精品解析：湖南省邵阳市2020年中考数学试题（解析版）

湖南省邵阳市 2020 年中考数学试题一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2020 的倒数是（　） 11A. B. C. D. 2020 2020 2020 2020 C【答案】【解析】【分析】根据倒数的定义解答. 【详解】2020 的倒数是故选：C. 1，2020 【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键. 2. 下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是(　　) A. B. C. D. A【答案】【解析】【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．【详解】A、球的三视图都是圆，故本选项正确； B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项错误； C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项错误； D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项错误．故选 A．【点睛】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键． 3. 2020 年 6 月 23 日，中国第 55 颗北斗号航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019 年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达 3450 亿元，较 2018 年增长 14.4%．其中，3450 亿元用科学记数法表示为（）A. 10 元 B. 9 元 C. 8 元 D. 11 元 3.4510 3.4510 3.4510 3.4510 D【答案】【解析】【分析】 n1 a ＜10 根据科学计数法的表示形式为，其中，n 为整数，即可做出选择． a  10 n1 a ＜10 【详解】解：根据科学计数法的表示形式为，其中， n 为整数，则3450 亿 a  10 =345000000000=3.45×1011 元．故选：D 【点睛】本题主要考查利用科学计数法表示较大的数的方法，掌握科学计数法的表示方法是解答本题的关键，这里还需要注意 n的取值． 2x , x 2 ，则 x  x 4. 设方程的两根分别是 2 的值为（）x 3x  2  0 1133A. 3 B. C. D. 2 22A【答案】【解析】【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 2a 1 【详解】由可知，其二次项系数，一次项系数b  3 ，x 3x  2  0 b(3) 1x  x     3 由韦达定理：，12a故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率． y  kx(k  0) 2,3 y  kx(k  0) 5. 已知正比例函数的图象过点 ，把正比例函数的图象平移，使它过点 1,1 ，则平移后的函数图象大致是（）A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】 1,1 先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点 求出一次函数解析式，即可求解． 2,3 y  kx(k  0) 【详解】解：把点 代入得2k  3 3k = 解得，23y  x∴正比例函数解析式为，23y  x  b 设正比例函数平移后函数解析式为，23321,1 y  x  b  b= 1 把点 代入得，252b=  ∴，35y  x  ∴平移后函数解析式为，22故函数图象大致．故选：D 【点睛】本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键． 6. 下列计算正确的是（）32a2b  6a2b3 A. 5 3 18  8 3 C. (a b)2  a2 b2 B. D. a2  4 a  b  a  2 a  b a 2 D【答案】【解析】【分析】分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可．【详解】解：A. ，故 A 选项错误； 5 3 18  5 3 3 2 3332a2b  2 a2 b3  8a6b3 B. ，故 B 选项错误； (a b)2  a2  2ab  b2 ，故 C 选项错误； C. D. a2  4 a  b a  b a 2 a  b a  2 a  2  ，故 D 选项正确．  a  2 a  b a  2 故答案为 D．【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 7. 如图，四边形是平行四边形，点 E，B，D，F 在同一条直线上，请添加一个条件使得，ABCD △ABE≌△CDF 下列不正确的是（）AEB  CFD A. AE  CF B. C. D. EAB  FCD BE  DF A【答案】【解析】【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可. 【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF， ∴∠ABE=∠CDF， A.若添加 B.若添加 C.若添加 D.若添加，则无法证明，故 A 错误； △ABE≌△CDF AE  CF AEB  CFD ，运用 AAS 可以证明，故选项 B 正确； △ABE≌△CDF ，运用 ASA 可以证明，故选项 C 正确； △ABE≌△CDF EAB  FCD ，运用 SAS 可以证明，故选项 D 正确． △ABE≌△CDF BE  DF 故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． a  b  0,ab  0 8. 已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）a,b a,b a,b a,b A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】 a  b  0,ab  0 a  0,b  0 ，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．