2021 年内蒙古赤峰市中考数学试卷 一、选择题(每小题出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对 应位置上按要求涂黑，每小题 3 分，共 2 分) 1. -2021 的相反数是（ ）11D. A. 2021 B. -2021 C. 2021 2021 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：-2021 的相反数是 2021， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的概念，解题关键是明确相反数的定义，准确求解． 2. 截至北京时间 2021 年 1 月 3 日 6 时，我国执行首次火星探测任务的“天问一号”火星探测器已经在轨飞行 约 163 天，飞行里程突破 4 亿公里，距离地球接近 1.3 亿公里，距离火星约 830 万公里，数据 8300000 用科 学记数法表示为（ A. 8.3×105 ）B. 8.3×106 C. 83×105 D. 0.83×107 【答案】B 【解析】 naa1| a | 10 1| a | 10 【分析】直接利用科学记数法的定义及表示形式 ，其中 ，其中 ，，为整数求解即可． 为整数， a 10 a 10 n【详解】解：根据科学记数法的定义及表示形式 6则数据 8300000 用科学记数法表示为： 故选：B． ，8.310 a,n 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方式，解题的关键是：掌握其定义和表达形式，根据题意确定 的值． 3. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是 轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 4. 下列说法正确的是（ ）A. “清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行 C. 一组数据 2，5，4，5，6，7 的众数、中位数和平均数都是 5 2甲2S 0.02 S 0.01 D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 ，，那么乙组队员的身高比较整齐 乙【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性的大小判断即可． 【详解】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故不符合题意； B、为了了解一批灯管的使用寿命，不宜采用普查的方式进行，应采用抽查的方式进行，故不符合题意； 1629 6(2 5 4 5 6 7) C、一组数据 2，5，4，5，6，7 的众数、中位数都是 ，平均数为 ，故选项 5错误，不符合题意； 2甲2S 0.02 S 0.01 D、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 ，，乙S甲2 S乙2 ，乙组队员的身高比较整齐，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件、解题的关键是：理解几种事件的定义． 5. 下列计算正确的是（ a b c a b c ）a2 a2 2a2 A. B. D. 222a2 2ab2 16a4b4 C. x 1 x2 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据去括号法则可判断 A，根据合并同类项法则可判断 B，根据乘法公式可判断 C，利用单项式乘 法法则与积的乘方法则可判断 D． a b c a b c a b c ，故选项 A 去括号不正确，不符合题意； 【详解】解：A. a2 a2 2a B. C. D2 ，故选项 B 合并同类项正确，符合题意； 222x 1 x 2x 1 x 1 ，故选项 C 公式展开不正确，不符合题意； ，故选项 D 单项式乘法计算不正确，不符合题意． 22a2 2ab2 2a2 4a2b4 8a4b4 16a4b4 故选择 B． 【点睛】本题考查去括号法则，同类项合并法则，乘法公式，积的乘方与单项式乘法，掌握去括号法则， 同类项合并法则，乘法公式，积的乘方与单项式乘法是解题关键． 6. 如图，AB∥CD，点 E 在线段 BC 上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D 为（ ） A. 85° B. 75° C. 60° D. 30° 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先由 AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得， ∠C+∠D+∠CED=180°，即 30°+2∠D=180°，从而求出∠D． 详解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=30°， 又∵CD=CE， ∴∠D=∠CED， ∵∠C+∠D+∠CED=180°，即 30°+2∠D=180°， ∴∠D=75°． 故选 B． 点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由 CD=CE 得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D． 7. 实数 a、b、c 在数轴上对应点的位置如图所示．如果 ，那么下列结论正确的是（ ）a b 0 aba c 1 A. B. C. D. a c 0 abc 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据 a+b=0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答． 