陕西省2020年中考数学试题（解析版）下载

2020 年陕西省中考数学试卷 一．选择题（共 10 小题） 1．﹣18 的相反数是（　　） A．18 B．﹣18 C． D．﹣ 2．若∠A＝23°，则∠A 余角的大小是（　　） A．57° B．67° C．77° D．157° 3．2019 年，我国国内生产总值约为 990870 亿元，将数字 990870 用科学记数法表示为（　　） A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103 4．如图，是 A 市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温 的差）是（　　） A．4℃ B．8℃ C．12℃ C．﹣ D．16℃ D．﹣ 5．计算：（﹣ x2y）3＝（　　） A．﹣2x6y3 B． x6y3 x6y3 x5y4 6．如图，在 3×3 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，若 BD 是△ABC 的高，则 BD 的长为（　　） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线 y＝x+3 分别与 x 轴、直线 y＝﹣2x 交于点 A、B，则△AOB 的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，在▱ABCD 中，AB＝5，BC＝8．E 是边 BC 的中点，F 是▱ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接 AF 并延长，交 CD 于点 G．若 EF∥AB，则 DG 的长为（　　） A． B． C．3 D．2 9．如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝50°．E 是边 BC 的中点，连接 OE 并延长，交⊙O 于 点 D，连接 BD，则∠D 的大小为（　　） A．55° B．65° C．60° D．75° 10．在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿 y 轴向下平移 3 个单 位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共 4 小题） 11．计算：（2+ ）（2﹣ ）＝　 　． 12．如图，在正五边形 ABCDE 中，DM 是边 CD 的延长线，连接 BD，则∠BDM 的度数 是　． 13．在平面直角坐标系中，点 A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象 限．若反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过其中两点，则 m 的值为　． 14．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝6，∠B＝60°，点 E 在边 AD 上，且 AE＝2．若直线 l 经过点 E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点 F，则线段 EF 的长 为　 　． 三．解答题（共 11 小题） 15．解不等式组： 16．解分式方程： ﹣＝1． 17．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在 AC 边上求作一点 P， 使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法） 18．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠C．E 是边 BC 上一点，且 DE＝DC．求 证：AD＝BE． 19．王大伯承包了一个鱼塘，投放了 2000 条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率 大致达到了 90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王 大伯随机捕捞了 20 条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这 20 条鱼的质量作为样本， 统计结果如图所示： （1）这 20 条鱼质量的中位数是　 （2）求这 20 条鱼质量的平均数； 　，众数是　 　． （3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克 18 元，请利用这个样本的平均数．估 计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？ 20．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦 的高 MN．他俩在小明家的窗台 B 处，测得商业大厦顶部 N 的仰角∠1 的度数，由于楼 下植物的遮挡，不能在 B 处测得商业大厦底部 M 的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小 华家，在窗台 C 处测得大厦底部 M 的俯角∠2 的度数，竟然发现∠1 与∠2 恰好相等．已 知 A，B，C 三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高 MN． 21．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所 的温室中生长，长到大约 20cm 时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明， 60 天内，这种瓜苗生长的高度 y（cm）与生长时间 x（天）之间的关系大致如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当这种瓜苗长到大约 80cm 时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生 长大约多少天，开始开花结果？ 22．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和 一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球 摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次． （1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，求这 10 次中摸出红球的频率； （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是 白球、一个是黄球的概率． 23．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接 AO 并延长， 交⊙O 于点 D，连接 BD．过点 C 作⊙O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E． （1）求证：AD∥EC； （2）若 AB＝12，求线段 EC 的长． 24．