根据，得出 a  b  0,ab  0 【详解】∵ a  0,b  0 a,b ∴选项Ａ：选项Ｂ：选项Ｃ：选项Ｄ： 在第一象限 a,b 在第二象限 a,b 在第三象限 a,b 在第四象限小手盖住的点位于第二象限故选：B a,b 【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键． 9. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方 5m 4m 形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）6m2 7m2 8m2 9m2 A. B. C. D. B【答案】【解析】【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为 x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．【详解】假设不规则图案面积为 x，由已知得：长方形面积为 20， x根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，20 当事件 A 实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件 A 发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为 0.35， x 0.35 x  7 综上有：，解得．20 故选：B．【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 10. 将一张矩形纸片按如图所示操作： ABCD A向内折叠，使点 A 落在点 1 处， DA DP （1）将（2）将沿DA P 处，折痕与边 M．沿1 向内继续折叠，使点 P 落在点交于点 DP AB 1PM  AB DPM 若，则的大小是（）11A. 135° B. 120° C. 112.5° D. 115° C【答案】【解析】【分析】 PMA  90 ∠DMP  DMA  45 由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出  ，再 ADM  45 11MDP  ADP  PDM  22.5 DPM 由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解． 11PMA  90 【详解】解：∵折叠，且，1∠DMP  DMA  45 ，∴，即 ADM  45 1∵折叠， 1MDP  ADP  PDM  ADM  22.5 ∴，12DPM =180  45  22.5 112.5 DPM ∴在中，，11故选：C．【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．二、填空题（本大题有 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 211. 因式分解： =______． 2x 18 【答案】2（x+3）（x﹣3）．【解析】 22试题分析：先提公因式后，再利用平方差公式分解即可，即 =2 x2-9 =2 x+3 x-3 .）（）（）（ 2x 18 .考点：因式分解 kAB  y 12. y  (k  0) 如图，已知点 A 在反比例函数的图象上，过点 A 作轴于点 B，OAB 的面积是 x_________ 2．则 k 的值是．【答案】4 【解析】【分析】根据△OAB 的面积等于 2 即可得到线段 OB 与线段 AB 的乘积，进而得到 A 点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出 k 值． x , y AB  y 【详解】解：设点 A 的坐标为( A )，，A11S= OB AB= y  x  2 由题意可知：，OAB AA22y  x  4 ∴，AA又点 A 在反比例函数图像上， k  x  y  4 故有．AA故答案为：．4【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键． 13. 据统计：2019 年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生 91.3 万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．从接受“送教上门”的时间波动大小来看，___________学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或 “乙”）【答案】甲【解析】【分析】先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定． 7 88 9  7 88 9  7  9 =8 【详解】解：甲的“送教上门”时间的平均数为：乙的“送教上门”时间的平均数为：，10 6 8 7  7 8 9 10  7  9  9 =8 ，10 2223 7 8  4 88  3 9 8 352甲的方差：乙的方差：，S甲= =10 222226 8  3 7 8  2 88  3 9 8  10 8 752，S乙 = =10 3575，所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．故答案为：甲．【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越小是解题的关键． 14. 如图，线段，用尺规作图法按如下步骤作图． AB 10cm 1BC  AB （1）过点 B 作的垂线，并在垂线上取；AB 2（2）连接，以点 C 为圆心，为半径画弧，交于点 E； AC AC CB （3）以点 A 为圆心，为半径画弧，交于点 D．即点 D 为线段 AB 的黄金分割点． AE AB cm 则线段的长度约为___________ （结果保留两位小数，参考数据： AD ）2  1.414, 3 1.732, 5 2.236 【答案】6.18 【解析】【分析】 1CE  BC  AB  5cm 根据作图得△ABC 为直角三角形，，AE=AD, 2根据勾股定理求出 AC，再求出 AE，即可求出 AD． 1CE  BC  AB  5cm 【详解】解：由作图得△ABC 为直角三角形，，AE=AD, 22222∴cm， AC  AB  BC  10  5  5 5 AE  AC CE  5 55  5 51 ∴cm， AD  AE  5 51  6.18 ∴cm． 故答案为：6.18 【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键． 15. 