辽宁省营口市2020年中考数学试卷解析版

2020 年辽宁省营口市中考数学试卷一．选择题（共 10 小题） 1．﹣6 的绝对值是（　　） A．6 B．﹣6 2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（　　） C． D．﹣ A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．xy2﹣ xy2＝ xy2 D．（2xy2）2＝4xy4 C．（x+y）2＝x2+y2 4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB 的角平分线 EG 交 CD 于点 G，则∠GEB 的度数为（　　） A．66° 5．反比例函数 y＝（x＜0）的图象位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 6．如图，在△ABC 中，DE∥AB，且，则的值为（　　） B．56° C．68° D．58° D．第四象限＝A． B． C． D． 7．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，点 D 是⊙O 上的两点，连接 CA，CD，AD．若∠CAB＝ 40°，则∠ADC 的度数是（　　） A．110° B．130° C．140° D．160° 8．一元二次方程 x2﹣5x+6＝0 的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数 20 18 80 68 100 82 200 168 400 327 1000 823 “射中九环以上”的次数“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的边 OA 在 x 轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO ＝AB，点 C 为斜边 OB 的中点，反比例函数 y＝（k＞0，x＞0）的图象过点 C 且交线段 AB 于点 D，连接 CD，OD，若 S△OCD ，则 k 的值为（　　）＝A．3 B． C．2 D．1 二．填空题（共 8 小题） 11．ax2﹣2axy+ay2＝　． 12．长江的流域面积大约是 1800000 平方千米，1800000 用科学记数法表示为　． 13．（3 ）（3 ）＝　． +﹣14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是 87.9 分，方差分别是 S 甲 2＝3.83，S 乙 2＝2.71，S 丙 2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是　． 15．一个圆锥的底面半径为 3，高为 4，则此圆锥的侧面积为　． 16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，其中 OA＝1，OB＝2，则菱形 ABCD 的面积为　． 17．如图，△ABC 为等边三角形，边长为 6，AD⊥BC，垂足为点 D，点 E 和点 F 分别是线段 AD 和 AB 上的两个动点，连接 CE，EF，则 CE+EF 的最小值为　． 18．如图，∠MON＝60°，点 A1 在射线 ON 上，且 OA1＝1，过点 A1 作 A1B1⊥ON 交射线 OM 于点 B1，在射线 ON 上截取 A1A2，使得 A1A2＝A1B1；过点 A2 作 A2B2⊥ON 交射线 OM 于点 B2，在射线 ON 上截取 A2A3，使得 A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则 A2020 B2020 长为　　．三．解答题 19.先化简，再求值：（ ﹣x）÷ ，请在 0≤x≤2 的范围内选一个合适的整数代入求值． 20.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　　；（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 21.“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类” 的看法，随机调查了 200 名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图 1 和图 2 两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　　；（3）该校共有 2500 名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． 22.如图，海中有一个小岛 A，它周围 10 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏西 60°方向上，航行 12 海里到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏西 30 °方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据： ≈1.73） 23.如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，BO 为△ABC 的角平分线，以点 O 为圆心，OC 为半径作⊙O 与线段 AC 交于点 D．（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若 tanA＝，AD＝2，求 BO 的长． 24.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶 16 元，当销售单价定为 20 元时，每天可售出 80 瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低 0.5 元，则每天可多售出 20 瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为 x（元），每天的销售量为 y（瓶）．（1）求每天的销售量 y（瓶）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 25.如图，在矩形 ABCD 中，AD＝kAB（k＞0），点 E 是线段 CB 延长线上的一个动点，连接 AE，过点 A 作 AF⊥AE 交射线 DC 于点 F．（1）如图 1，若 k＝1，则 AF 与 AE 之间的数量关系是　　；（2）如图 2，若 k≠1，试判断 AF 与 AE 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含 k 的式子表示）（3）若 AD＝2AB＝4，连接 BD 交 AF 于点 G，连接 EG，当 CF＝1 时，求 EG 的长． 