黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区 2020 年中考数学试题 一、选择题 1. 2020 的倒数是（ ） 11A. B. C. D. 2020 2020 2020 2020 C【答案】 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答. 【详解】2020 的倒数是 故选：C. 1，2020 【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键. 2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可以重 合． 3. 下列计算正确的是（ ） A. a+2a＝3a B. （a+b）2＝a2+ab+b2 D. a•2a2＝2a2 C. （﹣2a）2＝﹣4a2 A【答案】 【解析】 【分析】 先利用合并同类项、完全平方公式、乘方以及单项式乘单项式的运算法则逐项排除即可． 【详解】解：A．a+2a＝（1+2）a＝3a，故该选项计算正确； B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误； C．（﹣2a）2＝4a2，，故该选项计算错误； D．a•2a2＝2a3，，故该选项计算错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、乘方、单项式乘单项式等知识点，掌握相关计算方法和 运算法则是解答本题的关键． 4. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷小正方体后， 观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（ ） 13142312A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 直接利用概率公式，用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可得． 【详解】解：∵ 掷小正方体后共有 6 种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有 2、4、6 这 3 种可能， 3612∴ 朝上一面的数字出现偶数的概率是 故选：A． ，【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握求随机事件的概率方法是解答的关键． 5. 李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在 登山过程中，他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象是（ ） A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据题意进行判断，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，可以排除 A 和 C，又匀速下山，上山的速度 小于下山的速度，排除 D，进而可以判断． 【详解】解：因为登山过程可知： 先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度． 所以在登山过程中，他行走的路程 S 随时间 t 的变化规律的大致图象是 B． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图像，解决本题的关键是理解题意，明确过程，利用数形结合思想求解． 6. 数学老师在课堂上给同学们布置了 10 个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计 图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 C【答案】 【解析】 【分析】 根据统计图中的数据，可知做对 9 道的学生最多，从而可以得到全班同学答对题数的众数，本题得以解 决． 【详解】解：由条形统计图可得， 全班同学答对题数的众数为 9， 故选：C． 【点睛】本题考查条形统计图、众数等相关知识点，熟练掌握众数、中位数、平均数、方差的概念及意义， 利用数形结合的方法求解． 3x m7. 若关于 x 的分式方程 ＝x 2 2 x +5 的解为正数，则 m 的取值范围为（ ） A. m＜﹣10 B. m≤﹣10 C. m≥﹣10 且 m≠﹣6 D. m＞﹣10 且 m≠﹣6 D【答案】 【解析】 【分析】 分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出 m 的范围即可． 3x m 5(x 2) 【详解】解：去分母得 ，m 10 x 解得 ，2由方程的解为正数，得到 ，且 ，x 2 m 10 4 ，m 10 0 m 6 则 m 的范围为 故选：D． 且，m 10 【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出 m 的范围，其中考虑 到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键． 8. 母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支 2 元，百合每支 3 元．小明将 30 元钱全 部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ） A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种 B【答案】 【解析】 【分析】 设可以购买 x 支康乃馨，y 支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于 x，y 的二元一次方程，结合 x，y 均为正整数即可得出小明有 4 种购买方案． 【详解】解：设可以购买 x 支康乃馨，y 支百合， 依题意，得：2x+3y＝30， 2∴y＝10﹣ x． 3∵x，y 均为正整数， x 3 y 8 x 6 y 6 x 9 y 4 x 12 y 2 ∴，，，，∴小明有 4 种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的 关键． 9. 有两个直角三角形纸板，一个含 45°角，另一个含 30°角，如图①所示叠放，先将含 30°角的纸板固定 不动，再将含 45°角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转，使 BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD 的度数为 （ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° B【答案】 【解析】 【分析】 由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD 的度数． 