在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的 3 个实数相乘都得到同样的结果，则 2 个空格的实数之积为 ________． 23323 2 16【答案】 6 2 【解析】【分析】先将表格中最上一行的 3 个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是 6 6 ，即可求解． 6 6 【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，3 22 3  6 6 设第二行中间数为 x，则，解得，1 x6  6 6 x  6 设第三行第一个数为 y，则，解得，y3 2  6 6 y  2 3 ∴2 个空格的实数之积为．xy  2 18 6 2 故答案为：．6 2 【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键． 16. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，它的宽比长少 12 步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为 x 步，则依题意列方程为____________．【答案】x(x+12)=864 【解析】【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．【详解】因为宽为 x，且宽比长少 12，所以长为 x+12，故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，故答案：x(x+12)=864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可． 17. 如图①是山东舰航徽的构图，采用航母 45 度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为 12 的 10 圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为____________． AB 【答案】13. 【解析】【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线 AB 的长．【详解】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长= 10 10 2  5 ∴OB= ，2222Rt△AOB 中，AB= 在，AO  BO  12  5 13 所以，该圆锥的母线长为 13. AB 13 故答案为：．【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式． 18. 如图，在中，，斜边，过点 C 作 CF//AB ，以为边作菱形 ABEF ， AB RtABC ACB  90 AB  2 F  30 若，则的面积为________． RtABC 1【答案】 2【解析】【分析】如下图，先利用直角三角形中 30°角的性质求出 HE 的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得 CG 的长度，即可求出直角三角形 ABC面积．【详解】如图，分别过点 E、C作 EH、CG 垂直 AB，垂足为点 H、G， ∵根据题意四边形 ABEF 为菱形， ∴AB=BE= ，2又∵∠ABE=30° 2∴在 RT△BHE 中，EH= 根据题意，AB∥CF，，2根据平行线间的距离处处相等， 2∴HE=CG= ，212212∴的面积为．RtABC  2  =2【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的 30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出 HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到 HE=CG，最终求出直角三角形面积．三、解答题（本大题有 8 个小题，第 19~25 题每题 8 分，第 26 是 10 分，共 66 分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 1 1  计算：(1)2020 19.  | 1 3 | 2sin60 ．  2  【答案】2 【解析】【分析】分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可． 3【详解】解：原式＝ 1 2  3 1  2 2＝1 2  3 1 3 ＝2 【点睛】此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键． 20. 已知：，| m 1|  n  2  0 （1）求 m，n 的值； 22（2）先化简，再求值：．m(m  3n)  (m  2n)  4n 2m 1,n  2 【答案】（1）；（2），0 2m  mn 【解析】【分析】（1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出 m、n 的方程，解之即可求出 m、n 的值；（2）先利用整式的运算法则化简，再代入 m、n 值计算即可求解．【详解】（1）根据非负数得：m-1=0 且 n+2=0， m 1,n  2 解得：，22222（2）原式= =，m 3mn  m  4mn  4n  4n 2m  mn m 1,n  2 211(2)  0 当，原式= ．【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键． 21. O 如图，在等腰ABC 中， AB  AC ，点 D 是 BC 上一点，以为直径的过点 A，连接，BD AD ．CAD  C O （1）求证：是的切线； AC AC  4,CD  2 O （2）若，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）试题错误．【解析】【分析】（1）连接 OA，由圆的性质可得 OA=OB，即∠OBA=∠OAB；再由 AB=AC，即∠OBA=∠C，再结合，可得∠OAB=∠CAD,然后由∠BAD=90°说明∠OAC=90°即可完成证明； CAD  C （2）试题错误．【详解】（1）证明：如图：连接 OA ∵OA=OB ∴∠OBA=∠OAB ∵AB=AC ∴∠OBA=∠C ∴∠OAB=∠C ∵CAD  C ∴∠OAB=∠CAD ∵BD 是直径 ∴∠BAD=90° ∵∠OAC=∠BAD-∠OAB+∠CAD=90° O ∴是的切线； AC （2）试题错误．【点睛】本题考查了圆的切线的判定，证得∠OAC=90°是解答本题的关键． 22. 