四川省自贡市2021年中考数学真题（解析版）

2021 年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一．今年“五一黄金周”共接待游客 8.87 万人次，人数 88700 用科学记数法表示为（）0.887105 8.87103 8.87104 88.7103 D. A. B. C. C【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负整数． 4【详解】解： 88700 用科学记数法表示为故选：C．．8.8710 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 2. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（）A. 百 B. 党 C. 年 D. 喜 B【答案】【解析】【分析】正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建” 与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 3. 下列运算正确的是（）2B. a2b3  a4b6 5a2  4a2 1 a9  a3  a3 A. C. (a  2b)2  a2  4b2 D. B【答案】【解析】【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式逐一计算即可． 22【详解】解：A． 2 ，该项运算错误； 5a  4a  a 2a2b3  a4b6 ，该项运算正确； B． 93C． D． 6 ，该项运算错误； a  a  a 22(a  2b)  a  4ab  4b 2 ，该项运算错误；故选：B．【点睛】本题考查整式的运算，掌握合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式是解题的关键． 4. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可． A1【详解】解：是轴对称图形，对称轴有条； BCD不是轴对称图形；不是轴对称图形； 2是轴对称图形，对称轴有条； D故选：．【点睛】本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 5. 如图，AC 是正五边形 ABCDE 的对角线， ACD 的度数是（）A. B. C. D. 88° 72° 36° 74° A【答案】【解析】 B  BCD 108 【分析】根据正五边形的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得 AB  BC ，利用角的和差即可求解． BCA  BAC  36 【详解】解：∵ABCDE 是正五边形， B  BCD 108 ∴∴∴，，AB  BC ,BCA  BAC  36 ACD 10836  72 ，故选：A．【点睛】本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键． 6. 学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了 50 名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：人数（人） 9716 814 911 10 时间（小时）这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A. 16，15 B. 11，15 C. 8，8.5 D. 8，9 C【答案】【解析】【分析】根据众数和中位数的意义与表格直接求解即可．【详解】解：这 50 名学生这一周在校的体育锻炼时间是 8 小时的人数最多，故众数为 8；统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间分别是 8，9，故中位数是（8+9） ÷2=8.5．故选：C．【点睛】本题考查了众数和中位数的意义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 227. 已知，则代数式的值是（　　） x 3x 12  0 3x  9x  5 A. 31 B. C. 41 D. 31 41 B【答案】【解析】 3×2  9x  5= 3 x2 3x +5 2【分析】根据题意，可先求出 x -3x 的值，再化简，然后整体代入所求代数 式求值即可． 2【详解】解：∵ ，x 3x 12  0 2∴，x 3x=12 3×2  9x  5= 3 x2 3x +5= 312+5= 31 ∴．故选：B．【点睛】此题考查了代数式求值，此题的关键是代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设 2中，得出，是解题的关键． x 3x=12 C 2,0 ，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 y 轴正半轴于点 B，则点 B 的坐标为 A 8,0 8. 