重庆市 2020 年初中学业水平暨高中招生考试 数学试题（A 卷） 一、选择题 1. 下列各数中，最小的数是（ ）A. B. C. D. 2－3 01A【答案】 【解析】 【分析】 00有理数的大小比较法则：正数大于 ，负数小于 ，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】∵ ，3 0 1 2 ∴最小的数是-3， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完 成． 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 在今年举行的第 127 届“广交会”上，有近 26000 家厂家进行“云端销售”．其中数据 26000 用科学记数法表 示为（ ）26103 2.6104 0.26105 2.6103 A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 a×10n 1≤|a| 10 nn， 为整数．确定的值时，要看把原数变成 时， a科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ＜n10 n小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞时， 是正数；当原数的绝 1n对值＜ 时， 是负数． 4【详解】 ，26000 2.610 故选：C． n 的形式，其中 a×10 1≤|a| 10 n ＜ ，为 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 an整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值． 4. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 1 个黑色三角形，第②个图案中有 3 个黑 色三角形，第③个图案中有 6 个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数 为（ ）A. 10 B. 15 C. 18 D. 21 B【答案】 【解析】 【分析】 根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第 n 个图案中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+……+n，据此可得第 ⑤个图案中黑色三角形的个数． 【详解】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为 1， 第②个图案中黑色三角形的个数 3＝1+2， 第③个图案中黑色三角形的个数 6＝1+2+3， …… ∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+5＝15， 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第 n 个图案中黑色三角形 的个数为 1+2+3+4+……+n． 5. 如图，AB 是 O 的切线，A 切点，连接 OA，OB，若 B 20，则 AOB 的度数为（ ）A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° D【答案】 【解析】 【分析】 根据切线的性质可得 OAB 90° ，再根据三角形内角和求出 AOB O .【详解】∵AB 是 的切线 ∴∵∴OAB 90° B 20 AOB 180 OAB B 70 故选 D. 【点睛】本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键. 6. 下列计算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 2 3 5 2 3 6 2 3 2 3 2 2 2 2 C【答案】 【解析】 【分析】 根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案． 【详解】解：A． 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； 与32B．2 与 C． 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； ，此选项计算正确； 22 3 23 6 D．2 与﹣2 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； 3故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概 念． 1213(x 1) 1 x时，去分母正确的是（ 7. 解一元一次方程 ）3(x 1) 1 2x 2(x 1) 1 3x 3(x 1) 6 2x A. B. D. 2(x 1) 6 3x C. D【答案】 【解析】 【分析】 根据等式的基本性质将方程两边都乘以 6 可得答案． 【详解】解：方程两边都乘以 6，得： 3（x+1）＝6﹣2x， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质． B(1,1) A(1,2) C(3,1) ，以原点为位似中心， 8. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是 ，，在原点的同侧画 ，使 与 ABC 成位似图形，且相似比为 2：1，则线段 DF 的长度为（ ）DEF DEF A. B. 2 C. 4 D. 52 5 D【答案】 【解析】 【分析】 把 A、C 的横纵坐标都乘以 2 得到 D、F 的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段 DF 的长． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为 2：1， 而 A（1，2），C（3，1）， ∴D（2，4），F（6，2）， 22∴DF＝ =，2 6 ＋ 4 2 2 5 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那 的么位似图形对应点 坐标的比等于k 或−k． 9. 