2019 年 12 月 23 日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于 AB, BC 2020 年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，表示需铺设的干渠引 100m 200m ．若管道，与水 AA , BB ,CC 水管道，经测量，A，B，C 所处位置的海拔 1 分别为 62m ，AB 11AA BB 平线 2 的夹角为 30°，管道 BC 与水平线夹角为 45°，求管道和BC 的总长度（结果保留根 AB 2号）．【答案】．(76 100 2)m 【解析】【分析】的先根据题意得到 BO，CB2 长，在 Rt△ABO 中，由三角函数可得 AB 的长度，在 Rt△BCB2 中，由三角函数可得 BC 的长度，再相加即可得到答案． AA B O BB C B 2 均为矩形， 1 1 【详解】解：根据题意知，四边形和四边形 11OB  AA  62m B C BB 100m ，，11211BO  BB OB 100  62  38m CB  CC  B C 200 100 100m ，，112121在中， AOB  90 ，，BAO  30 BO  38m ，RtAOB ； AB  2BO  238  76m RtCBB CB B  90 CBB  45 CB 100m 在2 中，，，，222，BC  2CB2 100 2m ， AB  BC  (76 100 2)m 即管道 AB 和 BC 的总长度为：．(76 100 2)m 【点睛】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到 AB 和 BC 的长度． 23. “新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题： XX 学校“停课不停学”网络学习时间调查表亲爱的同学，你好！为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后的空格内打“√”．平均每天利用网络学习时间问卷调查表选项学习时间（小时） 0  t 1 ABCD1 t  3 3  t  5 t  5 （1）本次接受问卷调查的学生共有___________人；（2）请补全图①中的条形统计图；（3）图②中，D 选项所对应的扇形圆心角为_________度；（4）若该校共有 1500 名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在 C 选项的有多少人？【答案】（1）100 【解析】（2）见详解（3）18 o （4）600 【分析】根据扇形图和条形图 A 选项的联系可以算出来总人数，进而求出 B 选项的人数，D 选项圆心角和 1500 人中 C 选项的人数．【详解】（1）15÷15%=100（人）（2）如图选 B 的人数：100-40-15-5=40（人） 5（3）360 o × （4）1500 × =18 o 100 40 =600（人） 100 【点睛】本题主要考察了，条形统计图，扇形统计图等知识点，准确的找出它们的联系是解题关键． 24. 2020 年 5 月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进 A、B 两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知 2 台 A 型风扇和 5 台 B 型风扇进价共 100 元，3 台 A 型风扇和 2 台 B 型风扇进价共 62 元．（1）求 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是多少元？（2）小丹准备购进这两种风扇共 100 台，根据市场调查发现，A 型风扇销售情况比 B 型风扇好，小丹准备多购进 A 型风扇，但数量不超过 B 型风扇数量的 3 倍，购进 A、B 两种风扇的总金额不超过 1170 元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？【答案】（1）A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 10 元和 16 元；（2）丹 4 种进货方案分别是：①进 A 型风扇 72 台，B 型风扇 28 台；②进 A 型风扇 73 台，B 型风扇 27 台；③进 A 型风扇 74 台，B 型风扇 26 台；① 进 A 型风扇 75 台，B 型风扇 24 台．【解析】【分析】（1）设 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 x 元和 y 元，再根据“2 台 A 型风扇和 5 台 B 型风扇进价共 100 元”和“ 3 台 A 型风扇和 2 台 B 型风扇进价共 62 元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可；（2）设购进 A 型风扇 a 台、则 B 型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进 A、B 两种风扇的总金额不超过 1170 元”和“A 型风扇不超过 B 型风扇数量的 3 倍”两个不等关系列不等式组求出 a 的整数解的个数即可．【详解】解：（1）设 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 x 元和 y 元 2x  5y 100 3x  2y  62 x 10 y 16 由题意得：，解得答：A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 10 元和 16 元；（2）设购进 A 型风扇 a 台、则 B 型风扇购进（100-a）台 a  3 100 a 271  a  75 有题意得，解得： 10a 16 100 a 1170 3∴a 可以取 72、73、74、75 ∴小丹 4 种进货方案分别是：①进 A 型风扇 72 台，B 型风扇 28 台；②进 A 型风扇 73 台，B 型风扇 27 台； ③进 A 型风扇 74 台，B 型风扇 26 台；①进 A 型风扇 75 台，B 型风扇 24 台．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意确定等量关系和不等关系是解答本题的关键． AF,CE ，点 M 是 25. 已知：如图①，将一块 45°角的直角三角板与正方形的一角重合，连接 ABCD DEF 的中点，连接．