【详解】解：∵a+b=0， ∴原点在 a，b 的中间， 如图， a 1 由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0， 故选：C． ，b【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置． 8. 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不完 整)，下列结论错误的是（ ）A. 本次抽样调查的样本容量是 5000 B. 扇形统计图中的 m 为 10% C. 若五一期间观光的游客有 50 万人，则选择自驾方式出行的大约有 20 万人 D. 样本中选择公共交通出行的有 2400 人 【答案】D 【解析】 【分析】结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答． 2000 5000 【详解】解：A、本次抽样调查的样本容量是 ，正确，不符合题意； 40% m 150% 40% 10%, B、 故扇形图中的 m 为 10%，正确，不符合题意； C、若“五一”期间观光的游客有 50 万人，则选择自驾方式出行的有 50×40%=20 万人，正确，不符合题意； D、样本中选择公共交通出行的有 5000×50%=2500 人，错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体是解题的关键，另外注意 学会分析图表． 29. 一元二次方程 ，配方后可形为（ ）x 8x 2 0 22A. x 4 18 B. x 4 14 22C. x 8 64 D. x 4 1 【答案】A 【解析】 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上 16，然后把方程作边写成完全平方形式即可 2【详解】解： x 8x 2 0 x2-8x=2， x2-8x+16=18， （x-4）2=18． 故选：A． 2【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m） =n 的形式，再利用直接开平方 法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． ，点 E 是 上任意一点，连接 BE，CE， 10. 如图，点 C，D 在以 AB 为直径的半圆上， ADC 120 AD 则的度数为（ ）BEC A. 20° B. 30° C. 40° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质可得 ABC 60 ，连接 AC，得 ，进一步得出 ，ACB 90 BAC 30 从而可得结论． 【详解】解：连接 AC，如图， ∵A，B，C，D 在以 AB 为直径的半圆上， ∴∵∴ADC ABC 180 ADC 120 ABC 180 ADC 180120 60 ∵AB 为半圆的直径 ∴∴∴，ACB 90 BAC 30 BEC BAC 30 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解 答此题的关键． P a,b y 4x 3 B. -5 11. 点 A. 5 在函数 的图象上，则代数式 的值等于（ ）8a 2b 1 C. 7 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】把点 P 的坐标代入一次函数解析式可以求得 a、b 间的数量关系，所以易求代数式 8a-2b+1 的 值． y 4x 3 【详解】解：∵点 P（a，b）在一次函数 的图象上， ∴b=4a+3， 8a-2b+1=8a-2（4a+3）+1=-5，即代数式 的值等于-5． 8a 2b 1 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足图象的解析式是关 键． 212. 已知抛物线 上的部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表： y ax bx c xy……-1 3001233……-1 m以下结论正确的是（ A. 抛物线 y ax2 bx c的开口向下 B. 当 时，y 随 x 增大而增大 ）x 3 2C. 方程 的根为 0 和 2 ax bx c 0 y 0 D. 当 时，x 的取值范围是 0 x 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断． (1,3),(0,0),(3,3) 【详解】解：将 代入抛物线的解析式得； a b c 3 c 0 ，9a 3b 3 3 a 1,b 2,c 0 解得： ，y x2 2x x(x 2) (x 1)2 1 所以抛物线的解析式为： ，A、 ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题； a 0 B、抛物线的对称轴为直线 ，在 时，y 随 x 增大而增大，故选项错误，不符合题意； x 1 1 x 3 2C、方程 的根为 0 和 2，故选项正确，符合题意； ax bx c 0 y 0 D、当 时，x 的取值范围是 或x 0 x 2 ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出 解析式，然后利用函数的图象及性质解答． 13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）48cm2 96cm2 36cm2 27 cm 2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可知此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长 母线 2． 【详解】解：此几何体为圆锥， 圆锥母线长为 9cm，直径为 6 cm， 2侧面积 ， 2r l 2 27cm 故选：A． