精品解析：黑龙江省牡丹江市2020年中考数学试题（解析版）

2020 年牡丹江市初中毕业学业书试数学试卷考生注意： 1．考试时间 120 分钟； 2．全卷共三道大题，总分 120 分； 3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效．一、填空题（将正确答案写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，满分 24 分） 1. 新冠肺炎疫情期间，全国各地约 42000 名医护人员驰援湖北．请将数 42000 用科学记数法表示为 ________ ．【答案】4.2×104 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【详解】解：42000=4.2×104，故答案为：4.2×104. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 2. 如图，在四边形中，连接，ACB  CAD ．请你添加一个条件______________，使 ABCD AC ．（填一种情况即可） AB  CD 【答案】AD=BC（答案不唯一）【解析】【分析】根据平行四边形的判定和性质添加条件证明 AB=CD. 【详解】解：添加的条件：AD=BC，理由是： ∵∠ACB=∠CAD， ∴AD∥BC， ∵AD=BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握定理内容是解题的关键. 3. 若一组数据 21，14，x，y，9 的众数和中位数分别是 21 和 15，则这组数据的平均数为___________．【答案】16 【解析】【分析】根据已知条件分析，得出 x 和 y 中有一个数为 21，再根据中位数得出另一个数，从而求出平均数. 【详解】解：∵一组数据 21，14，x，y，9 的众数和中位数分别是 21 和 15，若 x=y=21，则该组数据的中位数为：21，不符合题意，则 x 和 y 中有一个数为 21，另一个数为 15， ∴这组数据的平均数为：（9+14+15+21+21）÷5=16，故答案为：16. 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数的概念，解题的关键是掌握相应的求法. 4. 某种商品每件的进价为 120 元，标价为 180 元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为 20%，则商店应打________折．【答案】八【解析】【分析】打折销售后要保证打折后利率为 20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打 x 折，根据不等关系列出不等式求解即可. 【详解】解：设应打 x 折，则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，解得：x=8．故商店应打八折．故答案为：八．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法． 5. O 是的弦，，垂足为 M，连接．若中有一个角是 30°，，则 OM  AB OA AOM AB AB OM  2 3 弦的长为_________．【答案】12 或 4 【解析】【分析】分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可. 【详解】解：∵OM⊥AB， ∴AM=BM，若∠OAM=30°， OM 2 3 3则 tan∠OAM= ∴AM=6，，AM AM 3∴AB=2AM=12；若∠AOM=30°， AM AM 3则 tan∠AOM= ，OM 32 3 ∴AM=2， ∴AB=2AM=4. 故答案为：12 或 4. 【点睛】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论. 将抛物线 y  ax2  bx 1向上平移 3 个单位长度后，经过点 6. ，则的值是________． 2,5 8a  4b 11 【答案】-5 【解析】【分析】 2,5 根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点 代入，得到 4a  2b  3，最后将变8a  4b 11 形求值即可. 【详解】解：将抛物线 y  ax2  bx 1向上平移 3 个单位长度后， y  ax2  bx  2 表达式为：，2,5 ∵经过点 ，代入，，得： 4a  2b  3 2 4a  2b 11 =2×3-11=-5. 则=8a  4b 11 故答案为：-5. 【点睛】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式. 7. 如图，在中，，点 E 在边上．将沿直线 BE 翻折，点 A 落在点 A处，连接 RtABC C  90 AC A 4A F cosA  __________． ，交于点 F．