CE DM （1）请你猜想与AF DM 的数量关系是__________． （2）如图②，把正方形绕着点 D 顺时针旋转角（）． ABCD 0  a  90 ①与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长 AF DM 到点 N，使 MN  DM ，连接 CN ②求证： DM ）；AF  DM AD ED ③若旋转角，且EDM  2MDC ，求的值．（可不写过程，直接写出结果）   45 6  2 2【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由见解析②见解析③ 【解析】【分析】（1）根据题意合理猜想即可；（2）①延长到点 N，使 MN  DM ，连接 CN ，先证明△MNC≌△MDE，再证明△ADF≌△DCN，得 DM 到 AF=DN，故可得到 AF=2DM； ②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解； ③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设 AG=k,得到 DG,AD,FG,ED 的长，故可求解．【详解】（1）猜想与AF DM 的数量关系是 AF=2DM，故答案为：AF=2DM；（2）①AF=2DM 仍然成立，理由如下：延长到点 N，使 MN  DM ，连接 CN ，DM ∵M 是 CE 中点， ∴CM=EM 又∠CMN=∠EMD， ∴△MNC≌△MDE ∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE ∴CN∥DE，又 AD∥BC ∴∠NCB=∠EDA ∴△ADF≌△DCN ∴AF=DN ∴AF=2DM ②∵△ADF≌△DCN ∴∠NDC=∠FAD， ∵∠CDA=90°， ∴∠NDC+∠NDA=90° ∴∠FAD+∠NDA=90° ∴AF⊥DM ③∵ ，  45 ∴∠EDC=90°-45°=45° ∵EDM  2MDC ，2∴∠EDM= ∠EDC=30°， 3∴∠AFD=30° 过 A 点作 AG⊥FD 的延长线于 G 点，∴∠ADG=90°-45°=45° ∴△ADG 是等腰直角三角形，设 AG=k,则 DG=k，AD=AG÷sin45°= k， 2FG=AG÷tan30°= k， 3∴FD=ED= k-k 32k 6  2 2AD 故=．ED 3k  k 【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用． 26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边 BC 与 x 轴、y 轴的交点分别为 ABCD 15 y  ax2  x  c(a  0) C 8,0 ,B 0,6 ,CD  5 ，抛物线过 B，C 两点，动点 M 从点 D 开始以每秒 5 4个单位长度的速度沿 D  A  B  C 的方向运动到达 C 点后停止运动．动点 N 从点 O 以每秒 4 个单位长度的速度沿方向运动，到达C 点后，立即返回，向 CO方向运动，到达 O 点后，又立即返回，依此 OC t上反复运动，当点 M 停止运动时，点 N 也停止运动，设运动时间为．在线段 OC （1）求抛物线的解析式；（2）求点 D 的坐标；（3）当点 M，N 同时开始运动时，若以点 M，D，C 为顶点的三角形与以点 B，O，N 为顶点的三角形相似，求 t 的值；（4）过点 D 与 x 轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点 Q，将线段沿过点 B 的直线翻折，点 A 的对称 BA A Q  QN  DN 点为 A，求的最小值． 315 23 6y  x2  x  6 t  D(11,4) 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）．t  29  5 5842【解析】【分析】 15 y  ax2  x  c C 8,0 ,B 0,6 （1）将（2）作 代入计算即可；，可得 CE，DE 长度，进而得到点 D 的坐标； 4于点 E，证明 DE  x △BOC △CED （3）分为点Ｍ在 AD，BC 上两种情况讨论，当点 M 在 AD 上时，分为两种情况讨论；当点 M 在 BC 上时，分为和△BON △CDM 和两种 △BON △MDC 情况讨论； △BON △MCD △BON △DCM A Q 的最小值， QN  DN （4）作点 D 关于 x 轴的对称 F，连接 QF，可得的最小值；连接 BQ 减去 BA 可得 A Q  QN  DN 综上可得的最小值． 15 y  ax2  x  c C 8,0 ,B 0,6 【详解】（1）将 代入得415 364a  8 c  0 a  ，解得 8c  6 4c  6 315 y  x2  x  6 ∴抛物线的解析式为： 84（2）作于点 E DE  x C 8,0 ,B 0,6 ∵∴OC  8,OB  6 BC 10 ∴∵∴BOC  BCD  DEC △BOC △CED BC BO OC ∴CD CE DE CE  3, DE  4 ∴∴∴OE  OC  CE 11 D(11,4) DM  5t,ON  4t （3）若点 M 在 DA 上运动时， BO ON 654t 5t 当当，则，则，即，即不成立，舍去 △BON △CDM △BON △MDC CD DM BO ON 64t 6，解得： t  MD DC 5t 52若点 M 在 BC 上运动时，CM  255t BO ON 6ON 当，则，即 △BON △MCD MC CD 255t 56ON  ∴当5t 时，ON 16  4t 3  t  4 69  7 （舍去） 16  4t ∴，解得 t  5t 2当∴时，ON  4t 16 4  t  5 6 4t 16 ，无解；，则 5t BO ON 65ON 当，即 △BON △DCM ON  30  6t DC CM 255t ∴当∴当时，ON 16  4t 3  t  4 30  6t 16  4t ，解得 t  7 （舍去）时，ON  4t 16 4  t  5 23 5t  ∴30  6t  4t 16 ，解得 23 t  6综上所示：当时，；时△BON △MDC △BON △DCM t  52（4）作点 D 关于 x 轴的对称点 F，连接 QF 交 x 轴于点 N (11,4) ∵点 D ，F(11,4) ∴点 315 y  x2  x  6 由得对称轴为 x  5 84Q(5,4) ∴点 22∴QF  (511)  (4  4) 10 BQ  (0 5)2  (6  4)2  29 ∴故A Q  QN  DN  BQ  BA  QF  29 510  29  5 A Q  QN  DN 的最小值为．29  5 的【点睛】本题考查了二次函数与几何图形综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．本试卷的题干 0635