重庆市2020年中考数学试卷（B卷）解析版

2020 年重庆市中考数学试卷（B 卷）一．选择题（共 12 小题） 1．5 的倒数是（　　） A．5 B． C．﹣5 D．﹣ 2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（　　） A．长方体 B．圆柱体 C．球体 D．圆锥体 3．计算 a•a2 结果正确的是（　　） B．a2 A．a C．a3 D．a4 4．如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，连接 OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB 的度数为（　　） A．65° 5．已知 a+b＝4，则代数式 1+ A．3 B．1 B．55° C．45° 的值为（　　） C．0 D．35° D．﹣1 +6．如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 为位似中心．已知 OA：OD＝1：2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 7．小明准备用 40 元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本 6 元，每支签字笔 2.2 元，小明买了 7 支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 8．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有 5 个实心圆点，第②个图形一共有 8 个实心圆点，第③个图形一共有 11 个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 9．如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处，某测量员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点（点 A，B，C 在同一直线上），再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点（点 A，B，C，D，E 在同一平面内），在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43°，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE 的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔 AB 的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） A．23 米 B．24 米 C．24.5 米 D．25 米 10．若关于 x 的一元一次不等式组的解集为 x≥5，且关于 y 的分式方程 +＝﹣1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（　　） B．﹣2 C．﹣3 D．0 A．﹣1 11．如图，在△ABC 中，AC＝2 ，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB 沿直线 AC 翻折至△ABC 所在的平面内，得△ACD．过点 A 作 AE，使∠DAE＝∠DAC，与 CD 的延长线交于点 E，连接 BE，则线段 BE 的长为（　　） A． B．3 C．2 D．4 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数 y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点 B，则 k 的值为（　　） A． B．8 C．10 D．二．填空题（共 6 小题） ﹣1 13．计算：（）﹣＝　　． 14．经过多年的精准扶贫，截至 2019 年底，我国的农村贫困人口减少了约 94000000 人．请把数 94000000 用科学记数法表示为　． 15．盒子里有 3 张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字 1，2，3，从中随机抽出 1 张后不放回，再随机抽出 1 张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是　． 16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝120°，AB＝2 ，以点 O 为圆心，OB 长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　．（结果保留π） 17．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从 A 地出发前往 B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发 5 分钟．乙骑行 25 分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往 B 地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程 y（单位：米）与乙骑行的时间 x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚　　分钟到达 B 地． 18．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金 50 元、30 元、10 元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的 3 倍，摸到黄球次数为第一时段的 2 倍，摸到绿球次数为第一时段的 4 倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的 4 倍，摸到绿球次数为第一时段的 2 倍，三个时段返现总金额为 2510 元，第三时段返现金额比第一时段多 420 元，则第二时段返现金额为　三．解答题　元． 19.计算：（1）（x+y）2+y（3x﹣y）；（2）（ +a）÷ ．20.如图，在平行四边形 ABCD 中，AE，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB，交对角线 BD 于点 E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC 的度数；（2）求证：BE＝DF． 21.