若，，则 AC A B A E  AE BF 513【答案】【解析】【分析】根据题意设 AC=4x，AB=5x，则 BC=3x，再证明△BCE 为等腰直角三角形，得到 EC=3x，根据△A′EF∽△BCF， A EA F 13得到 .BC BF 45cosA  【详解】解：∵ ，，C  90 AC 45∴∵，设 AC=4x，AB=5x，则 BC=3x， AB ，A E  AE ∴∠AEA′=90°，A′E∥BC，由于折叠， ∴∠A′EB=∠AEB=（360-90）÷2=135°，且△A′EF∽△BCF， ∴∠BEC=45°，即△BCE 为等腰直角三角形， ∴EC=3x， ∴AE=AC-EC=x=A′E， A EA F x13∴.BC BF 3x 1故答案为： .3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是根据折叠得出△BCE 为等腰直角三角形. 8. 如图，在中，CA  CB ，M 是的中点，点 D 在上，，BF  CD ，垂足分 RtABC AE  CD BM AB 别为 E，F，连接．则下列结论中：① ；② ；③ ；④ BF  CE EM AEM  DEM AE  CE  2ME 2 ；⑤若平分，则；⑥ ，正确的有 DE2  DF2  2DM EF : BF  2 :1 BAC CFDM  BM DE AE ___________．（只填序号）【答案】①②③④⑤⑥ 【解析】【分析】证明△BCF≌△CAE，得到 BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF 为等腰直角三角形，得到 EF= EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再证明△DFM≌△NEM，得 2到△DMN 为等腰直角三角形，得到 DN= DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出 DE=EM， 2EF EF EF 2EM 再证明△ADE≌△ACE，得到 DE=CE，则有，从而判断⑤；最后证明  2 BF CE DE DE CM DM △CDM∽ADE，得到，结合 BM=CM，AE=CF，可判断⑥. AE DE 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴∠BCF+∠ACE=90°， ∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ACE=∠CBF，又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC， ∴△BCF≌△CAE（AAS）， ∴BF=CE，故①正确；由全等可得：AE=CF，BF=CE， ∴AE-CE=CF=CE=EF，连接 FM，CM， ∵点 M 是 AB 中点， 1∴CM= AB=BM=AM，CM⊥AB， 2在△BDF 和△CDM 中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM， ∴∠DBF=∠DCM，又 BM=CM，BF=CE， ∴△BFM≌△CEM， ∴FM=EM，∠BMF=∠CME， ∵∠BMC=90°， ∴∠EMF=90°，即△EMF 为等腰直角三角形， ∴EF= EM= ，故③正确， AE CE 2∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°， ∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确，设 AE 与 CM 交于点 N，连接 DN， ∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°， ∴△DFM≌△NEM， ∴DF=EN，DM=MN， ∴△DMN 为等腰直角三角形， ∴DN= DM，而∠DEA=90°， 2222∴2 ，故④正确； DE  DF  DN  2DM ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠CAB=45°， ∵AE 平分∠BAC， ∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°， ∵∠DEM=45°， ∴∠EMD=67.5°，即 DE=EM， ∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE， ∴△ADE≌△ACE， ∴DE=CE， ∵△MEF 为等腰直角三角形， ∴EF= ，2EM EF EF EF 2EM ∴，故⑤正确；  2 BF CE DE DE ∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°， ∴△CDM∽ADE， CD CMDM ∴，AD AE DE ∵BM=CM，AE=CF， BM DM ∴∴，CF DE ，故⑥正确； CF  DM  BM  DE 故答案为：①②③④⑤⑥. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，找到全等三角形说明角相等和线段相等. 二、选择题（将正确选项涂在答题卡中相应的位置上，每小题 3 分，满分 36 分） 9. 