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题关键． 14. 甲、乙两人在一条长 400 米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休 y息．已知甲先出发 3 秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离 (米)与乙出发的时间 x(秒)之间的函数关系 如图所示，正确的个数为（ ）①乙的速度为 5 米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点 12 米； ③甲、乙两人之间的距离超过 32 米的时间范围是 ；44 x 89 ④乙到达终点时，甲距离终点还有 68 米． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用乙用 80 秒跑完 400 米求速度可判断①；利用甲先走 3 秒和 12 米求出甲速度，根据乙追甲相 差 12 米求时间=12 秒再求距起点的距离可判断②；利用两人间距离列不等式 5（t-12）-4(t-12) 32，和乙到 终点，甲距终点列不等式 4 t+12 400-32解不等式可判断③； 根据乙到达终点时间，求甲距终点距离可判断④即可 【详解】解：①∵乙用 80 秒跑完 400 米 400 ∴乙的速度为 故①正确； =5 米/秒； 80 ②∵乙出发时，甲先走 12 米，用 3 秒钟， 12 =4 ∴甲的速度为 米/秒， 3∴乙追上甲所用时间为 t 秒， 5t-4t=12， ∴t=12 秒， ∴12×5=60 米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点 60 米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过 32 米设时间为 t 秒， ∴5（t-12）-4(t-12) 32， ∴t 44， 当乙到达终点停止运动后， 4 t+12 400-32， ∴t 89， 甲、乙两人之间的距离超过 32 米的时间范围是 故③正确； ；44 x 89 ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：400-12-4×80=400-332=68 米， 甲距离终点还有 68 米． 故④正确； 正确的个数为 3 个． 故选择 B． 【点睛】本题考查一次函数的图像应用问题，仔细阅读题目，认真观察图像，从图像中获取信息，掌握一 次函数的图像应用，列不等式与解不等式，关键是抓住图像纵轴是表示两人之间的距离，横坐标表示乙出 发时间，拐点的意义是解题关键． 二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，共 12 分) x 1 2x 1 的中，自变量 x 取值范围是_____． 15. 在函数 y 1【答案】x≥－1 且 x≠ 2【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，就可以求解． x 1 0 {，【详解】解：根据题意得： 2x 1 0 1解得：x≥-1 且 x≠ 212故答案为：x≥－1 且 x≠ ．【点睛】本题考查函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全 体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方 数为非负数． 16. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头 C 测一段水平雪道一端 A 处的俯角为 50°， 另一端 B 处的俯角为 45°，若无人机镜头 处的高度 为238 米，点 A，D，B 在同一直线上，则通道 AB CCD 的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据sin50 0.77 ，cos50 0.64 ，tan50 1.19 )【答案】438 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出 ，根据正切的定义求出 ，结合图形计算即可． BD AD CAD 50,CBD 45 【详解】解：由题意得， ，在中， ，Rt△CBD CBD 45 BD CD 238（米）， tan CAD CD AD 在中， ，RtCAD CD AD 200 则则（米）， tan50 AB AD BD 438（米）， 故答案是： ．438 【点睛】本题查考了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是：能借助构造的直角三角形求 解． 17. 如图，在拧开一个边长为 a 的正六角形螺帽时，扳手张开的开口 b=20mm，则边长 a 为 _________mm． 20 3【答案】 【解析】 3【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的 2 倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角 形，且其半边所对的角是 30 度，再根据锐角三角函数的知识求解． 【详解】解：如图， 设正六边形的中心是 O，其一边是 AB， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴四边形 ABCO 是菱形， ∵AB=a，∠AOB=60°， AM ∴cos∠BAC= ，AB ∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC， 1∴AM=MC= AC， 2∵AC=20mm， AM 10 20 3∴a=AB= （mm）． cos30 33220 3故答案为： ．3【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用 锐角三角函数进行求解是关键． 18. 