每年的 4 月 15 日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共 800 名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取 20 名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分 10 分，6 分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：八年级抽取的学生的竞赛成绩： 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级八年级 7.4 a7.4 b7c合格率 85% 90% 根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　；（2）估计该校七、八年级共 800 名学生中竞赛成绩达到 9 分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异． 22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．定义：对于三位自然数 n，各位数字都不为 0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数 n 为“好数”．例如：426 是“好数”，因为 4，2，6 都不为 0，且 4+2＝6，6 能被 6 整除； 643 不是“好数”，因为 6+4＝10，10 不能被 3 整除．（1）判断 312，675 是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”的个数，并说明理由． 23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 y＝﹣ 的图象并探究该函数的性质． xy……﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣2 ﹣1 ﹣4 01234……ab﹣4 ﹣2 ﹣﹣﹣（1）列表，写出表中 a，b 的值：a＝　　，b＝　　；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）： ①函数 y＝﹣ ②当 x＝0 时，函数 y＝﹣ ③在自变量的取值范围内函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小．（3）已知函数 y＝﹣ x﹣ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等的图象关于 y 轴对称；有最小值，最小值为﹣6；式﹣ ＜﹣ x﹣ 的解集． 24.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对 A，B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 A、B 两个品种各种植了 10 亩．收获后 A、B 两个品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克，A、B 两个品种全部售出后总收入为 21600 元．（1）求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 A、B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%．由于 B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 a%，而 A 品种的售价保持不变，A、B 两个品种全部售出后总收入将增加 a%．求 a 的值． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 A 点坐标为（﹣ ，0），直线 BC 的解析式为 y＝﹣ x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点 A 作 AD∥BC，交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE，EB，BD，DC．求四边形 BECD 面积的最大值及相应点 E 的坐标；（3）将抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点 M 为抛物线 y＝ ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点 N 为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 BECD 的面积最大时，是否存在以 A，E，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 26.△ABC 为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC 于点 D，E 为线段 AD 上一点，AE＝2 ．以 AE 为边在直线 AD 右侧构造等边三角形 AEF，连接 CE，N 为 CE 的中点．（1）如图 1，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG，求线段 NG 的长；（2）如图 2，将△AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 α，M 为线段 EF 的中点，连接 DN，MN．当 30°＜α＜120°时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接 BN，在△AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，当线段 BN 最大时，请直接写出△ADN 的面积． 2020 年重庆市中考数学试卷（B 卷）参考答案与试题解析一．选择题（共 12 小题） 1．5 的倒数是（　　） A．5 B． C．﹣5 D．﹣ 【分析】根据倒数的定义，可得答案．【解答】解：5 得倒数是故选：B．，2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（　　） A．长方体 B．圆柱体 C．球体 D．圆锥体【分析】根据平面与曲面的概念判断即可．【解答】解：A、六个面都是平面，故本选项正确； B、侧面不是平面，故本选项错误； C、球面不是平面，故本选项错误； D、侧面不是平面，故本选项错误；故选：A． 3．计算 a•a2 结果正确的是（　　） A．a B．a2 C．a3 D．a4 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3．故选：C． 4．如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，连接 OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB 的度数为（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 【分析】根据切线的性质得到∠OAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【解答】解：∵AB 是⊙O 的切线， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， ∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°，故选：B． 