广安市 2021 年初中学业水平考试试题数学 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大 题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 16 的平方根是（ 4 ）A. B. C. D. 848 A【答案】 【解析】 【分析】依据平方根的定义解答即可． 【详解】解：16 的平方根是±4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 2. 下列运算中，正确的是（ ）a2 a5 a10 A. B. (a b)2 a2 b2 2C. 3a3 6a6 D. 3a2b 2a2b a2b D【答案】 【解析】 的【分析】根据同底数幂 乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可． 25【详解】解：A、 7 ，故选项错误； a a a 222B、 C、 D、 ，故选项错误； (a b) a b 2ab 23a3 9a6 ，故选项错误； 222，故选项正确； 3a b 2a b a b 故选 D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是 掌握各自的运算法则． 3. 到 2021 年 6 月 3 日，我国 31 个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团，累计接种新冠疫苗约 7.05 亿剂次，请将 7.05 亿用科学计数法表示（ ）7.05107 70.5108 7.05108 7.05109 A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．即可将题目中的数据用科学记数 法表示出来． 【详解】解：7.05 亿=705000000=7.05×108， 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4. 下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； B、主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； 故选 B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转 180°后与原图重合． a 2 x2 3x 1 0 x关于 的一元二次方程 a有实数根，则 的取值范围是（ 5. ）11114a a a a A. 且a 2 B. C. 且a 2 D. 444A【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 a+2≠0 且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即 可． a 2 x2 3x 1 0 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程 ∴△≥0 且 a+2≠0， 有实数根， ∴（-3）2-4（a+2）×1≥0 且 a+2≠0， 1解得：a≤ 且 a≠-2， 4故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0 时，方程无实 数根． 6. 下列说法正确的是（ ）A. 为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查 B. 在一组数据 7，6，5，6，6，4，8 中，众数和中位数都是 6 aC. “若 是实数，则 a 0 ”是必然事件 S2 0.02 S2 0.12 D. 若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则乙组数据比甲组数据稳定 甲乙B【答案】 【解析】 【分析】根据抽样调查及普查，众数和中位数，随机事件，方差的意义分别判断即可． 【详解】解：A、为了了解全国中学生的心理健康情况，人数较多，应采用抽样调查的方式，故错误； B、在一组数据 7，6，5，6，6，4，8 中，众数和中位数都是 6，故正确； a 0 a 0 ”是随机事件，故错误； C、 ，则“若 a 是实数，则 S2 0.02 S2 0.12 D、若甲组数据的方差 故选 B． ，乙组数据的方差 ，则甲组数据比乙组数据稳定，故错误； 甲乙【点睛】此题主要考查了抽样调查及普查，众数和中位数，随机事件，方差的意义，解答本题的关键是熟 练掌握各个知识点． kA 3, y 1 B 1, y C 2, y yyy， 3 的大 7. y k 0 若点 ，2 ，3 都在反比例函数 的图象上，则 ，12x小关系是（ ）y3 y1 y2 y2 y1 y3 y1 y2 y3 y3 y2 y1 A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数中 k＜0 判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得 出结论． kxy 【详解】解：∵反比例函数 中 k＜0， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大． ∵-3＜0，-1＜0， ∴点 A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限， ∴y1＞0，y2＞0， ∵-3＜-1＜0， ∴0＜y1＜y2． ∵2＞0， ∴点 C（2，y3）位于第四象限， ∴y3＜0， ∴y3＜y1＜y2． 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较 简单． 8. AD BC BAC 的度 如图，将ABC 绕点 A逆时针旋转55得到 ，若E 70 且于点 ，则 FADE 数为（ ）A. B. C. D. 65 70 75 80 C【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求 解． 【详解】解：∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 55°得△ADE， ∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°． 故选 C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 9. 如图，公园内有一个半径为 18 米的圆形草坪，从 A地走到 B地有观赏路（劣弧 ）和便民路（线段 AB AOB 120 AB，小强从 走到 ，走便民路比走观赏路少走 ）.