如图，，（）0,5 5,0 6,0 0,6 A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】先根据题意得出 OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可【详解】解：由题意可知：AC=AB C 2,0 A 8,0 ∵，∴OA=8，OC=2 ∴AC=AB=10 2222在 Rt△OAB 中， OB  AB OA  10 8  6 ∴B(0，6) 故选：D 【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 O（单位：A）与电阻 R（单位：）是反比例函数关 系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）13 I  A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是 18V D. 当 R  6 时， RC. 当 I  10A 时， R  3.6 I  4A C【答案】【解析】 UR4,9 I  【分析】将将 代入求出 U 的值，即可判断 A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断 C． U36 4,9 I  I  【详解】解：设，将 代入可得，故 A 错误； RR∴蓄电池的电压是 36V，故 B 错误； I  10A 时， R  3.6 ，该项正确；当当当 R  6 时， I  6A ，故 D 错误，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 10. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦于点 F，OE  AC 于点 E，若，OE  3 OB  5 ，则 CD 的长 CD  AB 度是（）A. 9.6 B. C. D. 19 4 5 5 3 A【答案】【解析】【分析】先利用垂径定理得出 AE=EC，CF=FD，再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接 OC ∵AB⊥CD, OE⊥AC ∴ AE=EC，CF=FD ∵OE=3，OB=5 ∴OB=OC=OA=5 ∴在 Rt△OAE 中 AE  OA2 OE2  52 32  4 ∴AE=EC=4 2222设 OF=x，则有 AC  AF  OC OF 82  (5 x)2  52  x2 x=1.4 2222在 Rt△OFC 中， FC  OC OF  5 1.4  4.8 ∴CD  2FC  9.6 故选：A 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键 △BMA 沿 BM 对折 11. 如图，在正方形 ABCD 中，，M 是 AD 边上的一点，．将 AB  6 AM : MD 1: 2 至△BMN ，连接 DN，则 DN 的长是（）529 5 86 5 5A. B. C. 3 D. D【答案】【解析】【分析】延长 MN 与 CD 交于点 E，连接 BE，过点 N 作 NF  CD ，根据折叠的正方形的性质得到 MDE∽NFE ，NE  CE 在中应用勾股定理求出 DE 的长度，通过证明，利用相似三角形的性质求出 NF RtMDE 和 DF 的长度，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长 MN 与 CD 交于点 E，连接 BE，过点 N 作 NF  CD ，∵，M 是 AD 边上的一点，，AB  6 AM : MD 1: 2 ∴，AM  2 DM  4 ，△BMA ∵将沿 BM 对折至△BMN ，四边形 ABCD 是正方形， BNE  C  90 AB  AN  BC ，∴∴，RtBNE≌RtBCE (HL)， ∴，NE  CE EM  MN  NE  NE  2 ∴在，DE  x ME  6  x  2  8  x ，中，设，则 RtMDE 根据勾股定理可得 42  x2  8 x 2 ，解得 x  3 ，NE  DE  3 ∴，，ME  5 ∵NF  CD ，，MDE  90 MDE∽NFE ∴∴，EF NF NE 25，DE MD ME 912 NF  EF  ∴∴，，，556DF  56 5 5DN  DF2  NF2  故选：D．，∴【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键． y  2x  2 12. 如图，直线与坐标轴交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行 y  x  3 △OPQ 绕点 O 顺时针旋转 45°，边 PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大线交直线值是（于点 Q，）111 16 21 32 2πA. B. C. D. 23A【答案】【解析】 S S扇形OQM  S 【分析】根据题意得扇形OMN ，设 P(a，2-2a)，则 Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到阴影 1S阴影  3a2  2a  5 • ，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 8OPQ OMN 根据旋转的性质，，SS SOMN ∴则，OPQ  S扇形OQM  SOMN  SOPQ  S扇形OPN 阴影  S扇形OQM  S扇形OPN ，yy  2x  2 y  x  3 上，且 PQ∥ 轴， ∵点 P 在直线上，点 Q 在直线设 P(a，2-2a)，则 Q(a，3-a)， 2∴OP2= a2  2  2a  5a2 8a  4 ，222OQ2= ，a  3 a  2a  6a  9 S阴影  S扇形OQM  S扇形OPN 45 •OQ2 45 •OP2 360 360 1 3a2  2a  5 • ，821316 32设，y  3a  2a  5  3 a  ∵，3  0 116 y时，有最大值，最大值为 a  ∴当，3316 1 2S    ∴阴影的最大值为．