如图，正方形 ABCD 的边长为 ，点 E 是 BC 的中点，连接 AE与对角线 BD交于点 G,连接 CG 并延 2 5 CH HF 2323GH 5，④ 长，交 AB 于点 F，连接 AH．以下结论：①CF⊥DE；② 正确结论的序号是_____________． ；③ ，其中 AD AH 【答案】①②④ 【解析】 【 分 析 】 由 正 方 形 的 性 质 可 得AB=AD=BC=CD= ， BE=CE= ， ∠DCE=∠ABE=90° ， 2 5 5∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得 CF⊥DE； 由勾股定理可求 DE 的长，由面积法可求 CH，由相似三角形的性质可求 CF，可得 HF 的长，即可判断②； 如图，过点 A 作 AM⊥DE，由△ADM≌△DCH，可得 CH=DM=2=MH，由垂直平分线的性质可得 AD=AH； 由平行线分线段成比例可求 GH 的长，即可判断④． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是边长为 的正方形，点 E 是 BC 的中点， 2 5 ∴AB=AD=BC=CD= ，BE=CE= ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°， 2 5 5∴△ABE≌△DCE（SAS） ∴∠CDE=∠BAE，DE=AE， ∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG， ∴△ABG≌△CBG（SAS） ∴∠BAE=∠BCF， ∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°， ∴∠BCF+∠CED=90°， ∴∠CHE=90°， ∴CF⊥DE，故①正确； ∵DC= ，CE= ，2 5 522∴，DE CD CE 20 5 5 121∵S△DCE =×CD×CE= ×DE×CH， 2∴CH=2， ∵∠CHE=∠CBF，∠BCF=∠ECH， ∴△ECH∽△FCB， CH CE ∴，BC CF 2 5 5 ∴CF= ，=5 2∴HF=CF-CH=3， CH HF 23∴，故②正确； 如图，过点 A 作 AM⊥DE， ∵DC= ，CH=2， 2 5 22∴，DH DC CH 20 4 4 ∵∠CDH+∠ADM=90°，∠ADM+∠DAM=90°， ∴∠CDH=∠DAM，且 AD=CD，∠CHD=∠AMD=90°， ∴△ADM≌△DCH（AAS） ∴DM=CH=2，AM=DH=4， ∴MH=DM=2，且 AM⊥DH， ∴AD=AH，故④正确； ∵DE=5，DH=4， ∴HE=1，ME=HE+MH=3， ∵AM⊥DE，CF⊥DE， ∴AM∥CF， GH HE ∴∴，AM ME HG 1434∴HG= ，故③错误， 3所以，正确结论是①②④ 故答案为①②④． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 三、解答题(在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过或 演算步骤．共 8 题，满分 96 分) 1 m 3 m 2 510 m 2 19. 先化简，再求值： ，其中 ．m 2 8 7 m 2 3 12【答案】 【解析】 ,m 3 4 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将计算 m 的值代入化简结果中求值可得． m 3 m 2 5 m 2 【详解】解： m 2 m 2 m 2 m 3 m 2 5m 2 m 2 m 3 m2 9 m 2 m 2 m 3 m 2 =m 2 (m 3)(m 3) 1m 3 1 1 ∵m 2 0 8 7 3 31 2 2 7 2 23 112∴当 时，原式 ．m 2 23 m 3 42 23 3 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，且 AC=AD． （1）作∠BAC 的平分线，交 BC 于点 E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接 DE，证明 ．AB DE 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先以 A 为圆心，小于 AC 长为半径画弧，交 AC、AB 于 N、M，再分别以 N、M 为圆心，大 1于MN 长为半径画弧，两弧交于点 Q，再画射线 AQ 交 CB 于 E； 2（2）依据 证明 得到 ，进一步可得结论． SAS ACE≌ADE ACE ADE BAC 的平分线； 【详解】解：（1）如图， 为所作 AE （2）证明：如图．连接 DE，由(1)知： CAE DAE 在ACE 和中ADE AC AD CAE DAE AE AE ∵ACE≌ADE SAS ∴∴，ACE ADE 又∵ ACB 90 ∴∴ADE 90 AB DE ，【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到 ．ACE ADE 21. 某学校九年级有 12 个班，每班 50 名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下： 设每个学生平均每天的睡眠时间为 t(单位，小时)，将收集到的学生平均每天睡眠时间按 t≤6、6<t<8、t≥8 分 为三类进行分析． （1）下列抽取方法具有代表性的是． A．随机抽取一个班的学生 B．从 12 个班中，随机抽取 50 名学生 C．随机抽取 50 名男生 D．随机抽取 50 名女生 （2）由上述具有代表性的抽取方法抽取 50 名学生，平均每天的睡眠时间数据如表： 睡眠时 8 5 间 t(小 时) 55.5 66.5 77.5 8人数(人) ①这组数据的众数和中位数分别是__________，__________； ②估计九年级学生平均每天睡眼时间 的人数大约为多少； 11210 15 910 2t 8 （3）从样本中学生平均每天睡眠时间t 6 的 4 个学生里，随机抽取 2 人，画树状图或列表法求抽取的 2 人 每天睡眠时间都是 6 小时的概率． 