泸州市二○二一年初中学业水平考试数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题 1. A. 2021 的相反数是（ ）11B. C. D. 2021 2021 2021 2021 A【答案】 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【详解】解：2021 的相反数是：-2021． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键． 2. 第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为 4 254 000 人，将 4 254 000 用科学记数法表示为( B. C. D. )4.254105 42.54105 4.254106 0.4254107 A. C【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将 4254000 用科学记数法表示是 4.254×106． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论． 【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意； 球体的主视图是圆，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 1y 4. 函数 的自变量 x 的取值范围是（ ） B. x＞1 x 1 A. x＜1 C. x≤1 D. x≥1 B【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【详解】解:由题意得，x-1≥0 且 x-1≠0， 解得 x＞1． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取 全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开 方数非负． 5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 且交 BC 于点 E，∠D=58°，则∠AEC 的大小是（ ） A. 61° B. 109° C. 119° D. 122° C【答案】 【解析】 【 分 析 】 根 据 四 边 形ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 得 到 对 边 平 行 ， 再 利 用 平 行 的 性 质 求 出 ，根据角平分线的性质得：AE 平分∠BAD 求 ，再根据平行线的性质得 BAD 180 D 122 DAE ，即可得到答案． AEC 【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴∴，AB//CD AD//BC BAD 180 D 18058 122 ∵AE 平分∠BAD 11DAE BAD 122 61 ∴22∵∴AD//BC AEC 180 DAE 180 61 119 故选 C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系， 是解答此题的关键． 6. A(-3 -2) 5B向右平移 个单位长度得到点，则点 关于 轴对称点 By在平面直角坐标系中，将点 为（ A. (2，2) ，的坐标 B）B. (-2，2) C. (-2，-2) D. (2，-2) C【答案】 【解析】 BB【分析】根据点的平移规律左减右加可得点 的坐标，然后再根据关于 轴的对称点的坐标特点：横坐标 互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点 A(-3，-2)向右平移 5 个单位长度得到点 B(2，-2)， 点 B 关于 y 轴对称点 故选：C． 的坐标为（-2，-2）， By【点睛】本题主要考查了点的平移和关于 轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定 定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、 菱形与平行四边形间的关系． abc8. 2R 在锐角 ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，有以下结论： sinA sinB sinC （其中 R 为 ABC 的外接圆半径）成立．在 ABC 中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则 ABC 的外接圆面 积为（ ） 16 364 3A. B. C. 16 D. 64π A【答案】 【解析】 c16 3 2R 【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式 S 圆= ．sinC 方法二：设△ABC 的外心为 O，连结 OA，OB，过 O 作 OD⊥AB 于 D，由三角形内角和可求∠C=60°，由 30° 圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA= ，由垂径定理可求 16 34 3 3AD=BD= ，利用三角函数可求 OA= ，利用圆的面积公式 S 圆= ．2【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°， c448 3 32R= 有题意可知 ，sinC sin 60 324 3 ∴，R 32 4 3 316 3∴S 圆= R2 OA2 ．