383故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．二、填空题（共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13. 请写出一个满足不等式的整数解_________． x  2  7 6【答案】（答案不唯一）【解析】 1.4 ，再解不等式即可．【分析】先估算出的值约为 2∵【详解】解：，2 1.4 ∴∴，x  7  2 ．x  5.6 66所以是该不等式的其中一个整数解（答案不唯一，所有不小于的整数都是该不等式的整数解）； 6故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的整数解、二次根式的值的估算等内容，要求学生在理解相关概念的前提下能灵活运用解决问题，本题答案不唯一，有一定的开放性． 14. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为 100，其中体育课外活动占 30%，期末考试成绩占 70%，小彤的 _________ 这两项成绩依次是 90，80．则小彤这学期的体育成绩是．【答案】83 分．【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．【详解】解：根据题意得： 90×30%+80×70%=83（分）；答：小彤这学期的体育成绩是 83 分．故答案为：83 分．【点睛】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题． 2815. 化简： _________． a  2 a2  4 2【答案】【解析】 a  2 【分析】利用分式的减法法则，先通分，再进行计算即可求解． 28【详解】解： a  2 a2  4 28a  2 a  2 a  2  2 a  2 8a  2 a  2 a  2 a  2      2 a  2 a  2 a  2  2，a  2 2故答案为：．a  2 【点睛】本题考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键． 16. 某校园学子餐厅把 WIFI 密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是______．【答案】143549 【解析】【分析】根据题中密码规律确定所求即可. 【详解】5 32=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=151025   9824=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654， 3=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472， 2 5=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.   6  ∴7   故答案为 143549 【点睛】本题考查有理数的混合运算，根据题意得出规律并熟练掌握运算法则是解题关键. 17. 如图，ABC 的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出ABC 的角平分线 BD（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【解析】【分析】取格点 E，连接 AE，作 AE 的中点 D，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD 即为ABC 角平分线．的【详解】解：如图，射线 BD 即为所求作．．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． y  x  k 18. 当自变量时，函数（k 为常数）的最小值为 k  3，则满足条件的 k 的值为 1 x  3 _________．【答案】 2 【解析】【分析】分时，时，时三种情况讨论，即可求解． k  1 1 k  3 k  3 y  x  k  x  k 【详解】解：①若时，则当时，有，故，k  1 1 x  3 x  k y时，有最小值，此时函数 y  1 k 故当，x  1 由题意，解得：，1 k k  3 ，满足，符合题意； k  2 k  1 y  x  k  0 ②若故当，则当时，，1 k  3 1 x  3 y时，有最小值，此时函数 y  0 ，x  k 由题意，解得：，0 k  3 ，不满足，不符合题意； k  3 1 k  3 y  x  k  k  x ③若故当时，则当时，有，故，k  3 x  3 1 x  3 x  k y时，有最小值，此时函数 y  k 3 ，由题意，，方程无解，此情况不存在， k 3 k  3 综上，满足条件的 k 的值为．2 故答案为：．2 【点睛】本题考查了一次函数的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．三、解答题（共 8 个题，共 78 分） 25 | 7 | (2  3)0 19. 计算：．