5．已知 a+b＝4，则代数式 1+ A．3 B．1 +的值为（　　） C．0 D．﹣1 【分析】将 a+b 的值代入原式＝1+ （a+b）计算可得．【解答】解：当 a+b＝4 时，原式＝1+ （a+b）＝1+ ×4 ＝1+2 ＝3，故选：A． 6．如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 为位似中心．已知 OA：OD＝1：2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【分析】根据位似图形的概念求出△ABC 与△DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，OA：OD＝1：2， ∴△ABC 与△DEF 的位似比是 1：2． ∴△ABC 与△DEF 的相似比为 1：2， ∴△ABC 与△DEF 的面积比为 1：4，故选：C． 7．小明准备用 40 元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本 6 元，每支签字笔 2.2 元，小明买了 7 支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】设还可以买 x 个作业本，根据总价＝单价×数量结合总价不超过 40 元，即可得出关系 x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：设还可以买 x 个作业本，依题意，得：2.2×7+6x≤40，解得：x≤4 ．又∵x 为正整数， ∴x 的最大值为 4．故选：B． 8．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有 5 个实心圆点，第②个图形一共有 8 个实心圆点，第③个图形一共有 11 个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第 n 个图形中实心圆点的个数为 2n+n+2，据此求解可得．【解答】解：∵第①个图形中实心圆点的个数 5＝2×1+3，第②个图形中实心圆点的个数 8＝2×2+4，第③个图形中实心圆点的个数 11＝2×3+5， …… ∴第⑥个图形中实心圆点的个数为 2×6+8＝20，故选：C． 9．如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处，某测量员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点（点 A，B，C 在同一直线上），再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点（点 A，B，C，D，E 在同一平面内），在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43°，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE 的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔 AB 的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） A．23 米 B．24 米 C．24.5 米 D．25 米【分析】过点 E 作 EF⊥DC 交 DC 的延长线于点 F，过点 E 作 EM⊥AC 于点 M，根据斜坡 DE 的坡度（或坡比）i＝1：2.4 可设 EF＝x，则 DF＝2.4x，利用勾股定理求出 x 的值，进而可得出 EF 与 DF 的长，故可得出 CF 的长．由矩形的判定定理得出四边形 EFCM 是矩形，故可得出 EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出 AM 的长，进而可得出答案．【解答】解：过点 E 作 EF⊥DC 交 DC 的延长线于点 F，过点 E 作 EM⊥AC 于点 M， ∵斜坡 DE 的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BE＝CD＝78 米， ∴设 EF＝x，则 DF＝2.4x．在 Rt△DEF 中， ∵EF2+DF2＝DE2，即 x2+（2.4x）2＝782，解得 x＝30， ∴EF＝30 米，DF＝72 米， ∴CF＝DF+DC＝72+78＝150 米． ∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD， ∴四边形 EFCM 是矩形， ∴EM＝CF＝150 米，CM＝EF＝30 米．在 Rt△AEM 中， ∵∠AEM＝43°， ∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5 米， ∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5 米． ∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25 米．故选：D． 10．若关于 x 的一元一次不等式组的解集为 x≥5，且关于 y 的分式方程 +＝﹣1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（　　） B．﹣2 C．﹣3 D．0 A．﹣1 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出 a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出 a 的值，求出之和即可．【解答】解：不等式组整理得：，由解集为 x≥5，得到 2+a≤5，即 a≤3，分式方程去分母得：y﹣a＝﹣y+2，即 2y﹣2＝a，解得：y＝ +1，由 y 为非负整数，且 y≠2，得到 a＝0，﹣2，之和为﹣2，故选：B． 11．如图，在△ABC 中，AC＝2 ，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB 沿直线 AC 翻折至△ABC 所在的平面内，得△ACD．过点 A 作 AE，使∠DAE＝∠DAC，与 CD 的延长线交于点 E，连接 BE，则线段 BE 的长为（　　） A． B．3 C．2 D．