方法二：设△ABC 的外心为 O，连结 OA，OB，过 O 作 OD⊥AB 于 D， ∵∠A=75°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°， ∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°， ∵OA=OB， 1180120 30 ∴∠OAB=∠OBA= ，2∵OD⊥AB，AB 为弦， 12AB 2 ∴AD=BD= ，∴AD=OAcos30°， 34 3 3∴OA= ，AD cos30 2 22 4 3 316 3∴S 圆= R2 OA2 ．故答案为 A． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角 函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理， 锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键． 9. (x2 2)(x2 2) 22x ,x x x 2 关于 x 的一元二次方程 的两实数根 2 ，满足 ，则 的x 2mx m m 0 11212值是（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 16 或 40 C【答案】 【解析】 m 1 ，再分别代入一元二次 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得 m 2 或方程中，利用完全平方公式变形解题即可． 22【详解】解：一元二次方程 x 2mx m m 0 a 1,b 2m,c m2 m cx1x2 m2 m 2 am2 m 2 0 (m 2)(m 1) 0 m 1 或m 2 当m 2 时， 2原一元二次方程为 x 4x 2 0 bx1 x2 = 2m 4 ，a(x2 2)(x2 2)=(x x )2 +2(x2 x2 )+4 x2 x2 =(x x )2 2x x ，121212121212(x12 2)(x22 2)=(x1 x2 )2 +2(x1 x2 )2 4×1 x2 +4 =22 +2(4)2 42 4 32 2m 1 当时，原一元二次方程为 x 2x 2 0 (2)2 412 4 0 原方程无解，不符合题意，舍去， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点， 难度较易，掌握相关知识是解题关键． 1232ab10. a b 已知 ，，则 的值是（ ） 10 20 100 50 592A. 2 B. C. 3 D. 2C【答案】 【解析】 ab【分析】根据同底数幂的乘法 3 ，可求 再整体代入即可． a 2b 3 10 100 10 ab【详解】解: ∵ ，，10 20 100 50 aba2b ∴∴∴，10 100 10 2050 1000 103 ，a 2b 3 1232121a b a 2b 3 3 3 3 ．2故选：C． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则， 与代数式值求法是解题关键． 11. 如图，⊙O 的直径 AB=8，AM，BN 是它的两条切线，DE 与⊙O 相切于点 E，并与 AM，BN 分别相交于 D，C 两点，BD，OC 相交于点 F，若 CD=10，则 BF 的长是 8 17 910 17 98 15 910 15 9A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】过点 D 作 DG⊥BC 于点 G，延长 CO 交 DA 的延长线于点 H，根据勾股定理求得 ，即可得 GC 6 AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得 AH=BC=8，即可求得 HD= 10； 在 Rt△ABD 中，根据勾股定理可得 ；证明△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得 BD 2 17 DH DF 8 17 ，由此即可求得 ．BF BC BF 9【详解】过点 D 作 DG⊥BC 于点 G，延长 CO 交 DA 的延长线于点 H， ∵AM，BN 是它的两条切线，DE 与⊙O 相切于点 E， ∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°， ∵DG⊥BC， ∴四边形 ABGD 为矩形， ∴AD=BG，AB=DG=8， 在 Rt△DGC 中，CD=10， 2222∴，GC CD DG 10 8 6 ∵AD=DE，BC=CE，CD=10， ∴CD= DE+CE = AD+BC =10， ∴AD+BG +GC=10， ∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8， ∵∠DAB=∠ABC=90°， ∴AD∥BC， ∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO， ∵OA=OB， ∴△HAO≌△BCO， ∴AH=BC=8， ∵AD=2， ∴HD=AH+AD=10； 在 Rt△ABD 中，AD=2，AB=8， 2222∴，BD AB AD 8 2 2 17 ∵AD∥BC， ∴△DHF∽△BCF， DH DF ∴∴，BC BF 10 217 BF ，8BF 8 17 解得， ．BF 9故选 A． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判 定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键． 222212. 直线 l 过点(0，4)且与 y 轴垂直，若二次函数 （其中 x 是 y (x a) (x 2a) (x 3a) 2a a 自变量）的图像与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴在 y 轴右侧，则 a 的取值范围是（ ） A. a＞4 【答案】 【解析】 B. a＞0 C. 0＜a≤4 D. 0＜a＜4 D【分析】由直线 l：y=4，化简抛物线 y 3×2 12ax 12a2 a ，令 ，利用判别 223x 12ax 12a a 4 a 4 式，解出 ，由对称轴在 y 轴右侧可求 即可． 