【详解】解：如图，设 AD 与 BC 交于点 F， ∵BC∥DE， ∴∠CFA＝∠D＝90°， ∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAD＝30° 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 210. 如图，抛物线 y＝ax +bx+c（a≠0）与 x 轴交于点（4，0），其对称轴为直线 x＝1，结合图象给出下列结 论： ①ac＜0； ②4a﹣2b+c＞0； ③当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大； ④关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C【答案】 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与 x 轴 y 轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，因此 a＞0，与 y 轴交于负半轴，因此 c＜0，故 ac＜0，所以①正确； 抛物线对称轴为 x＝1，与 x 轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有 4a﹣2b+c＝0，所 以②不正确； x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，所以③正确； 抛物线与 x 轴有两个不同交点，因此关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根，所以④正 确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提． 二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分） 11. 2020 年初新冠肺炎疫情发生以来，近 4000000 名城乡社区工作者奋战在中国大地的疫情防控一线．将数 据 4000000 用科学记数法表示为______． 【答案】4×106 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于 1 时，n 是正数；当原 数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【详解】解：将数据 4000000 用科学记数法表示为 4×106， 故答案为：4×106． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． x 3 x 2 12. 函数 中，自变量 x 的取值范围是_______． y 【答案】x≥﹣3 且 x≠2． 【解析】 x 3 0 x 2 0 【详解】解：根据题意得： ，解得：x≥-3 且 x≠2． 故选 A． 点睛：函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 如图，已知在△ABD 和△ABC 中，∠DAB＝∠CAB，点 A、B、E 在同一条直线上，若使 △ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是______．（只填一个即可） 【答案】AD＝AC(∠D＝∠C 或∠ABD＝∠ABC 等） 【解析】 【分析】 利用全等三角形的判定方法添加条件即可求解． 【详解】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB， ∴当添加 AD＝AC 时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC； 当添加∠D＝∠C 时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC； 当添加∠ABD＝∠ABC 时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC． 故答案为 AD＝AC(∠D＝∠C 或∠ABD＝∠ABC 等)． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的 5 种判定方法，选用哪一种方法，取决于 题目中的已知条件． 14. 如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面积是______． 【答案】65π 【解析】 【分析】 由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线 l 和底面圆半径为 r 的长度，再套用 侧面积公式即可得出结论． 【详解】解：由三视图可知，原几何体 有 l=13，r=5 为圆锥，设圆锥母线长为 l,底面圆半径为 r S 侧＝πrl＝π×5×13＝65π． 故答案为：65π． 【点睛】本题考查了三视图以及圆锥的侧面积公式，其中根据几何体的三视图判断出原几何体是解题的关 键，再套用公式即可作答． 15. 等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个等腰三角形的周长是_____． 【答案】10 或 11 【解析】 【分析】 分 3 是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、4， ∵此时能组成三角形， ∴周长＝3+3+4＝10； ②3 是底边长时，三角形的三边分别为 3、4、4， 此时能组成三角形， 所以周长＝3+4+4＝11． 综上所述，这个等腰三角形的周长是 10 或 11． 故答案为：10 或 11． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴上，点 C 坐标为（2，﹣2），并且 AO：BO＝1： k2，点 D 在函数 y＝ （x＞0）的图象上，则 k 的值为_____． x【答案】2 【解析】 【分析】 先根据 C 的坐标求得矩形 OBCE 的面积，再利用 AO：BO＝1：2，即可求得矩形 AOED 的面积，根据反比 例函数系数 k 的几何意义即可求得 k． 【详解】如图，∵点 C 坐标为（2，﹣2）， ∴矩形 OBCE 的面积＝2×2＝4， ∵AO：BO＝1：2， ∴矩形 AOED 的面积＝2， k∵点 D 在函数 y＝ （x＞0）的图象上， x∴k＝2， 故答案为 2． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及矩形的面积之比、反比例函数比例系数 k 的几何意 义，解答的关键是理解系数 k 的几何意义和矩形的面积比的含义． 17. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿 x 轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得 到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点 A1（0，2）变换到点 A2（6，0），得到等腰直角三角形②； 第二次滚动后点 A2 变换到点 A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点 A3 变换到点 A4（10，4 ），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点 A4 变换到点 A5（10+12 ，0），得到等腰直角三角形 22⑤；依此规律…，则第 2020 个等腰直角三角形的面积是_____． 【答案】22020 【解析】 【分析】 根据 A1（0，2）确定第 1 个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据 A2（6，0）确定第 1 个 等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论． 【详解】∵点 A1（0，2）， 122 ∴第 1 个等腰直角三角形的面积= ∵A2（6，0）， =2， 26 2 ∴第 2 个等腰直角三角形的边长为 =，2 2 21222 22 2 ∴第 2 个等腰直角三角形的面积= ∵A4（10， ）， =4= ，24 2 ∴第 3 个等腰直角三角形的边长为 10−6=4， 1344 ∴第 3 个等腰直角三角形的面积= =8= ，22…2020 则第 2020 个等腰直角三角形的面积是 ；22020 故答案为： ．2【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键. 三、解答题（本题共 7 道大题，共 69 分） 1）0+|﹣ 3|18. （1）计算：sin30°+ ﹣（3﹣ 16 2（2）因式分解：3a2﹣48 【答案】（1）4；（2）3（a+4）（a﹣4）． 【解析】 【分析】 （1）先用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质、算术平方根的知识化简，然后计算即可； （2）先提取公因式 3，再运用平方差公式分解因式即可． 1【详解】解：（1）sin30°+ ﹣（3﹣ ）0+|﹣ 3|16 21212＝+4﹣1+ ＝4； （2）3a2﹣48 ＝3（a2﹣16） ＝3（a+4）（a﹣4）． 【点睛】本题考查了实数的运算和因式分解，掌握相关运算性质和因式分解的基本思路是解答本题的关 键． 219. 解方程：x ﹣5x+6＝0 【答案】x1＝2，x2＝3 【解析】 【分析】 利用因式分解的方法解出方程即可. 【详解】利用因式分解法求解可得． 解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则 x﹣2＝0 或 x﹣3＝0， 解得 x1＝2，x2＝3． 【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤. ＝ ＝ 20. 如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上的两个点， ，连接 AD，过点 D 作 DE⊥AC CD AC DB 交 AC 的延长线于点 E． （1）求证：DE 是⊙O 的切线． （2）若直径 AB＝6，求 AD 的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 3【解析】 【分析】 13（1）连接 OD，根据已知条件得到∠BOD＝ 180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB ＝30°，得到∠EDA＝60°，求得 OD⊥DE，于是得到结论； （2）连接 BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接 OD， ∵ ，AC=CD=BD 1∴∠BOD＝ 180°＝60°， 3 ∵，CD DB 1∴∠EAD＝∠DAB＝ ∵OA＝OD， BOD＝30°， 2∴∠ADO＝∠DAB＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠EDA＝90°， ∴∠EDA＝60°， ∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）解：连接 BD， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝30°，AB＝6， 1∴BD＝ AB＝3， 262 32 ∴AD＝ ＝3 ．3【点睛】本题考查了切线的证明，及线段长度的计算，熟知圆的性质及切线的证明方法，以及含 30°角的 直角三角形的特点是解题的关键． 21. 新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自 1 月 20 日至 2 月末各学校教职工参与志愿服务的情况．在 全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅 不完整的统计图表．请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题： （1）本次被抽取的教职工共有 名； （2）表中 a＝ ，扇形统计图中“C”部分所占百分比为 %； （3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为 °； （4）若该市共有 30000 名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于 60 小时的教职工大约有多少人？ 志愿服务时间（小时） 0＜x≤30 频数 aABCD30＜x≤60 10 16 20 60＜x≤90 90＜x≤120 【答案】（1）50 名；（2）a＝4，32%；（3）144°；（4）216000 人 【解析】 【分析】 （1）利用 B 部分的人数÷B 部分人数所占百分比即可算出本次被抽取的教职工人数； （2）a＝被抽取的教职工总数﹣B 部分的人数﹣C 部分的人数﹣D 部分的人数，扇形统计图中“C”部分所占 百分比＝C 部分的人数÷被抽取的教职工总数； （3）D 部分所对应的扇形的圆心角的度数＝360°×D 部分人数所占百分比； （4）利用样本估计总体的方法，用 30000×被抽取的教职工总数中志愿服务时间多于 60 小时的教职工人数 所占百分比． 