下列运算正确的是（）4(a  2)2  a2  4 a2  a8 a2 a5  a10 a6  a2  a3 A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，幂的乘方计算即可. 25【详解】解：A、 7 ，故选项错误； a a  a 22B、 C、 D、，故选项错误； (a  2)  a  4a  4 624 ，故选项错误； a  a  a 4a2  a8 ，故选项正确； 故选 D. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，完全平方公式，幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则. 10. 下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D. C【答案】【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项正确； D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 11. 函数 y 中自变量 x 的取值范围是（　　）  x 3 ≠≥≥D. x 0 A. x＞3 B. x 3 C. x 3 C【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围．【详解】由题意得：x-3≥0，解得：x≥3，故选 C. 【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 12. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 D【答案】【解析】【分析】根据所给出的图形可知这个几何体共有 2 层，2 列，先看第一层正方体可能的最少个数，再看第二层正方体的可能的最少个数，相加即可．【详解】解：仔细观察物体的主视图和左视图可知：该几何体的下面最少要有 2 个小正方体，上面最少要有 1 个小正方体，故该几何体最少有 3 个小正方体组成．故选 D．【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 13. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于 5 的概率为（）1423133A. B. C. D. 16 C【答案】【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于 5 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于 5 的有 4 种情况， 413∴两次摸出的小球标号之和等于 5 的概率是：故选 C. .12 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．．若  14. 如图，四边形 O 内接于，连接，BDC  50 ，则的度数是（）ABCD  ADC BD AC  BC A. 125° 【答案】【解析】【分析】 B. 130° C. 135° D. 140° B连接 OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据  得到∠AOC，从而得到∠ABC， AC  BC 最后利用圆内接四边形的性质得到结果. 【详解】解：连接 OA，OB，OC， ∵BDC  50 ，∴∠BOC=2∠BDC=100°， ∵  ，AC  BC ∴∠BOC=∠AOC=100°， 1∴∠ABC= ∠AOC=50°， 2∴∠ADC=180°-∠ABC=130°. 故选 B 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角. 15. 一列数 1，5，11，19…按此规律排列，第 7 个数是（）A. 37 B. 41 C. 55 D. 71 C【答案】【解析】【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第 n 个数的表示方法，从而得出结果. 【详解】解：1=1×2-1， 5=2×3-1， 11=3×4-1， 19=4×5-1， … 第 n 个数为 n（n+1）-1，则第 7 个数是：55 故选 C. 【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是总结出第 n 个数为 n（n+1）-1. 18 16. y  (x  0) 如图，点 A 在反比例函数的图象上，过点 A 作 AB  x 轴，垂足为 B，交反比例函数 1x6y  (x  0) 的图象于点 C．P 为 y 轴上一点，连接，．则的面积为（）PC △APC PA 2xA. 5 B. 6 C. 11 D. 12 B【答案】【解析】【分析】连接 OA 和 OC，利用三角形面积可得△APC 的面积即为△AOC 的面积，再结合反比例函数中系数 k 的意义，利用 S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果. 