2021 年四川省宜宾市中考数学试卷 一、选择题；本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上． ﹣1. 2的绝对值是（ ）1212A. 2 B. C. D. 2 A【答案】 【解析】 ﹣2【详解】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点 到原点的距 ﹣2离是 ，所以 22 A 的绝对值是 ，故选 ． 2. A. 下列图形是轴对称图形的是（ ）B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形， B．不是轴对称图形， C．不是轴对称图形， D．是轴对称图形， 故选 D． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 3. 2021 年宜宾市中考人数已突破 64000 人，数据 64000 用科学记数法表示为（ B. C. ）64103 6.4104 0.64105 6.4105 A. D. B【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，由此即可求解． 【详解】解：由题意可知：64000=6.4×104， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题，关键是确定 a 的值以及 n 的值． 4. 若长度分别是 a、3、5 的三条线段能组成一个三角形，则 a 的值可以是（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 C【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出 a 的取值范 围即可得解． 【详解】根据三角形的三边关系得 ，即 ，则选项中 4 符合题意， 53 a 5 3 2 a 8 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键． 5. 一块含有 45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2 的度数是（ ）A. 30° 【答案】 【解析】 B. 35° C. 40° D. 45° B【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，即可求解． 【详解】解：∵∠1＝55°， ∴∠AFD=55°， ∴∠ADF=180°-45°-55°=80°， ∵MN∥HK， ∴∠AEG=∠ADF=80°， ∴∠2=80°-45°=35°． 故选 B． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，熟练掌握上述定理， 是解题的关键． 6. 下列运算正确的是（ ）3B. 2a2 2a6 C. D. a a2 a3 a6 a2 a3 a3 a2 a5 A. D【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂 的乘积运算法则求解即可． 与2 不是同类项，不能相加，故选项 A 错误； aa【详解】解：选项 A： 3选项 B： 2a2 8a6 ，故选项 B 错误； 6262 选项 C： 选项 D： 4 ，故选项 C 错误； a a a a 3232 5 ，故选项 D 正确； a a a a 故选：D． 【点睛】本题考查幂的运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解决本类题的关键． 7. 下列说法正确的是（ ）A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的邻边相等 C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线互相平分 D【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误， B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误， C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误， D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确． 故选 D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． xm8. 3 若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是（ C. 2 ）x 2 x 2 A. 1 B. ﹣1 D. ﹣2 C【答案】 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根 x=2 代入整式方程，即可求解． xm3 【详解】解： ，x 2 x 2 x 3 x 2 m 去分母得： ，xm3 ∵关于 x 的分式方程 2 3 2 2 m 有增根，增根为：x=2， x 2 x 2 ∴，即：m=2， 故选 C． 【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键． 9. 