【详解】解：（1）本次被抽取的教职工共有：10÷20%＝50（名）， 故答案为：50； （2）a＝50﹣10﹣16﹣20＝4， 16 扇形统计图中“C”部分所占百分比为： 故答案为：4，32； ×100%＝32%， 50 20 50 （3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为：360× ＝144°． 故答案为：144； 16 20 （4）30000× ＝216000（人）． 50 答：志愿服务时间多于 60 小时的教职工大约有 216000 人． 【点睛】此题主要考查了扇形统计图、频数（率）分布表，以及样本估算总体，关键是正确从扇形统计图 和表格中得到所用信息． 22. 团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬 河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为 800km，在行驶过程中乙车速度始终保持 80km/h，甲车先以一定速度行驶 了 500km，用时 5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车 离齐齐哈尔的路程 y（km）与所用时间 x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲车改变速度前的速度是 km/h，乙车行驶 h 到达绥芬河； （2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y（km）与所用时间 x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量 x 的取值范围； （3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有 km；出发 h 时，甲、乙两车第一次相距 40km． 35 5„ x„ 【答案】（1）100km/h，10h；（2）y＝80x+100（ ）；（3）100km；2h 4【解析】 【分析】 （1）结合图象，根据“速度＝路程÷时间”即可得出甲车改变速度前的速度；根据“时间＝路程÷速度”即可得 出乙车行驶的时间； （2）根据题意求出甲车到达绥芬河的时间，再根据待定系数法解答即可； （3）根据甲车到达绥芬河的时间即可求出甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程；根据“路程差＝速度 差×时间”列式计算即可得出甲、乙两车第一次相距 40km 行驶的时间． 【详解】解：（1）甲车改变速度前的速度为：500÷5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时间为：800÷80＝10 （h）， 故答案为：100；10； （2）∵乙车速度为 80km/h， 800 500 35 5 (h) ，∴甲车到达绥芬河的时间为： 80 4甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 5k b 500 35 4将（5，500）和（ ，800）代入得： ，35 k b 800 4 k 80 解得 ，b 100 ∴y＝80x+100， 答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程 y（km）与所用时间 x（h）之间的函数解析式为 y＝80x+100 35 5„ x„ （）； 435 4（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80× ＝100（km）， 40÷（100﹣80）＝2（h）， 即出发 2h 时，甲、乙两车第一次相距 40km． 故答案为：100；2． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的解析式，运用数形结合的方法是解答 本题的关键． 23. 综合与实践 在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣ 折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数 学活动经验． 实践发现： 对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上 的点 N 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，把纸片展平，连接 AN，如图①． （1）折痕 BM （填“是”或“不是”）线段 AN 的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？ 答： ；进一步计算出∠MNE＝ °； （2）继续折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 H 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BG，把纸片展平，如 图②，则∠GBN＝ °； 拓展延伸： （3）如图③，折叠矩形纸片 ABCD，使点 A 落在 BC 边上的点 A’处，并且折痕交 BC 边于点 T，交 AD 边于 点 S，把纸片展平，连接 AA’交 ST 于点 O，连接 AT． 求证：四边形 SATA’是菱形． 解决问题： （4）如图④，矩形纸片 ABCD 中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 A’处，并且折 痕交 AB 边于点 T，交 AD 边于点 S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段 AT 的长度有 4，5，7， 9．请写出以上 4 个数值中你认为正确的数值 ． 【答案】（1）是；等边三角形；60°；（2）15°；（3）见解析；（4）7、9 【解析】 【分析】 （1）由折叠的性质可得 AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM 垂直平分 AN，∠BAM＝∠BNM＝90°， 可证△ABN 是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （2）由折叠的性质可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解； （3）由折叠的性质可得 AO＝A’O，AA’⊥ST，由“AAS”可证△ASO≌△A’TO，可得 SO＝TO，由菱形的判 定可证四边形 SATA’是菱形； （4）先求出 AT 的范围，即可求解． 