【详解】解：连接 OA 和 OC， ∵点 P 在 y 轴上，则△AOC 和△APC 面积相等， 18 6y  (x  0) y  (x  0) ∵A 在上，C 在上，AB⊥x 轴， 12xx∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=6， ∴△APC 的面积为 6，故选 B. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数 k 的几何意义是解题的关键. m2x17.  0 若关于 x 的方程的解为正数，则 m 的取值范围是（ C. ）x 1 A. B. 且m  2 m  0 D. 且m  2 m  4 m  2 m  2 C【答案】【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解. m2 0 【详解】解：∵解方程，x 1 xmx  2 x 1  0 去分母得： ，m  2 x  2 整理得： ，∵方程有解， 2x  ∴，m  2 ∵分式方程的解为正数， 2 0 ∴，解得：m＞2， m  2 而 x≠-1 且 x≠0， 22则≠-1， ≠0， m  2 m  2 解得：m≠0，综上：m 的取值范围是：m＞2. 故选 C. 【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形对角线的中点， AD//x 轴且 AD  4 ，A  60，将 ABCD BD 菱形绕点 O 旋转，使点 D 落在 x 轴上，则旋转后点 C 的对应点的坐标是（）ABCD (2,4) A. B. C. D. 或(0,2 3)(0,2 3) (0,2 3) (2 3,0) D【答案】【解析】【分析】的分点 C 旋转到 y 轴正半轴和 y 轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形性质求解. 【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点 D 在 x 轴上时， A、B、C 均在坐标轴上，如图， ∵∠BAD=60°，AD=4， ∴∠OAD=30°， ∴OD=2， 22∴AO= =OC， 4  2  2 3 ∴点 C 的坐标为（0，）， 2 3 同理：当点 C 旋转到 y 轴正半轴时，点 C 的坐标为（0，）， 2 3 ∴点 C 的坐标为（0，故选 D. ）或（0，）， 2 3 2 3 【点睛】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情况讨论. AB  3 19. 如图，在矩形中，），，点 E 在 BC 边上，，垂足为 F．若，ABCD BC 10 DF  6 DF  AE 则线段的长为（ EF A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B【答案】【解析】【分析】 AF AD DF 证明△AFD∽△EBA，得到，求出 AF，即可求出 AE，从而可得 EF BE AE AB 【详解】解：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， ∴△AFD∽△EBA， AF AD DF ∴，，BE AE AB ∵DF=6， ∴AF= 2210  6  8 810 63∴，BE AE ∴AE=5， ∴EF=AF-AE=8-5=3. 故选 B. 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法. 如图，抛物线 y  ax2  bx  c与 x 轴正半轴交于 A，B 两点，与 y 轴负半轴交于点 C．若点，则 B(4,0) 20. M x, y 1  N x, y 0  x  x 下列结论中：① ；② ；③ 与2  是抛物线上两点，若 2 ，则 abc  0 4a  b  0 121y1  y a(m  3)(m  3)„ b(3 m) 2 ；④若抛物线的对称轴是直线 x  3，m 为任意实数，则；⑤若，则 4b  3c  0 ，正确的个数是（）AB  3 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 B【答案】【解析】【分析】 b 2 根据图像得出 a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线 x=2 右侧，可得，可判 2a 断②；再根据二次函数在 y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线 x=3，得出b  6a ，再利用作差法判断④；最后根据 AB≥3，则点 A 的横坐标大于 0 且小于等于 1，得出 a+b+c≥0，再由当 x=4 时， 4b  c 16 得出 16a+4b+c=0，变形为 a= ，代入，可得 4b+5c≥0，结合 c 的符号可判断⑤. 