第 n 个图形中黑色三角形的个数为 1+2+3+ +n= ，列一元二次方程求 2解可得． 【详解】解：∵第 1 个图形中黑色三角形的个数 1， 第 2 个图形中黑色三角形的个数 3=1+2， 第 3 个图形中黑色三角形的个数 6=1+2+3， 第 4 个图形中黑色三角形的个数 10=1+2+3+4， …… n n1 ∴第 n 个图形中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+5+ +n= ，2当共有 210 个小球时， n n1 ， 210 2解得： 或(不合题意，舍去)， n 20 21 ∴第 个图形共有 210 个小球． 20 故答案为： ．20 【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第 n 个图形中黑色三角形的个 数为 1+2+3+……+n． 15. 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连结 BE，以 BE 为对角线作正方形 BGEF，边 EF 与正 方形 ABCD 的对角线 BD 相交于点 H，连结 AF，有以下五个结论：① ；ABF DBE 2②；③ ；④ ；⑤若CE : DE 1:3，则 BH : DH 17 :16 ，ABF∽DBE AF BD 2BG BHBD 你认为其中正确是_____（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①四边形 BGEF 和四边形 ABCD 均为正方形，BD，BE 是对角线，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根据 等式的基本性质确定出 ；②再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比 ABF DBE 2例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；④根据两 角相等的两个三角形相似得到△EBH∽△DBE，从而得到比例式，根据 BE＝ BG，代换即可作出判断； 2③由相似三角形对应角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出 AF 在正方形 ABCD 对角线上，根据正方形 对角线垂直即可作出判断．⑤设 CE=x，DE=3x，则 BC=CD=4x，结合 BE2＝BH•BD，求出 BH，DH，即可 判断． 【详解】解：①∵四边形 BGEF 和四边形 ABCD 均为正方形，BD，BE 是对角线， ∴∠ABD＝∠FBE＝45°， 又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF， ∴，ABF DBE ∴选项①正确； ②∵四边形 BGEF 和四边形 ABCD 均为正方形， ∴AD＝AB，BF＝BE， ∴BD＝ AB，BE= BF， 22BD BE 2 ∴AB BF 又∵ ∴，ABF DBE ，ABF∽DBE ∴选项②正确； ④∵四边形 BGEF 和四边形 ABCD 均为正方形，BD，BE 是对角线， ∴∠BEH＝∠BDE＝45°， 又∵∠EBH＝∠DBE， ∴△EBH∽△DBE， BD BE ，即 BE2＝BH•BD， ∴BE BH 又∵BE＝ BG， 22∴，2BG BHBD ∴选项④确； ③由②知： ，ABF∽DBE 又∵四边形 ABCD 为正方形，BD 为对角线， ∴∠BAF＝∠BDE＝45°， ∴AF 在正方形另外一条对角线上， ∴AF⊥BD， ∴③正确， ⑤∵CE : DE 1:3 ，∴设 CE=x，DE=3x，则 BC=CD=4x， 2CE2 BC2 x2 4x 17x ∴BE= ，BD 4 2x ∵BE2＝BH•BD， BE2 17×2 17 2 ∴BH x，BD 84 2x 17 2 815 2 8∴DH=BD-BH= ,4 2x x x∴，BH : DH 17 :15 故⑤错误， 综上所述：①②③④正确， 故答案是：①②③④． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握 相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 三、计算或解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分） 1 1016. 计算： tan 60 2 3 3 12 2【答案】-3 【解析】 【分析】分别利用负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，再进行 计算即可． 