如图，抛物线 y＝x2+bx+c 经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为 A，B，C，它的对称轴为直线 l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D，E 是 l 上的点．要使以 P、 D、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E 的坐标． 25．问题提出 （1）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB 的平分线交 AB 于点 D．过点 D 分别作 DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为 E，F，则图 1 中与线段 CE 相等的线 段是　 　． 问题探究 （2）如图 2，AB 是半圆 O 的直径，AB＝8．P 是 上一点，且 ＝2 ，连接 AP， BP．∠APB 的平分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作 CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为 E， F，求线段 CF 的长． 问题解决 （3）如图 3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O 的直径 AB＝70m， 点 C 在⊙O 上，且 CA＝CB．P 为 AB 上一点，连接 CP 并延长，交⊙O 于点 D．连接 AD，BD．过点 P 分别作 PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为 E，F．按设计要求，四边形 PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设 AP 的长为 x （m），阴影部分的面积为 y（m2）． ①求 y 与 x 之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 AP 的长度为 30m 时，整体布局比较合 理．试求当 AP＝30m 时．室内活动区（四边形 PEDF）的面积． 2020 年陕西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．﹣18 的相反数是（　　） A．18 B．﹣18 C． D．﹣ 【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：﹣18 的相反数是：18． 故选：A． 2．若∠A＝23°，则∠A 余角的大小是（　　） A．57° B．67° C．77° D．157° 【分析】根据∠A 的余角是 90°﹣∠A，代入求出即可． 【解答】解：∵∠A＝23°， ∴∠A 的余角是 90°﹣23°＝67°． 故选：B． 3．2019 年，我国国内生产总值约为 990870 亿元，将数字 990870 用科学记数法表示为（　　） A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同． 【解答】解：990870＝9.9087×105， 故选：A． 4．如图，是 A 市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温 的差）是（　　） A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃ 【分析】根据 A 市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案． 【解答】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温 8℃，最低气温是﹣4℃，这 一天中最高气温与最低气温的差为 12℃， 故选：C． 5．计算：（﹣ x2y）3＝（　　） A．﹣2x6y3 B． x6y3 C．﹣ x6y3 D．﹣ x5y4 【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【解答】解：（﹣ x2y）3＝ 故选：C． ＝．6．如图，在 3×3 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，若 BD 是△ABC 的高，则 BD 的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理计算 AC 的长，利用面积差可得三角形 ABC 的面积，由三角形的 面积公式即可得到结论． 【解答】解：由勾股定理得：AC＝ ∵S△ABC＝3×3﹣ ＝，＝3.5， ∴，∴，∴BD＝ ，故选：D． 7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线 y＝x+3 分别与 x 轴、直线 y＝﹣2x 交于点 A、B，则△AOB 的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】根据方程或方程组得到 A（﹣3，0），B（﹣1，2），根据三角形的面积公式即可 得到结论． 【解答】解：在 y＝x+3 中，令 y＝0，得 x＝﹣3， 解得， ，∴A（﹣3，0），B（﹣1，2）， ∴△AOB 的面积＝ 3×2＝3， 故选：B． 8．如图，在▱ABCD 中，AB＝5，BC＝8．E 是边 BC 的中点，F 是▱ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接 AF 并延长，交 CD 于点 G．若 EF∥AB，则 DG 的长为（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到 EF 的长，再根据梯形中位线定理， 即可得到 CG 的长，进而得出 DG 的长． 【解答】解：∵E 是边 BC 的中点，且∠BFC＝90°， ∴Rt△BCF 中，EF＝ BC＝4， ∵EF∥AB，AB∥CG，E 是边 BC 的中点， ∴F 是 AG 的中点， ∴EF 是梯形 ABCG 的中位线， ∴CG＝2EF﹣AB＝3， 又∵CD＝AB＝5， ∴DG＝5﹣3＝2， 故选：D． 9．如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝50°．E 是边 BC 的中点，连接 OE 并延长，交⊙O 于 点 D，连接 BD，则∠D 的大小为（　　） A．55° B．65° C．60° D．75° 【分析】连接 CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂 径定理得到 OD⊥BC，求得 BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接 CD， ∵∠A＝50°， ∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°， ∵E 是边 BC 的中点， ∴OD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴∠ODB＝∠ODC＝ 故选：B． BDC＝65°， 10．