【详解】解：如图，抛物线开口向下，与 y 轴交于负半轴，对称轴在 y 轴右侧， b 0 ∴a＜0，c＜0， ∴b＞0，，2a ∴abc＞0，故①正确；如图，∵抛物线过点 B（4，0），点 A 在 x 轴正半轴， b 2 ∴对称轴在直线 x=2 右侧，即，2a b4a  b 2a 2   0 ，又 a＜0， ∴2a ∴4a+b＞0，故②正确； M x, y 1  N x, y 0  x  x ∵与2  是抛物线上两点，，1212b可得：抛物线 y  ax2  bx  c 在上，y 随 x 的增大而增大， 0  x   2a bx   在∴上，y 随 x 的增大而减小， 2a y  y 2 不一定成立，故③错误； 1b 3 ，即b  6a 若抛物线对称轴为直线 x=3，则，2a a(m 3)(m  3) b(3 m) 则a m3 m  3  6a 3 m == a m3 m  3 6  =2 ≤0， a m3 a(m 3)(m  3)  b(3 m) ∴，故④正确； ∵AB≥3，则点 A 的横坐标大于 0 且小于等于 1，当 x=1 时，代入，y=a+b+c≥0，当 x=4 时，16a+4b+c=0， 4b  c ∴a= ，16 4b  c  b  c  0 则，整理得：4b+5c≥0， 16 则 4b+3c≥-2c，又 c＜0， -2c＞0， ∴4b+3c＞0，故⑤正确，的故正确有4 个. 故选 B. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号. 三、解答题（将解题过程写在答题卡相应的位置上，满分 60 分） 4×2 x2  2x 21. 1 先化简，再求值：，其中．x   tan45 x2 21 【答案】，-1 x【解析】【分析】先将分式化简，再将 x 的值代入求解. 4×2 x2  2x 1 【详解】解： x2 x2  4 x x 2 ==x2 x2 x2 x x 2 x  2 x  2  x2 x  2 x21 x==∵x   tan 45 =-1，代入，原式=-1 【点睛】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则. 如图，抛物线 y  x2  bx  c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 P．已知 22. B(1,0),C(0,3) ．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，并直接写出点 P 的坐标；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，连接为__________．，AP AP 的垂直平分线交直线于点 M，则线段的长 EM PE b 4ac b2 b注：抛物线 y  ax2  bx  c(a  0)的对称轴是直线，顶点坐标是．,x   2a 4a 2a 3【答案】（1） y  x2  2x 3，（-1，-4）；（2） 2【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据题意证明△PMN∽△PAE，根据比例的性质求出 PM，结合 PE 即可求出 EM. B(1,0),C(0,3) 【详解】解：（1）∵抛物线经过，代入， 0 1 b  c 3  c b  2 ，解得：，c  3 2∴抛物线表达式为： y  x2  2x 3 顶点 P 的坐标为（-1，-4）； =，x 1  4 （2）∵直线 PE 为抛物线对称轴， ∴E（-1，0）， ∵B（1，0）， ∴A（-3，0）， 22∴AP= ，2  4  2 5 ∵MN 垂直平分 AP， ∴AN=NP= ，∠PNM=90°， 5∵∠APE=∠MPN， ∴△PMN∽△PAE， PM PN MN PM 5MN ∴，即 ，PA PE AE 422 5 5解得：PM= ，25 3 ∴EM=PE-PM=4- =，2 2 3故答案为： .2【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是根据题意找出相似三角形. S 6 23. 在ABC 中，，AB  AC BC  6 ，．以 BC 为边作周长为 18 的矩形 BCDE ，M，N 分别 ABC 为，AC CD 的中点，连接．请你画出图形，并直接写出线段的长． MN MN 10 34 【答案】或22【解析】【分析】分矩形 BCDE 和△ABC 在 BC 同侧时，矩形 BCDE 和△ABC 在 BC 异侧时，结合矩形的性质和中位线定理求解. S 6 【详解】解：∵ ，，BC  6 ABC ∴△ABC 中 BC 边上的高为 6×2÷6=2，而矩形 BCDE 的周长为 18，BC=6， ∴BE=CD=18÷2-6=3，当矩形 BCDE 和△ABC 在 BC 同侧时，过 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，与 ED 交于 G，连接 AD， 1可知 AF=2，DG= BC=3， 2∴AG=GF-AF=3-2=1， 22∴AD= ，3 1  10 ∵M，N 分别为 AC 和 CD 中点， 110 2∴MN= AD= ；2当矩形 BCDE 和△ABC 在 BC 异侧时，过 A 作 AF⊥ED，垂足为 F，与 BC 交于 G，连接 AD，可知 BG=CG，AG=2，GF=3，F 为 ED 中点， ∴AF=5，DF=3， 22∴AD= ，5  3  34 ∵M，N 分别为 AC 和 CD 中点， 134 2∴MN= AD= ，210 234 2综上：MN 的长为或.