已知 ）米. A、B是圆上的点， 为圆心， OAB （A. C. B. 6 6 3 6 9 3 D. 12 9 3 12 18 3 D【答案】 【解析】 【分析】作 OC⊥AB 于 C，如图，根据垂径定理得到 AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计 算出∠A，从而得到 OC 和 AC，可得 AB，然后利用弧长公式计算出 的长，最后求它们的差即可． AB 【详解】解：作 OC⊥AB 于 C，如图， 则 AC=BC， ∵OA=OB， 1∴∠A=∠B= （180°-∠AOB）=30°， 21在 Rt△AOC 中，OC= OA=9， 222AC= ，18 9 9 3 ∴AB=2AC= ，18 3 120 18 AB 12 ，又∵ =180 ∴走便民路比走观赏路少走 米， 12 18 3 故选 D． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、 弦心距等问题． y ax2 bx c a 0 10. 二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ，② ，③ abc 0 4a 2b c 0 a b x ax b ，④3a c 0，正确的有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与 y 轴交点可得 a，b，c 的符号，从而判断①；再根据二次函数 的 对 称 性 ， 与x 轴 的 交 点 可 得 当x=-2 时 ， y ＞ 0 ， 可 判 断 ② ； 再 根 据x=-1 时 ， y 取 最 大 值 可 得 a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据 x=1 时，y=a+b+c，结合 b=2a，可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， b 1 ，∵对称轴为直线 x=-1，即 ∴b=2a，则 b＜0， 2a ∵抛物线与 y 轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线 x=-1，与 x 轴的一个交点横坐标在 0 和 1 之间， 则与 x 轴的另一个交点在-2 和-3 之间， ∴当 x=-2 时，y=4a-2b+c＞0，故②错误； ∵x=-1 时，y=ax2+bx+c 的最大值是 a-b+c， ∴a-b+c≥ax2+bx+c， ∴a-b≥ax2+bx，即 a-b≥x（ax+b），故③正确； ∵当 x=1 时，y=a+b+c＜0，b=2a， ∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次 项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；② 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右．（简称：左同右异）③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点． 抛物 线与 y 轴交于（0，c）． 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置.本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 在函数 中，自变量 x 的取值范围是___． y 2x 1 1x 【答案】 【解析】 2【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数 12x 1 0 x 必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 ．2x 1 212. ______ ．若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 8【答案】 【解析】 【详解】解：设边数为 n，由题意得， 180（n-2）=360 3 解得 n=8. 所以这个多边形的边数是 8. 一个三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长是方程 x2-6x+8=0 的根，则三角形的周长为_____． 13. 【答案】12 【解析】 【分析】先求方程 x2-6x+8=0 的根，再由三角形的三边关系确定出三角形的第三边的取值范围，即可确定第 三边的长，利用三角形的周长公式可求得这个三角形的周长． 【详解】∵三角形的两边长分别为 3 和 5，∴5-3＜第三边＜5+3，即 2＜第三边＜8， 又∵第三边长是方程 x2-6x+8=0 的根，∴解之得根为 2 和 4，2 不在范围内，舍掉， ∴第三边长为 4．即勾三股四弦五，三角形 ∴三角形的周长：3+4+5=12． 故答案为 12． 是直角三角形． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．属于基础题型，应重点掌握． x 2y 2 x 2y 3 22 的值为______． yx14. 若、满足 ，则代数式 x 4y 【答案】-6 【解析】 【分析】根据方程组中 x+2y 和 x-2y 的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3， ∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6， 故答案为：-6． 【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解 题关键． FG .已知 15. 如图，将三角形纸片 折叠，使点 B、都与点 A重合，折痕分别为 、ABC CDE ，，，则 BC 的长为_______． DE 3 ACB 15 AE EF 【答案】 4 2 3 【解析】 【分析】由折叠的性质得出 BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，得出∠AFE=30°，由等腰三角形的性质得 出∠EAF=∠AFE=30°，证出△ABE 是等边三角形，得出∠BAE=60°，求出 AE=BE=2，证出∠BAF=90°，利 用勾股定理求出 AF，即 CF，可得 BC． 