4 【分析】延长 BC 交 AE 于 H，由折叠的性质∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45 °，∠ACB＝∠ACD＝120°，由外角的性质可求∠AED＝∠EAC，可得 AC＝EC，由 “SAS”可证△ABC≌△EBC，可得 AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解答】解：如图，延长 BC 交 AE 于 H， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°， ∴∠ACB＝120°， ∵将△ACB 沿直线 AC 翻折， ∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°， ∵∠DAE＝∠DAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝15°， ∴∠CAE＝30°， ∵∠ADC＝∠DAE+∠AED， ∴∠AED＝45°﹣15°＝30°， ∴∠AED＝∠EAC， ∴AC＝EC，又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC， ∴△ABC≌△EBC（SAS）， ∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°， ∴∠ABE＝90°， ∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC， ∴AH＝EH，BH⊥AE， ∵∠CAE＝30°， ∴CH＝ AC＝，AH＝ CH＝ ∴AE＝2 ∵AB＝BE，∠ABE＝90°，，，∴BE＝＝2 ，故选：C． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数 y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点 B，则 k 的值为（　　） A．【分析】过 D 作 DE⊥x 轴于 E，过 B 作 BF⊥x 轴，BH⊥y 轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到 AE＝＝4，根据矩形的性质得到 AD＝BC，根据全等三角形的性质得到 BH＝AE＝4，求得 AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论． B．8 C．10 D．【解答】解：过 D 作 DE⊥x 轴于 E，过 B 作 BF⊥x 轴，BH⊥y 轴， ∴∠BHC＝90°， ∵点 D（﹣2，3），AD＝5， ∴DE＝3， ∴AE＝＝4， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC， ∴∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°， ∴∠CBH＝∠DCH， ∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°， ∠CPD＝∠APO， ∴∠DCP＝∠DAE， ∴∠CBH＝∠DAE， ∵∠AED＝∠BHC＝90°， ∴△ADE≌△BCH（AAS）， ∴BH＝AE＝4， ∵OE＝2， ∴OA＝2， ∴AF＝2， ∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°， ∴∠APO＝∠BAF， ∴△APO∽△BAF， ∴，∴＝，∴BF＝，∴B（4，）， ∴k＝，故选：D．二．填空题（共 6 小题） ﹣1 13．计算：（）﹣＝　3　．【分析】先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算加减可得．【解答】解：原式＝5﹣2＝3，故答案为：3． 14．经过多年的精准扶贫，截至 2019 年底，我国的农村贫困人口减少了约 94000000 人．请把数 94000000 用科学记数法表示为　9.4×107　．【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【解答】解：94000000＝9.4×107，故答案为：9.4×107． 15．盒子里有 3 张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字 1，2，3，从中随机抽出 1 张后不放回，再随机抽出 1 张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是　．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：列表如下 132334512345由表可知，共有 6 种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有 4 种结果，所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为故答案为： 16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝120°，AB＝2 ，以点＝，．O 为圆心，OB 长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　3 π　．（结果保留 π） ﹣【分析】由菱形的性质可得 AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，可证△BEO，△DFO 是等边三角形，由等边三角形的性质可求∠EOF＝60°，由扇形的面积公式和面积和差关系可求解．【解答】解：如图，设连接以点 O 为圆心，OB 长为半径画弧，分别与 AB，AD 相交于 E，F，连接 EO，FO， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝120°， ∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴AB＝BD＝2 ，∠ABD＝∠ADB＝60°， ∴BO＝DO＝，∵以点 O 为圆心，OB 长为半径画弧， ∴BO＝OE＝OD＝OF， ∴△BEO，△DFO 是等边三角形， ∴∠DOF＝∠BOE＝60°， ∴∠EOF＝60°， ∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S 扇形 OEF）＝2×（ ×12﹣ ×3﹣ ×3﹣ ）＝3 ﹣π，故答案为：3 ﹣π． 17．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从 A 地出发前往 B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发 5 分钟．乙骑行 25 分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往 B 地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程 y（单位：米）与乙骑行的时间 x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚　12　分钟到达 B 地．