哈尔滨市 2020 年初中升学考试 数学试卷 一、选择题 8 1. A. 的倒数是（ ） 118B. C. D. -8 88A【答案】 【解析】 【分析】 由倒数的定义求解即可. 18- -8 =1 【详解】解：∵ ,18∴根据倒数的定义知:﹣8 的倒数是 故选：A． ．【点睛】本题主要考查了倒数的定义，乘积为 1 的两数互为倒数． 2. 下列运算一定正确的是（ ） 42D. a b a2 b2 a2 a8 a2 a2 a4 a2 a4 a8 A. B. C. C【答案】 【解析】 【分析】 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式逐项计算即可． 22【详解】解：∵ 2 ，∴选项 A 不正确； a a 2a 24∵∵∵6 ，∴选项 B 不正确； ，∴选项 C 正确； a a a 4a2 a8 2a b a2 2ab b2 ，∴选项 D 不正确； 故选 C． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解答本题的关键．同底数的幂相乘， 底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作 为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2． 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故 B 正确； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 C 错误； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 4. 五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（ ）A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看第一层有两个小正方形，第二层右边有一个小正方形， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． AD,CD,OA ，若 5. 如图 O O O 是直径，点 A 为切点， 交于点 C，点 D 在 上，连接 OB AB ，则 的度数为（ ）ADC 35 ABO 25 20 30° A. B. C. D. 35 B【答案】 【解析】 【分析】 根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，由 可求出∠AOC= ．再由 AB 为圆 O 的切 ADC 35 70 线，得 AB⊥OA，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABO 的度数， 【详解】解：∵ ∴，AC AC ，AOC 2ADC 235 70 ∵AB 为圆 O 的切线， ∴AB⊥OA，即∠OAB=90°， ∴，ABO 90 AOC 90 70 20 故选：B． 【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 将抛物线 y = x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度，所得的抛物线为（ ） 6. 2222Ay x 3 5 B. y x 3 5 C. y x 5 3 D. y x 5 3 D【答案】 【解析】 【分析】 用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线 y = x2 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度后，函数的表达式为： 2y x 5 3 ．故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左 加右减，上加下减． BAC 90,B 50, AD BC 7. 如图，在 中， ，垂足为 D，△ADB 与关于直线 AD RtABC ADB CAB 对称，点的 B 对称点是 ，则 的度数是（ ）B30° A. 10 B. 20 C. D. 40 A【答案】 【解析】 【分析】 AB D=50 由三角形内角和定理，得到 案． ，由轴对称的性质，得到 ，根据外角的性质即可得到答 C=40 BAC 90,B 50 【详解】解：在 中， ，RtABC ∴∵∴∴，C=40 △ADB 与关于直线 AD 对称， ADB ，AB D B 50 CAB 50 40 10 ；故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌 握所学的性质定理，正确的进行角度的计算． 218. 方程 的解是（ ）x 5 x 2 x 1 x 7 A. B. x 5 C. D. x 9 D【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解． 【详解】解：方程可化简为 2 x 2 x 5 2x 4 x 5 x 9 经检验 x 9 是原方程的解 故选 D 【点睛】本题考察了分式方程及其解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的关键． 9. 