牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校 2020年初中毕业学业考试数学试卷 一、选择题（每小题 3分，共 36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. B. C. D. 4 个 1 个 2 个 3 个 B【答案】 【解析】 解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形； 第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形； 第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形； 第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形； 既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 2 个．故选 B． 2. 下列运算正确的是（ ）114(a )2 a2 A. (a＋b)(a－2b)=a2－2b2 C. －2(3a－1)=－6a＋1 B. 2D. (a＋3)(a－3)=a2－9 D【答案】 【解析】 【分析】 本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择． 222【详解】A、原式＝ 2 ，故此选项错误； a 2ab ab 2b a ab 2b 1a2 a B、原始＝ ，根据完全平方公式可以做出判断，故此选项错误； 4C、原式＝ 6a 2 ，根据乘法分配律可以做出判断，故此选项错误； D、原式＝a2－9，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查代数式运算公式及法则，掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键． 3. 如图是由 5 个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个 几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有 1 竖列，有 1 个立方块；中 间有 2 竖列，其中 1 列有 2 个立方块；右边是 1 竖列，有 1 个立方块；结合四个选项选出答案． 【详解】解：从正面看去，一共三列，左边有 1 竖列，中间有 2 竖列，其中 1 列有 2 个立方块，右边是 1 竖列． 故选：A． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能 力． 4. 现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色 外完全相同，从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）13493523A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：列表如下： 黄红红红红白（黄，红） （黄，红） （黄，白） （红，红） （红，红） （红，白） （红，红） （红，红） （红，白） 由表知，共有 9 种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有 4 种结果， 49所以摸出的两个球颜色相同的概率为 ．故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识以及概率公式，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等 可能的结果列举出来，难度不大． 5. 一组数据 4，4，x，8，8 有唯一的众数，则这组数据的平均数是（ ）28 528 532 532 5A. B. 或 5 C. 或D. 5 C【答案】 【解析】 【分析】 因为这组数据有唯一的众数，那么众数可能是 4，也可能是 8，分情况讨论即可． 28 x 4 4 4 88 5 【详解】解：当众数为 4 时，x=4， ，532 5x 4 4 888 5 当众数为 8 时，x=8， ，28 532 5即这组数据的平均数是 或．故答案 为：C． 【点睛】本题考查众数的概念和平均数的求解，在一组数据中，出现次数最多的数就是这组数据的众数． 16. 如图，在△ABC 中，sinB= ， tanC=2，AB=3，则 AC 的长为（ ）35A. B. C. D. 2 522B【答案】 【解析】 【分析】 过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点，先由 sin∠B 及 AB=3 算出 AH 的长，再由 tan∠C 算出 CH 的长，最后在 Rt△ACH 中由勾股定理即可算出 AC 的长． 【详解】解：过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点，如下图所示： AH 13sin B tan C =由由，且 ，且 可知， 可知， ，AB=3 AH =1 AB AH 1CH =2 ，AH =1 2CH 152222∴在 中，由勾股定理有： ．