26.在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx﹣3 过点 A（﹣3，0），B（1，0），与 y 轴交于点 C，顶点为点 D．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 为直线 CD 上的一个动点，连接 BC； ①如图 1，是否存在点 P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图 2，点 P 在 x 轴上方，连接 PA 交抛物线于点 N，∠PAB＝∠BCO，点 M 在第三象限抛物线上，连接 MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点 M 的坐标． 2020 年辽宁省营口市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共 10 小题） 1．﹣6 的绝对值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．﹣ 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．【解答】解：|﹣6|＝6，故选：A． 2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（　　） A． B． C． D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得俯视图：．故选：C． 3．下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．xy2﹣ xy2＝ xy2 D．（2xy2）2＝4xy4 C．（x+y）2＝x2+y2 【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则分别进行计算后，可得到正确答案．【解答】解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、xy2﹣ xy2＝ xy2，原计算正确，故此选项符合题意； C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（2xy2）2＝4xy4，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B． 4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB 的角平分线 EG 交 CD 于点 G，则∠GEB 的度数为（　　） A．66° B．56° C．68° D．58° 【分析】根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°； ∵EG 平分∠BEF， ∴∠GEB＝58°．故选：D． 5．反比例函数 y＝（x＜0）的图象位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据题目中的函数解析式和 x 的取值范围，可以解答本题．【解答】解：∵反比例函数 y＝（x＜0）中，k＝1＞0， ∴该函数图象在第三象限，故选：C． 6．如图，在△ABC 中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A． B． C． D．【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论．【解答】解：∵DE∥AB， ∴∴＝＝，的值为，故选：A． 7．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，点 D 是⊙O 上的两点，连接 CA，CD，AD．若∠CAB＝ 40°，则∠ADC 的度数是（　　） A．110° B．130° C．140° D．160° 【分析】连接 BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC 的度数．【解答】解：如图，连接 BC， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．故选：B． 8．一元二次方程 x2﹣5x+6＝0 的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0， x﹣2＝0 或 x﹣3＝0，所以 x1＝2，x2＝3．故选：D． 9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数 20 18 80 68 100 82 200 168 400 327 1000 823 “射中九环以上”的次数“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 【分析】根据大量的实验结果稳定在 0.82 左右即可得出结论．【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在 0.82 附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是 0.82．故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的边 OA 在 x 轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO ＝AB，点 C 为斜边 OB 的中点，反比例函数 y＝（k＞0，x＞0）的图象过点 C 且交线段 AB 于点 D，连接 CD，OD，若 S△OCD ，则 k 的值为（　　）＝A．3 B． C．2 D．1 ，），D（m， m），然后根据 S 【分析】根据题意设 B（m，m），则 A（m，0），C（ △COD＝S△COE+S 梯形 ADCE﹣S△AOD＝S 梯形 ADCE，得到（+）•（m﹣ m）＝，即可求得 k＝＝2．【解答】解：根据题意设 B（m，m），则 A（m，0）， ∵点 C 为斜边 OB 的中点， ∴C（，）， ∵反比例函数 y＝（k＞0，x＞0）的图象过点 C， ∴k＝ •＝，∵∠OAB＝90°， ∴D 的横坐标为 m， ∵反比例函数 y＝（k＞0，x＞0）的图象过点 D， ∴D 的纵坐标为作 CE⊥x 轴于 E， ∵S△COD＝S△COE+S 梯形 ADCE﹣S△AOD＝S 梯形 ADCE，S△OCD ，＝，∴∴（AD+CE）•AE＝，即＝1，（ + ）•（m﹣ m）＝， ∴k＝＝2，故选：C．二．填空题（共 8 小题） 11．ax2﹣2axy+ay2＝　a（x﹣y）2　．