一个不透明的袋子中装有 9 个小球，其中 6 个红球，3 个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中 随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）2311912A. B. C. D. 3A【答案】 【解析】 【分析】 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概 率． 【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有 9 个小球，其中 6 个红球、3 个绿球， 6923∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 ．故选：A． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出 mP A 现 m 种结果，那么事件 A 的概率 ．n10. 如图，在ABC 中，点 D 在 BC 上，连接 AD，点 E 在 AC 上，过点 E 作 EF / /BC ，交 AD 于点 F， 过点 E 作 ，交 BC 于点 G，则下列式子一定正确的是（ ）EG / /AB AE EF EG EF AF BG CG AF A. B. C. D. EC CD AB CD FD GC BC AD C【答案】 【解析】 【分析】 根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理 逐个判断即可． 【详解】解：∵ EF / /BC ，∴△AEF∽△ACD， AE EF AF ∴，故选项 A 错误； AC CD AD EC CD EF FD ∴∵，AC EG / /AB CD AD ，∴△CEG∽△CAB， EG CG EC ∴，AB BC AC EG CD EF CG FD ，故选项 D 错误； ∴∵∴∵∴，故选项 B 错误； AB CD BC AD EF / /BC ，AF AE ，，FD EC EG / /AB BG AE ，CG EC AF BG ∴，故选项正确 C． FD CG 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题 的关键． 二、填空题 11. 将数 4790000 用科学计数法表示为_____________． 6【答案】 4.7910 【解析】 【分析】 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，据此即可解题． 6【详解】解： ．4790000 4.7910 6故答案为： ．4.7910 【点睛】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 n 的形式，其中 1≤|a|<10，n 为整数．确 a 10 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝 对值>10 时，n 是正数;当原数的绝对值<1 时，n 是负数． xx中，自变量 的取值范围是_____________________． 12. 在函数 y x 7 【答案】x≠7． 【解析】 【分析】 根据分式有意义，分母不等于 0，可以求出 x 的范围． xy 【详解】解：由 有意义，得 x 7 x-7≠0， 解得 x≠7， 故答案为：x≠7． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整 式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；当函数表达式是二次根式 时，被开方数非负． k3,4 ，则 的值是____________________． 13. 已知反比例函数 y 的图像经过点 kx【答案】﹣12 【解析】 【分析】 3,4 代入反比例函数解析式中，解之即可． 直接将点 kxk3,4 y 4 【详解】依题意，将点 代入 ，得： ，3 解得： =﹣12， k故答案为：﹣12． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答 的关键． 114. 计算： 的结果是___________________． 24 6 6【答案】 3 6 【解析】 【分析】 根据题意可知，本题考察二次根式的运算，根据二次根式的化简，即可进行求解． 【详解】解：原式= =3 6 2 6+ 6 故答案为： 3 6 【点睛】本题考察了二次根式的运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键． 2的分解因式 结果是________________________． 15. 把多项式 m n 6mn 9n 【答案】 n(m 3)2 【解析】 【分析】 先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】原式= n(m2 6m 9) 故答案为： n(m 3)2 =n(m 3)2 ，．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． 216. 抛物线 y 3(x 1) 8 的顶点坐标为______________________________． 【答案】(1，8) 【解析】 【分析】 根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解． 