【详解】解：∵把三角形纸片折叠，使点 B、点 C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE，FG， ∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°， ∴∠AFE=30°，又 AE=EF， ∴∠EAF=∠AFE=30°， ∴∠AEB=60°， ∴△ABE 是等边三角形，∠AED=∠BED=30°， ∴∠BAE=60°， ∵DE= ，3DE ∴AE=BE=AB= =2， cos30 ∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°， BF2 AB2 ∴FC=AF= =，2 3 ∴BC=BF+FC= ，4 2 3 故答案为： ．4 2 3 【点睛】此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质； 根据折叠的性质得出相等的边和角是解题关键． AB y VAB O 1 的位置， 116. 如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为 B，将ABO 绕点 A逆时针旋转到 3B的对应点 1 落在直线 VAB O B1 绕点 1 逆时针旋转到 A B O O2 的位置，使点 1 的 y x 使点 B上，再将 11143O对应点 2 也落在直线 0,3 B，则点 21 的纵坐标为 y x 上，以此进行下去……若点 B的坐标为 4______． 387 5【答案】 【解析】 【分析】计算出△AOB 的各边，根据旋转的性质，求出 OB1，B1B3，…，得出规律，求出 OB21，再根据一 次函数图像上的点求出点 B21 的纵坐标即可． 【详解】解：∵AB⊥y 轴，点 B（0，3）， 3y x ∴OB=3，则点 A 的纵坐标为 3，代入 ，433 x，得：x=-4，即 A（-4，3）， 得： 432 42 ∴OB=3，AB=4，OA= =5， 由旋转可知： OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4， ∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12， ∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129， 2 ），则 OB21= a2 a 129 33 a 设 B21（a， ，44516 516 a 解得： 或（舍）， 5533516 5387 387 5 a 则，即点 B21 的纵坐标为 ，445387 5故答案为： ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB 的各边，计 算出 OB21 的长度是解题的关键． 三、解答题（本大题共 4 个小题，第 17 小题 5 分，第 18、19、20 小题各 6 分，共 23 分） 3.14 0 27 1 3 4sin 60 17. 计算： ．【答案】0 【解析】 【分析】分别化简各数，再作加减法． 3.14 0 27 1 3 4sin 60 【详解】解： 3=13 3 3 1 4 2=13 3 3 1 2 3 =0 【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则． a2 2a 1 a2 1 2a 18. a 先化简： ，再从-1，0，1，2 中选择一个适合的数代入求值． a 1 121【答案】 【解析】 ，a【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的 a 的值代入计算即可． a2 2a 1 a2 1 2a a 【详解】解： a 1 2a 1 a a1 2a =a 1 a 1 a 1 a 1 2a 1 a 1 ==a 1 a 1 a a1 1a由原式可知，a 不能取 1，0，-1， 1∴a=2 时，原式= ．2【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减， 有括号的先算括号里面的． 19. 如图，四边形 ．是菱形，点 、分别在边 、AB AD 的延长线上，且 ．连接 、ABCD CE EFBE DF CF CE CF 求证： ．【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到 BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据 SAS 证明△BEC≌△DFC，可得 CE=CF． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BC=CD，∠ADC=∠ABC， ∴∠CDF=∠CBE， 在△BEC 和△DFC 中， BE DF CBE CDF BC CD ，∴△BEC≌△DFC（SAS）， ∴CE=CF． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条 件． my kx b k 0 A 1,n 20. y m 0 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ，12xB 3,2 两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； x（2）点 P在轴上，且满足 的面积等于 4，请直接写出点 P的坐标． △ABP 6y 2x 4 y 【答案】（1） ，；（2）（1，0）或（3，0） 12x【解析】 【分析】（1）根据点 B 坐标求出 m，得到反比例函数解析式，据此求出点 A 坐标，再将 A，B 代入一次函 数解析式； （2）设点 P 的坐标为（a，0），求出直线 AB 与 x 轴交点，再结合△ABP 的面积为 4 得到关于 a 的方程，解 之即可． 【详解】解：（1）由题意可得： my 点 B（3，-2）在反比例函数 图像上， 2xm2 ∴，则 m=-6， 36y ∴反比例函数的解析式为 ，2x6y 将 A（-1，n）代入 ，x26n 6 1 得： ，即 A（-1，6）， 将 A，B 代入一次函数解析式中，得 2 3k b 6 k b k 2 b 4 ，解得： ，y 2x 4 ∴一次函数解析式为 ；1（2）∵点 P 在 x 轴上， 设点 P 的坐标为（a，0）， y 2x 4 ∵一次函数解析式为 ，令 y=0，则 x=2， 1∴直线 AB 与 x 轴交于点（2，0）， 由△ABP 的面积为 4，可得： 1212 y y a 2 4 B 8 a 2 4 ，，即 A解得：a=1 或 a=3， ∴点 P 的坐标为（1，0）或（3，0）． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形 的面积可被 x 轴或 y 轴分割为 2 个三角形的面积和． 四、实践应用题（本大题共 4 个小题，第 21 小题 6 分，第 22、23、24 小题各 8 分，共 30 分） 21. 