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是根据题意画出图形，分情况讨论. 24. 某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如下不完整的统计图表．请结合统计图表解答下列问题：抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表项目人数 6A排球篮球毽球 BCm10 4D羽毛球 E18 跳绳（1）本次抽样调查的学生有_________人，请补全条形统计图；（2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数；（3）全校有学生 1800 人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数是多少？【答案】（1）50 人，补全统计图见解析；（2）72°；（3）648 人【解析】【分析】（1）利用喜欢排球的人数除以所占百分比可得结果，再求出 m 值，最后补全统计图；（2）用喜欢毽球活动的学生人数除以总人数，乘以 360°即可；（3）用样本中喜欢跳绳的人数除以 50，再乘以 1800 即可. 【详解】解：（1）∵喜欢 A 排球的人数为 6 人，所占百分比为 12%, ∴6÷12%=50 人， m=50-6-10-4-18=12，补全统计图如下：（2）∵喜欢毽球的有 10 人， 10 360 ∴对应圆心角度数为： =72°； 50 18 （3）1800× =648 人， 50 全校喜欢跳绳活动的学生人数是 648 人. 【点睛】本题考查了统计表与扇形统计图，样本估计总体，解题时要理解题意，读懂图表. 25. 在一条公路上依次有 A，B，C 三地，甲车从 A 地出发，驶向 C 地，同时乙车从 C 地出发驶向 B 地，到达 B 地停留 0.5 小时后，按原路原速返回 C 地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚 1.5 小时到达 C 地．两车距各自出发地的路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（1）甲车行驶速度是___________千米 1 时，B，C 两地的路程为___________千米；（2）求乙车从 B 地返回 C 地的过程中，y（千米）与 x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量 x 的取值范围）；（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是 15 千米？请你直接写出答案． 39 10 39 417 4y  90x  765 【答案】（1）60；360；（2）；（3）小时或小时或 5 小时或 6 小时或小时. 【解析】【分析】（1）根据 F 点坐标可求出甲车速度，根据 M 纵坐标可得 B，C 两地之间距离；（2）根据甲车比乙车晚 1.5 小时到达 C 地得出点 E 坐标，再求出点 N 坐标，利用待定系数法求解即可；（3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到 B 地之前时，②当乙在 B 地停留时，③当乙车从 B 地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过 15km 时，⑤当乙车回到 C 地时，甲车距离 C 地 15 千米时. 【详解】解：（1）由题意可得： F（10，600）， ∴甲车的行驶速度是：600÷10=60 千米/时， M 的纵坐标为 360， ∴B，C 两地之间的距离为 360 千米，故答案为：60；360；（2）∵甲车比乙车晚 1.5 小时到达 C 地， ∴点 E（8.5，0），乙的速度为 360×2÷（10-0.5-1.5）=90 千米/小时，则 360÷90=4， ∴M（4，360），N（4.5，360），设 NE 表达式为 y=kx+b，将 N 和 E 代入， 0  8.5k  b k  90 b  765 ，解得：，360  4.5k  b y  90x  765 ∴y（千米）与 x（小时）之间的函数关系式为：；（3）设出发 x 小时，行驶中的两车之间的路程是 15 千米， ①在乙车到 B 地之前时， 600-S 甲-S 乙=15，即 600-60x-90x=15， 39 解得：x= ；10 ②∵（600-360）÷60=4 小时，360÷90=4 小时， ∴甲乙同时到达 B 地，当乙在 B 地停留时， 17 15÷60+4= 小时； 4③当乙车从 B 地开始往回走，追上甲车之前， 15÷（90-60）+4.5=5 小时； ④当乙车追上甲车并超过 15km 时，（30+15）÷（90-60）+4.5=6 小时； ⑤当乙车已经回到 C 地时，甲车距离 C 地 15 千米时， 39 （600-15）÷60= 小时. 439 10 39 417 4综上：行驶中的两车之间的路程是 15 千米时，出发时间为小时或小时或 5 小时或 6 小时或小时. 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的实际意义. EF//BC 26. 