如图，在△ABC 中，点 O 是角平分线 AD、BE 的交点，若 AB＝AC＝10，BC＝12，则 tan∠OBD 的值是 （）1266A. B. 2 C. D. 34A【答案】 【解析】 1【分析】根据等腰三角形的性质，可得 AD⊥BC，BD= BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式 2AB AO10 得，进而即可求解． BD OD 6【详解】解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD 平分∠BAC， 1∴AD⊥BC，BD= BC=6， 222∴AD= ，10 6 8 过点 O 作 OF⊥AB， ∵BE 平分∠ABC， ∴OF=OD， 1ABOF BDOD SAOB AO AB BD 21∵SDOB OD 2AB AO10 8OD 10 ∴，即： ，解得：OD=3， BD OD 6OD 6OD 3612∴tan∠OBD= 故选 A． ，BD AB AO 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出 ，是 BD OD 解题的关键． 2若 m、n 是一元二次方程 x2＋3x﹣9＝0 的两个根，则 的值是（ ）10. m 4m n A. 4 B. 5 C. 6 D. 12 C【答案】 【解析】 【分析】由于 m、n 是一元二次方程 x2＋3x−9＝0 的两个根，根据根与系数的关系可得 m＋n=−3，mn=−9， 而 m 是方程的一个根，可得 m2＋3m−9=0，即 m2＋3m=9，那么 m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把 m2＋3m、 m＋n 的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n 是一元二次方程 x2＋3x−9＝0 的两个根， ∴m＋n＝−3，mn＝−9， ∵m 是 x2＋3x−9＝0 的一个根， ∴m2＋3m−9＝0， ∴m2＋3m＝9， ∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根 bacx1、x2 之间的关系：x1＋x2=− 11. ，x1•x2= ．a在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位 制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满 五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A 27 B. 42 C. 55 D. 210 B【答案】 【解析】 【分析】由题可知，孩子出生的天数的五进制数为 132，化为十进制数即可． 【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的五进制数为 132， 化为十进制数为：132＝1×52＋3×51＋2×50＝42． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制． 12. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，点 E、F 分别在矩形的边 AB、AD 上，将矩形纸片沿 CE、CF 折叠，点 B 落在 H 处，点 D 落在 G 处，点 C、H、G 恰好在同一直线上，若 AB＝6，AD＝4，BE＝2，则 DF 的长是 （）743 2 2A. 2 B. C. D. 3 A【答案】 【解析】 【分析】构造如图所示的正方形CMPD ，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形 FNP 即可． CB, DA M , P ，【详解】如图，延长 CE，FG 交于点 N，过点 N 作 ，延长 交 于 ll//AB ∴∠CMN=∠DPN=90°， ∴四边形 CMPD 是矩形， 根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG， DF FG ∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN， ，∴∴，RtMNC RtGNC ，MN NG CM CG CD 6 四边形CMPD 为正方形， BE//MN ∴，CBE CMN BE CB 4623∴，，MN CM ，MN 3 BE 2 NP 3 ，设,则 ，DF x AF 4 x 2 可得 (4 x 2)2 32 (3 x)2 22在中，由 RtPNF FP NP NF 解得 ；x 2 故选 A． 【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和 判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键． 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分，请把答案直接填在答题卡对应题中 横线上． 13. 不等式 2x﹣1＞1 的解集是______． 【答案】 x 1 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，解不等式即可． 【详解】 2x﹣1＞1 解得： x 1 故答案为： x 1 ．【点睛】本题主要考查解不等式的性质，根据不等式的基本性质解不等式是解题的关键． 3214. 分解因式： ______． a 2a a 2【答案】 a a1 ．【解析】 【分析】观察所给多项式有公因式 a，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解． a a2 2a 1 【详解】解：原式 ，2 a a1 ，2故答案为： a a1 ．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一 般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止． 15. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是 88.9，方差分别是 222S甲 2.25, S乙 1.81, S丙 3.42 ，你认为最适合参加决赛的选手是____（填“甲”或“乙”或 “丙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 【详解】 他们的平均成绩都是88.9 1.81 2.25 3.42 乙的成绩更稳定，所选乙 故答案为：乙 【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题 的关键． 