【分析】首先提取公因式 a，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：ax2﹣2axy+ay2 ＝a（x2﹣2xy+y2）＝a（x﹣y）2．故答案为：a（x﹣y）2． 12．长江的流域面积大约是 1800000 平方千米，1800000 用科学记数法表示为　1.8× 106　．【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，可得答案．【解答】解：将 1800000 用科学记数法表示为 1.8×106，故答案为：1.8×106． 13．（3 +）（3 ﹣）＝　12　．【分析】直接利用平方差公式计算得出答案． 2【解答】解：原式＝（3 ）2﹣（）＝18﹣6 ＝12．故答案为：12． 14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是 87.9 分，方差分别是 S 甲 2＝3.83，S 乙 2＝2.71，S 丙 2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是　丙　．【分析】再平均数相等的前提下，方差越小成绩越稳定，据此求解可得．【解答】解：∵平均成绩都是 87.9 分，S 甲 2＝3.83，S 乙 2＝2.71，S 丙 2＝1.52， 2∴S 丙 2＜S 乙 2＜S 甲，∴丙选手的成绩更加稳定， ∴适合参加比赛的选手是丙，故答案为：丙． 15．一个圆锥的底面半径为 3，高为 4，则此圆锥的侧面积为　15π　．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为 3，高为 4， ∴母线长为 5， ∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，故答案为：15π 16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，其中 OA＝1，OB＝2，则菱形 ABCD 的面积为　4　．【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．【解答】解：∵OA＝1，OB＝2， ∴AC＝2，BD＝4， ∴菱形 ABCD 的面积为 ×2×4＝4．故答案为：4． 17．如图，△ABC 为等边三角形，边长为 6，AD⊥BC，垂足为点 D，点 E 和点 F 分别是线段 AD 和 AB 上的两个动点，连接 CE，EF，则 CE+EF 的最小值为　3 　．【分析】过 C 作 CF⊥AB 交 AD 于 E，则此时，CE+EF 的值最小，且 CE+EF 的最小值＝ CF，根据等边三角形的性质得到 BF＝ AB＝【解答】解：过 C 作 CF⊥AB 交 AD 于 E， 6＝3，根据勾股定理即可得到结论．则此时，CE+EF 的值最小，且 CE+EF 的最小值＝CF， ∵△ABC 为等边三角形，边长为 6， ∴BF＝ AB＝ ∴CF＝ 6＝3，＝＝3 ，∴CE+EF 的最小值为 3 故答案为：3 ，．18．如图，∠MON＝60°，点 A1 在射线 ON 上，且 OA1＝1，过点 A1 作 A1B1⊥ON 交射线 OM 于点 B1，在射线 ON 上截取 A1A2，使得 A1A2＝A1B1；过点 A2 作 A2B2⊥ON 交射线 OM 于点 B2，在射线 ON 上截取 A2A3，使得 A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则 2019 A2020 B2020 长为　（1+ ）　．【分析】解直角三角形求出 A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题．【解答】解：在 Rt△OA1B1 中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°＝ ∵A1B1∥A2B2，，∴∴＝＝，，∴A2B2＝（1+ ），同法可得，A3B3＝（1+ ）2， …2019 由此规律可知，A2020B2020 ＝（1+ ），2019 故答案为（1+ 三．解答题）．19.先化简，再求值：（ ﹣x）÷ ，请在 0≤x≤2 的范围内选一个合适的整数代入求值．【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．【专题】11：计算题；513：分式；66：运算能力．【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取 x 的值，代入求值即可．【解答】解：原式＝ •＝•＝﹣2﹣x． ∵x≠1，x≠2， ∴在 0≤x≤2 的范围内的整数选 x＝0．当 x＝0 时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2． 20.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　；（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．【专题】543：概率及其应用；69：应用意识．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有 16 种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝故答案为：（2）画树状图为：；；共有 16 种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为 4，所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝＝．21.“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类” 的看法，随机调查了 200 名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图 1 和图 2 两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为　18°　；（3）该校共有 2500 名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【专题】54：统计与概率；65：数据分析观念．【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出 A 组的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可得到 C 组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图中 D 组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数；（3）根据扇形统计图中 A 组所占的百分比，即可计算出该校对“生活垃圾分类”认为 “A．