益阳市 2020 年普通初中学业水平考试 数学能力测试 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 01. 四个实数 ，， ，中，最大的是（ ） 3 130A. B. C. D. 3 13C【答案】 【解析】 【分析】 根据实数的大小比较法则比较即可． 0【详解】解：四个实数 ，， ，中，最大的是 ；3 133故选 C． 的【点睛】本题考查了对实数 大小比较法则的应用，能熟记法则内容是解题的关键，注意：正数都大于0， 负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． x 2 0 x 1 2. 将不等式组 的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. C. B. D. A【答案】 【解析】 【分析】 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来，选出符合条件的选项即可． x 2 0 x 1 【详解】解： 由得， ，x 2 0 x 2 所以，不等式组的解集为： 在数轴上表示为： ，2 x＜1 故选：A． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，在解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的 区别，这是解答此类题目的易错点． 3. 图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据几何体的俯视图是从上面看到的图形判断即可． 【详解】从上面看该几何体如图： 故选：D． 【点睛】本题考查几何体的三视图，能熟练判断几何体的三视图是解答的关键． 4. 一组数据由 个数组成，其中 个数分别为 ， ， ，且这组数据的平均数为 ，则这组数据的中位数 334244为（ ） 7A. B. C. 3.5 D. 34C【答案】 【解析】 【分析】 设加一个数为 x，根据平均数的求法求出 x，再根据中位数定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新 排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，首先把数据从小到大排列起 来，再找出中间的数即可． 【详解】解：设另一个数为 x， ∵， ， ，x，已知这组数据的平均数是 4， 342∴（2+3+4+x）÷4=4 解得：x=7， 将数据从小到大重新排列：2，3，4， 7，已最中间的两个数是：3，4， 3+4 =3.5 ∴中位数是： ．2故选：C． 【点睛】此题主要考查了中位数定义以及平均数的求法，关键是首先求出 x 的值． y的值为（ ） xx y 9 4x 3y 1 和5. 同时满足二元一次方程 的，x 4 x 4 y 5 x 2 y 3 x 3 A. B. C. D. y 5 y 6 A【答案】 【解析】 【分析】 x y 9 4x 3y 1 和联立 解二元一次方程组即可． x y 9① 【详解】解：有题意得： 4x 3y 1② 由①得 x=9+y③ 将③代入②得：36+4y+3y=1，解得 y=-5 则 x=9+（-5）=4 所以 x=4，y=-5． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． 6. 下列因式分解正确的是（ ） a(a b) b(a b) (a b)(a b) A. B. a2 9b2 (a 3b)2 C. a2 4ab 4b2 (a 2b)2 D. a2 ab a a(a b) C【答案】 【解析】 【分析】 利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案． 【详解】A、 a(a b) b(a b) (a b)(a b) (a b)2 ，故此选项错误； 22B、 C、 D、 ，故此选项错误； 2 ，故此选项正确； ，故此选项错误． a 9b (a 3b)(a 3b) 22a 4ab 4b (a 2b) 2a ab a a(a b+1) 故选：C． 【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全 家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶． y kx b 7. 一次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. k 0 B. b 1 yxx 2 时， C. 随的增大而减小 D. 当 kx b 0 B【答案】 【解析】 【分析】 根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k﹥0，且 y 随 x 的增大而增大，故 A、C 选项错误； 图象与 y 轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以 b=﹣1，B 选项正确； 当 x﹥2 时，图象位于 x 轴的上方，则有 y﹥0 即 ﹥0，D 选项错误， kx b 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的 关键． 8. 如图，ABCD 的对角线 ，交于点 ，若AC 6 ，，则 的长可能是（ ） AC OBD 8 BD AB 7A. B. C. D. 610 8D【答案】 【解析】 【分析】 先根据平行四边形的对角线互相平分得到 OA、OB 的长度，再根据三角形三边关系得到 AB 的取值范围， 即可求解． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 11∴OA= AC=3，BO= BD=4， 22在△AOB 中， 4-3<AB<4+3 ∴1<AB<7， 结合选项可得，AB 的长度可能是 6， 故答案为：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题 的关键． ACB ÐB 的度数为 9. 如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，平分 ，若 ，则 ABC AC DC DAB A 50 （ ） 25 30 40 35 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB 的度数，再根据三角形内角和求出∠B 的度数． 【详解】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°， ACB ，∵平分 DC ∴∠ACB=2∠ACD=100°， ∴∠B=180°-100°-50°=30°， 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质 和角平分线的定义是解题的关键． 