RtACH AC AH CH 1 ( ) 22故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造 直角三角形进而求解． A, B, S 7. 如图，点 在圆上，若弦 的长度等于圆半径的 倍，则 ASB 的度数是( )． AB 2A. 22.5° 【答案】 【解析】 【分析】 B. 30° C. 45° D. 60° C设圆心为 ，连接OA、OB ，如图，先证明OAB 为等腰直角三角形得到 AOB 90 ，然后根据圆周角 O定理确定 ASB 的度数． 【详解】解：设圆心为 ，连接OA、OB ，如图， O∵弦 的长度等于圆半径的 ，倍， AB 2即AB 2OA 222∴∴∴，OA OB AB OAB 为等腰直角三角形， AOB 90 ，1ASB AOB 45 °． 2故选 C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半． 32a 2 b 1 ax by 5 8. 若是二元一次方程组 的解，则 x＋2y 的算术平方根为（ ）ax by 2 A. 3 B. 3，－3 C. D. ，－ 333C【答案】 【解析】 【分析】 a 2 b 1 将代入二元一次方程组中解出 x 和 y 的值，再计算 x＋2y 的算术平方根即可． 32a 2 b 1 ax by 5 【详解】解：将 代入二元一次方程 中， ax by 2 3x y 5 2x y 2 得到： ，解这个关于 x 和 y 的二元一次方程组， 77545x x y 两式相加，解 得，将 回代方程中，解得 ，57415 x 2y 2 3 ∴，555∴x＋2y 的算术平方根为 故选：C． ，3【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解 决本题的关键． 9. 如图，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的坐标为（2，2 )，将菱形绕点 O 旋转，当点 A 落在 x 3轴上时，点 C 的对应点的坐标为（ ）A. C. 或(2, 2 3)(2 3,2) B. D. (2,2 3) (2, 2 3)(2,2 3) 或(2,2 3) D【答案】 【解析】 【分析】 如图所示，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，根据题意易得△AOB 为等边三角形，在旋转过程中，点 A 有两次 落在 x 轴上，当点 A 落在 x 轴正半轴时，点 C 落在点 C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当 A 落 在 x 轴负半轴时，点 C 落在点 C′′位置，易证此时 C′′与点 A 重合，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E， 22 3 2则，OA= ，tan∠ AOE= = 3 2 2 3=4 2∴∠AOE=60°， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴△AOB 是等边三角形， 当 A 落在 x 轴正半轴时，点 C 落在点 C′位置， 此时旋转角为 60°， ∵∠BOC=60°，∠COF=30°， ∴∠C′OF=60°-30°=30°， ∵OC′=OA=4， ∴OF= ，C’Ocos∠ C’OF=2 3 C′F= ，C’Osin∠ C’OF=2 ∴C′（ ）， 2,2 3 当 A 落在 x 轴负半轴时，点 C 落在点 C′′位置， ∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°， ∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30° 又∵OA=OC′′， ∴此时 C′′点 A 重合，C C′′ ，(2,2 3) 综上，点 C 的对应点的坐标为 故答案为：D． 或(2, 2 3)(2,2 3) ，【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点 A 的运动情 况，分情况讨论． 2mx10. 若关于 x 的分式方程 有正整数解，则整数 m 的值是（ C. 3 或 5 ）x 1 A. 3 B. 5 D. 3 或 4 D【答案】 【解析】 【分析】 m2x 1 解带参数 m 的分式方程，得到 ，即可求得整数 m 的值． m 2 m 2 2mx【详解】解： ，x 1 x x1 2x m x1 两边同时乘以 去括号得： 得： ，，2x mx m 移项得： ，2x mx m 2 m x m 合并同类项得： ，m2x 1 系数化为 1 得： ，m 2 m 2 若 m 为整数，且分式方程有正整数解，则 或m 4 ，m 3 当当时， x 3是原分式方程的解； m 3 m 4 时， x 2 是原分式方程的解； 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为 0 这个条件． kx11. 