在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿 y 轴向下平移 3 个单 位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 m 的取值范围判断新抛 物线的顶点所在的象限即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣ ∴该抛物线顶点坐标是（ ，m﹣ ）2+m﹣ ，）， ∴将其沿 y 轴向下平移 3 个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（ 3）， ，m﹣ ﹣∵m＞1， ∴m﹣1＞0， ∴＞0， ∵m﹣ ﹣3＝ ，m﹣ ＝＝﹣ ﹣1＜0， ∴点（ ﹣3）在第四象限； 故选：D． 二．填空题（共 4 小题） 11．计算：（2+ ）（2﹣ ）＝　1　． 【分析】先利用平方差公式展开得到原式＝22﹣（ ）2，再利用二次根式的性质化简， 然后进行减法运算． 2【解答】解：原式＝22﹣（ ）＝4﹣3 ＝1． 12．如图，在正五边形 ABCDE 中，DM 是边 CD 的延长线，连接 BD，则∠BDM 的度数是　144 °　． 【分析】根据正五边形的性质和内角和为 540°，求得每个内角的度数为 108°，再结合 等腰三角形和邻补角的定义即可解答． 【解答】解：因为五边形 ABCDE 是正五边形， 所以∠C＝ ＝108°，BC＝DC， ＝36°， 所以∠BDC＝ 所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°， 故答案为：144°． 13．在平面直角坐标系中，点 A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象 限．若反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过其中两点，则 m 的值为　﹣1　． 【分析】根据已知条件得到点 A（﹣2，1）在第三象限，求得点 C（﹣6，m）一定在第 三象限，由于反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过其中两点，于是得到反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过 B（3，2），C（﹣6，m），于是得到结论． 【解答】解：∵点 A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点 A （﹣2，1）在第二象限， ∴点 C（﹣6，m）一定在第三象限， ∵B（3，2）在第一象限，反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过其中两点， ∴反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过 B（3，2），C（﹣6，m）， ∴3×2＝﹣6m， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 14．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝6，∠B＝60°，点 E 在边 AD 上，且 AE＝2．若直线 l 经过点 E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点 F，则线段 EF 的长为　2 　． 【分析】过点 A 和点 E 作 AG⊥BC，EH⊥BC 于点 G 和 H，可得矩形 AGHE，再根据菱 形 ABCD 中，AB＝6，∠B＝60°，可得 BG＝3，AG＝3 ＝EH，由题意可得，FH＝FC ﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得 EF 的长． 【解答】解：如图，过点 A 和点 E 作 AG⊥BC，EH⊥BC 于点 G 和 H， 得矩形 AGHE， ∴GH＝AE＝2， ∵在菱形 ABCD 中，AB＝6，∠B＝60°， ∴BG＝3，AG＝3 ＝EH， ∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1， ∵EF 平分菱形面积， ∴FC＝AE＝2， ∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1， 在 Rt△EFH 中，根据勾股定理，得 EF＝ ＝＝2 ．故答案为：2 ．三．解答题（共 11 小题） 15．解不等式组： 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可． 【解答】解： ，由①得：x＞2， 由②得：x＜3， 则不等式组的解集为 2＜x＜3． 16．解分式方程： ＝1． ﹣【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解． 【解答】解：方程 去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x， 解得：x＝ ﹣＝1， ，经检验 x＝ 是分式方程的解． 17．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在 AC 边上求作一点 P， 使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法） 【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在 AC 边上求作一点 P，使∠PBC＝45 °即可． 【解答】解：如图，点 P 即为所求． 18．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠C．E 是边 BC 上一点，且 DE＝DC．求 证：AD＝BE． 【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C 得∠DEC＝∠B，所 以 AB∥DE，得出四边形 ABCD 是平行四边形，进而得出结论． 【解答】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C． ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形 ABED 是平行四边形． ∴AD＝BE． 19．王大伯承包了一个鱼塘，投放了 2000 条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率 大致达到了 90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王 大伯随机捕捞了 20 条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这 20 条鱼的质量作为样本， 统计结果如图所示： （1）这 20 条鱼质量的中位数是　1.45kg　，众数是　1.5kg　． （2）求这 20 条鱼质量的平均数； （3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克 18 元，请利用这个样本的平均数．估 计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？ 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解可得； （2）利用加权平均数的定义求解可得； （3）用单价乘以（2）中所得平均数，再乘以存活的数量，从而得出答案． 