2【详解】解：由二次函数性质可知， y a x h k 的顶点坐标为( ，)kh∴ y 3(x 1)2 8 的顶点坐标为(1，8) 故答案为：(1，8) 【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标． x 1 17. 不等式 3的解集为_______________． 3x 5 2 【答案】x≤-3． 【解析】 【分析】 分别求出每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可． x 1① 【详解】 33x 5 2② 解不等式①得，x≤-3； 解不等式②得，x＜-1； 所以，不等式组的解集为：x≤-3． 【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集，熟记口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小 找不了（空集）”． 2 ，半径为 6cm，则扇形的圆心角是_______________度． 18. 一个扇形的面积为 13cm 【答案】130°． 【解析】 【分析】 设扇形的圆心角是 n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于 n 的方程，解方程即可求解． 62n 【详解】解：设扇形的圆心角是 n°，根据扇形的面积公式得：13π= ，360 解得 n=130． 故答案是：130°． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键． 19. 在中， ABC 60 ，为 BC 边上的高， ，则 BC 的长为 ABC AD AD 6 3,CD 1 ___________． 【答案】7 或 5 【解析】 【分析】 如图所示，分 D 在 BC 之间和 BC 延长线上两种情况考虑，先由 ABC 60 求出 BD，再求出 BC 的长． 【详解】解：如图，∵在 Rt△ABD 中， ABC 60 ，，AD 6 3 AD BD 6 3 tan ABC ∴∴，即： ， 3 BD BD 6 ，当 D 在 BC 之间时，BC=BD+CD=6+1=7； 当 D 在 BC 延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5； 故答案为：7 或 5． 的【点睛】此题主要考查了解三角形，根据已知得出两种符合要求 图形，即三角形为钝角三角形或锐角三 角形分别分析是解题关键． AC, BD 20. 如图，在菱形 中，对角线 相交于点 O，点 E 在线段 BO 上，连接 AE，若 ，ABCD CD 2BE ，EO 1,则线段 AE 的长为_____． DAE DEA 【答案】 2 2 【解析】 【分析】 1OE= x 1 设 BE=x，根据菱形性质可得到 AB= AD=CD=2x，进而得到 ，解得 x 值，根据勾股定理即可求 2得 AE 值． 【详解】解：设 BE=x， ∵菱形 ，ABCD ∴AB= AD=CD=2x， ∵∴，DAE DEA DE=AD=2x ,∴BD=3x， 32x∴OB=OD= ，，1OE= x 1 ∴2∴x=2， ∴AB=4，BE=2， 22∴，OA AB OB 7 22∴,AE OA OE 7 1 2 2 故答案为： ．2 2 【点睛】本题考查菱形的性质结合勾股定理的应用，熟练掌握菱形性质是解题的关键． 三、解答题 2×2 1 21. 1 先化简，再求代数式 的值，其中 x 4cos301 x 1 2x 2 233【答案】原式 ，x 1 【解析】 【分析】 3先根据分式的运算法则化简，再利用 求得 x 的值，代入计算即可． cos30° 2x 1 2 (x 1)(x 1) =【详解】解：原式 x 1 2(x 1) x 1 2(x 1) =x 1 (x 1)(x 1) 2=，x 1 ∵，x 4cos301 3∴x 4 1 2， 2 31 2=∴原式 2 311 2=2 3 3．=3【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，二次根式的计算，熟练掌握相关运算法则是 解决本题的关键． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1，线段 AB 和线段 CD 的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以 AB 为边的正方形 ABEF ，点 E 和点 F 均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以 CD 为边的等腰三角形 连接 EG，请直接写出线段 EG 的长． ，点 G 在小正方形的顶点上，且 的周长为 ，CDG CDG 10 10 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，EG= .5【解析】 【分析】 （1）根据正方形的判定作图可得； （2）根据等腰三角形与勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，正方形 ABEF 即为所求； 22（2）如图所示，△CDG 即为所求，由勾股定理，得 EG= .1 2 5 【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的 关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 23. 