如图，A，B 是双曲线 y 上的两个点，过点 A 作 AC⊥x 轴，交 OB 于点 D，垂足为 C，若△ODC 的 面积为 1，D 为 OB 的中点，则 k 的值为（ ）3A. B. 2 C. 4 D. 8 4D【答案】 【解析】 【分析】 S 4 ，即可求解 k 的值． 过点 B 作 轴，易得 ，得到 BE⊥x △DCO∽△BEO △BEO B a,b E a,0 ，【详解】解：如图，过点 B 作 轴，设 ，则 BE⊥x ∵∴∴轴， 轴， BE⊥x DC x ，DCO BEO ，△DCO∽△BEO 的∵D 为 OB 中点， S△DCO 14∴，S△BEO S 4 ∴，△BEO 1ab 4 即，解得 ，ab 8 2∴k 的值为 8， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标，解题的关键是作出辅助线，得 到两个相似的三角形． 12212. x 如图是二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为 ，且经过点（2，0). 下列说法： 55( ，y ) ( ，y ) 是抛物线上的两点，则 y1<y2； 2①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若 ，122141⑤b>m(am+b) (其中 m≠ )．其中说法正确的是（ ）2A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ A【答案】 【解析】 【分析】 y，根据抛物线与 轴的交 a 0 b a 0 ，则 根据抛物线开口方向得到 ，根据抛物线的对称轴得 2a b 0 x点在 轴上方得到 x，则 ，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与 轴的交点，求得另一个 c 0 abc 0 交点，由根与系数的关系即可得出 ，则得到 ，于是可对②进行判断；由于经过点 c 2a 2b c 0 55(2,0) ( y ) (y ) ， 离对称轴的远近对④ 2，则得到 4a 2b c 0 ，则可对③进行判断；通过点 ，和点 122112y时， 有最大值，所以 x x 进行判断；根据抛物线的对称轴为直线 ，开口向下，得到当 21411a b m(am b) m ) a b 代入则可对⑤进行判断． （其中 ，由 22【详解】解： 抛物线开口向下， a 0 ，b1x 抛物线对称轴为直线 ，22a b a 0 ，yx抛物线与 轴的交点在 轴上方， ，c 0 abc 0 ，所以①正确； 1(2,0) ，x 对称轴为 ，且经过点 2x抛物线与 轴的另一个交点为 (1,0) ，c 12 2 ，ac 2a ，2b c 2a 2a 0 ，所以②正确； (2,0) ，抛物线经过点 y 0 x 2时， ，4a 2b c 0 ，所以③错误； 552( y ) (y ) ， 离对称轴要远， 2点，离对称轴要比点 12 y1 y 2 ，所以④正确． 12x 抛物线的对称轴为直线 ，1y时， 有最大值， x 当2111a b c am2 bm c m ) （其中 ，4221411a b m(am b) m ) （其中 ，22a b ，11 b b m(am b) ，4214b m(am b) ，所以⑤正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y ax2 bx c(a 0)，二次项系数 决定抛 a 0 a物线的开口方向和大小，当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下；一次项系数 和二 a 0 bya次项系数 共同决定对称轴的位置：当 aab 0) a与与同号时（即 ，对称轴在 轴左；当 (0,c) 异号时（即 bbyy，对称轴在 轴右．（简称：左同右异）．抛物线与 轴交于 ab 0) x．抛物线与 轴交点个数：△ 22xx时，抛物线与 轴有1 个交点；△ 时，抛物线与 轴有2 个交点；△ b 4ac 0 b 4ac 0 2x时，抛物线与 轴没有交点． b 4ac 0 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 13. 一周时间有 604800 秒，604800 用科学记数法表示 为______． 5【答案】 6.04810 【解析】 【分析】 a×10n 1≤|a| 10 nn， 为整数．确定的值时，要看把原数变成 时， a科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ＜n10 n小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥时， 是正数；当原数的绝 1n对值＜ 时， 是负数． 5【详解】 ，604800 6.04810 5故答案为： ．6.04810 n 的形式，其中 a×10 1≤|a| 10 n ＜ ，为 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 an整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值． 14. 