12a 48 0 a 0 【详解】解：∵直线 l 过点(0，4)且与 y 轴垂直， 直线 l：y=4， y (x a)2 (x 2a)2 (x 3a)2 2a2 a 3×2 12ax 12a2 a ，22∴，3x 12ax 12a a 4 2222的（其中 x 是自变量） 图像与直线l 有两个不同 ∵二次函数 的交点， y (x a) (x 2a) (x 3a) 2a a 2 12a 43 12a2 a 4 ∴，， 12a 48 0 a 4 ∴，又∵对称轴在 y 轴右侧， 12a 23 ，12a 6x =2a 0 ，∴a 0 ∴0＜a＜4． 故选择 D． 【点睛】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式， 掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关 键． 第Ⅱ卷 二、填空题 213. 分解因式： ___________． 4 4m 4 1 m 1 m 【答案】 【解析】 ．【分析】先提取公因式 4，再利用平方差公式分解即可． 4 4m2 4 1 m2 4 1 m 1 m 【详解】解： ．4 1 m 1 m 故答案为： ．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再 用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14. 不透明袋子重病装有 3 个红球，5 个黑球，4 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出 一个球，则摸出红球的概率是_________． 1【答案】 4【解析】 【分析】用红球的数量除以球的总数量即可解题． 331==【详解】解:根据题意，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ，3+5+4 12 4 1故答案为： ．4【点睛】本题考查简单概率公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． ìïï2x- 3> 0 x- 2a < 3 15. x关于 的不等式组 íï2 a 恰好有 个整数解，则实数 的取值范围是_________． ïî10 a 【答案】 【解析】 2的【分析】首先解每个不等式，根据不等式组只有 个整数解，确定整数解 值，进而求得 的范围． 2aìï 2x- 3> 0① ïí【详解】解： ïx- 2a < 3② ïî3x 解①得 解②得 ，2，x 3 2a 3< x < 3+ 2a 不等式组的解集是 ．2∵不等式组只有 2 个整数解， ∴整数解是 2，3． 3< 3+ 2a £ 4 则∴,10 a 2120 a 故答案是： xx【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据 的取值范围，得出 的整数解．求不等式组的解 集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 16. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，且 CF=3DF，AE，BF 相交 ________ 于点 G，则 AGF 的面积是 ．56 11 【答案】 【解析】 ．【分析】延长 AG 交 DC 延长线于 M，过 G 作 GH⊥CD，交 AB 于 N，先证明△ABE≌△MCE，由 CF=3DF， 可求 DF=1，CF=3，再证△ABG∽△MFG，则利用相似比可计算出 GN，再利用两三角形面积差计算 S△DEG 即可． 【详解】解：延长 AG 交 DC 延长线于 M，过 G 作 GH⊥CD，交 AB 于 N，如图， ∵点 E 为 BC 中点， ∴BE=CE， 在△ABE 和△MCE 中， ABE MCE BE CE ，AEB MEC ∴△ABE≌△MCE（ASA）， ∴AB=MC=4， ∵CF=3DF，CF+DF=4， ∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7， ∵AB∥MF， ∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF， ∴△ABG∽△MFG， AB GN 47∴∵∴，MF GH ，GN GH 4 16 28 11 GN ,GH ，11 111116 56 AB HN ABGN 44 4 S△AFG=S△AFB-S△AGB =，222211 11 56 故答案为 ．11 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面 积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运 用相似比计算线段的长是解题关键． 三、解答题 0- 1 æçèöæ ö 12021 ÷÷÷øçç÷17. +- -4 + 2 3cos30° ÷计算： ( ) ．çç÷çè ø 4p12 【答案】 【解析】 ．【分析】根据零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 0- 1 æçèöæ ö 12021 ÷÷÷øçç÷+- -4 + 2 3cos30° ÷【详解】解： ( ) çç÷çè ø 4p3= 1+ 4+ 4+ 2 3´ = 1+ 4+ 4+ 3 212 ．【点睛】本题考查了零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值等知识点，熟悉相关知识 点是解题的关键 18. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE 【答案】证明见详解． 