很有必要”的学生人数．【解答】解：（1）A 组学生有：200×30%＝60（人）， C 组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人），补全的条形统计图，如右图所示；（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°× ＝18°，故答案为：18°；（3）2500×30%＝750（人），答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有 750 人． 22.如图，海中有一个小岛 A，它周围 10 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏西 60°方向上，航行 12 海里到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏西 30 °方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据： ≈1.73）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】31：数形结合；554：等腰三角形与直角三角形；55E：解直角三角形及其应用； 64：几何直观；68：模型思想；69：应用意识．【分析】作高 AN，由题意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，进而得出∠ABC＝∠BAC＝ 30°，于是 AC＝BC＝12，在在 Rt△ANC 中，利用直角三角形的边角关系，求出 AN 与 10 海里比较即可．【解答】解：没有触礁的危险；理由：如图，过点 A 作 AN⊥BC 交 BC 的延长线于点 N，由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°， ∴∠ABC＝∠BAC＝30°， ∴BC＝AC＝12，在 Rt△ANC 中，AN＝AC•cos60°＝12× ∵AN＝6 ≈10.38＞10，＝6 ，∴没有危险． 23.如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，BO 为△ABC 的角平分线，以点 O 为圆心，OC 为半径作⊙O 与线段 AC 交于点 D．（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若 tanA＝，AD＝2，求 BO 的长．【考点】KF：角平分线的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力．【分析】（1）过 O 作 OH⊥AB 于 H，根据角平分线的性质得到 OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）设⊙O 的半径为 3x，则 OH＝OD＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：过 O 作 OH⊥AB 于 H， ∵∠ACB＝90°， ∴OC⊥BC， ∵BO 为△ABC 的角平分线，OH⊥AB， ∴OH＝OC，即 OH 为⊙O 的半径， ∵OH⊥AB， ∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：设⊙O 的半径为 3x，则 OH＝OD＝OC＝3x，在 Rt△AOH 中，∵tanA＝，∴∴＝＝，，∴AH＝4x， ∴AO＝＝＝5x， ∵AD＝2， ∴AO＝OD+AD＝3x+2， ∴3x+2＝5x， ∴x＝1， ∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3， ∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，在 Rt△ABC 中，∵tanA＝ ∴BC＝AC•tanA＝8× ＝6， ∴OB＝，＝＝3 ．24.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶 16 元，当销售单价定为 20 元时，每天可售出 80 瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低 0.5 元，则每天可多售出 20 瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为 x（元），每天的销售量为 y（瓶）．（1）求每天的销售量 y（瓶）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？【考点】HE：二次函数的应用．【专题】124：销售问题；533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；536：二次函数的应用；66：运算能力；69：应用意识．【分析】（1）销售单价为 x（元），销售单价每降低 0.5 元，则每天可多售出 20 瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个 0.5 元，再乘以 20 即为多售出的瓶数，然后加上 80 即可得出每天的销售量 y；（2）设每天的销售利润为 w 元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出 w 关于 x 的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20× ，∴y＝﹣40x+880；（2）设每天的销售利润为 w 元，则有： w＝（﹣40x+880）（x﹣16）＝﹣40（x﹣19）2+360， ∵a＝﹣40＜0， ∴二次函数图象开口向下， ∴当 x＝19 时，w 有最大值，最大值为 360 元．答：当销售单价为 19 元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为 880 元． 25.如图，在矩形 ABCD 中，AD＝kAB（k＞0），点 E 是线段 CB 延长线上的一个动点，连接 AE，过点 A 作 AF⊥AE 交射线 DC 于点 F．（1）如图 1，若 k＝1，则 AF 与 AE 之间的数量关系是　AF＝AE　；（2）如图 2，若 k≠1，试判断 AF 与 AE 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含 k 的式子表示）（3）若 AD＝2AB＝4，连接 BD 交 AF 于点 G，连接 EG，当 CF＝1 时，求 EG 的长．【考点】SO：相似形综合题．