如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____，使四边形 ABCD 是平行四边形（填一个即可）． 【答案】AD=BC（答案不唯一） 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可． 【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件 AD=BC， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件 AB∥DC， 本题只需添加一个即可， 故答案为：AD=BC（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． xy 15. 在函数 中，自变量 x 的取值范围是_______． 2x 1 12x 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 2x 1 0 2x 1 0 xy 【详解】解：函数 中： ，2x 1 1x 解得： ．212x 故答案为： ．【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键． 16. “元旦”期间，某商店单价为 130 元的书包按八折出售可获利 30%，则该书包的进价是____元． 【答案】80 【解析】 【分析】 根据题意设出方程，解出即可． 【详解】设书包进价是 x 元，由题意得： 130×0.8－x=30%x 解得 x=80． 故答案为：80． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于根据题意找出等量关系． 217. 将抛物线 y=(x－1) －5 关于 y 轴对称，再向右平移 3 个单位长度后顶点的坐标是_____． 【答案】(2，－5) 【解析】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解． 【详解】抛物线 y=(x－1)2－5 的顶点为（1，-5）， ∴关于 y 轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移 3 个单位长度后的坐标为（2，-5）， 故答案为：(2，－5) ． 【点睛】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点． 18. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第 1 个图形中一共有 4 个圆，第 2 个图形中一共 有 8 个圆，第 3 个图形中一共有 14 个圆，第 4 个图形中一共有 22 个圆……按此规律排列下去，第 9 个图 形中圆的个数是___个． 【答案】92 【解析】 【分析】 n根据图形得出第 个图形中圆的个数是 n(n 1) 2 进行解答即可． 1 (11) 2 4 【详解】解：因为第 1 个图形中一共有 个圆， 2 (2 1) 2 8 3 (3 1) 2 14 4 (4 1) 2 22 第 2 个图形中一共有 第 3 个图形中一共有 第 4 个图形中一共有 个圆， 个圆， 个圆； n可得第 个图形中圆的个数是 n(n 1) 2 ；9 (9 1) 2 92 所以第 9 个图形中圆的个数 故答案为：92． ，n【点睛】本题考查图形的变换规律，根据图形的排列规律得到第 个图形中圆的个数是 n(n 1) 2 是解决本 题的关键． 19. 在半径为 的⊙O 中，弦 AB 垂直于弦 CD，垂足为 P，AB=CD=4，则 S△ACP=______． 53921【答案】 或或22【解析】 【分析】 作 OE 垂直于 AB 于 E，OF 垂直于 CD 于 F，连接 OD、OB，则可以求出 OE、OF 的长度，进而求出 OP 的 长度，进一步得 PE 与 PF 长度，最后可求出答案. 【详解】如图所示，作 OE 垂直于 AB 于 E，OF 垂直于 CD 于 F， 1212AB CD ∴AE=BE= =2，DF=CF= =2， 在中， Rt△OBE ∵OB= ，BE=2， 5∴OE=1， 同理可得 OF=1， ∵AB 垂直于 CD， ∴四边形 OEPF 为矩形， 又∵OE=OF=1， ∴四边形 OEPF 为正方形， S又∵ 有如图四种情况， △ACP 3121S∴（1） =AP∙CP= ×1×3= ，，△ACP 22111S（2） （3） （4） =AP∙PC= ×1×1= △ACP 2229211S==PC∙PA= ×3×3= ，，△ACP 2232121SAP∙PC= ×3×1= △ACP 23921故答案为： 或或22【点睛】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理还有圆的综合运用，熟练掌握方法是关键. 20. 正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CD 上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，则下列结论： ①DF=FC；②AE+DF=EF；③∠BFE=∠BFC；④∠ABE+∠CBF=45°；⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC；⑥ DF:DE:EF=3:4:5；⑦ BF:EF= :5．