【答案】【解析】 1 【分析】利用算术平方根、绝对值的性质、零指数幂分别计算各项即可求解．【详解】解：原式． 5  7 1 1 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根、绝对值的性质、零指数幂是解题的关键． 20. ABCDAB CDDE=BF EF如图，在矩形中，点、分别是边、的中点．求证：．【答案】证明见试题解析．【解析】【分析】由矩形的性质和已知得到 DF=BE，AB∥CD，故四边形 DEBF 是平行四边形，即可得到答案．【详解】∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，AB=CD，又 E、F 分别是边 AB、CD 的中点， ∴DF=BE，又 AB∥CD， ∴四边形 DEBF 是平行四边形， ∴DE=BF．考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定． 21. 在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部 B 处测得办公楼底部 D 处的俯角是 53°，从综合楼底部 A 处测得办公楼顶部 C 处的仰角恰好是 30°，综合楼高 24 米．请你帮小明求出办公 tan53 1.33 楼的高度．（结果精确到 0.1，参考数据，，）tan37  0.75 3 1.73 【答案】办公楼的高度约为 10.4 米．【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 AD 的长，进而得出 CD 的高度．【详解】解：根据题意，∠BDA=53°，AB=24， AB tan53  在 Rt△BDA 中，，AD 24 ∴AD= ，1.33 在 Rt△ACD 中，∠CAD=30°， CD tan30  ∴，AD 24 324 1.73 ∴CD= (米)， •10.4 1.33 31.33 3故办公楼的高度约为 10.4 米．【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．的随着我国科技事业不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B 两种型号的无人机都被用来 22. 运送快件，A 型机比 B 型机平均每小时多运送 20 件，A 型机运送 700 件所用时间与 B 型机运送 500 件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？【答案】A 型机平均每小时运送 70 件，B 型机平均每小时运送 50 件【解析】【分析】设 A 型机平均每小时运送 x 件，根据 A 型机比 B 型机平均每小时多运送 20 件，得出 B 型机平均每小时运送（x-20）件，再根据 A 型机运送 700 件所用时间与 B 型机运送 500 件所用时间相等，列出方程解之即可．【详解】解：设 A 型机平均每小时运送 x 件，则 B 型机平均每小时运送（x-20）件， 700 500 根据题意得： xx  20 解这个方程得：x=70．经检验 x=70 是方程的解，∴x-20=50． ∴A 型机平均每小时运送 70 件，B 型机平均每小时运送 50 件．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 23. 为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C （合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如下统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是_________，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有 2000 名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数． 3【答案】（1）100，补全条形统计图见解析；（2）P(恰好回访到一男一女) ；（3）700人 5【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知 C 等级的人数与所占比例，即可求出样本容量，根据 B 所占百分比求出 B 等级的人数，再求出 D 等级的人数即可；（2）画出表格，利用概率公式即可求解；（3）利用样本估计总体的方法求解即可． 25  25% 100 【详解】解：（1）（人），（人）， 100  35  35  25  5 10035%=35 B 等级的人数为 D 等级的人数为：（人），补全条形统计图如下：；（2）列表如下：男男男女女男男男男男女男女男女男女男男男女女男男男男女男女男女女男男男女男女男男男女男女男女男女女女 12 20 3P(恰好回访到一男一女) 200035%  700 ；5（3）（人）．【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键． 24. 函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后 8x x2  4 y   观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数其性质．