为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕在绘 画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢的哪一类？的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进 行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数 占所调查人数的30%，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生； （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若冬威中学共有 800 名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名． 【答案】（1）50；（2）见解析；（3）320 【解析】 【分析】 （1）根据最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的 30%求出总人数即可； （2）先求出最喜欢舞蹈的学生人数，进而补全条形统计图即可； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）15÷30%＝50（名）， 答：本次调查共抽取了 50 名学生； （2）50﹣15﹣20﹣5＝10（名）， 补全条形统计图如图所示： 20 （3）800× ＝320（名）， 50 答：估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有 320 名． 【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关 键． AD, AE ．24. 已知，在 中， ，点 D，点 E 在 BC 上， ,连接 ABC AB AC BD CE （1）如图 1，求证： ；AD AE （2）如图 2，当 时，过点 B 作 ，交 AD 的延长线于点 F，在不添加任何辅助 BF / /AC DAE C 45 线的情况下，请直接写出图 2 中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于 45°． 【答案】（1）证明见解析；（2） 、、、CAD ．ADE △ BAE BDF 【解析】 【分析】 （1） 可得 ，进而利用 SAS 证明ABD ACE ，即可得出结论； AB AC ∠ABC ACB （2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图 1， AB AC B C ，，在和中， △ACE △ABD AB AC B C BD CE ，∴∴（SAS）， ABD ACE ；AD AE （2）顶角为 45°的等腰三角形有以下四个： 、ADE △ BAE 、CAD 、．BDF 证明：∵ C 45 ，，AB AC ∴，ABC ACB 45 ACB 90 ，DAE 45 DAE 45 ；∵∴，，即： 是等腰三角形， AD AE ADE 180 45 ADE AED 67.5 ，2∴∴∴∴∵，，BAD CAE 67.5 45 22.5 BAE CAD 22.5 45 67.5 BAE BEA CAD CDA 67.5 ，CA CD BF / /AC 、即： 、△ BAE CAD 是等腰三角形， ABC ACB 45 ，AB AE ∴∠DBF=∠C=45°， ，F CAD 67.5 又∵ ，BDF ADC 67.5 ∴∴，BDF F 67.5 、即： 是等腰三角形， DBF 45 ．BD BF BDF 【点睛】本题考察了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题 关键． 25. 昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买 1 个大地球仪和 3 个小地球仪需要 136 元； 若购买 2 个大地球仪和 1 个小地球仪需要 132 元． （1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元； （2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共 30 个，总费用不超过 960 元，那么昌云中学最多可以购买多少 个大地球仪． 【答案】（1）每个大地球仪 52 元，每个小地球仪 28 元；（2）昌云中学最多可以购买 5 个大地球仪． 【解析】 【分析】 （1）设每个大地球仪 x 元，每个小地球仪 y 元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设昌云中学可以购买 m 个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设每个大地球仪 x 元，每个小地球仪 y 元， x 3y 136 2x y 132 由题意可得 ，x 52 y 28 解得： ，答：每个大地球仪 52 元，每个小地球仪 28 元； （2）设昌云中学可以购买 m 个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个， 根据题意得 52m+28(30-m)≤960 解得 m≤5 ∴昌云中学最多可以购买 5 个大地球仪． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，根据题意列出式子是解题 关键． 26. 已知 O O AD BC 的直径， ，垂足为E，连接 BO，延长 BO 交 AC 于 是ABC 的外接圆，AD 为 点 F． （1）如图 1，求证： ；BFC 3CAD O （2）如图 2，过点 D 作 ，交 于点 G，点 H 为 GD 的中点，连接 OH，求证： ；DG // BF BE OH 9 2 DG DE,AOF （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CG，若 的面积为 ，求线段 CG 的长． 52 6 3【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）CG= ．【解析】 【分析】 （ 1 ） 先 推 出 ∠BAD=∠CAD ， 然 后 根 据 圆 周 角 定 理 可 得 出 ∠BOD=2∠BAD=2∠CAD ， 根 据 ∠BOD=∠AOF，可得出∠AOF=2∠CAD，根据∠BFC=∠AOF+∠CAD，即可证明结论； （2）连接 OG，证明△OBE≌△DOH，即可证明结论； （3）连接 AG，过 A 点作 AM⊥CG 于点 M，过 F 点作 FN⊥AD 于点 N，先推出 DE=2OE，设 OE=m，则 DE=2m，OB=OD=OA=3m，AE=4m，根据勾股定理得出 CE=BE= ，再求出 2 2m BE OE CE AE 2 2m 2 2m 4m 2tan∠BOE= ==，tan∠EAC= ==，根据 tan∠AOF=tan∠BOE= ，得出 2 2 2 2 m2NF NF 2 2a 2=，设 ON=a，则 NF= a，可得 tan∠EAC= ，解出 AN，根据 2 2 2 2 ON AN AN 23129 2 5AN+NO=AO，解出 a= m，再根据 S△AOF =·OA·FN= ，可求出 m=1，可得出 DH=1，OD=3， 5BE=CE=OH= ，AE=4，根据勾股定理可得 AC= ，根据 OD=OA，DH=HG，得出 AG=2OH= ，2 6 2 2 4 2 2 6 8 3 34 6 3推出 cos∠ADG=cos∠ACM，即可求出 CM= ，利用勾股定理可得 AM= ，GM= ，即可得出 3答案． O AD BC ，【详解】解：（1）∵AD 为 的直径， ∴，BE=CE， BD=CD ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠BOD=2∠BAD， ∴∠BOD=2∠CAD， ∵∠BOD=∠AOF， ∴∠AOF=2∠CAD， ∵∠BFC=∠AOF+∠CAD， ∴∠BFC=2∠CAD+∠CAD=3∠CAD； （2）连接 OG， ∵点 H 为 GD 的中点，OG=OD， ∴DH=GH，OH⊥DG， ∵AD⊥BC， ∴∠AEB=∠OHD=90°， ∵DG∥BF， ∴∠BOH=∠OHD=90°， 即∠DOH+∠BOD=90°， ∵∠BOD+∠OBE=90°， ∴∠OBE=∠DOH， 又∵OB=OD， ∴△OBE≌△DOH， ∴BE=OH； （3）如图，连接 AG，过 A 点作 AM⊥CG 于点 M，过 F 点作 FN⊥AD 于点 N， 由（2）可知 DH=OE， ∵DG=2DH=2OE，DG=DE， ∴DE=2OE， 设 OE=m，则 DE=2m， ∴OB=OD=OA=3m， ∴AE=4m， OB2 OE2 在 Rt△OBE 中，BE= =，2 2m BE OE CE AE 2 2m 2 2m 4m 2∴CE=BE= ，tan∠BOE= ==，tan∠EAC= ==，2 2m 2 2 m2∵tan∠AOF=tan∠BOE= ，2 2 NF ∴=，2 2 ON 设 ON=a，则 NF= a， 2 2 NF 2 2a 2∴tan∠EAC= ∴AN=4a， ，AN AN 2∵AN+NO=AO， ∴4a+a=3m， 3∴a= m， 536 2 5∴FN= ×m= m， 2 2 519 2 ∵S△AOF =·OA·FN= ，2516 2 59 2 5∴·3m· m= ，2∴m2=1， ∴m=±1， ∵m>0， ∴m=1， ∴DH=1，OD=3，由（2）得 BE=CE=OH= ，AE=4， 2 2 AE2 CE2 在 Rt△AEC 中 AC =，2 6 ∵OD=OA，DH=HG， ∴AG=2OH= ，4 2 ∵∠ADG+∠ACG=180°，∠ACM+∠ACG=180°， ∴∠ADG=∠ACM， ∴cos∠ADG=cos∠ACM， DH CM ∴∴，DO AC 1 CM =，32 6 2 6 ∴CM= ，38 3 3AC2 CM 2 AG2 AM 2 在 Rt△ACM 中，AM= ==，，4 6 3在 Rt△AGM 中，GM= 2 6 ∴CG=GM-CM= ．3的【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形 性质和判定，锐角三角函数，垂径定理，勾股定理，掌握 知识点灵活运用是解题关键． yx27. 已知，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 O与轴的正半轴交于点 A，与 轴的负半轴交 AB 3xy x，过 于点 B， OA OB ，过点 A 作 轴的垂线与过点O 的直线相交于点 C，直线 OC 的解析式为 4CM y M ,OM 9 点 C 作 轴，垂足为 的解析式； ．