其中结论正确的序号有_____． 3 5 【答案】①②③④⑤⑥⑦ 【解析】 【分析】 设正方形的边长为 3，假设 F 为 DC 的中点，证明 进而证明 PE=PB 可得假设成立， RtEDF Rt PCF 故 可 对 ① 进 行 判 断 ； 由 勾 股 定 理 求 出EF 的 长 即 可 对 ②进 行 判 断 ； 过B 作 BG⊥EF ， 证 明 即可对③进行判断；过点 E 作 EH⊥BF，利用三角形 BEF 的面积求出 EH 和 BH 的长， RtBFG RtBFC 判 断 △BEH 是 等 腰 直 角 三 角 形 即 可 对 ④ 进 行 判 断 ； 过F 作 FQ//AD ， 利 用 平 行 线 的 性 质 得 ，从而可对⑤进行判断；根据 DE，DF，EF 的长可对⑥进行判断；根据 BF 和 CF DEF CBF BFE 的长可对⑦进行判断． 【详解】如图，不妨设正方形 ABCD 的边长为 3，即 ，AB BC CD DA 3 ， AB 3AE ，， AE 1 DE 2 ①假设 F 为 CD 的中点，延长 EF 交 BC 的延长线于点 P， 在和中Rt EDF RtPCF DF CF EFD PFC D PCF 90 RtEDF RtPCF PC DE 2 2352 2由勾股定理得， ，EF 2 PF 2 ，PE EF PF 5 BP BC PC 3 2 5 ，，PE PB ，故假设成立， PEB PBE ，故①正确； DF FC 3DF ②，， AE 1 23252 AE DF 1 ，5EF 而，2，故②正确； AE DF EF ③过 B 作 ，垂足为 G， BG EF SBEF S正方形ABCD SABE SDEF SBCE 113 1 32 32 31 2 3 222 2 15 4115 4 EF BG 而2BG 3 BG BC 在和RtBCF 中， RtBGF BG BC BF BF ∴RtBGF RtBCF ，BFG BFC 即，故③正确； BFE BFC ④过 E 和 EH BF ，垂足为 H， 15 S∵，BEF 43 5 22又，BF BC CF 2115 SBEF EH BF ，24EH 5 5FF 在中， ，，RtEHF EH 5 25HF 2BH 5 AB 3 在中， ，RtABE AE 1 ，BE 10 222而( 5) ( 5) ( 10) BH 2 EH 2 BE2 是等腰直角三角形， ，BHE EBF 45 ，故④正确； ABE CBE 90 EBF 45 ⑤过 F 作 FQ// AD，交 AB 于 Q，则 FQ// BC， DEF QFE CBF QFB ，，DEF CBF BFE ，BFE BFC ，故⑤正确； DEF CBF BFC 352DF ⑥EF ，，DE 2 2，故⑥正确； DF : DE : EF 3: 4:5 53 5 2EF ⑦，，BF 23 55 : 3 5:5 ，故⑦正确； BF : EF 22综上所述，正确的结论是①②③④⑤⑥⑦． 故答案为：①②③④⑤⑥⑦． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理 等知识，假设出 AB=3 是解答此题的关键． 三、解答题（共 60分） 1×2 6x 9 x2 9 21. 先化简，再求值： 其中 x=1－2tan45°． 3 x x2 3x 2x 334【答案】 ，．3 x 【解析】 【分析】 原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，再计算出 x 的值， 把 x 的值代入计算即可求出值． 1×2 6x 9 x2 9 【详解】解： 3 x x2 3x 2x 1(x 3)2 2x =3 x x(x 3) (x 3)(x 3) 12==3 x x3 12+3 x 3 x 3＝，3 x 34当 x＝1－2tan45°=－1 时，原式＝ ．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时还考查了特殊角的三角函 数值． 9222. 已知抛物线 y=a(x－2) +c 经过点 A(－2,0)和点 C(0, )，与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D． 4（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（点 E 不与点 A，B 重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接 写出线段 BE 的长． 3【答案】（1）y= (x－2)2+3；顶点 D 的坐标为(2,3)；（2）BE=5． 16 【解析】 【分析】 （1）本题可利用待定系数法，将 A,C 两点代入抛物线求解即可． （2）本题可利用等腰三角形性质，通过角的互换证明 BD=BE，最后利用勾股定理求解 BD 即可解答． 16a c 0 3a c 3 9【详解】（1）将点 A(-2,0)，C(0, )代入 y = a(x – 2)2 + c，得： ，解得： 16 ．