【分析】首先确定甲乙两人的速度，求出总里程，再求出甲到达 B 地时，乙离 B 地的距离即可解决问题．【解答】解：由题意乙的速度为 1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为 x 米/分．则有：7500﹣20x＝2500，解得 x＝250， 25 分钟后甲的速度为 250× ＝400（米/分）．由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米）， 86 分钟乙的路程为 86×300＝25800（米）， ∴＝12（分钟）．故答案为 12． 18．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金 50 元、30 元、10 元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的 3 倍，摸到黄球次数为第一时段的 2 倍，摸到绿球次数为第一时段的 4 倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的 4 倍，摸到绿球次数为第一时段的 2 倍，三个时段返现总金额为 2510 元，第三时段返现金额比第一时段多 420 元，则第二时段返现金额为　1230　元．【分析】设第一时段摸到红球 x 次，摸到黄球 y 次，摸到绿球 z 次，（x，y，z 均为非负整数），则第一时段返现（50x+30y+10z），根据“第三时段返现金额比第一时段多 420 元”，得出 z＝42﹣9y，进而确定出 y≤ ，再根据“三个时段返现总金额为 2510 元”，，再将满足题意的 y 的知代入④，计算 x，进得出 25x＝42y﹣43，进而得出而得出 x，z，即可得出结论． ≤y≤ 【解答】解：设第一时段摸到红球 x 次，摸到黄球 y 次，摸到绿球 z 次，（x，y，z 均为非负整数），则第一时段返现金额为（50x+30y+10z），第二时段摸到红球 3x 次，摸到黄球 2y 次，摸到绿球 4z 次，则第二时段返现金额为（50 ×3x+30×2y+10×4z），第三时段摸到红球 x 次，摸到黄球 4y 次，摸到绿球 2z 次，则第三时段返现金额为（50x+30 ×4y+10×2z）， ∵第三时段返现金额比第一时段多 420 元， ∴（50x+30×4y+10×2z）﹣（50x+30y+10z）＝420， ∴z＝42﹣9y①， ∵z 为非负整数， ∴42﹣9y≥0， ∴y≤ ，∵三个时段返现总金额为 2510 元， ∴（50x+30y+10z）+（50x+30×4y+10×2z）+（50x+30×4y+10×2z）＝2510， ∴25x+21y+7z＝251②，将①代入②中，化简整理得，25x＝42y﹣43， ∴x＝ ④， ∵x 为非负整数， ∴≥0， ∴y≥ ∴，≤y≤ ，∵y 为非负整数， ∴y＝2，34，当 y＝2 时，x＝当 y＝3 时，x＝，不符合题意，，不符合题意，当 y＝4 时，x＝5，则 z＝6， ∴第二时段返现金额为 50×3x+30×2y+10×4z＝10（15×5+6×4+4×6）＝1230（元），故答案为：1230．三．解答题 19.计算：（1）（x+y）2+y（3x﹣y）；（2）（ +a）÷ ．【考点】4A：单项式乘多项式；4C：完全平方公式；6C：分式的混合运算．【专题】512：整式；513：分式；66：运算能力；69：应用意识．【分析】（1）利用完全平方公式和多项式的乘法，进行计算即可；（2）根据分式的四则计算的法则进行计算即可，【解答】解：（1）（x+y）2+y（3x﹣y），＝x2+2xy+y2+3xy﹣y2，＝x2+5xy；（2）（ +a）÷ ）× ，＝（＝+，×，＝﹣ ．20.如图，在平行四边形 ABCD 中，AE，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB，交对角线 BD 于点 E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC 的度数；（2）求证：BE＝DF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【专题】555：多边形与平行四边形；67：推理能力．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠ BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到 AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠ CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵CF 平分∠DCB， ∴∠BCD＝2∠BCF， ∵∠BCF＝60°， ∴∠BCD＝120°， ∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB， ∴∠BAE＝，∠DCF＝，∴∠BAE＝∠DCE， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE＝CF． 21.每年的 4 月 15 日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共 800 名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取 20 名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分 10 分，6 分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：八年级抽取的学生的竞赛成绩： 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级八年级 7.4 a7.4 b7c合格率 85% 90% 根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝　7.5　，b＝　8　，c＝　8　；（2）估计该校七、八年级共 800 名学生中竞赛成绩达到 9 分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．【考点】V5：用样本估计总体；W4：中位数；W5：众数．【专题】542：统计的应用；69：应用意识．【分析】（1）由图表可求解；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．【解答】解：（1）由图表可得：a＝故答案为：7.5，8，8；＝7.5，b＝＝8，c＝8，（2）该校七、八年级共 800 名学生中竞赛成绩达到 9 分及以上的人数＝800× ＝200 （人），答：该校七、八年级共 800 名学生中竞赛成绩达到 9 分及以上的人数为 200 人；（3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率， ∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异． 