【解答】解：（1）∵这 20 条鱼质量的中位数是第 10、11 个数据的平均数，且第 10、11 个数据分别为 1.4、1.5， ∴这 20 条鱼质量的中位数是 故答案为：1.45kg，1.5kg． ＝1.45（kg），众数是 1.5kg， （2） ＝ ＝1.45（kg）， ∴这 20 条鱼质量的平均数为 1.45kg； （3）18×1.45×2000×90%＝46980（元）， 答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入 46980 元． 20．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦 的高 MN．他俩在小明家的窗台 B 处，测得商业大厦顶部 N 的仰角∠1 的度数，由于楼 下植物的遮挡，不能在 B 处测得商业大厦底部 M 的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小 华家，在窗台 C 处测得大厦底部 M 的俯角∠2 的度数，竟然发现∠1 与∠2 恰好相等．已 知 A，B，C 三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高 MN． 【分析】过点 C 作 CE⊥MN 于点 E，过点 B 作 BF⊥MN 于点 F，可得四边形 AMEC 和四 边形 AMFB 均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得 NF＝EM＝49，进而可得商业大厦 的高 MN． 【解答】解：如图，过点 C 作 CE⊥MN 于点 E，过点 B 作 BF⊥MN 于点 F， ∴∠CEF＝∠BFE＝90°， ∵CA⊥AM，NM⊥AM， ∴四边形 AMEC 和四边形 AMFB 均为矩形， ∴CE＝BF，ME＝AC， ∠1＝∠2， ∴△BFN≌△CEM（ASA）， ∴NF＝EM＝31+18＝49， 由矩形性质可知：EF＝CB＝18， ∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）． 答：商业大厦的高 MN 为 80m． 21．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所 的温室中生长，长到大约 20cm 时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明， 60 天内，这种瓜苗生长的高度 y（cm）与生长时间 x（天）之间的关系大致如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当这种瓜苗长到大约 80cm 时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生 长大约多少天，开始开花结果？ 【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可； （2）利用（1）的结论，把 y＝80 代入求出 x 的值即可解答． 【解答】解：（1）当 0≤x≤15 时，设 y＝kx（k≠0）， 则：20＝15k， 解得 k＝ ∴y＝ ，；当 15＜x≤60 时，设 y＝k′x+b（k≠0）， 则： ，解得 ，∴y＝ ，∴；（2）当 y＝80 时，80＝ 33﹣15＝18（天）， ，解得 x＝33， ∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约 18 天，开始开花结果． 22．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和 一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球 摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次． （1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，求这 10 次中摸出红球的频率； （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是 白球、一个是黄球的概率． 【分析】（1）由频率定义即可得出答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中 一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，这 10 次中摸出红球的 频率＝ ＝ ； （2）画树状图得： ∵共有 16 种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有 2 种情况， ∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝ ＝ ． 23．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接 AO 并延长， 交⊙O 于点 D，连接 BD．过点 C 作⊙O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E． （1）求证：AD∥EC； （2）若 AB＝12，求线段 EC 的长． 【分析】（1）连接 OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90 °，可得结论； （2）过点 A 作 AF⊥EC 交 EC 于 F，由锐角三角函数可求 AD＝8 ，可证四边形 OAFC 是正方形，可得 CF＝AF＝4 ，由锐角三角函数可求 EF＝12，即可求解． 【解答】证明：（1）连接 OC， ∵CE 与⊙O 相切于点 C， ∴∠OCE＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠AOC＝90°， ∵∠AOC+∠OCE＝180°， ∴∴AD∥EC （2）如图，过点 A 作 AF⊥EC 交 EC 于 F， ∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝60°， ∴∠D＝∠ACB＝60°， ∴sin∠ADB＝ ∴AD＝ ，＝8 ，∴OA＝OC＝4 ，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°， ∴四边形 OAFC 是矩形， 又∵OA＝OC， ∴四边形 OAFC 是正方形， ∴CF＝AF＝4 ，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°， ∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵tan∠EAF＝ ，∴EF＝ AF＝12， ∴CE＝CF+EF＝12+4 ．24．如图，抛物线 y＝x2+bx+c 经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为 A，B，C，它的对称轴为直线 l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D，E 是 l 上的点．要使以 P、 D、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E 的坐标． 