944a c 43∴抛物线的解析式为 y= (x－2)2+3 ． 16 ∴顶点 D 的坐标为(2,3)． （2）∵A,B 两点为抛物线与 x 轴两交点，D 为坐标顶点， ∴DA=DB，故∠DAB=∠DBA， ∵DE=EF， ∴∠EDF=∠EFD． ∵∠EFD=∠FEB+∠EBD，∠DEF=∠DAB， ∴∠EDF=∠FEB+∠DEF， ∴∠BDE=∠BED， 故 BD=BE． ∵A(-2,0)，D(2,3)， ∴利用对称性可得 B(6,0)， 经计算 BD=5, 故 BE=5． 【点睛】本题考查二次函数，第一问为常规题目，利用待定系数法求解即可；第二问属于二次函数与几何 综合，解答时需要结合等腰三角形性质与判定求解本题． 23. 等腰三角形 ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=45º，以 AC 为腰作等腰直角三角形 ACD，∠CAD 为 90º，请 画出图形，并直接写出点 B 到 CD 的距离． 【答案】画出图形见解析；点 B 到 CD 的距离为 2 或．4 2 2 2【解析】 【分析】 根据题目描述可以作出两个图形，利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可． 【详解】本题有两种情况： （1）如图， ∵是等腰直角三角形， CAD 90 ，△ACD ∴∵∴，，ACD 45 BAC 45 ，AB//CD ∴点 B 到 CD 的距离等于点 A 到 CD 的距离， 过点 A 作 ，AE CD ∵，AB AC 4 AC AE 2 2 ∴，2∴点 B 到 CD 的距离为 2 （2）如图： ；2∵∴∵是等腰直角三角形， CAD 90 ，△ACD ，，，ACD 45 BAC 45 ∴AEC 90 ∴点 B 到 CD 的距离即 BE 的长， ∵，AB AC 4 AC AE 2 2 ，∴2∴，即点 B 到 CD 的距离为 ．4 2 2 BE AB AE 4 2 2 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，根据题目描述作出两个图形是解题的关键． 24. 为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校 部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图 1 所示），并根据调查结果绘制了图 2、图 3 两幅统计图（均不 完整），请根据统计图解答下列问题． （1）本次接受问卷调查的学生有________名． （2）补全条形统计图． （3）扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数为________． （4）该校共有 2000 名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数． 160 人. 【答案】（1）100；（2）见解析；（3） ；（4） 72 【解析】 【分析】 （1）根据 D 的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数； （2）根据（1）中的结果和图 1 中的数据可以将条形统计图补充完完整； （3）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数； （4）根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数． 【详解】（1）本次接受问卷调查的学生有：36 36% 100 （名）， 故答案为 100； （2）喜爱 C 的有：100 8 20 36 6 30 （人）， 补全的条形统计图如右图所示； 20 360 72 （3）扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数为： ，100 故答案为 ；72 82000 160 （4） （人）， 100 答：该校最喜爱新闻节目的学生有 160 人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 合的思想解答． 25. A，B 两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过 C 市，甲车从 A 市到 B 市，乙车从 C 市到 A 市，甲车 的速度比乙车的速度慢 20 千米/时，两车距离 C 市的路程 y(单位：千米)与驶的时间 t(单位：小时)的函数图 象如图所示，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数； （2）求图象中线段 MN 所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围； （3）直接写出甲车出发后几小时，两车距 C 市的路程之和是 460 千米． 1【答案】（1）60，10；（2）y = 80t－320；（3）甲车出发 小时或9 小时时，两车距 C 市的路程之和是 460 3千米． 