1【答案】（1）B；（2）①7，7；②144 人；（3） 6【解析】 【分析】(1)根据抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况进行 分析； (2)①由众数好中位数的定义求解即可； ②由九年级人数乘以平均每天睡眼时间 t≥8 的人数所占的比例即可； (3)画树状图,共有 12 种等可能的结果，抽得 2 人平均每天睡眠时间都是 6 小时的结果有 2 种，再由概率公 式求解即可． A,C, D 【详解】解：（1） 不具有全面性， 故答案是：B． 7 7 27 7 （2）①这组数据的众数为 小时，中位数为 ，7,7 故答案是： ．10 2 50 1250 144 解②：估计九年级学生平均每天睡眠时间 的人是大约为： t 8 答：九年级学生平均每天睡眠超过 8 小时人数约为 144 人． （3）画树状图如下： ∴由树状图可知，所有等可能结果有 12 种，2 人睡眠时间都是 6 小时的结果有 2 种． 216P ∴．12 【点睛】本题考查了用列表法求概率以及抽样调查、众数和中位数等知识，解题的关键是：列表法可以不 重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况 数之比． 22. 为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演 义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50 本，《水浒传》60 本，共花费 6600 元，第二次购进《西游记》40 本，《水浒传》30 本，共花费 4200 元． （1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元； （2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过 32000 元．如果《西游记》比《三国演义》 每本售价多 10 元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少 10 元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买 《西游记》多少本？ 【答案】（1）《西游记》、《水浒传》每本售价分别是 60 元、60 元；（2）88 本 【解析】 【分析】（1）设出《西游记》和《水浒传》每本的价格，根据题意列出关于单价的方程组，即可解决问 题． a（2）设这次购买《西游记》 本，根据再购买上述四种图书，总费用不超过32000 元列出关于 a 的不等式， 即可解决问题． 【详解】解：（1）设《西游记》每本售价 x 元，《水浒传》每本售价 y 元， 50x 60y 6600 40x 30y 4200 则x 60 y 60 解得 答：《西游记》、《水浒传》每本传价分别是 60 元、60 元． （2）由题意可知《三国演义》每本售价为 60 10 50 (元)． 《红楼梦》每本售价为 60 10 70 (元)， a设这次购买《西游记》 本，则： 240 a 90 6600 4200 32000 13a 88 解得 m∵为正整数， m = 88 ∴取 ．答：这次购买《西游记》最多为 88 本． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关 系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 23. 阅读理解： x , y x , y 2在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为 1 ，点 N 的坐标为 2 ，且 x1≠x1，y2≠y2，若 M、N 为某矩 1形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为 M、N 的“相关矩形”．如图 1 中的矩形 为点 M、N 的“相关矩形”． 2,0 ．（1）已知点 A 的坐标为 4,4 ，则点 A、B 的“相关矩形”的周长为__________； ①若点 B 的坐标为 ②若点 C 在直线 x=4 上，且点 A、C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的解析式； k3,4 6,2 y （2）已知点 P 的坐标为 ，点 Q 的坐标为 ， 若使函数 的图象与点 P、Q 的“相关矩 x形 ”有两个公共点，直接写出 k 的取值范围． y x 2 y x 2 或 ；（2） 【答案】（1）①12；② 24 k 6 【解析】 【分析】（1）①由相关矩形的定义可知，要求点 A、B 的“相关矩形”的周长，利用点 A，点 B 的坐标求出 “相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知， AC 必为正方形的对角线，所以可得点 C 坐标， y kx b 设直线 AC的解析式为 ，代入 A，C 点的坐标，求出 k，b 的值即可； kxy （2）首先确定 P，Q 的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结合函数 有两个公共点，求出 k 的最大值和最小值即可得到结论． 的图象与点 P、Q 的“相关矩形 ” 2,0 4,4 ，【详解】解：（1）①∵点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ∴点 A、B 的“相关矩形”如图所示， 2(2 4) 12 ∴点 A、B 的“相关矩形”周长= 故答案为：12； ②由定义知，AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线， A 2,0 又∵点 A，C 的相关矩形是正方形，且 4,2 4,2 ∴点 C 的坐标为 或y kx b 设直线 AC 的解析式为 ，2,0 4,2 代入解得 b 2 将∴将∴，，k 1 y x 2 2,0 4,2 ，代入解得 ，k 1 b 2 y x 2 y x 2 y x 2 或∴符合题意得直线 AC 的解析式为 ．