16. 据统计，2021 年第一季度宜宾市实现地区生产总值约 652 亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值 960 亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为 x，则可列方程__________． 2【答案】 652 1 x 960 【解析】 )2 (1 【分析】根据题意，第一季度地区生产总值 方程即可得解． 平均增长率 第三季度地区生产总值，按照数量关系列 )2 (1 【详解】解：根据题意，第一季度地区生产总值 平均增长率 第三季度地区生产总值 2列方程得： 652 1 x 960 ，．2故答案为： 652 1 x 960 【点睛】本题主要考查了增长率的实际问题，熟练掌握相关基本等量关系是解决本题的关键． 17. 如图，⊙O 的直径 AB＝4，P 为⊙O 上的动点，连结 AP，Q 为 AP 的中点，若点 P 在圆上运动一周，则 点 Q 经过的路径长是______． 【答案】 2 【解析】 【分析】连接 OQ，以 OA 为直径作⊙C，确定出点 Q 的运动路径即可求得路径长． 【详解】解：连接 OQ． 在⊙O 中， ∵AQ=PQ，OQ 经过圆心 O， ∴OQ⊥AP． ∴∠AQO=90°． ∴点 Q 在以 OA 为直径的⊙C 上． ∴当点 P 在⊙O 上运动一周时，点 Q 在⊙C 上运动一周． ∵AB=4， ∴OA=2． ∴⊙C 的周长为 ．2 ∴点 Q 经过的路径长为 ．2 故答案为： 2 【点睛】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及其推 论是解题的基础，确定点 Q 的运动路径是解题的关键． 18. 如图，在矩形 ABCD 中，AD＝ AB，对角线相交于点 O，动点 M 从点 B 向点 A 运动（到点 A 即停 3止），点 N 是 AD 上一动点，且满足∠MON＝90°，连结 MN．在点 M、N 运动过程中，则以下结论中，① S S S点 M、N 的运动速度不相等；②存在某一时刻使 ΔMON ；③ AMN 逐渐减小； AMN 22④2 ．正确的是________．（写出所有正确结论的序号） MN BM DN 【答案】①②③． 【解析】 【分析】先根据矩形的性质与 AD＝ AB，得到∠ADB=30°，∠ABD=60°，AB=AO=BO，再分类讨论，当 3123333点 M 运动到 AB 的中点时，此时点 N 为 AD 的中点，则： ，从而 SM = SN = AN – =-=3236S S 点 M、N 的运动速度不同，当点 M 运动到 AB 的中点时， ΔMON ，由 AM 减小的速度比 AN 增大的 AMN 222 ，得出结论． S速度快，则 逐渐减小，当点 M 在 AB 的中点时，才满足 MN BM DN AMN 【详解】解：∵AD＝ AB， 3AB 3∴tan∠ADB= ，=AD 3∴∠ADB=30°，∠ABD=60°， ∵点 O 为 BD 的中点， ∴AB=AO=BO， 设 AB=1，则 AD= ，BD=2． 3①当点 M 与点 B 重合时，点 N 是 BD 的垂直平分线与 AD 的交点， 令 AN=x，则 BN=DN= ，3- x 222∴，1 +x =( 3- x) 3解得： ，x 333∴AN= ，当点 M 运动到 AB 的中点时，此时点 N 为 AD 的中点， 13333则： ，SM = ，SN = AN – =-=23236从而点 M、N 的运动速度不同，故①说法正确，符合题意； S S ②当点 M 运动到 AB 的中点时， ΔMON ，故②说法正确，符合题意； AMN S的③由①得到，AM 减小 速度比AN 增大的速度快，则 AMN 逐渐减小，故③说法正确，符合题意； 22④只有当点 M 在 AB 的中点时，才满足 2 ，故④说法错误，不符合题意； MN BM DN 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了矩形的性质、动点问题，解题关键在于确定特殊情况，求出两点的运动路程，确定边 之间的关系，得出结论． 三、解答题；本大题共 7 个小题，共 78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1 1 019. （1）计算： ；( 3) 12 4sin 60 2 a2 a 2 1 （2）化简： ．a2 2a 1 a 1 a 1 a【答案】（1）-1；（2） 【解析】 【分析】（1）先算零指数幂，化简二次根式，锐角三角函数以及负整数指数幂，再算加减法即可求解； （2）先算分式的加法，再把除法化为乘法，进行约分，即可求解． 3【详解】解：（1）原式= 1 2 3 4 2 2=1 2 3 2 3 2 =-1； a 1 2 2 a 1 a 1 （2）原式= a( a 1) a 1 2 a 1 ==a 1 a( a 1) a 1 ．a【点睛】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，二次根式 的性质，锐角三角函数值以及分式的运算法则，是解题的关键． 20. 如图，已知 OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先证明∠DOC=∠BOA，再由边角边即可证明△AOB≌△COD． 【详解】解：由图可知：ÐDOC =ÐAOC – ÐAOD ，ÐBOA =ÐBOD – ÐAOD ，∵∴AOC BOD ÐDOC =ÐBOA ，，OA OC BOA DOC OB OD AOB COD 和在中： ，AOB≌COD(SAS) ∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解 决本题的关键． 