如图，在距某居民楼 AB 楼底 B 点左侧水平距离 60m 的 C 点处有一个山坡，山坡 CD 的坡度（或坡比） CD 45m C 点到坡顶 D 点的距离 ，在坡顶 D 点处测得居民楼楼顶 A 点的仰角为 i 1:0.75，山坡坡底 28°，居民楼 AB 与山坡 CD 的剖面在同一平面内，则居民楼 AB 的高度约为（ （参考数据：sin 28 0.47 ），cos28 0.88 ，tan 28 0.53 ）A. 76.9m B. 82.1m C. 94.8m D. 112.6m B【答案】 【解析】 【分析】 构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出 DE、EC、BE、DF、AF，进而求 出 AB． 【详解】解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60， 在 Rt DEC 中， ∵山坡 CD 的坡度 i＝1：0.75， DE 143∴＝＝，EC 0.75 设 DE＝4x，则 EC＝3x， 由勾股定理可得 CD＝5x， 又 CD＝45，即 5x＝45， ∴x＝9， ∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB， ∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF， 在 Rt ADF 中， AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11， ∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提． 3x 1 2x a x 3 y a 3y 4 y 2 y 2 y；且关于 的分式方程 1 有x a 10. 若关于 x 的一元一次不等式结 的解集为 正整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之积是（ ）A. 7 B. －14 C. 28 D. －56 A【答案】 【解析】 【分析】 不等式组整理后，根据已知解集确定出 a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负 整数解，确定出 a 的值，求出之和即可． 3x 1 x 3 【详解】解：解不等式 ，解得 x≤7， 2x 7 ∴不等式组整理的 ，x a 由解集为 x≤a，得到 a≤7， 分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即 3y−2＝a， a+2 解得：y＝ ，3由 y 为正整数解且 y≠2，得到 a＝1，7， 1×7＝7， 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11. 如图，三角形纸片 ABC，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，把 沿着 AD 翻折，得到 ，DE AED △ABD 与 AC 交于点 G，连接 BE 交 AD 于点 F.若 ，AF 3 ，，ADG 的面积为 2，则点 F DG GE BF 2 到 BC 的距离为( )52 5 54 5 54 3 3A. B. C. D. 5B【答案】 【解析】 【分析】 1首先求出 ABD 的面积．根据三角形的面积公式求出 DF，设点 F 到 BD 的距离为 h，根据 •BD•h＝ 21•BF•DF，求出 BD 即可解决问题． 2【详解】解：∵DG＝GE， ∴S△ADG＝S△AEG＝2， ∴S△ADE＝4， 由翻折可知， ADB≌ ADE，BE⊥AD， ∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°， 1∴ •（AF+DF）•BF＝4， 21∴ •（3+DF）•2＝4， 2∴DF＝1， BF2 DF2 12 22 ∴DB＝ ＝＝，5设点 F 到 BD 的距离为 h， 11则 •BD•h＝ •BF•DF， 222 5 5∴h＝ ，故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点与坐标原点重合，点 E 是 x 轴上一点，连 ky (k 0, x 0) 接 AE．若 AD 平分 ，反比例函数 的图象经过 AE 上的两点 A，F，且 ，OAE AF EF x的面积为 18，则 k 的值为（ ）△ABE A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 B【答案】 【解析】 【分析】 k先证明 OB∥AE，得出 S△ABE=S△OAE=18，设 A 的坐标为（a， ），求出F 点的坐标和 E 点的坐标，可得 ak1S△OAE= ×3a× =18，求解即可． 2a【详解】解：如图，连接 BD， ∵四边形 ABCD 为矩形，O 为对角线， ∴AO=OD， ∴∠ODA=∠OAD， 又∵AD 为∠DAE 的平分线， ∴∠OAD=∠EAD， ∴∠EAD=∠ODA， ∴OB∥AE， ∵S△ABE=18， ∴S△OAE=18， k设 A 的坐标为（a， ）， a∵AF=EF， k∴F 点的纵坐标为 ，2a k代入反比例函数解析式可得 F 点的坐标为（2a， ∴E 点的坐标为（3a，0）， ）， 2a k1S△OAE= ×3a× =18， 2a解得 k=12， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出 S△ABE=S△OAE=18 是解题关 键． 二、填空题 013. 计算： __________． ( 1) | 2 | 【答案】3 【解析】 【分析】 根据零指数幂及绝对值计算即可． 【详解】 ( 1)0 | 2 |1+2=3 ； 故答案为 3． 【点睛】本题比较简单，考查含零指数幂的简单实数混合运算，熟记公式 x0 1(x 0) 是关键． 14. 若多边形的内角和是外角和的 2 倍，则该多边形是_____边形. 【答案】六 【解析】 【分析】 n设这个多边形的边数为 ，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可． n【详解】设这个多边形的边数为 ，n 2 180 2360 ∴，解得： ，n 6 故答案为：六． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，是基础知识要熟练掌握内角和公式和外角和公式． 15. 现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝 上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取 的数字分别记为 m，n，则点 P（m，n）在第二象限的概率为__________． 