【详解】解：（1）如图①∵对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合， ∴EF 垂直平分 AB， ∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°， ∵再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 N 处， ∴BM 垂直平分 AN，∠BAM＝∠BNM＝90°， ∴AB＝BN， ∴AB＝AN＝BN， ∴△ABN 是等边三角形， ∴∠EBN＝60°， ∴∠ENB＝30°， ∴∠MNE＝60°， 故答案为：是，等边三角形，60； （2）∵折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 H 处， ∴∠ABG＝∠HBG＝45°， ∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°， 故答案为：15°； （3）∵折叠矩形纸片 ABCD，使点 A 落在 BC 边上的点 A’处， ∴ST 垂直平分 AA’， ∴AO＝A’O，AA’⊥ST， ∵AD∥BC， ∴∠SAO＝∠TA’O，∠ASO＝∠A’TO， ∴△ASO≌△A’TO（AAS） ∴SO＝TO， ∴四边形 ASA’T 是平行四边形， 又∵AA’⊥ST， ∴边形 SATA’是菱形； （4）∵折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 A’处， ∴AT＝A’T， 在 Rt△A’TB 中，A’T＞BT， ∴AT＞10﹣AT， ∴AT＞5， ∵点 T AB上， 在∴当点 T 与点 B 重合时，AT 有最大值为 10， ∴5＜AT≤10， ∴正确的数值为 7，9， 故答案为：7，9． 【点睛】本题考查矩形和菱形的性质和判定,关键在于结合图形,牢记概念. 24. 综合与探究 1在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ x2+bx+c 经过点 A（﹣4，0），点 M 为抛物线的顶点，点 B 在 y 轴上， 2且 OA＝OB，直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C（2，6），如图①． 的（1）求抛物线 解析式； （2）直线 AB 的函数解析式为 ，点M 的坐标为 ，cos∠ABO＝ ； 连接 OC，若过点 O 的直线交线段 AC 于点 P，将△AOC 的面积分成 1：2 的两部分，则点 P 的坐标为 ； （3）在 y 轴上找一点 Q，使得△AMQ 的周长最小．具体作法如图②，作点 A 关于 y 轴的对称点 A’，连接 MA’ 交 y 轴于点 Q，连接 AM、AQ，此时△AMQ 的周长最小．请求出点 Q 的坐标； （4）在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、O、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写 出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 412【答案】(1)y＝ x2+2x；(2)y＝x+4，M(-2，-2），cos∠ABO＝ ；(-2，2)或(0，4)；(3)点 Q(0，- )；(4) 232存在，点 N 的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6) 【解析】 【分析】 (1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式即可求解； (2)点 A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点 B（0，4），即可求出 AB 的表达式；OP 将△AOC 的面积分成 1：2 的 12两部分，则 AP＝ AC 或 AC，即可求解； 33(3)△AMQ 的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M 最小，即可求解； (4)分 AC 是边、AC 是对角线两种情况，分别求解即可． 12116 4b c 0 4 2b c 6 b 2 c 0 【详解】解：(1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，2 1故抛物线的解析式为：y＝ x2+2x； 2(2)点 A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点 B（0，4）， 由点 A、B 的坐标得，直线 AB 的表达式为：y＝x+4； 2则∠ABO＝45°，故 cos∠ABO＝ ；21对于 y＝ x2+2x，函数的对称轴为 x＝-2，故点 M(-2-2)； 212OP 将△AOC 的面积分成 1：2 的两部分，则 AP＝ AC 或 AC，， 33yP yC 1323yP 1323则或，即 或，解得：yP＝2 或 4， 6故点 P(-2，2)或(0，4)， 2故答案为：y＝x+4；(-2-2)； ；(-2，2)或(0，4)； 2(3)△AMQ 的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M 最小， 点 A′（4，0）， 13k 4k b 0 设直线 A′M 的表达式为：y＝kx+b，则 ，解得 ，2k b 2 43b 143y x 故直线 A′M 的表达式为： ，344令 x＝0，则 y＝ ，故点 Q（0， ）； 33(4)存在，理由如下： 设点 N（m，n），而点 A、C、O 的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0）， ①当 AC 边时， 是点 A 向右平移 6 个单位向上平移 6 个单位得到点 C，同样点 O（N）右平移 6 个单位向上平移 6 个单位得到 点 N（O）， 即 0 ± 6＝m，0 ± 6＝n，解得：m＝n＝±6， 故点 N(6，6)或(-6，-6)； ②当 AC 是对角线时， 由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0， 解得：m＝-2，n＝6， 故点 N(-2，6）； 综上，点 N 的坐标为(6，6)或(-6，-6)或(-2，6)． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面 积的计算等，其中第 4 问要注意分类求解，避免遗漏． 本试卷的题干 0635
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