【解析】 【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论. 【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中， A A AB AC B C ∵,△ABE≌△ACD (ASA)， ∴AE=AD， ∴BD=AB–AD=AC-AE=CE． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 1 4a a 2 a 1 a 2 19. (a ) 化简： ．【答案】 a 1 ．【解析】 【分析】首先将括号里面进行通分运算，进而合并分子化简，再利用分式除法法则计算得出答案． 1 4a a 2 a 1 a 2 (a ) 【详解】解： a2 2a 1 4a a 1 a 2 ==() a 2 a 2 a2 2a 1 a 1 a 2 a 2 (a 1)2 a 2 a 2 a 1 ==a 1 ．【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行分式的通分运算是解答此题的关键． 20. 某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度 内每天的销售额，从中随机抽取了 20 天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：16，14，13，17， 15，14，16，17，14，14，15，14，15，15，14，16，12，13，13，16 （1）根据上述样本数据，补全条形统计图； （2）上述样本数据的众数是_____，中位数是_____； （3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额． 【答案】（1）见解析；（2）14 万元，14.5 万元；（3）14.65 万元 【解析】 【分析】（1）分别找出数据“14”和“16”的频数即可补全条形统计图； （2）根据众数和中位数的定义进行解答即可； （3）根据加权平均数的计算方法求出样本平均数，再估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额即 可． 【详解】解：（1）根据所给的 20 个数据得出： 销售额是 14 万元的有 6 天； 销售额是 16 万元的有 4 天； 补全条形统计图如下： （2）在数据：16，14，13，17，15，14，16，17，14，14，15，14，15，15，14，16，12，13，13，16 中， 销售额是 14 万元的最多，有 6 天，故众数是 14 万元； 将数据按大小顺序排列，第 10，11 个数据分别是 14 万元和 15 万元， 14+15 =14.5 所以，中位数是： （万元）； 2故答案为：14 万元，14.5 万元； 121+133+146+154+164+172 的（3）20 天 销售额的平均值为： =14.65 （万元） 1+3+6+4+4+2 所以，可以估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额为 14.65 万元． 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把 数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次 数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 21. 某运输公司有 A、B 两种货车，3 辆 A 货车与 2 辆 B 货车一次可以运货 90 吨，5 辆 A 货车与 4 辆 B 货 车一次可以运货 160 吨． （1）请问 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有 190 吨货物需要运输，该运输公司计划安排 A、B 两种货车将全部货物一次运完(A、B 两种货 车均满载)，其中每辆 A 货车一次运货花费 500 元，每辆 B 货车一次运货花费 400 元．请你列出所有的运输 方案，并指出哪种运输方案费用最少． 【答案】（1）1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货 20 吨和 15 吨；（2）共有 3 种租车方案，方案 1： 租用 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆；方案 2：租用 A 型车 5 辆，B 型车 6 辆；方案 3：租用 A 型车 2 辆，B 型车 10 辆；租用 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆最少． 【解析】 【分析】（1）设 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货 x 吨和 y 吨，根据“3 辆 A 货车与 2 辆 B 货车 一次可以运货 90 吨，5 辆 A 货车与 4 辆 B 货车一次可以运货 160 吨”列方程组求解可得； （2）设货运公司安排 A 货车 m 辆，则安排 B 货车 n 辆．根据“共有 190 吨货物”列出二元一次方程组， 结合 m，n 均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据． 