22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．定义：对于三位自然数 n，各位数字都不为 0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数 n 为“好数”．例如：426 是“好数”，因为 4，2，6 都不为 0，且 4+2＝6，6 能被 6 整除； 643 不是“好数”，因为 6+4＝10，10 不能被 3 整除．（1）判断 312，675 是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”的个数，并说明理由．【考点】#3：数的整除性．【专题】32：分类讨论；66：运算能力．【分析】（1）根据“好数”的意义，判断即可得出结论；（2）设十位数数字为 a，则百位数字为 a+5（0＜a≤4 的整数），得出百位数字和十位数字的和为 2a+5，再分别取 a＝1，2，3，4，计算判断即可得出结论．【解答】解：（1）312 是“好数”，因为 3，1，2 都不为 0，且 3+1＝4，6 能被 2 整除， 675 不是“好数”，因为 6+7＝13，13 不能被 5 整除；（2）611，617，721，723，729，831，941 共 7 个，理由：设十位数数字为 a，则百位数字为 a+5（0＜a≤4 的整数）， ∴a+a+5＝2a+5，当 a＝1 时，2a+5＝7， ∴7 能被 1，7 整除， ∴满足条件的三位数有 611，617，当 a＝2 时，2a+5＝9， ∴9 能被 1，3，9 整除， ∴满足条件的三位数有 721，723，729，当 a＝3 时，2a+5＝11， ∴11 能被 1 整除， ∴满足条件的三位数有 831，当 a＝4 时，2a+5＝13， ∴13 能被 1 整除， ∴满足条件的三位数有 941，即满足条件的三位自然数为 611，617，721，723，729，831，941 共 7 个． 23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 y＝﹣ 的图象并探究该函数的性质． xy……﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣2 ﹣1 ﹣4 01234……ab﹣4 ﹣2 ﹣﹣﹣（1）列表，写出表中 a，b 的值：a＝　﹣ 　，b＝　﹣6　；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）： ①函数 y＝﹣ ②当 x＝0 时，函数 y＝﹣ ③在自变量的取值范围内函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小．（3）已知函数 y＝﹣ x﹣ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣ ＜﹣x﹣ 的解集．的图象关于 y 轴对称；有最小值，最小值为﹣6；【考点】F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；FD：一次函数与一元一次不等式； P5：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．【专题】533：一次函数及其应用；64：几何直观．【分析】（1）将 x＝﹣3，0 分别代入解析式即可得 y 的值，再画出函数的图象；（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求得即可．【解答】解：（1）x＝﹣3、0 分别代入 y＝﹣ 6，，得 a＝﹣ ＝﹣ ，b＝﹣ ＝﹣ 故答案为﹣ ，﹣6；画出函数的图象如图：，故答案为﹣ （2）根据函数图象： ①函数 y＝﹣ 的图象关于y 轴对称，说法正确；，﹣6； ②当 x＝0 时，函数 y＝﹣ ③在自变量的取值范围内函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小，说法错误．（3）由图象可知：不等式﹣ ＜﹣x﹣ 的解集为x＜﹣4 或﹣2＜x＜1．有最小值，最小值为﹣6，说法正确； 24.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对 A，B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 A、B 两个品种各种植了 10 亩．收获后 A、B 两个品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克，A、B 两个品种全部售出后总收入为 21600 元．（1）求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 A、B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%．由于 B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 a%，而 A 品种的售价保持不变，A、B 两个品种全部售出后总收入将增加 a%．求 a 的值．【考点】9A：二元一次方程组的应用；AD：一元二次方程的应用．【专题】523：一元二次方程及应用；69：应用意识．【分析】（1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克；根据题意列方程组即可得到结论；（2）根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克；根据题意得，解得：，，答：A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 400 千克和 500 千克；（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+ a%），解得：a＝10，答：a 的值为 10． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 A 点坐标为（﹣ ，0），直线 BC 的解析式为 y＝﹣ x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点 A 作 AD∥BC，交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE，EB，BD，DC．求四边形 BECD 面积的最大值及相应点 E 的坐标；（3）将抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点 M 为抛物线 y＝ ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点 N 为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 BECD 的面积最大时，是否存在以 A，E，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；32：分类讨论；65：数据分析观念．