3【答案】 16 【解析】 【分析】 画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点 P（m，n）在第二象限的结 果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中点 P（m，n）在第二象限的结果数为 3， 3所以点 P（m，n）在第二象限的概率＝ ．16 3故答案为： ．16 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合 事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．也考查了点的坐标． 16. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，分别以点 A，C 为圆心，以 AO 的长为半 径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留 ）【答案】 4 【解析】 【分析】 S SABCD 2S 扇形 ，由正方形的性质可求得扇形的半径，利用扇形面积公式求出扇形的面 根据图形可得 阴影 积，即可求出阴影部分面积． 【详解】由图可知， S阴影 SABCD 2S扇形 ，SABCD 22 4 ，∵四边形 ABCD 是正方形，边长为 2， ∴，AC=2 2 的∵点 O 是 AC 中点， ∴OA= ，290 ( 2)2 360 2∴,S扇形 S∴ SABCD 2S =4- ，阴影 扇形 故答案为： 4 ．【点睛】本题考查了求阴影部分面积，扇形面积公式，正方形的性质，解题的关键是观察图形得出 S阴影 SABCD 2S扇形 ．17. A，B 两地相距 240 km，甲货车从 A 地以 40km/h 的速度匀速前往 B 地，到达 B 地后停止，在甲出发的 同时，乙货车从 B 地沿同一公路匀速前往 A 地，到达 A 地后停止，两车之间的路程 y（km）与甲货车出发 0，240 时间 x（h）之间的函数关系如图中的折线CD DE EF 所示．其中点 C 的坐标是 2.4，0 ，点 D 的坐标 是，则点 E 的坐标是__________． 4,160 【答案】 【解析】 【分析】 先根据 CD 段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点 E 表示的意义，由此即可得出答 案． 【详解】设乙货车的行驶速度为 akm/h 由题意可知，图中的点 D 表示的是甲、乙货车相遇 0,240 2.4,0 ，点 D 的坐标是 点 C 的坐标是 402.4 96(km) 2.4h 此时甲、乙货车行驶的时间为 ，甲货车行驶的距离为 ，乙货车行驶的距离为 240 96 144(km) a 144 2.4 60(km/h) 240 60 4(h) 乙货车从 B 地前往 A 地所需时间为 由此可知，图中点 E 表示的是乙货车行驶至 A 地，EF 段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至 B 地 40 4 160 则点 E 的横坐标为 4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即 (4,160) 即点 E 的坐标为 (4,160) 故答案为： ．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象是解题关键． 18. 火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三 种方式经营，6 月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为 3：5：2．随着促进消费政策的出 2台，该火锅店老板预计 7 月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ，则摆摊的 57营业额将达到 7 月份总营业额的 ，为使堂食、外卖 7 月份的营业额之比为 8：5，则 7 月份外卖还需增 20 加的营业额与 7 月份总营业额之比是__________． 1【答案】 8【解析】 【分析】 先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案． 【详解】解：设 6 月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为 3k，5k，2k，7 月份总增加的营 2业额为 m，则 7 月份摆摊增加的营业额为 m，设 7 月份外卖还需增加的营业额为 x． 57∵7 月份摆摊的营业额是总营业额的 ，且 7 月份的堂食、外卖营业额之比为 8：5， 20 ∴7 月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为 8：5：7， ∴设 7 月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为 8a，5a，7a， 33k m x 8a 55k x 5a 由题意可知： ，2m 2k 7a 51k a 25x a 解得： ，2m 15a 5ax18∴，28a 5a 7a 20a 1故答案为： ．8【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意设出相应的未知数，结合题目中的等量关系列 出方程组是解决本题的关键． 三、解答题 mm2 9 m2 6m 9 21 19. 计算：（1） ；（2） ．(x y) x(x 2y) m 3 3【答案】（1） 2×2 y2 ；（2） m 3 【解析】 【分析】 （1）利用完全平方公式和整式乘法展开后合并同类型即可； （2）先把分子分母因式分解，然后按顺序计算即可； 222【详解】（1）解：原式 2×2 y2 x 2xy y x 2xy m 3 m (m 3)2 m 3 (m 3)(m 3) （2）解：原式 3(m 3)2 m 3 (m 3)(m 3) 3m 3 【点睛】本题考查整式的运算和分式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键． 20. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测 试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩（满分 10 分，6 分及 6 分以上为合格）进 行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级 20 名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级 平均数 7.5 众数 中位数 8 分及以上人数所占百分比 七年级 八年级 a7b45% c7.5 8八年级 20 名学生的测试成绩条形统计图如图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的 a，b，c 的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一 条理由即可）； （3）该校七、八年级共 1200 名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是 多少？ c 50% ；（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据， 【答案】（1） ，a 7 b 7.5 ，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比比七年级的高；（3）估计参 加此次测试活动成绩合格的人数有 1080 人 【解析】 【分析】 （1）七年级 20 名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出 a 的值，由条形统计图即可得出八年 级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级 8 分及以上人数除以总人数 20人即可得出 c的值； （2）分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比即可得出结论； 的（3）用七八年级 合格总人数除以总人数40人，得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比，再乘以 1200 即可得出答案． 【详解】解：（1）七年级 20 名学生的测试成绩的众数是：7， ∴，a 7 7 8 2 7.5 由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是： ，∴，b 7.5 八年级 8 分及以上人数有 10人，所占百分比为：50% c 50% ∴，（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、 中位数、8 分及以上人数所占百分比比七年级的高； （3）七年级合格人数：18 人， 八年级合格人数：18 人， 18 18 1200 100% 1080 人， 40 答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有 1080 人． 【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，条形统计图等知识，熟练掌握平均数的求法，众数、中位数 的概念是解决本题的关键． 21. 如图，在平行四边形 ABCD AC BD ，O相交于点 ，分别过点 ， 作 A C 中，对角线 ．，CF BD ，AE BD EFAC 垂足分别为 ，． 平分 DAE AOE 50 ACB 的度数； 1（ ）若 ，求 2（ ）求证：AE CF ．ACB 40 1【答案】（ ） 2；（ ）见解析 【解析】 【分析】 1（ ）利用三角形内角和定理求出 ，利用角平分线的定义求出 DAC ，再利用平行线的性质解决问 EAO 题即可． DAEO @DCFO(AAS) 2（ ）证明 可得结论． 1【详解】（ ）解： AE BD ，AEO 90 ，QÐAOE = 50° \ ÐEAO = 40° CA平分 ，，，DAE \ ÐDAC = ÐEAO = 40° ，四边形 是平行四边形， ABCD AD / /BC ，，ACB DAC 40 （ ）证明：四边形 2是平行四边形， ABCD OA OC ， AE BD ，CF BD ，\ ÐAEO = ÐCFO = 90° ，，AOE COF \ DAEO @DCFO(AAS) ，∴ AE =CF ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的知 识点． 22. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过 6x x2 1 y 程．以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； x……－5 －4 －3 －2 －1 －3 00132345……6x 15 12 12 524 15 17 13 24 y x2 1 17 13 5（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在 相应的括号内打“×”； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 y 轴；( )②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当 时，函数取得最大值 3；当 时，函数 x 1 x 1 取得最小值－3；( )1 x 1 ③当 x 1 或x 1时，y 随 x 的增大而减小；当 时，y 随 x 的增大而增大；( )6x x2 1 2x 1 的解集 y 2x 1 （3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 （保留 1 位小数，误差不超过 0.2）． 9595【答案】（1） ，；（2）①× ②√ ③√；（3）x＜−1 或−0.3＜x＜1.8． 【解析】 【分析】 （1）代入 x=3 和 x=-3 即可求出对应的 y 值，再补全函数图象即可； （2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断； （3）根据图象求解即可． 6x x2 1 18 9 1 95y 【详解】解：（1）当 x=-3 时， ，6x x2 1 18 9y 当 x=3 时， ，9 1 5函数图象如下： （2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形； 故答案为：× ， ②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当 时，函数取得最大值 3； x 1 当时，函数取得最小值－3； x 1 故答案为：√ ， 1 x 1 时，y 随 x 的增大而增大； ③观察函数图象可得：当 x 1 故答案为：√． 或x 1时，y 随 x 的增大而减小；当 0.28 x 1.78(0.28 0.2 x 1.78 0.2) (x 1) 2×2 3x 1 0 （3） x 1 6x x2 1 ， 2x 1 时， 3 17 3 17 x 1 得，x2 1.8 ，x3 0.3 ，144故该不等式的解集为： x＜−1 或−0.3＜x＜1.8． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象， 利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 23. 在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用 整数的除法运算来研究一种数——“差一数”． 定义：对于一个自然数，如果这个数除以 5 余数为 4，且除以 3 余数为 2，则称这个数为“差一数”． 14 5 24 14 3 42 例如： ，，所以 14 是“差一数”； ，所以 19 不是“差一数”． 19 5 34 19 3 61 ，但 （1）判断 49 和 74 是否为“差一数”？请说明理由； （2）求大于 300 且小于 400 的所有“差一数”． 【答案】（1）49 不是“差一数”， 74 是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389 【解析】 【分析】 （1）直接根据“差一数”的定义计算即可； （2）根据“差一数”的定义可知被 5 除余 4 的数个位数字为 4 或 9；被 3 除余 2 的数各位数字之和被 3 除余 2，由此可求得大于 300 且小于 400 的所有“差一数”． 49 5 94 49 3 161 【详解】解：（1）∵ ∴49 不是“差一数”， ；，74 5 144 74 3 242 ；∵，∴74 是“差一数”； （2）∵“差一数”这个数除以 5 余数为 4， ∴“差一数”这个数的个位数字为 4 或 9， ∴大于 300 且小于 400 的符合要求的数为 304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、 359、364、369、374、379、384、389、394、399， ∵“差一数”这个数除以 3 余数为 2， ∴“差一数”这个数的各位数字之和被 3 除余 2， ∴大于 300 且小于 400 的所有“差一数”为 314、329、344、359、374、389． 【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，本题用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数是解 决本题的关键． 24. 为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技 小组对 A、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 A、B 两个品种各种植了 10 亩．收获后 A、B 两个 品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克，A、B 两个品种全部售出后总收入 为 21600 元． （1）求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ （2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 A、B 两个品种平 均亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%．由于 B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基 20 a% 础上上涨 a%，而 A 品种的售价保持不变，A、B 两个品种全部售出后总收人将增加 ，求 a 的值． 9【答案】（1）A 品种去年平均亩产量 是400、B 品种去年平均亩产量是 500 千克；（2）10． 【解析】 【分析】 （1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x、y 千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据题意分别表示 A 品种、B 品种今年的收入，利用总收入等于 A 品种、B 品种今年的收入之和，列 出一元二次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x、y 千克，由题意得 y x 100 ，2.410x 2.410y 21600 x 400 y 500 解得 ．答：A．B 两个品种去年平均亩产量分别是 400、500 千克 20 24400 1 a% 24 1 a% 500 1 2a% 21600 1 a% （2）根据题意得： ．920 924400 1 m 24 1 m 500 1 2m 21600 1 m令 a%=m，则方程化为： 整理得 10m2-m=0， ．解得：m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1 所以 a%=0.1，所以 a=10， 答：a 的值为 10． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方 法与步骤是解题的关键． 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y x2 bx c 与直线 AB 相交于 A，B 两点，其中 25. A 3,4 B 0,1 ，．（1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 P 为直线 AB 下方抛物线上的任意一点，连接 PA，PB，求 面积的最大值； △PAB y a x2 b x c a 0 （3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度得到抛物线 1 ，平移后的抛物线与原抛物 111线相交于点 C，点 D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 E，使以点 B，C，D，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 27 【 答 案 】（ 1 ） y x2 4x 1；（ 2 ） 面 积 最 大 值 为 ；（ 3 ） 存 在 ， △PAB 8E1(1，2)，E2 (3， 4 6)，E3 (3， 4 6), E4 (1， 3) 【解析】 【分析】 （1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； P a,a2 4a 1 y kx b ，求得解析式，过点 P 作 x 轴得垂线与直线 AB 交于点 F，设点 （2）设 ，则 AB 21233227 