【详解】解：（1）1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货 x 吨和 y 吨， 3x 2y 90 5x 4y 160 根据题意可得： ，x 20 y 15 解得： ，答：1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货 20 吨和 15 吨； （2）设安排 A 型车 m 辆，B 型车 n 辆， 383n m 依题意得：20m+15n=190，即 ，4又∵m，n 均为正整数， m 8 n 2 m 5 n 6 m 2 ∴或或，n 10 ∴共有 3 种运输方案， 方案 1：安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆； 方案 2：安排 A 型车 5 辆，B 型车 6 辆； 方案 3：安排 A 型车 2 辆，B 型车 10 辆． 方案 1 所需费用：500 8+400 2=4800(元)； 方案 2 所需费用：500 5+400 6=4900(元)； 方案 3 所需费用：500 2+400 10=5000(元)； ∵4800＜4900＜5000， ∴安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆最省钱，最省钱的运输费用为 4800 元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系， 正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500×安排 A 型车的 辆数+400×B 型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用． m22. y 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数 （1）求一次函数的解析式 （2）将直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l，l 与两坐标轴分别相交于 M，N，与反比例函数的 的图象相交于 A(2，3)，B(6，n)两点 xPQ 图象相交于点 P，Q，求 的值 MN 1PQ 12 x 4 【答案】（1）一次函数 y= ，（2） ．2MN 【解析】 6y 【分析】（1）利用点 A(2，3)，求出反比例函数 ，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式； ，求出 P(-6,-1),Q(-2,-3),在 Rt△MON 中，由勾股定理 x1y x 4 12 x 4 （2）利用平移求出 y= ，联立 62y xMN= ,PQ= 即可． 4 5 2 5 my 【详解】解：（1）∵反比例函数 的图象过 A(2，3)， x∴m=6, ∴6n=6， ∴n=1， ∴B（6,1） 6y 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数 的图象相交于 A(2，3)，B(6，1)两点， x6k b 1 2k b 3 ∴，12k b 4 解得 ，1 x 4 一次函数 y= ，21 x 4 （2）直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l，得 y= ，21-x- 4 = 0 ，当 y=0 时， ，当 x=0 时，y=-4， x 8 2∴M（-8，0），N（0，-4）， 1y x 4 2，6y x2消去 y 得 ，x 8x 12 0 x 2, x 6 解得 解得 ，12x 2 x 6 12，，y1 3 y2 1 ∴P(-6,-1),Q(-2,-3), Rt△MON 中， 在22∴MN= ∴PQ= ,OM ON 4 5 22，2 6 1 3 2 5 PQ 2 5 12∴．MN 4 5 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线 l.，解方程组， 一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直 线 l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键． 23. 如图，A，B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在 C 点处遇险发出求救信号，此时测得 C 点位于观测点 A 的北偏东 45°方向上，同时位于观测点 B 的北偏西 60°方向上，且测得 C 点与观测点 A 的距 离为 海里． 25 2 （1）求观测点 B 与 C 点之间的距离； （2）有一艘救援船位于观测点 B 的正南方向且与观测点 B 相距 30 海里的 D 点处，在接到海轮的求救信号 后立即前往营救，其航行速度为 42 海里/小时，求救援船到达 C 点需要的最少时间． 35 21 【答案】（1）观测点 B 与 C 点之间的距离为 50 海里；（2）救援船到达 C 点需要的最少时间为 小时． 【解析】 【分析】（1）过 C 作 CE⊥AB 于 E，分别在 Rt△ACE 和 Rt△BCE 中，解直角三角形即可求解； （2）过 C 作 CF⊥BD，交 DB 延长线于 F，求得四边形 BFCE 为矩形，在 Rt△CDF 中，利用勾股定理即可 求解． 【详解】（1）过 C 作 CE⊥AB 于 E， 由题意得：∠CAE=45°，∠CBE=90°-60°=30°，AC=25 ，2在 Rt△ACE 中， 2AE=CE=AC =25 =25(海里)， sin 45 2 2在 Rt△BCE 中， BC=2CE=50(海里)，BE= BC2 CE2 =25 (海里)， 3∴观测点 B 与 C 点之间的距离为 50 海里； （2）过 C 作 CF⊥BD，交 DB 延长线于 F， ∵CE⊥AB，CF⊥BD，∠FBE=90°， ∴四边形 BFCE 为矩形， ∴CF=BE=25 (海里)，BF=CE=25(海里)， 3在 Rt△CDF 中，CF=25 ∴CD= (海里)，DF=55(海里)， 322CF2 DF2 25 3 55 70(海里)， 70 35 救援船到达 C 点需要的最少时间为 (小时)． 42 21 ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此 题的关键． 24. 