1 10【详解】解： tan 60 2 3 3 12 2= 2+ 3 2 3 +1- 23 = 2 3 2 3 1 2 3 = 3 【点睛】本题考查了负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简等知识点， 熟悉相关性质是解题的关键． m3 2m2 917. m 3 先化简，再求值： ，其中 m 是已知两边分别为 2 和 3 的三角形的第三边 m2 4m 4 m 3 长，且 m 是整数． m 3 12【答案】 ；m 2 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简 结果，利用三角形三边的关系，求得 m 的值，代入计算即可求出值． m3 2m2 9 m 3 【详解】解： m2 4m 4 m 3 2m2 (m 2) (m 2)2 9m 9 ==m 3 m 3 m2 m2 m 2 m 3 m2 m 3 ==m 2 m2 m 3 ，m 2 ∵m 是已知两边分别为 2 和 3 的三角形的第三边长， ∴3-2＜m＜3+2，即 1＜m＜5， ∵m 为整数， ∴m=2、3、4， 又∵m≠0、2、3 ∴m=4， 4 3 4 2 12∴原式= ．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和 运算法则． 18. ABCD AC BD 与OO相交于点 ，过点的直线 EF BA DC 与 、 的延长线分 如图，在平行四边形 中，对角线 EF别交于点 、． AE CF ＝ ； 1（ ）求证： 2（ ）请再添加一个条件，使四边形 BFDE 是菱形，并说明理由． 12【答案】（ ）见解析；（ ） EF⊥BD EBED 或 ＝，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明 ，则可得到 AE＝CF； VAOE ≌VCOF 2（ ）连接 BF DE ，OE= OF AO=CO AECF ，所以四边形 是平行四边形，则根 ，由 ，得到 ，又 VAOE ≌VCOF EF⊥BD BFDE 是菱形． 据可得四边形 1∵【详解】证明：（ ） 四边形 是平行四边形 ABCD ∴OA＝OC，BE∥DF ∴∠E＝∠F AOE 在△ COF 和△ 中E F AOE COF OA OC AAS ∴VAOE ≌VCOF ∴AE CF ＝2（ ）当 EF⊥BD BFDE 时，四边形 是菱形，理由如下： 如图：连结 BF，DE ∵四边形 是平行四边形 ABCD ∴OB＝OD ∵VAOE ≌VCOF OE OF ∴∴四边形 是平行四边形 BFDE ∵EF⊥BD， ∴四边形 是菱形 BFDE 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关 性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键． 19. 我市于 2021 年 5 月 22－23 日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初 中 1000 名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调 查结果绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题： 类别 频数 频率 不了解 了解很少 基本了解 很了解 合计 10 16 bm0.32 4na1（1）根据以上信息可知：a＝ （2）补全条形统计图； ，b＝ ，m＝ ，n＝ ；（3）估计该校 1000 名初中学生中“基本了解”的人数约有 人； （4）“很了解”的 4 名学生是三男一女，现从这 4 人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞 赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同． 1【答案】（1）50；20；0.2；0.08；（2）见解析；（3）400；（4） 2【解析】 【分析】（1）由“了解很少”的频数除以频率得到调查样本容量，从而可求出 a，b，m，n 的值； （2）根据（1）的结论补全图形即可； （3）根据样本的基本了解的频率估计总体即可得到结果； （4）运用列表的方法得出所有情况和抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的情况相同，从而得出结 论． 【详解】解：（1）∵16÷0.32=50（人） ∴a＝50， b＝50-（10-16-4）=20， m＝10÷50=0.2， n＝4÷50= 0.08， 故答案 为：50，20，0.2，0.08； （2）补全条形统计图如下图： 20 50 1000 =400 人， （3）该校 1000 名初中学生中“基本了解”的人数约有 故答案为：400； A , A , A （4）记 4 名学生中 3 名男生分 3 ，一名女生为 B， 12A1 A2 A3 BA1 A2 A3 B（A1，A2） （A1，A3） （A2，A3） （A1，B） （A2，B） （A3，B） （A2，A1） （A3，A1） （B，A1） （A3，A2） （B，A2） （B，A3） 从 4 人中任取两人的所有机会均等结果共有 12 种 抽到两名学生均为男生包含：A1A2，A1A3，A2A1，A2A3，A3A1，A3A2，共 6 种等可能结果， 612∴P（抽到两名学生均为男生）＝ 12 抽到一男一女包含：A1B，A2B，A3B ，BA1， BA2，BA3 共六种等可能结果 612∴P（抽到一男一女）＝ 12 故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同 【点睛】本题考查条形统计图、列表法求随机事件发生的概率，从统计图中获取数量和数量之间的关系以 及列举出所有可能出现的结果数是解决问题的关键． x , y 20. 