8F(a,a 1) S| PF | xB xA ，，即可求解； a PAB 2（3）分 BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可． A(3,4) B(0,1) ，【详解】解：（1）∵抛物线过 9 3b c 4 c 1 ∴∴b 4 c 1 ∴y x2 4x 1 y kx b A 3,4 B(0,1) y代入 AB （2）设 ，将点 AB y x 1 ∴AB 过点 P 作 x 轴得垂线与直线 AB 交于点 F P a,a2 4a 1 F(a,a 1) ，则 设点 由铅垂定理可得 1SPAB | PF | xB xA 23a 1 a2 4a 1 232a2 3a 233227 8 a 227 ∴面积最大值为 △PAB 8（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5， 则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5， x＝1 y＝ 4 联立上述两式并解得： ，故点 C（−1，−4）； 设点 D（−2，m）、点 E（s，t），而点 B、C 的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当 BC 为菱形的边时， 点 C 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到 B，同样 D（E）向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到 E （D）， 即−2＋1＝s 且 m＋3＝t①或−2−1＝s 且 m−3＝t②， 当点 D 在 E 的下方时，则 BE＝BC，即 s2＋（t＋1）2＝12＋32③， 当点 D 在 E 的上方时，则 BD＝BC，即 22＋（m＋1）2＝12＋32④， 联立①③并解得：s＝−1，t＝2 或−4（舍去−4），故点 E（−1，2）； 联立②④并解得：s＝-3，t＝-4± ②当 BC 为菱形的的对角线时， ，故点 E（-3，-4＋ ）或（-3，-4− 6）； 66则由中点公式得：−1＝s−2 且−4−1＝m＋t⑤， 此时，BD＝BE，即 22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥， 联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3， 故点 E（1，−3）， 综上，点 E 的坐标为：（−1，2）或 (3， 4 6)，或 (3， 4 6) 或（1，−3）． ∴存在， E1(1，2)，E2 (3， 4 6)，E3 (3， 4 6), E4 (1， 3) 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计 算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 26. 如图，在 中， BAC 90 ，，点 D 是 BC 边上一动点，连接 AD，把 AD 绕点 A 逆 RtABC AB AC 时针旋转 90°，得到 AE，连接 CE，DE．点 F 是 DE 的中点，连接 CF． 2（1）求证： ；AD CF 2（2）如图 2 所示，在点 D 运动的过程中，当 BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论； 时，分别延长 CF，BA，相交于点 G，猜想 AG 与 BD 2CD （3）在点 D 运动的过程中，在线段 AD 上存在一点 P，使 PA PB PC 的值最小．当 PA PB PC 值取得最小值时，AP 的长为 m，请直接用含 m 的式子表示 CE 的长． 的3 3 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） CE mBC 3 2AG 2【解析】 【分析】 的（1）先证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形 性质和等腰直 角三角形的性质可得结论； ACE ABD 45 （2）由（1）得 ，ABD ACE CE BD ，，推出 DCB BCA ACE 45 45 90 ，然后根据现有条件说明 2222在中， ，点 A，D，C，E 四点共圆，F 为圆心，则 Rt△DCB DE CD CE CD BD 5CD 18 2AG CG2 AC2 5CD2 CD2 CD ，即可得出答案； ，在 中，推出 CF AF RtAGC 42a（3）设点 P 存在，由费马定理可得 APB BPC CPA 120，设 PD 为 ，得出 ，，得出 ，解出a，根据 即可得出答案． BD CE BD 3a AD BD 3a a m 3a 【详解】解：（1）证明如下：∵ BAC DAE 90 ，∴∵，BAD CAE ，，AB AC AD AE BAD CAE AB AC AD AE ∴在 和中，△ACE △ABD ∴，ABD ACE ∴∴在∴，ABD ACE 45 DCE ACB ACE 90 ，中，F 为 DE 中点（同时 ）， ，Rt△ADE ADE AED 45 AD AE ，即 为等腰直角三角形， RtADF AF DE 2∴，AF DF AD 2∵∴CF DF ，2；AD CF 2ACE ABD 45 ，（2）由（1）得 ，ABD ACE CE BD ，DCB BCA ACE 45 45 90 ∴在，2222中， ，Rt△DCB DE CD CE CD BD 5CD ∵F 为 DE 中点， 15∴，CD DE EF DE 22CAG DCE 90 CZG DCE 180 ， ， 在四边形 ADCE 中，有 ∴点 A，D，C，E 四点共圆， ∵F 为 DE 中点， ∴F 为圆心，则 ，CF AF 在∵中， RtAGC CF AF ，∴F 为 CG 中点，即 ，CG 2CF 5CD 18 2AG CG2 AC2 5CD2 CD2 CD ，∴即42；BC 3 2AG （3）设点 P 存在，由费马定理可得 APB BPC CPA 120 ，∴，BPD 60 a设 PD 为 ，∴，BD 3a 又∴，AD BD 3a ，a m 3a m ( 31)a ma 3 1 又BD CE 3 3 ∴CE= m ． 2【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质， 锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键． 本试卷的题干 0635
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