（1）如图 1，求直线 AB （2）如图 2，点 N 在线段 上，连接 ON，点 P 在线段 ON 上，过 P 点作 PD x 轴，垂足为 D，交 OC MC PE 于点 E，若 ，求 的值； NC OM OD （3）如图 3，在（2）的条件下，点 F 为线段 AB 上一点，连接 OF，过点 F 作 OF 的垂线交线段 AC 于点 xxQ，连接 BQ，过点 F 作 轴的平行线交BQ 于点 G，连接 PF 交 轴于点H，连接 EH，若 ，求点 P 的坐标． DHE DPH,GQ FG 2AF 912 36 ,y x 12 P( )．【答案】（1） ；（2） ；（3） 45 5 【解析】 【分析】 （1）根据题意求出 A，B 的坐标即可求出直线 AB 的解析式； （2）求出 N（3,9），以及 ON 的解析式为 y=3x，设 P（a，3a），表达出 PE 及 OD 即可解答； （3）如图，设直线 GF 交 CA 延长线于点 R，交 y 轴于点 S，过点 F 作 FT⊥x 轴于点 T，先证明四边形 OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS≌△FQR，得到 SF=QR，进而证明△BSG≌△QRG，得到 SG=RG=6，设 FR=m，根据 ，以及在 Rt△GQR 中利用勾股定理求出 m 的值，得到 FS=8，AR=4，证 GQ FG 2AF DE DH 明四边形 OSFT 为矩形，得到 OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH，利用正切函数的定义得到 ，从 DH PD 3a而得到 DH= ，根据∠PHD=∠FHT，得到 HT=2，再根据 OT=OD+DH+HT，列出关于 a 的方程即可求出 a 2的值，从而得到点 P 的坐标． 【详解】解：（1）∵CM⊥y 轴，OM=9， 39 x，解得：x=12， ∴当 y=9 时， ∴C（12,9）， 4∵CA⊥x 轴，则 A（12,0）， ∴OB=OA=12，则 B（0，-12）， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 12k b 0 k 1 ∴，解得： ，b 12 b 12 y x 12 ∴；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°， ∴四边形 MOAC 为矩形， ∴MC=OA=12， ∵NC=OM， ∴NC=9，则 MN=MC-NC=3， ∴N（3,9） y k x 设直线 ON 的解析式为 将 N（3，9）代入得： ，19 3k k 3 1 ，解得： ，1∴y=3x， 设 P（a，3a） ∵PD⊥x 轴交 OC 于点 E，交 x 轴于点 D， 3D(a,0) E(a, a) ∴，，4393a a a ∴PE= ，OD=a， 4494aaPE 94∴；OD （3）如图，设直线 GF 交 CA 延长线于点 R，交 y 轴于点 S，过点 F 作 FT⊥x 轴于点 T， ∵GF∥x 轴， ∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR， ∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°， 则四边形 OSRA 为矩形， ∴OS=AR，SR=OA=12， ∵OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=45°， ∴∠FAR=90°-∠AFR=45°， ∴∠FAR=∠AFR， ∴FR=AR=OS， ∵QF⊥OF， ∴∠OFQ=90°， ∴∠OFS+∠QFR=90°， ∵∠SOF+∠OFS=90°， ∴∠SOF=∠QFR， ∴△OFS≌△FQR， ∴SF=QR， ∵∠SFB=∠AFR=45°， ∴∠SBF=∠SFB， ∴BS=SF=QR， ∵∠SGB=∠RGQ， ∴△BSG≌△QRG， ∴SG=RG=6， 设 FR=m，则 AR=m， ∴QR=SF=12-m， 22∴AF= ，FR AR 2m ∵，GQ FG 2AF ∴GQ= ，2 2m 6 m m 6 22∵QG2=GR2+QR2，即 ∴FS=8，AR=4， 2 ，解得：m=4， (m 6) 6 (12 m) ∵∠OAB=∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR， ∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°， ∴四边形 OSFT 为矩形， ∴OT=FS=8， ∵∠DHE=∠DPH， ∴tan∠DHE=tan∠DPH， DE DH ∴，DH PD 34a由（2）可知，DE= ，PD=3a， 34DH 32aDH a，∴，解得：DH= 3a PD 3a 2 3∴tan∠PHD= ，DH a2∵∠PHD=∠FHT， TF 2 ∴tan∠FHT= ∴HT=2， ，HT ∵OT=OD+DH+HT， 3a a 2 8 ∴，212 ∴a= ，512 36 ,P( )∴5 5 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等 三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助 线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答． 本试卷的题干 0635
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