【专题】152：几何综合题；556：矩形菱形正方形；55D：图形的相似；66：运算能力； 67：推理能力．【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出 AF＝AE；（2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（3）①如图 1，当点 F 在 DA 上时，证得△GDF∽△GBA，得出，求出 AG ＝．由△ABE∽△ADF 可得出＝，求出 AE＝．则可得出答案； ②如图 2，当点 F 在 DC 的延长线上时，同理可求出 EG 的长．【解答】解：（1）AE＝AF． ∵AD＝AB，四边形 ABCD 矩形， ∴四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∴△EAB≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE；故答案为：AF＝AE．（2）AF＝kAE．证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∴∠FAD+∠FAB＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB+∠FAB＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝∠ADF． ∴△ABE∽△ADF， ∴，∵AD＝kAB， ∴∴，，∴AF＝kAE．（3）解：①如图 1，当点 F 在 DA 上时， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AD＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴CD＝2， ∵CF＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．在 Rt△ADF 中，∠ADF＝90°， ∴AF＝＝＝，∵DF∥AB， ∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB， ∴△GDF∽△GBA， ∴，∵AF＝GF+AG， ∴AG＝．∵△ABE∽△ADF， ∴＝， ∴AE＝＝．在 Rt△EAG 中，∠EAG＝90°， ∴EG＝ ②如图 2，当点 F 在 DC 的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，＝＝，在 Rt△ADF 中，∠ADF＝90°， ∴AF＝＝＝5． ∵DF∥AB， ∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF， ∴△AGB∽△FGD， ∴＝， ∵GF+AG＝AF＝5， ∴AG＝2， ∵△ABE∽△ADF， ∴，∴AE＝，在 Rt△EAG 中，∠EAG＝90°， ∴EG＝综上所述，EG 的长为＝＝．或．26.在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx﹣3 过点 A（﹣3，0），B（1，0），与 y 轴交于点 C，顶点为点 D．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 为直线 CD 上的一个动点，连接 BC； ①如图 1，是否存在点 P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图 2，点 P 在 x 轴上方，连接 PA 交抛物线于点 N，∠PAB＝∠BCO，点 M 在第三象限抛物线上，连接 MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点 M 的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题；65：数据分析观念．【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；（2）①分点 P（P′）在点 C 的右侧、点 P 在点 C 的左侧两种情况，分别求解即可； ②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点 M（m+n，n﹣m﹣3），利用点 M 在抛物线上和 AR ＝NR，列出等式即可求解．【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；（2）由抛物线的表达式知，点 C、D 的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），由点 C、D 的坐标知，直线 CD 的表达式为：y＝x﹣3； tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；①当点 P（P′）在点 C 的右侧时， ∵∠PAB＝∠BCO，故 P′B∥y 轴，则点 P′（1，﹣2）；当点 P 在点 C 的左侧时，设直线 PB 交 y 轴于点 H，过点 H 作 HN⊥BC 于点 N， ∵∠PAB＝∠BCO， ∴△BCH 为等腰三角形，则 BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH× ＝，解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣ ），由点 B、H 的坐标得，直线 BH 的表达式为：y＝ x﹣ ②，联立①②并解得：故点 P 的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）； ②∵∠PAB＝∠BCO，而 tan∠BCO＝，，故设直线 AP 的表达式为：y＝ x+s，将点 A 的坐标代入上式并解得：s＝1，故直线 AP 的表达式为：y＝ x+1，联立①③并解得：，故点 N（，）；设△AMN 的外接圆为圆 R，当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心 R 的坐标为（m，n）， ∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°， ∴∠RMH＝∠GAR， ∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°， ∴△AGR≌△RHM（AAS）， ∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH， ∴点 M（m+n，n﹣m﹣3），将点 M 的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣ ）2+（）2④，联立③④并解得：故点 M（﹣ ，﹣ ，）．