【分析】（1）利用直线 BC 的解析式求出点 B、C 的坐标，则 y＝ax2+bx+2＝a（x+ （x﹣3 ）＝ax2﹣2 a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a＝，即可求解；）（2）四边形 BECD 的面积 S＝S△BCE+S△BCD＝ ×EF×OB+ ×（xD﹣xC）×BH，即可求解；（3）分 AE 是平行四边形的边、AE 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线 BC 的解析式为 y＝﹣ x+2，令 y＝0，则 x＝3 ，令 x＝0，则 y＝2，故点 B、C 的坐标分别为（3 ，0）、（0，2）；则 y＝ax2+bx+2＝a（x+ ）（x﹣3 ）＝a（x2﹣2 x﹣6）＝ax2﹣2 a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a＝故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ ，x+2①；（2）如图，过点 B、E 分别作 y 轴的平行线分别交 CD 于点 H，交 BC 于点 F， ∵AD∥BC，则设直线 AD 的表达式为：y＝﹣ 联立①②并解得：x＝4 ，故点 D（4 ，﹣ （x+ ）②，），由点 C、D 的坐标得，直线 CD 的表达式为：y＝﹣ x+2，当 x＝3 时，yBC＝﹣ 设点 E（x，﹣ x2+ x+2＝﹣2，即点 H（3 ，﹣2），故 BH＝2， x+2），则点 F（x，﹣ x+2），则四边形 BECD 的面积 S＝S△BCE+S△BCD ＝×EF×OB+ ×（xD﹣xC）×BH＝ ×（﹣ x2+ x+2+ x﹣2）×3 +×4 ×2＝﹣ x2+3x+4 ，∵＜0，故 S 有最大值，当 x＝时，S 的最大值为，此时点 E（，）；（3）存在，理由： y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x ）2+ ，抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，则新抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ ，点 A、E 的坐标分别为（﹣ ，0）、（，）；设点M（，m），点 N（n，s），s＝﹣ n2+ ；①当 AE 是平行四边形的边时，点 A 向右平移位向上平移个单位得到N（M），＝n，个单位向上平移个单位得到E，同样点 M（N）向右平移个单即±则 s＝﹣ n2+ ＝﹣ 故点 N 的坐标为（或，，﹣ ）或（﹣ ，）； ②当 AE 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：﹣ ＝n+ ，解得：n＝﹣ s＝﹣ n2+ 故点 N 的坐标（﹣ 综上点 N 的坐标为：（ +，＝，，）；，﹣ ）或（﹣ ，）或（﹣ ，）． 26.△ABC 为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC 于点 D，E 为线段 AD 上一点，AE＝2 ．以 AE 为边在直线 AD 右侧构造等边三角形 AEF，连接 CE，N 为 CE 的中点．（1）如图 1，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG，求线段 NG 的长；（2）如图 2，将△AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 α，M 为线段 EF 的中点，连接 DN，MN．当 30°＜α＜120°时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接 BN，在△AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，当线段 BN 最大时，请直接写出△ADN 的积面．【考点】RB：几何变换综合题．【专题】152：几何综合题；69：应用意识．【分析】（1）如图 1 中，连接 BE，CF．解直角三角形求出 BE，再利用全等三角形的性质证明 CF＝BE，利用三角形的中位线定理即可解决问题．（2）结论：∠DNM＝120°是定值．利用全等三角形的性质证明∠EBC+∠BCF＝120°，再利用三角形的中位线定理，三角形的外角的性质证明∠DNM＝∠EBC+∠BCF 即可．（3）如图 3﹣1 中，取 AC 的中点，连接 BJ，BN．首先证明当点 N 在 BJ 的延长线上时， BN 的值最大，如图 3﹣2 中，过点 N 作 NH⊥AD 于 H，设 BJ 交 AD 于 K，连接 AN．解直角三角形求出 NH 即可解决问题．【解答】解：（1）如图 1 中，连接 BE，CF． ∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC， ∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4， ∴AD＝ BD＝4 ∵AE＝2 ，，∴DE＝AE＝2 ∴BE＝，＝＝2 ，∵△ABC，△AEF 答等边三角形， ∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴CF＝BE＝2 ∵EN＝CN，EG＝FG， ∴GN＝ CF＝，．（2）结论：∠DNM＝120°是定值．理由：连接 BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACF， ∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°， ∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°， ∵EN＝NC，EM＝MF， ∴MN∥CF， ∴∠ENM＝∠ECM， ∵BD＝DC，EN＝NC， ∴DN∥BE， ∴∠CDN＝∠EBC， ∵∠END＝∠NDC+∠ACB， ∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACN+∠ECM＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠ EBC+∠BCF＝120°．（3）如图 3﹣1 中，取 AC 的中点，连接 BJ，BN． ∵AJ＝CJ，EN＝NC， ∴JN＝ AE＝，∵BJ＝AD＝4 ，∴BN≤BJ+JN， ∴BN≤5 ，∴当点 N 在 BJ 的延长线上时，BN 的值最大，如图 3﹣2 中，过点 N 作 NH⊥AD 于 H，设 BJ 交 AD 于 K，连接 AN． ∵KJ＝AJ•tan30°＝ ∴KN＝在 Rt△HKN 中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，，JN＝，，∴HN＝NK•sin60°＝ ×＝，∴S△ADN＝ •AD•NH＝ ×4 ×＝7 ．