3,4 6,2 （2）∵点 P 的坐标为 ，点 Q 的坐标为 ，∴点 P，Q 的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4） ky y y 当函数 当函数 ∴函数 的图象经过（3，-2）时，k=-6， xkx的图象经过（6，-4）时，k=-24， kx的图象与点 P、Q 的“相关矩形 ”有两个公共点时，k 的取值范围是： 24 k 6 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需要理解“相关矩形”的定义，综合性较高， 一定要注意将新旧知识贯穿起来． 24. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 M，C，交对角线 BD 于点 E，且 交 BC 于点 F． ，连接 OE CE BE （1）试判断 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； 32 512BD 5tanCBD （2）若 ，，求⊙O 的半径． 【答案】（1）相切，理由见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）连接 OB，由 ，可得 ，由 ，可证 ，可得 ，由勾 OE OB OEB OBE OE BC CE BE ，可得 OBE ABD 90即可； OEB CBD 90 32 116 5CM 128BD 5BM BD 5tan CBD CM 5（2）由 ，可求 ，由 ， 可求 52BM 5BC 8 股定理可求 ，利用垂径定理可得 解方程即可． O ，进而 ，利用勾股定理构造方程 CF FB 4 EF 2 2R2 R 2 42 【详解】解：（1）AB 与 连接 OB， 相切．理由如下： ∵∴，OE OB ，OEB OBE ∵，CE BE ∴∴∴，OE BC EFB 90 ，，OEB CBD 90 又∵ 、是菱形 的对角线 AC ABCD BD 1BM DM BD ∴，，CBD ABD CMB 90 2∴∴∴∴OBE CBD 90 OBE ABD 90 ，OB AB O 是的切线 AB 32 5BD 5，（2）又∵ 、是菱形 的对角线， AC ABCD BD 116 5CM BM BD 5∴∵∴，21tan CBD ，BM 21 16 8CM 5 5255∴在 Rt△BMC 中， 2∴BC MC BM 8 ∵OE⊥BC，BC 为弦， ∴CF FB 4 EF FB 12tan CBD ∵∴设EF 2 O 222的半径为 R；在 Rt△OFB 中，OB =OF +BF ， 222∴R R 2 4 解得 R 5 O ∴的半径为 5． 【点睛】本题考查圆的切线判定，菱形性质，弧弦弦心距关系，直角三角形两锐角互余，锐角三角函数， 勾股定理，一元一次方程，掌握圆的切线判定，菱形性质，弧弦弦心距关系，直角三角形两锐角互余，锐 角三角函数，勾股定理，一元一次方程是解题关键． 2- 3,0 B 1,0 两点，对称轴 l 与 x 轴交于点 F，直线 25. 如图，抛物线 与 x 轴交于 、y x bx c ()mAC，过点 E 作 EH⊥m，垂足为 H，连接 AE、EC、CH、AH． // （1）抛物线的解析式为 ；（2）当四边形 AHCE 面积最大时，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下，连接 EF，点 P 在 x 轴上，在抛物线上是否存在点 Q，使得以 F、E、P、Q 为顶点 的四边形是平行四边形，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由． 3 15 1 15 【答案】（1） y x2 2x 3 ；（2） ；（3）存在，符合题意的点 坐标为 或E , Q , 2 4 2 4 2 31 15 , 2 31 15 , 或2424【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可； 22C 0,3 （2）先求抛物线与 y 轴交点 ，利用勾股定理求 ，利用待定系数法求直 AC OA OC 3 2 y = x+ 3 线的解析式 ，由 ，交于点 G，可得 为定值，由 AC AC / /m EH m AC GH 1112a，记为定值 ， S四边形AHCE S△AEC S△ACH S△AEC AC GH S△AEC 3 2GH 3 2GH ，把 221139S EM AN EM ON n2 n 再求 ；再利用二次函数的性质可得答案； △ACE 2222EQ//PF （3）当点 Q 在 x 轴上方抛物线上时，因为 PF 在 x 轴上， ，点 Q 的纵坐标与 E 的纵坐标相同，当 点 Q 在 x 轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q 与 E 的纵坐标互为相反数即可． 