在中国共产党成立 100 周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年 级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据图中信息回 答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示 等级的扇形圆心角度数为_______． C（2） A等级中有 2 名男生，2 名女生.从中随机抽取 2 人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列 表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 2【答案】（1）50，108°；（2） 3【解析】 【分析】（1）用 B 等级的人数除以对应百分比，可得抽取的人数，再用 C 等级的人数所占比例乘以 360°可 得对应圆心角； （2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的结果数，然后利用概 率公式求解． 【详解】解：（1）24÷48%=50 人， ∴本次抽取调查的学生共有 50 人， ∵C 等级的人数为 15， 15 360 ∴对应圆心角为 =108°； 50 （2）画树状图如下： 可知，所有等可能的结果有 12 种，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 8 种， 823∴恰好抽到一男一女的概率为 =．12 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，以及列表法或树状图法求概率，注意掌握条形统计图 与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键． 22. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和 乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价 甲乙x 4 25 x进价（元/千克） 售价（元/千克） 20 已知用 1200 元购进甲种水果的重量与用 1500 元购进乙种水果的重量相同． x（1）求 的值； （2）若超市购进这两种水果共 100 千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的 3 倍，则超市应如何 进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）16；（2）购进甲种水果 75 千克，则乙种水果 25 千克，获得最大利润 425 元 【解析】 【分析】（1）根据用 1200 元购进甲种水果的重量与用 1500 元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解 之即可； （2）设购进甲种水果 m 千克，则乙种水果 100-m 千克，利润为 y，列出 y 关于 m 的表达式，根据甲种水果 的重量不低于乙种水果重量的 3 倍，求出 m 的范围，再利用一次函数的性质求出最大值． 【详解】解：（1）由题意可知： 1200 1500 ，xx 4 解得：x=16， 经检验：x=16 是原方程的解； （2）设购进甲种水果 m 千克，则乙种水果 100-m 千克，利润为 y， 由题意可知： y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的 3 倍， ∴m≥3（100-m）， 解得：m≥75，即 75≤m＜100， 在 y=-m+500 中，-1＜0，则 y 随 m 的增大而减小， ∴当 m=75 时，y 最大，且为-75+500=425 元， ∴购进甲种水果 75 千克，则乙种水果 25 千克，获得最大利润 425 元． 【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． 23. 如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄 与地面 平行，踏板 CD AB AB DE 1.5m 长为 ，与地面 的夹角 ，支架 长为 ，，求跑步机手柄 CD CDE 15 AC ACD 75 DE 1m 所在直线与地面 之间的距离．（结果精确到 ）.参考数据：sin15 0.26 ，，0.1m cos15 0.97 DE ，tan15 0.27 3 1.73 【答案】1.3m 【解析】 【分析】过 C 点作 FG⊥AB 于 F，交 DE 于 G．在 Rt△ACF 中，根据三角函数可求 CF，在 Rt△CDG 中， 根据三角函数可求 CG，再根据 FG=FC+CG 即可求解． 【详解】解：如图，过 C 点作 FG⊥AB 于 F，交 DE 于 G． ∵CD 与地面 DE 的夹角∠CDE 为 15°，∠ACD 为 75°， ∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°， ∴∠CAF=60°， 3在 Rt△ACF 中，CF=AC•sin∠CAF= m， 2在 Rt△CDG 中，CG=CD•sin∠CDE=1.5·sin15°， 3∴FG=FC+CG= +1.5·sin15°≈1.3m． 2故跑步机手柄 AB 所在直线与地面 DE 之间的距离约为 1.3m． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正 确构造直角三角形． 24. 下图是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段 的端点都在 AB 格点上.要求以 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图中画出 4 种不同的 AB 设计图形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】将点 A 沿任意方向平移到另一格点处，然后将点 B 也按相同的方法平移，最后连接点 A、B 及其 对应点即可． 【详解】解：如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 五、推理论证题 的25. O O 的延长线于点 ，延长 O 如图， 是直径，点 在上， 的平分线 交于点 ，过点 E作AE AB FBAF E，交 、相交于点 ．CAF DDE ED AF AB O （1）求证： 是的切线； CD 12O tan EAD （2）若 的半径为 5， ，求 BC 的长． 