已知平面直角坐标系中，点 P（ 0 ）和直线 Ax＋By＋C＝0（其中 A，B 不全为 0），则点 P 到直线 Ax 0Ax0 By0 C A2 B2 d ＋By＋C＝0 的距离 可用公式 来计算． d例如：求点 P（1，2）到直线 y＝2x＋1 的距离，因为直线 y＝2x＋1 可化为 2x－y＋1＝0，其中 A＝2，B＝－ 1，C＝1，所以点 P（1，2）到直线 y＝2x＋1 的距离为： Ax0 By0 C A2 B2 21（1）2 1 22 (1)2 15d ．55根据以上材料，解答下列问题： （1）求点 M（0，3）到直线 的距离； y 3x 9 （2）在（1）的条件下，⊙M 的半径 r ＝ 4，判断⊙M 与直线 为 n，求 n 的值；若不相交，说明理由． 的位置关系，若相交，设其弦长 y 3x 9 【答案】（1）3；（2）直线与圆相交， n 2 7 【解析】 【分析】（1）直接利用公式计算即可； （2）根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长． 【详解】解：（1）∵y＝ ，B＝－1，C＝9， x＋9 可变形为 x－y＋9＝0，则其中 A＝ 33330 3 9 d 3 由公式可得 223 1 ∴点 M 到直线 y＝ x＋9 的距离为 3， 3（2）由（1）可知：圆心到直线的距离 d＝3，圆的半径 r＝4， ∵d＜r ∴直线与圆相交， 22则弦长 ，n 2 4 3 2 7 【点睛】本题考查了阅读理解和圆与直线的位置关系，垂径定理，解题关键是熟练运用公式求解和熟练运 用圆的相关性质进行推理和计算． 21. 某服装店以每件 30 元的价格购进一批 T 恤，如果以每件 40 元出售，那么一个月内能售出 300 件，根据 x以往销售经验，销售单价每提高 1 元，销售量就会减少 10 件，设 T 恤的销售单价提高 元． （1）服装店希望一个月内销售该种 T 恤能获得利润 3360 元，并且尽可能减少库存，问 T 恤的销售单价应 提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种 T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）2 元；（2）当服装店将销售单价 50 元时，得到最大利润是 4000 元 【解析】 【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案； x（2）设利润为 M 元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的 的值，从而得到答 案． 【详解】（1）由题意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360 解得：x1＝2，x2＝18 ∵要尽可能减少库存， ∴x2＝18 不合题意，故舍去 ∴T 恤的销售单价应提高 2 元； （2）设利润为 M 元，由题意可得： 2M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10×2＋200x＋3000＝ 10 x 10 4000 ∴当 x＝10 时，M 最大值＝4000 元 ∴销售单价：40＋10＝50 元 ∴当服装店将销售单价 50 元时，得到最大利润是 4000 元． 【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的 性质，从而完成求解． 22. AB C 小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在 处看到、 处各有一棵被湖水隔开的银 AB杏树，他在 处测得 在北偏西 45° C 方向， 在北偏东 30° A 方向，他从 处走了 20 BB米到达 处，又在 处 C测得 在北偏东 60° 方向． 1∠C （ ）求的度数； 2B C （ ）求两颗银杏树、 之间的距离（结果保留根号）． 130° 2【答案】（ ）；（ ）（ ）米 10 210 6 【解析】 BDA BED 60 ，利 【分析】（1）作 交BC 于点 ，根据 且BED 60 ，可得 BE / /AD BE / /AD DC BDA CAD 用外角的性质根据 可求出结果 AGB BGD 90 （2）过点 B 作 BG⊥AD 于 G，则有 ，可得 ，AG BG 20 sin45 10 2 BG 20 6 3BG 10 6 10 6 BD ，DG ，可求得CD AD AG＋DG 10 2 ，再根据 sin 60 tan 60 33BC BD CD 可得结果． 【详解】解：（1）如图示，作 交BC 于点 ，DBE / /AD ∵且BED 60 BE / /AD BDA BED 60 ∴BDA C CAD ∵且CAD 30 C BDA CAD 30 ∴2（ ）过点 BBG⊥AD G 于 ． 