【详解】解：（1）∵抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 、- 3,0 B 1,0 两点， ()9 3b c 0 1 b c 0 ∴，b 2 c 3 解得 ，∴y x2 2x 3 故答案为 y x2 2x 3 y x2 2x 3 ；；C 0,3 ，（2）将 代得x 0 22∴，AC OA OC 3 2 y kx b – 3,0 0,3 ，设直线 的解析式为 将，AC ()3k b 0 b 3 得，解得 ，k 1 b 3 ，y = x+ 3 ∴，∵∴AC//m ，交EH m AC G于点 ， 为定值， GH S11 S△AEC S△ACH S△AEC AC GH S△AEC 3 2GH ∵把，四边形AHCE 2212a3 2GH ，记为定值 ，过点 作轴，垂足为 ，交 N于点 ，EN x AC EME n,n2 2n 3 M n,n 3 设∴，则 ，EM n2 2n 3 n 3 n2 3n ，1111S△ACE EM AN EM ON EM AN ON EM OA ，22223239n2 3n n2 n ，，2239S n2 n+a ∴∵∴四边形AHCE 223 0 ，232Sn 四边形AHCE 有最大值，此时 ，3 15 32E , n 将代入 中，得 ；n 2n 3 22 4 1 15 2 31 15 , 2 31 15 , Q , （3）存在，符合题意的点 坐标为 或或；2 4 2424当点 Q 在 x 轴上方抛物线上时， 因为 PF 在 x 轴上， EQ//PF 又∵ ，∴点 Q 的纵坐标与 E 的纵坐标相同， 15 ∴y= ，415 4x2 2x 3 ∴，132x , x ∴解得 ，1223∵x= 时为 E 点， 21x ∴，21 15 ， Q1( )， 2 4 当点 Q 在 x 轴下方抛物线上时， ∵PF 在 x 轴上， 又∵四边形为平行四边形， ∴Q 与 E 的纵坐标互为相反数， 15 所以 yQ= ，415 4x2 2x 3 ∴，27 x2 +2x 0 整理得 ，42△= ，b 4ac 4 27 31 2 31 解得 ，x 22 31 15 2+ 3115 ）， ∴Q2（ ），Q3（ , , 24241 15 2 31 15 , 2 31 15 , Q符合题意的点 坐标为 , 或或．2 4 2424【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边 形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性 质是解题关键． 26. 数学课上，有这样一道探究题． BAC 0 180 ，点 P 为平面内不与点 A、C 重合 如图，已知ABC 中，AB=AC=m，BC=n， 的任意一点，将线段 CP 绕点 P 顺时针旋转 a，得线段 PD，E、F 分别是 CB、CD 的中点，设直线 AP 与直 EF 线 EF 相交所成的较小角为 β，探究 的值和 的度数与m、n、α 的关系，请你参与学习小组的探究过 AP 程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了 EF 时，如图 1，求出了 ___________， ___________， ___________； ___________； 60 PA EF 小红研究了 90 时，如图 2，求出了 PA 【类比探究】 EF 他们又共同研究了 α=120°时，如图 3，也求出了 ；PA 【归纳总结】 EF 最后他们终于共同探究得出规律： __________(用含 m、n 的式子表示)； ___________ (用含 α 的 PA 式子表示)． EF 的值和 的度数． 120 （2）求出 时PA n12【答案】（1）【问题发现】 ，60°； ，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】 ，22m 2180 a 3；（2） ，30° 22【解析】 EF AP 1【分析】（1）当 时，△ABC 和△PDC 都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有 ，∠Q 60 2＝＝∠ACB＝60°；当 90时，△ABC 和△PDC 都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF 即可 解决，依此可得出规律； CE CA CE AC 3CF CP 3 120 （2）当 ，可证 ，，从而有 ，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE CF CP 22即可解决问题． 【详解】（1）【问题发现】如图 1，连接 AE，PF，延长 EF、AP 交于点 Q， 当时，△ABC 和△PDC 都是等边三角形， 60 ∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E 分别是 CD、BC 的中点， CF PC CF CE 12CE AC 12∴∴，，，PC AC 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， EF AP 12∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝ ＝∠ACB＝60°， 当 90时，△ABC 和△PDC 都是等腰直角三角形， 如图 2，连接 AE，PF，延长 EF、AP 交于点 Q， 22∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝ CD，AC＝ CB， 22∵F、E 分别是 CD、BC 的中点， CE AC 1CF PC 1∴∴，，，22CF CE PC AC 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， EF AP 12∴，∠CEF＝∠CAP， 22∴∠Q＝ ＝∠ACB＝45°， 【归纳总结】 n180 a EF CE n由此，可归纳出 ，＝∠ACB＝ ；2m2AP AC 2m 120 （2）当 ，连接 AE，PF，延长 EF、AP 交于点 Q， ∵AB＝AC，E 为 BC 的中点， ∴AE⊥BC，∠CAE＝60° CE AC 3∴sin60°＝ ，2CF 3同理可得： ，CP 2CE CF ∴∴，AC CP CE CA ，CF CP 又∵∠ECF＝∠ACP， ∴△PCA∽△FCE， EF EC 3∴，∠CEF＝∠CAP， AP AC 2∴∠Q＝ ＝∠ACB＝30°． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法 不变，体会“变中不变”的思想．
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