的图象，并探究列表如下： xy……001234……3 4 2 1 8524 13 8524 13 85ab2 （1）直接写出表中 a、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； 8x x2  4 y   （2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： y  x 对称； ①当时，函数图象关于直线 2  x  2 ②③时，函数有最小值，最小值为；x  2 2 1 x 1 时，函数 y 的值随 x 的增大而减小．其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号） 8x  x （3）结合图象，请直接写出不等式的解集_________． x2  4 8b   【答案】（1），，画出函数的图象见解析；（2）②；（3） a  2 x  0 5【解析】【分析】（1）把和x  2 x 1 分别代入函数解析式，即可求得 a、b 的值，再利用描点法作出图像即可；（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求得即可． 8 2 8x a      2 ，【详解】解：（1）当时， x  2 8x 2×2  4 2  4 81 8b       当时，，5x 1 x2  4 1 4 85b   ∴，，a  2 画出函数的图象如图： y  x （2）①函数图象关于直线对称，原说法错误； ②③时，函数有最小值，最小值为，原说法正确； 2 x  2 时，函数 y 的值随 x 的增大而减小，则原说法正确． 2  x  2 其中正确的是②，③．故答案为：②，③； y  x （3）画出直线，8x y  x 的上方， y   x  0 由图象可知：当时，函数的解集为的图象在直线 x  0 x2  4 8x  x ∴不等式．x2  4 故答案为：．x  0 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 25. 如图，点 D 在以 AB 为直径的⊙O 上，过 D 作⊙O 的切线交 AB 延长线于点 C，于点 E，交 AE  CD ⊙O 于点 F，连接 AD，FD． DAE  DAC （1）求证：（2）求证：；；DF  AC  AD DC 1sin C  （3）若，，求 EF 的长． AD  4 10 4【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF ． 6 【解析】【分析】（1）连接 OD，BD，由圆的切线的性质结合圆周角定理可求得∠EDA=∠ABD，再利用等角的余角相等，可证明结论；（2）如图，连接 BD、BF，利用平行线的性质以及圆周角定理证得∠C=∠ADF，根据（1）的结论可证明△ADF ~△ACD，可证明结论；（3）设 OA=OD=x，利用三角函数的定义和勾股定理得到 OC=4x，CD ，AC =5x，根据相似三角形  15x 的判定和性质求解即可．【详解】（1）证明：连接 OD，BD， ∵ED 是⊙O 的切线，D 为切点， ∴OD⊥ED， ∴∠ODA+∠EDA=90°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ODA+∠ODB=90°， ∴∠ODB=∠EDA， ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠OBD， ∴∠EDA=∠ABD， ∵，AE  CD ∴∠E=90°， DAE  DAC 的(等角余角相等)； ∴（2）如图，连接 BD、BF， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AFB=90°， ∴BF∥CF， ∴∠C=∠ABF=∠ADF， DAE  DAC 由（2）得，~∴△ADF △ACD， AD DF ∴∴,AC CD ；DF  AC  AD DC （3）过 D 作 DH⊥AB 于 H，连接 OD，BD，设 OA=OD=x， OD OC 14sinC  在 Rt△ODC 中， ∴OC=4x，，22则 CD= ，OC OD  15x AC=OA+OC=5x， 4 10• 15x 5x 由（2）得，即，DF  AC  AD DC DF   4 6 ∵∠C+∠DOC=90°，∠ODH+∠DOH=90°， ∴∠ODH=∠C， OH OD 14sin ODH  在 Rt△ODH 中，，1x∴OH= ∴DH= ，415 OD2 OH 2  x，4DAE  DAC 由（1）得 DH=DE= ，15 ，x4∵∠EFD=∠ABD(圆内接四边形外角等于内对角)，由（1）得∠EDA=∠ABD， ∴∠EFD=∠EDA， ~∴△EAD △EDF， 15 ED AD x4 10 4 6 ∴，即，4EF EF DF 3x，∴EF 42 23415 42 22在 Rt△DEF 中， 2 ，即 xx 4 6 ，EF  DE  DF 解得：，x  8 3 8  6 ∴EF ．4【点睛】本题考查了切线的性质定理，也考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键． y  (x 1)(x  a) 26. a 1 ）与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C．如图，抛物线（其中（1）直接写出 OCA 的度数和线段 AB 的长（用 a 表示）；（2）若点 D 为ABC 的外心，且与△ACO 的周长之比为，求此抛物线的解析式； △BCD 10 : 4 y  (x 1)(x  a) （3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点 P，使得？