21. 为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己 的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学 生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）． （1）张老师调查的学生人数是 ． （2）若该校共有学生 1000 名，请估计有多少名学生选修泥塑； （3）现有 4 名学生，其中 2 人选修书法，1 人选修绘画，1 人选修摄影，张老师要从这 4 人中任选 2 人了 解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选 2 人都是选修书法的概率． 1【答案】(1)50 名；(2)240 名；(3) 6【解析】 【分析】(1)由 A 的人数除以所占百分比即可得到总人数； (2)求出条形统计图中 D 的人数后除以(1)中调查的总人数，得到 D 所占的百分比，再乘以该校总人数 1000 即可求解； (3)画树状图，共有 12 种等可能的结果，所选 2 人都是选修书法的结果有 2 种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：(1)张老师调查的学生人数为：10÷20%=50(名)， 故答案为：50 名； (2)条形统计图中 D 的人数为：50-10-6-14-8=12(名)， 12 100% 24% 其所占的百分比为： ，50 ∴1000×24%=240(名) 故该校 1000 人中，共有 240 人选修泥塑； (3)把 2 人选修书法的记为 A、B，1 人选修绘画的记为 C，1 人选修摄影的记为 D， 画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，所选 2 人都是选修书法的结果有 2 种， 216∴所选 2 人都是选修书法的概率为 ．12 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法 可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与 总情况数之比． 22. 全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度 AB，在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 45°，再向白塔方向前进 15 米到达 D 处，又测得塔顶 A 的仰角为 60°， 点 B、D、C 在同一水平线上，求白塔的高度 AB．（ ≈1.7，精确到 1 米） 3【答案】35 【解析】 【分析】设塔高 AB=x 米，利用仰角定义得到∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，先利用∠C＝45°得到 BC＝BA 33＝x 米，再利用正切定义得到 BD＝ 【详解】解：设塔高 AB＝x 米， ，所以 ＋15＝x，然后解方程即可． xx33根据题意得∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，CD＝15 米， ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝45°， ∴BC＝BA＝x 米， AB ∵在 Rt△ABD 中， tan∠BDA= ，BD x3∴BD= =，xtan60 3∵BD＋CD＝BC， 15 3 3 3∴＋15＝x，解得 x= （米）． x 35 32答：白塔的高度 AB 为 35 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角 形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． k23. y 如图，一次函数 y＝ax＋b 的图象与反比例函数 的图象交于点 A、B，与 x 轴交于点 ，若 OC C( 5，0) xS＝AC，且 OAC ＝10 （1）求反比例函数与一次函数的表达式； k（2）请直接写出不等式 ax＋b＞ 的解集． x32 4y x 320 33 x 0, x 8 y 【答案】（1） ，；（2） ．x【解析】 【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式； （2）根据一次函数和反比例函数图像结合已知不等式，数形结合直接可得． 【详解】（1）过点 A 作 AD x轴于点 D S，OC＝AC， OAC ＝10 C( 5，0) AD 4 CD AC2 AD2 52 42 3 A(8,4) ky k 8 4 32 ，代入 x32 y xA(8,4) 把，代入 y＝ax＋b，得： C( 5，0) 43a 4 8a b 0 5a b ，解得 20 3b 420 3 y x 3（2）联立 32 xy 420 3y x 3解得： x 3 x 8 y 4 或（A 点坐标） 32 y 332 3B(3, )kax＋b＞ 的解集，即图像中一次函数的值大于反比例函数的值． x3 x 0, x 8 ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题，解一 元二次方程，反比例函数与不等式，数形结合是本题的解题关键． 24. 如图 1，D 为⊙O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； 1（2）若 tan∠ADC＝ ，AC＝2，求⊙O 的半径； 2（3）如图 2，在（2）的条件下，∠ADB 的平分线 DE 交⊙O 于点 E，交 AB 于点 F，连结 BE．求 sin∠DBE 的值． 