在等腰ABC 中， AB  BC ，点 D，E 在射线上，，过点 E 作，交射线 CA 于BA BD  DE 点 F．请解答下列问题：（1）当点 E 在线段上，是△ACB 的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长 △ACB 的角平分线时，如图②；当点 E 在线段是的延长线上， BA CD AE  BC  CF AB ，交于点 M．） CD FE （2）当点 E 在线段的延长线上， CD BA 是△ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，BC ，之间的数量关系，不需要证明； CD CF AE （3）在（1）、（2）的条件下，若，则 ___________． DE  2AE  6 CF  【答案】（1）见解析；（2）BC=AE+CF 或 AE=CF+BC；（3）18 或 6．【解析】【分析】（1）延长，交于点 M．利用 AAS 证明，得到 ME=BC，并利用角平分线加平行 CD MED CBD FE 的模型证明 CF=MF，AE=EF，从而得证；（2）延长，EF 交于点 M．类似于（1）的方法可证明当点 E 在线段的延长线上，是△ACB 的CD CD BA 角平分线时，BC=AE+CF，当点 E 在线段的延长线上，是△ACB 的外角平分线时，AE=CF+BC； CD BA （3）先求出 AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．【详解】（1）如图①，延长交于点M．，CD FE EF//BC ，∵AB  BC ∴∠A=∠BCA=∠EFA， ∴AE=EF ∴MF//BC ∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD 又∵∠FCM=∠BCM， ∴∠M=∠FCM ∴CF=MF 又∵BD=DE MED CBD AAS ∴∴ME=BC ∴CF=MF=ME+EF=BC+AE 即 AE+BC=CF；（2）当点 E 在线段的延长线上，是△ACB 的角平分线时，BC=AE+CF， CD BA 如图②，延长，EF 交于点 M． CD MED CBD AAS 由①同理可证 ，∴ME=BC 由①证明过程同理可得出 MF=CF，AE=EF， ∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；当点 E 在线段的延长线上，是△ACB 的外角平分线时，AE=CF+BC. CD BA 如图③，延长交 EF 于点 M， CD MED CBD AAS 由上述证明过程易得 ，BC=EM， CF=FM，又∵AB=BC， ∴∠ACB=∠CAB=∠FAE EF//BC ∵∴∠F=∠FCB， ∴EF=AE， ∴AE=FE=FM+ME=CF+BC （3）CF=18 或 6 当 DE=2AE=6 时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15， ∴CF=AE+BC=3+15=18；图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9， ∴CF=BC-AE=9-3=6；图③中，DE 小于 AE，故不存在．故答案为 18 或 6．【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题． 27. 某商场准备购进 A，B 两种书包，每个 A 种书包比 B 种书包的进价少 20 元，用 700 元购进 A 种书包的个数是用 450 元购进 B 种书包个数的 2 倍，A 种书包每个标价是 90 元，B 种书包每个标价是 130 元．请解答下列问题：（1）A，B 两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进 B 种书包的个数比 A 种书包的 2 倍还多 5 个，且 A 种书包不少于 18 个，购进 A，B 两种书包的总费用不超过 5450 元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 5 个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有 4 个样品，每种样品都打五折，商场仍获利 1370 元．请直接写出赠送的书包和样品中，A 种，B 种书包各有几个？【答案】（1）A，B 两种书包每个进价各是 70 元和 90 元；（2）共有 3 种方案，详见解析；（3）赠送的书包中，A 种书包有 1 个，B 种书包有 3 个，样品中 A 种书包有 2 个，B 种书包有 2 个. 【解析】【分析】 700 450  2 （1）设 A 种书包每个进价是 x 元，根据题意列出方程，求解即可； xx  20 （2）设购进 A 种书包 m 个，根据题意得出不等式 70m+90（2m+5）≤5450，求出 m，再结合 A 种书包不少于 18 个，得出 m 的取值范围，从而可得方案；（3）根据获利最大得到购进 A 种书包 20 个，则 B 种书包 45 个，设赠送的书包中，A 种书包 s 个，样品中有 t 个 A 种书包，则 B 种书包 5-s 个，样品中有 4-t 个 B 种书包，根据获利 1370 元得到方程，再求出符合题意的整数解即可. 