【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解； （2）由题意得：PD＝DE＝3 时，以 P、D、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，分点 P 在 抛物线对称轴右侧、点 P 在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得 ，解 得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）抛物线的对称轴为 x＝﹣1，令 y＝0，则 x＝﹣3 或 1，令 x＝0，则 y＝﹣3， 故点 A、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点 C（0，﹣3）， 故 OA＝OC＝3， ∵∠PDE＝∠AOC＝90°， ∴当 PD＝DE＝3 时，以 P、D、E 为顶点的三角形与△AOC 全等， 设点 P（m，n），当点 P 在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2， 故 n＝22+2×2﹣5＝5，故点 P（2，5）， 故点 E（﹣1，2）或（﹣1，8）； 当点 P 在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点 P（﹣4，5），此时点 E 坐 标同上， 综上，点 P 的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点 E 的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 25．问题提出 （1）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB 的平分线交 AB 于点 D．过点 D 分别作 DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为 E，F，则图 1 中与线段 CE 相等的线 段是　CF、DE、DF　． 问题探究 （2）如图 2，AB 是半圆 O 的直径，AB＝8．P 是 上一点，且 ＝2 ，连接 AP， BP．∠APB 的平分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作 CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为 E， F，求线段 CF 的长． 问题解决 （3）如图 3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O 的直径 AB＝70m， 点 C 在⊙O 上，且 CA＝CB．P 为 AB 上一点，连接 CP 并延长，交⊙O 于点 D．连接 AD，BD．过点 P 分别作 PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为 E，F．按设计要求，四边形 PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设 AP 的长为 x （m），阴影部分的面积为 y（m2）． ①求 y 与 x 之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 AP 的长度为 30m 时，整体布局比较合 理．试求当 AP＝30m 时．室内活动区（四边形 PEDF）的面积． 【分析】（1）证明四边形 CEDF 是正方形，即可得出结果； （2）连接 OP，由 AB 是半圆 O 的直径， ＝2 ，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°， 则∠ABP＝30°，同（1）得四边形 PECF 是正方形，得 PF＝CF，在 Rt△APB 中，PB＝ AB•cos∠ABP＝4 ，在 Rt△CFB 中，BF＝ ＝CF，推出 PB＝CF+BF，即 可得出结果； （3）①同（1）得四边形 DEPF 是正方形，得出 PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA ＝∠PFB＝90°，将△APE 绕点 P 逆时针旋转 90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则 A ′、F、B 三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出 S△PAE+S△PBF＝S△PA ＝PA′•PB＝ x（70﹣x），在 Rt△ACB 中，AC＝BC＝35 ，S△ACB 1225，由 y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果； ②当 AP＝30 时，A′P＝30，PB＝40，在 Rt△A′PB 中，由勾股定理得 A′B＝ ＝50，由 S△A′PB A′B•PF＝ PB•A′P，求 PF，即可得出结果． ＝AC2＝ ′B ＝【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四边形 CEDF 是矩形， ∵CD 平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∴四边形 CEDF 是正方形， ∴CE＝CF＝DE＝DF， 故答案为：CF、DE、DF； （2）连接 OP，如图 2 所示： ∵AB 是半圆 O 的直径， ＝2 ，∴∠APB＝90°，∠AOP＝ ×180°＝60°， ∴∠ABP＝30°， 同（1）得：四边形 PECF 是正方形， ∴PF＝CF， 在 Rt△APB 中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8× ＝4 ，在 Rt△CFB 中，BF＝ ＝＝＝CF， ∵PB＝PF+BF， ∴PB＝CF+BF， 即：4 ＝CF+ CF， 解得：CF＝6﹣2 ；（3）①∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC， 同（1）得：四边形 DEPF 是正方形， ∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°， ∴将△APE 绕点 P 逆时针旋转 90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图 3 所示： 则 A′、F、B 三点共线，∠APE＝∠A′PF， ∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°， ∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B 在 Rt△ACB 中，AC＝BC＝ ∴S△ACB AC2＝ ×（35 ）2＝1225， ∴y＝S△PA′B+S△ACB x（70﹣x）+1225＝﹣ x2+35x+1225； ②当 AP＝30 时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40， ＝PA′•PB＝ x（70﹣x）， AB＝ ×70＝35 ，＝＝在 Rt△A′PB 中，由勾股定理得：A′B＝ ∵S△A′PB A′B•PF＝ PB•A′P， ×50×PF＝ ×40×30， ＝＝50， ＝∴解得：PF＝24， ∴S 四边形 PEDF＝PF2＝242＝576（m2）， ∴当 AP＝30m 时．室内活动区（四边形 PEDF）的面积为 576m2．