作∵BG AD AGB BGD 90 ∴在中， AB 20 ，BAG 45 Rt△AGB AG BG 20 sin45 10 2 在中， BDA 60 RtBGD BG 20 6 BD DG sin 60 3BG 10 6 tan 60 3C CAD 30 ∵10 6 ∴CD AD AG DG 10 2 3∴BC BD CD 10 210 6 10 210 6 BC答：两颗银杏树 、 之间的距离为 米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关 系是解题的关键． my23. y 如图，一次函数 1 ＝kx＋b（k≠0）与反比例函数 （m≠0）的图象交于点 A（1，2）和 B（－ 2×2，a），与 y 轴交于点 M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在 y 轴上取一点 N，当△AMN 的面积为 3 时，求点 N 的坐标； yy y y 3 时，求 x 的取值范围． （3）将直线 向下平移2 个单位后得到直线 y3，当函数值 1122y 【答案】（1）y1＝x＋1； ；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1 或 1＜x＜2 2x【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出 B 点坐标，再求一次函数解析式即可； （2）根据面积求出 MN 长，再根据 M 点坐标求出 N 点坐标即可； （3）求出直线 y3 解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果． my 【详解】解：（1）∵ ∴m＝1×2＝2， 过点 A（1，2）， 2x2y 即反比例函数： ，2x当 x＝－2 时，a＝－1，即 B（－2，－1） y1＝kx＋b 过 A（1，2）和 B（－2，－1） k b 2 k 1 b 1 代入得 ，解得 ，2k b 1, ∴一次函数解析式为 y1＝x＋1， （2）当 x＝0 时，代入 y＝x＋1 中得，y＝1，即 M（0，1） 1• MN • x 3，x 1∵S△AMN＝ AA2∴MN＝6， ∴N（0，7）或（0，－5）， （3）如图，设 y2 与 y3 的图像交于 C，D 两点 ∵y1 向下平移两个单位得 y3 且 y1＝x＋1 ∴y3＝x－1， y x 1 x 1 y 2 x 2 y 1 ,联立得 解得 或2y x∴C（－1，－2），D（2，1）， 在 A、D 两点之间或 B、C 两点之间时，y1＞y2＞y3， ∴－2＜x＜－1 或 1＜x＜2． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形 结合思想解决问题． 24. 如图，⊙O 的半径为 1，点 A 是⊙O 的直径 BD 延长线上的一点，C 为⊙O 上的一点，AD＝CD，∠A＝ 30°． （1）求证：直线 AC 是⊙O 的切线； （2）求△ABC 的面积； （3）点 E 在 上运动（不与 B、D 重合），过点 C 作 CE 的垂线，与 EB 的延长线交于点 F． BND ①当点 E 运动到与点 C 关于直径 BD 对称时，求 CF 的长； ②当点 E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时 CF 的长． 3 3 4【答案】（1）见解析；（2） ；（3）①3；② 2 3 【解析】 【分析】（1）连接 OC，利用切线的判定定理，证明 OC⊥AC 即可； （2）要求ABC 的面积，结合（1）题，底边 AB 可求，只需再求出底边上的高 CH 即可； （3） 根据垂径定理可求 CE 的长，再利用锐角三角函数，可求 CF 的长； ①②由可知，点 E 在运动过程中，始终有 ，所以，求出 CE 的最大值，即可得到 CF 的最大 ①CF= 3CE 值． 【详解】（1）证明：连结 OC，如图所示． ∵AD＝CD ，∠A＝30°， ∴∠ACD＝∠A=30°． ∴∠CDB＝60°． ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC=60°． ∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°． ∴OC⊥AC． ∴直线 AC 是⊙O 的切线． （2）过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，如图所示． ∵OD=OC，∠ODC=60°， △ODC ∴是等边三角形． 12CD OD AD 1，DH OH ∴．∴在 中， RtOCH 213 CH CD2 DH 2 12 ． 2 2∵AB＝AD＋BD＝3， 12133 3 4∴．S△ABC AB CH 3 22（3） 当点 运动到与点 关于直径BD 对称时，如图所示． CE①此时，CE⊥AB，设垂足为 K． 3由（2）可知， ．CK 2∵BD 为圆的直径，CE⊥AB， ∴CE＝2CK＝ ∵CF⊥CE， ．3∴∠ECF＝90°． ∵，BC BC ∴∠E=∠CDB＝60°． 在∵RtEFC 中， CF tan∠E CE ，∴．CF CE tan 60 3 3 3 ②如图所示： 由∵∴可知，在 RtEFC 中， ①CF tan∠E ，CE ．CF CE tan 60 3CE ∴当点 E 在 上运动时，始终有 ．CF= 3CE BND ∴当 CE 最大时，CF 取得最大值． ∴当 CE 为直径，即 CE=2 时，CF 最大，最大值为 ．