【详解】解：（1）设 A 种书包每个进价是 x 元，则 B 种书包每个进价是 x+20 元， 700 450  2 由题意可得：，xx  20 解得：x=70，经检验：x=70 是原方程的解， 70+20=90 元， ∴A，B 两种书包每个进价各是 70 元和 90 元；（2）设购进 A 种书包 m 个，则 B 种书包 2m+5 个，m≥18，根据题意得：70m+90（2m+5）≤5450，解得：m≤20，则 18≤m≤20， ∴共有 3 种方案：购进 A 种书包 18 个，则 B 种书包 41 个；购进 A 种书包 19 个，则 B 种书包 43 个；购进 A 种书包 20 个，则 B 种书包 45 个；（3）设获利 W 元，则 W=（90-70）m+（130-90）（2m+5）=100m+200， ∵100＞0， ∴W 随 m 的增大而增大，则当 m=20 时，W 最大，则购进 A 种书包 20 个，则 B 种书包 45 个，设赠送的书包中，A 种书包 s 个，样品中有 t 个 A 种书包，则 B 种书包 5-s 个，样品中有 4-t 个 B 种书包，则此时 W=（20-s-t）×（90-70）+t（90×0.5-70）+（45-5+s-4+t）×（130-90）+（4-t）（130×0.5-90）-70s- （5-s）×90=1370， 4 t 2s  整理得：2s+t=4，即，根据题意可得两种书包都需要有样品，则 t≠0 且 t≠4， ∴t=2，s=1， ∴赠送的书包中，A 种书包有 1 个，B 种书包有 3 个，样品中 A 种书包有 2 个，B 种书包有 2 个. 【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式，二元一次方程的实际应用，难度较大，解题时务必理解题意，得到相应的等量关系和不等关系. 228. 如图，已知直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，线段的长是方程的一个根， OA AB x  7x 18  0 1OB  OA ．请解答下列问题： 2（1）求点 A，B 的坐标；（2）直线交 x 轴负半轴于点 E，交 y 轴正半轴于点 F，交直线于点 C．若 C 是的中点， EF AB EF ky  OE  6 ，反比例函数图象的一支经过点 C，求 k 的值； x（3）在（2）的条件下，过点 C 作CD  OE ，垂足为 D，点 M 在直线上，点 N 在直线上．坐标 CD AB 平面内是否存在点 P，使以 D，M，N，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点 P 的个数，并直接写出其中两个点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 9【答案】（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在 5 个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7， 24）或（-15，0）. 【解析】【分析】 1OB  OA （1）解一元二次方程，得到点 A 的坐标，再根据可得点 B 坐标； 2（2）利用待定系数法求出直线 AB 的表达式，根据点 C 是 EF 的中点，得到点 C 横坐标，代入可得点 C 坐标，根据点 C 在反比例函数图像上求出 k 值；（3）画出图形，可得点 P 共有 5 个位置，分别求解即可. 2【详解】解：（1）∵线段的长是方程的一个根， OA x  7x 18  0 解得：x=9 或-2（舍），而点 A 在 x 轴正半轴， ∴A（9，0）， 1OB  OA ∵，29∴B（0，）； 2（2）∵OE  6 ∴E（-6，0），，设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，将 A 和 B 代入， 1290  9k  b k   得：，解得：， 9  b b   2 2192y  x  ∴AB 的表达式为：，2∵点 C 是 EF 的中点， ∴点 C 的横坐标为-3，代入 AB 中，y=6，则 C（-3，6）， ky  ∵反比例函数经过点 C， x则 k=-3×6=-18；的（3）存在点 P，使以 D，M，N，P 为顶点四边形是正方形，如图，共有 5 种情况，在四边形 DM1P1N1 中， M1 和点 A 重合， ∴M1（9，0），此时 P1（9，12）；在四边形 DP3BN3 中，点 B 和 M 重合，可知 M 在直线 y=x+3 上， y  x  3 联立：，192y  x  2x 1 y  4 解得：，∴M（1，4）， ∴P3（1，0），同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）. 故存在点 P 使以 D，M，N，P 为顶点的四边形是正方形，点 P 的坐标为 P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形. 本试卷的题干 0635