3 10 【答案】（1）见详解；（2）3；（3） 10 【解析】 【分析】（1）CD 与⊙O 相切，理由：连接 OD，先判断出∠CDA＝∠ODB，再根据∠ADB＝∠ADO＋∠ODB＝ 90°，判断出∠CDO＝90°，即可得出结论； AD BD 112（2）先判断出 tan∠CBD＝ ，进而得出tan∠CBD＝ ＝，再判断出△CAD∽△CDB，得出 2CA CD AD 12，求出 CD，CB，即可得出结论； CD CB BD （3）连接 OE，过点 E 作 EG⊥BD 于 G，先判断出∠BOE＝2∠BDE＝90°，进而求出 BE＝3 ，再利用 26512 512 5555−x，再用勾 勾股定理求出 AD＝ ，BD＝ ，再判断出 DG＝EG，设 DG＝EG＝x，则 BG＝ 股定理求出 x，即可得出结论． 【详解】解：（1）CD 与⊙O 相切，理由： 如图 1，连接 OD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∵∠CDA＝∠CBD， ∴∠CDA＝∠ODB， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝∠ADO＋∠ODB＝90°， ∴∠CDA＋∠ADO＝90°， ∴∠CDO＝90°， ∴OD⊥CD， ∴CD 与⊙O 相切； （2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC， 1∵tan∠ADC＝ ，212∴tan∠CBD＝ ，AD BD 12在 Rt△ADB 中，tan∠CBD＝ ＝，∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD， ∴△CAD∽△CDB， CA CD AD 12∴，CD CB BD ∴CD＝2CA＝4， ∴CB＝2CD＝8， ∴AB＝CB−CA＝8−2＝6， 1∴OA＝OB＝ AB＝3； 2（3）如图 2，连接 OE，过点 E 作 EG⊥BD 于 G， ∵DE 平分∠ADB， ∴∠ADE＝∠BDE＝45°， ∴∠BOE＝2∠BDE＝90°， OB2＋OE2 ∴BE＝ =3 ，2在 Rt△ABD 中，AD2＋BD2＝AB2＝62， AD BD 12∵＝，612 555，∴AD＝ ，BD＝ 5∵EG⊥BD，∠BDE＝45°， ∴∠DEG＝∠BDE＝45°， ∴DG＝EG， 12 552设 DG＝EG＝x，则 BG＝BD−DG＝ −x， 在 Rt△BEG 中，EG2＋BG2＝BE2＝（3 ）2＝18， 12 2∴x2＋（ −x） ＝18， 559∴x＝ 5355（舍）， 或 x＝ 595∴EG＝ ，5EG 3 10 ∴sin∠DBE＝ ．BE 10 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函 数，作出辅助线构造出等腰直角三角形是解本题的关键． 的25. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，6），抛物线 顶点坐标为 E（2，8），连结 BC、BE、CE． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△BCE 的形状，并说明理由； 1（3）如图 2，以 C 为圆心， 为半径作⊙C，在⊙C 上是否存在点 P，使得 BP＋ EP 的值最小，若存 22在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 1290 2【答案】（1）y= x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在， 2【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式； （2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明； 2（3）在 CE 上截取 CF= （即 CF 等于半径的一半），连接 BF 交⊙C 于点 P，连接 EP，则 BF 的长即为 2所求． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为 E（2，8）， 2的∴设该抛物线 表达式为y=a（x-2） +8， ∵与 y 轴交于点 C（0，6）， 1∴把点 C（0，6）代入得：a= ，21∴该抛物线的表达式为 y= x2+2x+6； 2（2）△BCE 是直角三角形．理由如下： ∵抛物线与 x 轴分别交于 A、B 两点， 1（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6， ∴当 y=0 时， 2∴A（-2，0），B（6，0）， ∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80， ∴BE2=BC2+CE2， ∴∠BCE=90°， ∴△BCE 是直角三角形； 2（3）如图，在 CE 上截取 CF= 则 BF 的长即为所求． （即 CF 等于半径的一半），连接 BF 交⊙C 于点 P，连接 EP， 2连接 CP，∵CP 为半径， ，CF CP 12∴CP CE 又∵∠FCP=∠PCE， ∴△FCP∽△PCE， CF FP 121∴，FP= EP， 2CP PE 1∴BF=BP+ EP， 21由“两点之间，线段最短”可得：BF 的长即 BP+ EP 为最小值． 21∵CF= CE，E（2，8）， 413 21∴F（ ∴BF= ，）， 222113 2290 26 0 2【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质， 相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性 质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
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