10 3【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接 OE，由题意可证 OE∥AD，且 DE⊥AF，即 OE⊥DE，则可证 CD 是⊙O 的切线； AD AE DE 1（2）连接 BE，证明△ADE∽△AEB，得到 ，根据 tan∠EAD= ，在△ABE 中，利用勾 2AE AB BE CO OE 股定理求出 BE 和 AE，可得 AD 和 DE，再证明△COE∽△CAD，得到 ，设 BC=x，解方程即可 CA AD 求出 BC． 【详解】解：（1）连接 OE， ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA， ∵AE 平分∠BAF， ∴∠OAE=∠DAE， ∴∠OEA=∠EAD， ∴OE∥AD， ∵ED⊥AF， ∴OE⊥DE， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）连接 BE，∵AB 为直径， ∴∠AEB=90°=∠D，又∠DAE=∠BAE， ∴△ADE∽△AEB， AD AE DE ∴，AE AB BE 12又 tan∠EAD= ，DE BE 1∴，则 AE=2BE，又 AB=10， AD AE 2在△ABE 中，AE2+BE2=AB2，即（2BE）2+BE2=102， 解得：BE= ，则 AE= ，2 5 4 5 AD 4 5DE ∴，10 4 5 2 5 解得：AD=8，DE=4， ∵OE∥AD， ∴△COE∽△CAD， CO OE ∴∴，设 BC=x， CA AD x 5 x 10 510 ，解得：x= ，8310 3经检验：x= 是原方程的解， 10 故 BC 的长为 ．3【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助 线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 六、拓展探索题 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 bx c 的图象与坐标轴相交于 A、B、三点，其中 A26. C3,0 1,0 点坐标为 ，B点坐标为 ，连接 、BC ．动点 P从点 A出发，在线段 上以每秒 个AC AC 2Q单位长度向点 做匀速运动；同时，动点 从点 CB出发，在线段 A上以每秒 1 个单位长度向点 做匀速 BA PQ t，设运动时间为 秒． 运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 c（1）求 、 的值； bQtBCPQ 运动的过程中，当 为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （2）在 P、MPQ （3）在线段 上方的抛物线上是否存在点 ，使 P是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存 AC M在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． M3 17 23 17 【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为 4；（3）（ ，）84【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点 P 作 PE⊥x 轴，垂足为 E，利用 S 四边形 BCPQ=S△ABC-S△APQ 表示出四边形 BCPQ 的面积，求出 t 的 范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，过点 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，过 M 作 y 轴的垂线，与 EP 交于 F，证明 △PFM≌△QEP，得到 MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点 M 的坐标，再代入二次函数表达式，求出 t 值，即 可算出 M 的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（-1，0）， 0 9 3b c 0 1b c 则，b 2 c 3 解得： ；（2）由（1）得：抛物线表达式为 y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0）， 的∴△OAC 是等腰直角三角形，由点 P 运动可知： AP= ，过点 P 作 PE⊥x 轴，垂足为 E， 2t 2t ∴AE=PE= =t，即 E（3-t，0）， 2又 Q（-1+t，0）， ∴S 四边形 BCPQ=S△ABC-S△APQ 121 43 3 1 t t ==212t2 2t 6 ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， 22AC= ，AB=4， 3 3 3 2 ∴0≤t≤3， 2 12 22 2 2 6 =4； 1∴当 t= =2 时，四边形 BCPQ 的面积最小，即为 2 2（3）∵点 M 是线段 AC 上方的抛物线上的点， 如图，过点 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，过 M 作 y 轴的垂线，与 EP 交于 F， ∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°， ∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°， ∴∠PMF=∠QPE， 在△PFM 和△QEP 中， F QEP PMF QPE PM PQ ，∴△PFM≌△QEP（AAS）， ∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t， ∴EF=4-2t+t=4-t，又 OE=3-t， ∴点 M 的坐标为（3-2t，4-t）， ∵点 M 在抛物线 y=-x2+2x+3 上， ∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3， 9 17 9 17 解得：t= 或（舍）， 883 17 23 17 ∴M 点的坐标为（ ，）． 84的【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形 判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面 积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
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