如图， ABC 是⊙O 的内接三角形，过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F，AE 是⊙O 的直径， 连接 EC （1）求证： ACF B ；AD BC （2）若 ，于点 ，，，求 的值 AB BC FC 4 DFA 2 ADAE 1218 ．【答案】（ ）证明见详解；（ ） 【解析】 FC ÐACF = ÐECO ， 利 用 【 分 析 】（ 1 ） 连 接 ， 根 据 是 ⊙O 的 切 线 ， AE 是 ⊙O 的 直 径 ， 可 得 ÐOEC = ÐB OC ÐOEC = ÐECO OE OC ，得到 ，根据圆周角定理可得 ，则可证得 ACF B ；FC2 FA VAFC : VCFB （2）由（1）可知 ACF B ，易得 FAgBC ，则有 FB = = 8 ,则可得 ，并可求 AB BC 6 AD AC CA = = 3 VACD : VAEB ADgAE = ABgAC = 18 ，可得 ． 得，连接 BE ，易证 ，则有 FC AB AE 【详解】解：（1）连接 OC FC ∵∴∴∴是⊙O 的切线，AE 是⊙O 的直径， oÐOCF = ÐACE = 90 ，oÐACF + ÐACO = ÐECO + ÐACO = 90 ÐACF = ÐECO 又∵OE OC ÐOEC = ÐECO ∴ÐOEC = ÐB 根据圆周角定理可得： ÐB = ÐECO ∴∴，ACF B ；（2）由（1）可知 ACF B ，∵∴AFC CFB VAFC : VCFB FC FA =∴FB FC FC2 ∴∵∴,FB = FA ，，FC 4 FA 2 FC2 42 FB = == 8 FA 2AB = FB- AF = 8- 2 = 6 ∴∴AB BC 6 CA FA VAFC : VCFB =又∵ 中， BC FC FAgBC 2´ 6 CA = == 3 ∴，FC 4如图示，连接 BE o∵∴，ACD AEB ÐADC = ÐABE = 90 VACD : VAEB AD AC ∴∴AB AE ADgAE = ABgAC = 6´ 3 = 18 ．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定 与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 1325. y x2 x 4 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与两坐标轴分别相交于 A，B，C 三点 42（1）求证：∠ACB=90° （2）点 D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点 D 作 x 轴的垂线交 BC 于点 E，交 x 轴于点 F． ①求 DE+BF 的最大值； ②点 G 是 AC 的中点，若以点 C，D，E 为顶点的三角形与 AOG 相似，求点 D 的坐标． 25 D(4,6) D(3, )．【答案】（1）（2）①9；② 或4【解析】 【分析】（1）分别计算 A，B，C 三点的坐标，再利用勾股定理求得 AB、BC、AC 的长，最后利用勾股定理 逆定理解题； 131D(x, x2 x 4) BF 8 x，DE x2 2x （2）①先解出直线 BC 的解析式，设 ，接着解出 ，424利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得 AG 的长，再证明 C，D，E 为顶点的三角形与 AOG 相似，结合相似三角形对应 CAO DEC ，再分两种情况讨论以点 边成比例性质解题即可． y 4 【详解】解：（1）令 x=0，得 C(0,4) y 0 令得13 x2 x 4 0 42\ x2 – 6x- 16 = 0 (x 8)(x 2) 0 A(2,0) B(8,0) ，AB 10, AC (0 2)2 (4 0)2 2 5,BC (8 0)2 (0 4)2 4 5 102 (2 5)2 (4 5)2 AB2 AC2 BC2 ACB 90 y kx b(k 0) B(8,0) C(0,4) ， 得 （2）①设直线 BC 的解析式为： ，代入 8k b 0 b 4 12b 4 k 1 y x 4 213D(x, x2 x 4) 设421311BF 8 x，DE x2 x 4 ( x 4) x2 2x 42241DE+BF x2 2x 8 x 41 x2 x 8 41 (x2 4x) 8 41 (x 2)2 9 41 0 41 (x 2)2 0 41 (x 2)2 9 9 4DE+BF 9 即 DE+BF 的最大值为 9； ②点 G 是 AC 的中点， 1OG AC AG 5 中， Rt△AOC 在2即为等腰三角形， AOG CAO ACO ACO OCB 90 CAO OCB OC / /DF OCB DEC CAO DEC 若以点 C，D，E 为顶点的三角形与 AOG 相似， AG DE 5则① AO CE 21 x2 2x 54CE 2又OC / /DF CE BC OF OB BC OF 5x CE OB 215x 5 x2 2x 422x2 3x 0 x 0 x 3 ，1225 D(0,4) D(3, )或4D 0,4 经检验： 不符合题意，舍去， AG CE 5②，AO DE 2又OC / /DF CE BC OF OB BC OF 5x CE OB 25x 5212 x2 2x 42整理得， x 4x 0 x 0 x 4 ，12D(0,4) D(4,6) 或，D 0,4 同理： 不合题意，舍去， 25 D(4,6) D(3, )．综上所述， 或4【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股 定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题 关键．
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