2 3 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、锐 角三角函数、求线段的最值等知识点，熟知切线的判定方法、垂径定理、圆周角定理、锐角三角函数的定 义是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数的图象与 x 轴交于 A 和 B（－3，0）两点，与 y 轴交于 C（0，－3），对称轴为直 ，直线 y＝－2x＋m 经过点 A，且与 y 轴交于点 D，与抛物线交于点 E，与对称轴交于点 F． 线x 1 （1）求抛物线的解析式和 m 的值； （2）在 y 轴上是否存在点 P，使得以 D、E、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，试说明理由； （3）直线 y＝1 上有 M、N 两点（M 在 N 的左侧），且 MN＝2，若将线段 MN 在直线 y＝1 上平移，当它移 动到某一位置时，四边形 MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）． 2P 0,12 0,14.5 ；（3） 【答案】（1） y x 1 4 ；m=2；（2）存在， 或10 2+4 5+2 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出 A（1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点 A 坐标代入直线 的解析式，即可求出 m 的值； （2）先求出 E（-5，12），过点 E 作 EP⊥y 轴于点 P，从而得 ，即可得到 P 的坐标，过点 E EDP∽ADO 作，交 y 轴于点 ，可得 ，再利用 tan∠ADO=tan∠PE ，即可求解； P DE∽ADO EP⊥AE PP（3）作直线 y=1，将点 F 向左平移 2 个单位得到 ，作点 E 关于 y=1 的对称点 ，连接 与直线 y=1 EE F F中分别求出 EF， 交于点 M，过点 F 作 FN∥ ，交直线 y=1 于点 N，在 中和 RtEWF RtE WF E F ，进而即可求解． E F 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与 x 轴交于 A 和 B（－3，0）两点，对称轴为直线 ∴A（1，0）， ，x 1 设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x+3)，把 C（0，－3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1， 2∴二次函数解析式为：y= (x-1)(x+3)，即： y x 1 4 ，∵直线 y＝－2x＋m 经过点 A， ∴0=-2×1+m，解得：m=2； 线（2）由（1）得：直 AF 的解析式为：y=-2x+2， 又∵直线 y=-2x+2 与 y 轴交于点 D，与抛物线交于点 E， ∴当 x=0 时，y=2，即 D（0，2）， y 2x 2 x 5 x 1 12联立 ，解得： ，，2y1 12 y2 0 y x 1 4 ∵点 E 在第二象限， ∴E（-5，12）， 过点 E 作 EP⊥y 轴于点 P， ∵∠ADO=∠EDP，∠DOA=∠DPE=90°， ∴，EDP∽ADO ∴P（0，12）； 过点 E 作 ，交 y 轴于点 ，可得 ，P DE∽ADO EP⊥AE P∵∠ED +∠PED=∠PE +∠PED=90°， PP∴∠ADO=∠ED =∠PE ，即：tan∠ADO=tan∠PE ，PPPOA PP 12PP ∴∴，即： ，解得： ，PP 2.5 OD EP 5（0，14.5）， P的综上所述：点 P 坐标为（0，12）或（0，14.5）； （3）∵点 E、F 均为定点， ∴线段 EF 长 ∵MN=2， 为定值， ∴当 EM+FN 为最小值时，四边形 MEFN 的周长最小， 作直线 y=1，将点 F 向左平移 2 个单位得到 ，作点E 关于 y=1 的对称点 ，连接 与直线 y=1 交于 E F EF点 M，过点 F 作 FN∥ ，交直线 y=1 于点 N， E F 由作图可知： ，EM E M，F M FN 又∵ 三点共线， E ，M，F ∴EM+FN= ，此时，EM+FN 的值最小， E M F M E F ∵点 F 为直线 y=-2x+2 与直线 x=-1 的交点， ∴F（-1，4）， ∴（-3，4）， F又∵E（-5，12）， （-5，-10）， ∴E延长 F ∵F 交线段 E 于点 W， EF与直线 y=1 平行， F∴FW⊥E ，E22∵在 中，由勾股定理得：EF= ，RtEWF 12 4 1 5 4 5 22中，由勾股定理得： 在=，RtE WF E F 4 10 3 5 10 2 ∴四边形 MEFN 的周长最小值=ME+FN+EF+MN= ． E F EF MN 10 2 4 5 2 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅 助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键．
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