【解析】 【分析】 （1）由图象分析可得甲车行驶 480km用时为 8小时，即可求解其速度，进而乙车速度也可知，则图中括 号内的数字也可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）分析整个运动过程，分三种情况进行讨论，分别求出对应的 t 即可求解． 【详解】（1）由图象可知甲车在 时行驶到 C 市，此时行驶的路程为 480km，故速度为 t 8 480 8 60km/h ，∴乙车的行驶速度为： ，60 20 80km/h 480 6h ∴乙车由 C 市到 A 市需行驶 ，80 ∴图中括号内的数为 4 6 10 故答案为：60，10； ，（2）设线段 MN 所在直线的解析式为 y = kt + b ( k ≠ 0 ) . 4k b 0 把点 M（4，0），N（10，480）代入 y = kt + b，得： ，10k b 480 k 80 解得： ，b 320 ∴线段 MN 所在直线的函数解析式为 y = 80t－320． 13t （3）若在乙车出发之前，即 时，则 ，解得 ；t 4 480 60t 460 480 60t 80 t 4 460 若乙车出发了且甲车未到 C 市时，即 4 t 8时，则 ，解得t 17（舍）； 60t 480 80 t 4 460 若乙车出发了且甲车已到 C 市时，即t 8 时，则 ，解得t 9 ；1综上，甲车出发 小时或9 小时时，两车距 C 市的路程之和是 460 千米． 3【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函 数的性质解答． 26. ∆ABC 中，点 D 在直线 AB 上.点 E 在平面内，点 F 在 BC 的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD， ∠EAB+∠DCF=180º． （1）如图①，求证 AD+BC=BE； （2）如图②、图③，请分别写出线段 AD，BC，BE 之间的数量关系，不需要证明； 3（3）若 BE⊥BC，tan∠BCD= ，CD=10，则 AD=______． 4【答案】（1）见解析；（2）图②结论：BC－AD = BE，图③结论：AD－BC = BE；（3）14－6 或22+6 .2【解析】 【分析】 （1）证明∠EAB=∠BCD，用 ASA 证明△EAB≌△DCB，可得 AD+BC=BE； （2）利用（1）的解题思路，证明△EAB≌△DCB，即可得到图②的结论 BC－AD = BE；图③的结论 AD－ BC = BE； 3（3）利用（2）的结论，过点 D作 BC边长的垂线，构造直角三角形，结合 tan∠BCD= ，计算相应边的长 4度，即可得到 AD 的值． 【详解】（1）证明：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD， ∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC， ∴AD+BC=AD+AB=BD=BE. （2）图②结论：BC－AD = BE， 证明如下：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD， ∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC， ∴BA－AD=BC－AD= BE，即 BC－AD=BE 图③结论：AD－BC = BE. 证明如下：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD， ∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC， ∴AD－AB=AD－BC= BD=BE，即 AD－AB=BE （3）如图②所示，作 于 G DG BC 由（2）知△EAB≌△DCB，∴ EBA ABC ∵∴BE BC EBA ABC 45 DG GC 34DG 6,GC 8, BC 14 tan BCD 在在∴RtDCG 中，CD=10， RtBDG ，∴ 中， BG DG 6 ，BD 6 2 AD AB BD BC BD 14 6 2 如图③所示，作 于 H DH BC ÐDBC = ÐEBA 由（2）知△EAB≌△DCB，∴ ∴∵DBE CBA HBD BE BC ∴在在∴HBD DBE 45 DH HC 34DH 6, HC 8 tan BCD 中，CD=10， ，∴ RtVDCH RtBDH 中， BH DH 6 AD AB BD BC BD 8 6 6 2 2 6 2 ，BD 6 2 综上所述：AD 的长度为 14－6 或 2+6 .22【点睛】本题考查了由图形变化引起的类比探究，快速确定全等三角形，并准确利用全等三角形的性质是 解题的关键． 27. 某商场准备购进 A、B 两种型号电脑，每台 A 型号电脑进价比每台 B 型号电脑多 500 元，用 40 000 元购 进 A 型号电脑的数量与用 30 000 元购进 B 型号电脑的数量相同，请解答下列问题： （1）A，B 型号电脑每台进价各是多少元？ （2）若每台 A 型号电脑售价为 2 500 元，每台 B 型号电脑售价为 1 800 元，商场决定同时购进 A，B 两种 型号电脑 20 台，且全部售出，请写出所获的利润 y(单位：元)与 A 型号电脑 x（单位：台）的函数关系式， 若商场用不超过 36 000 元购进 A，B 两种型号电脑，A 型号电脑至少购进 10 台，则有几种购买方案？ （3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买 A，B 两种型号电脑捐赠给某个福利院，请 直接写出捐赠 A，B 型号电脑总数最多是多少台． y 200x 6000 【答案】（1）每台 A 型号电脑进价为 2000 元，每台 B 型号电脑进价为 1500 元；（2） ，有三种方案；（3）捐赠 A，B 型号电脑总数最多是 5 台． 【解析】 【分析】 a 500 （1）设每台 A 型号电脑进价为 a 元.，则每台 B 型号电脑进价为 元，根据题意列出分式方程求解 即可； 20 x 台，根据题意列出 y 与 x 的关系式；根据题意可列出关于 （2）若 A 型号电脑 x 台，则 B 型号电脑 2000x 1500 20 x 36000 x 的一元一次不等式组 ，求解即可得到方案； x 10 （3）根据（2）得到最大利润，优先购买 B 型号电脑，即可求解． a 500 【详解】（1）设每台 A 型号电脑进价为 a 元.，则每台 B 型号电脑进价为 元， 40000 30000 由题意，得 ，解得：a=2000， aa 500 经检验 a=2000 是原方程的解，且符合题意， 2000－500=1500（元）． 答：每台 A 型号电脑进价为 2000 元，每台 B 型号电脑进价为 1500 元． （2）由题意，得 y=(2500－2000)x+(1800-1500)(20－x)=200x+6000， 2000x 1500 20 x 36000 ∵，解得 ，10 x 12 x 10 ∵x 是整数，∴x=10，11，12，∴有三种方案． y 200x 6000 （3）∵利润 ，随 x 的增大而增大， ∴当 时可获得最大利润，最大利润为 （元）， x 12 20012 6000 8400 若要使捐赠 A，B 型号电脑总数尽可能多，则优先购买 B 型号电脑，可购买 5 台， 所以捐赠 A，B 型号电脑总数最多 5 台． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用等内容，理 解题意并列出方程或不等式组是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC 在 x 轴上，OA 在 y 轴上．O 为坐标原点，AB//OC， 4线段 OA，AB 的长分别是方程 x2－9x+20=0 的两个根（OA<AB）, tan∠OCB= ．3（1）求点 B，C 的坐标； kxO处，双曲线 y （2）P 为 OA 上一点，Q 为 OC 上一点，OQ=5，将∆POQ 翻折，使点 O 落在 AB 上的点 O．求 k 的值； 的一个分支过点 （3）在（2）的条件下，M 为坐标轴上一点，在平面内是否存在点 N，使以 为矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． O，Q，M，N 为顶点四边形 3N (3， ) 【答案】（1）点 B 的坐标为（5，4），点 C 的坐标为（8，0）；（2）k=8 ；（3）存在． ，1211N (5，4) ．N ( ， 4) N (3， ) ，，42334【解析】 【分析】 （1）解一元二次方程得到 OA=4， AB=5，过点 B 作 BD⊥OC 于点 D，求出 OD、OC 的长即可求解； （2）根据翻折的性质即可求解； ，Q 为对角线时，在前两问的基础上先确定点 M 的坐标，进而确 （3）分类讨论，以 定点 N 的坐标． O，Q 为边时和以 O【详解】（1）解方程：x2-9x+20=0，得 x1=4， x2=5， ∵OA<AB， ∴OA=4， AB=5， 过点 B 作 BD⊥OC 于点 D， 4∵tan∠OCB= ，BD=OA=4，OD=AB=5， 3∴CD=3， ∴OC=8， ∴点 B 的坐标为（5，4），点 C 的坐标为（8，0）； （2）∵AB//OC， OQ=AB=5，∠AOQ=90º， ∴四边形 AOQB 为矩形， O Q ∴BQ=OA=4，由翻折，得 OQ= =5， 22 O B QO QB ∴=3， =2， O∴A (2, 4)， O∴∴；k 24 8 （3）存在． 5210 15 452M 0, M ,0 M 0, M 0, ①以 O，Q 为边时，点 M 的坐标为 或或，当点 M 的坐标为 310 31M ,0 N (3， ) N ( ， 4) 时，点 N 的坐标为 ；当点 M 的坐标为 时，点 N 的坐标为 ；当点 M 的 1232315 1M 0, N (3，) 坐标为 时，点 N 的坐标为 ；344M 2,0 N (5，4) ②以 O，Q 为对角线时，点 M 的坐标为 ，此时点 N 的坐标为 ，4311N (5，4) N (3， ) N ( ， 4) N (3，) 综上所述，点 N 的坐标为： ，，，．4123423【点睛】本题考查的是矩形的判定、解一元二次方程、求反比例函数的解析式等内容，熟练掌握矩形的判 定与性质是解题的关键． 本试卷的题干 0635
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