若存 CAP  DBA 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 15y  x2  x  2 【答案】（1）∠OCA=45°，AB= a+1；（2）；（3）存在，P1（，），P2（1，-2）． 42【解析】【分析】（1）根据二次函数解析式可得 A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），即可得出 OA=OB=a，OB=1，即可证明△OCA 是等腰直角三角形，可得∠OCA=45°，根据线段的和差关系可表示 AB 的长；（2）如图，作△ABC 的外接圆⊙D，根据等腰直角三角形的性质可得 AC= ，利用两点间距离公式可用 2a a 表示出 BC 的长，根据圆周角定理可得∠D=2∠OAC=90°，可得△DBC 是等腰直角三角形，即可证明 △DBC∽△OCA，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出 a 值即可得答案；（3）如图，过点 D 作 DH⊥AB 于 H，过点 C 作 AC 的垂线，交 x 轴于 F，过点 O 作 OG⊥AC 于 G，连接 AP 交 CF 于 E，可得△OCF 是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线 CF 的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点 D 坐标，即可得出 BH、DH 的长，根据，∠BHD=∠ACE=90° CAP  DBA 可证明△BHD∽△ACE，根据相似三角形的性质可求出 CE 的长，根据两点间距离公式可得点 E 坐标，利用待定系数法可得直线 AE 解析式，联立直线 AE 与抛物线的解析式求出点 P 坐标即可得答案． y  (x 1)(x  a) a 1 ）与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C．【详解】（1）∵抛物线 ∴当 x=0 时，y=-a，当 y=0 时，（其中 (x 1)(x  a)  0 ，x  1 x  a ，解得：，12∴A（a，0），C（0，-a），B（-1，0）， ∴OB=1，OA=OC=a， ∴△OCA 是等腰直角三角形， ∴∠OCA=45°，AB=OA+OB=a+1．（2）如图，作△ABC 的外接圆⊙D， ∵点 D 为ABC 的外心， ∴DB=DC， ∵△OCA 是等腰直角三角形，OA=a， ∴∠OAC=45°，AC= ∵∠BDC 和∠BAC 是，2a 所对的圆心角和圆周角， BC ∴∠BDC=2∠BAC=90°， ∴∠DBC=45°， ∴∠DBC=∠OAC， ∴△DBC∽△OCA， ∵∴与△ACO 的周长之比为，△BCD 10 : 4 a2 1 2a 10 4BC 10 4，即，，AC 解得： a  2 经检验：是原方程的根， a  2 a 1 ∵∴a=2， ∴抛物线解析式为： 2y  (x 1)(x  2) =．x  x  2 （3）如图，过点 D 作 DH⊥AB 于 H，过点 C 作 AC 的垂线，交 x 轴于 F，过点 O 作 OG⊥AC 于 G，连接 AP 交 CF 于 E， ∵a=2， ∴C（0，-2），A（2，0），AC= ，2 2 ∵∠OCA=45°， ∴∠OCF=45°， ∴△OCF 是等腰直角三角形， ∴F（-2，0），设直线 CF 的解析式为 y=kx+b， 2k  b  0 b  2 ∴，k  1 b  2 解得：，y  x  2 ∴直线 CF 的解析式为，∵△OCA 是等腰直角三角形，OG⊥AC， ∴OG 所在直线为 AC 的垂直平分线，点 G 为 AC 中点， ∵点 D 为ABC 的外心， ∴点 D 在直线 OG 上， ∵A（2，0），C（0，-2）， ∴G（1，-1），设直线 OG 的解析式 y=mx， ∴m=-1，的∴直线 OG 解析式 y=-x， ∵点 D 为△ABC 的外心， ∴点 D 在 AB 的垂直平分线上， 1 2 12∴点 D 的横坐标为 =，211把 x= 代入 y=-x 得 y=- ，2211∴D（，- ）， 223112∴DH= ，BH=1+ =，22∵，∠BHD=∠ACE=90°， CAP  DBA ∴△BHD∽△ACE， 1322 2 DH BH ∴，即，2CE CE AC 2 2 解得：，CE  3∵点 E 在直线 CF 上， ∴设点 E 坐标为（n，-n-2）， 2 2 n2  (n  2  2)2 ∴CE= =，32n   解得：，3234238EE（2∴（，），，）， 133设直线 AE1 的解析式为 y=k1x+b1， 243 k  b   11∴3，2k1  b  0 112k  1解得：，b  1 11y  x 1 ∴直线 AE1 的解析式为，2y  2x  4 同理：直线 AE2 的解析式为，1y  x 1 联立直线 AE 解析式与抛物线解析式得，212y  x  x  2 1254x1   y1   1x  2 1解得：，（与点 A 重合，舍去）， y2  0 5∴P1（，）， 42y  2x  4 y  x2  x  2 联立直线 AE 解析式与抛物线解析式得，2x 1 x  2 12解得：，（与点 A 重合，舍去）， y1  2 y2  0 ∴P2（1，-2）． 1254综上所述：存在点 P，使得，点 P 坐标为 P （，），P2（1，-2）． CAP  DBA 1【点睛】本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．