10. 如图，在矩形 中， 是上的一点， 是等边三角形， 交BE 于点 ，则下列结论 FABCD CD AC EABE 不成立的是（ ） EF FB 12AD AB 3DAE 30o BAC 45 A. B. C. D. 2B【答案】 【解析】 【分析】 根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出 A 说法正确；假设∠BAC=45°，可得到 AB=BC，又 AB=BE， 所以 BE=BC，不成立，所以 B 说法错误；设 EC 的长为 x，BE=2EC=2x，BC= ，证得△ECF∽△BAF， 3x 根据相似三角形的性质可得，C 说法正确；AD=BC= ，AB=BE=2x，可得 D 说法正确． 3x 【详解】解：在矩形 ABCD 中， ∴∠DAB=90°，∠EAB=60°， ∴∠DAE=90°-60°=30°， 故 A 说法正确； 是等边三角形， ABE 若∠BAC=45°，则 AB=BC， 又∵AB=BE， ∴BE=BC， 在△BEC 中，BE 为斜边，BE＞BC， 故 B 说法错误； 设 EC 的长为 x， 易得∠ECB=30°， ∴BE=2EC=2x，BC= ，3x AB=BE=2x， ∵DC∥AB， ∴∠ECA=∠CAB， 又∵∠EFC=∠BFA， ∴△ECF∽△BAF， EF EC 12∴，BF AB 故 C 说法正确； AD=BC= ，3x AD 3∴，AB 2故 D 说法正确． 故选：B 【点睛】本题考查了矩形和等边三角形的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握矩形和等边三角形的 性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 11. 我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于 2020 年6月日成功定位于距离地球36000千米的地球同 30 步轨道，将 用科学计数法表示为__________． “36000” 4【答案】 3.610 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．据此可得到答案． 【详解】解：36000=3.6×104， 4故答案为： ．3.610 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是要正确的确定 a 的值以及 n 的值． ，， ，则 ACD 的度数为__________． CAE 42 12. 如图， AB / /CD AB AE 【答案】132° 【解析】 【分析】 由求得∠BAC，再根据平行线的性质即可解得∠ACD 的度数． AB AE ，【详解】∵ ，AB AE CAE 42 ∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-42°=48°， ∵，AB / /CD ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-48°=132°， 故答案为：132°． 【点睛】本题考查了垂直定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． ，测得 的长为 ，则 的长为 13. 小明家有一个如图所示的闹钟，他观察圆心角 36cm AOB 90 ACB ADB cm __________ ．【答案】12 【解析】 【分析】 根据弧长公式求得圆 O 的半径，再根据弧长公式求出 的长． ADB 【详解】解：设半径 OA 的长为 r， ∵∠AOB=90°， ∴∠ACB=270°， 270 r l 36cm ，ACB 180 24 r cm ∴∴，24 90 ，l12cm ADB 180 故答案为：12． 【点睛】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式并正确运用是解题的关键． k 1 x14. 若反比例函数 y= 的图象经过点（﹣2，3），则 k=_____． 【答案】-5 【解析】 【分析】 k 1 xk 1 2 把点（﹣2，3）代入反比例函数 y= 可得 3= ，解方程即可求得 k 值. k 1 x【详解】∵反比例函数 y= 的图象经过点（﹣2，3）， k 1 2 ﹣，解得 k= 5． ∴3= ﹣故答案为： 5． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，熟知反比例函数图象上点的坐标的特征是解决 问题的关键. 15. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有 6粒弹珠，其中 粒红色， 2粒绿色，他随机拿出 颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________． 411【答案】 ．3【解析】 【分析】 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵口袋中有 6 个小球，分别为 2 个红球和 4 个绿球， 21=∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为 ，2+4 3 1故答案为： ．3【点睛】本题考查了概率公式，牢记概率公式是求解本题的关键，难度较小． 16. 若一个多边形的内角和是 540°，则该多边形的边数是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】 n 2 180 ，由此列方程求 n． n 边形的内角和公式为 【详解】解：设这个多边形的边数是 n， n 2 180 540 则，解得 n 5 ，故答案为：5． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式，构建方程即可求解． m的结果为正整数，则无理数 的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可） 17. 若计算 12 m 【答案】 （答案不唯一） 12 【解析】 【分析】 2m根据 为 12，即可得到一个无理数 的值． 12 【详解】解：∵ 2，12 12 ∴时的结果为正整数， m = 12 12 m 故答案为： （答案不唯一）． 12 2【点睛】本题考查了二次根式，注意 是解题的关键． a a 18. 某公司新产品上市 天全部售完，图1 表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图 2 表示单件 30 产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是__________元． 【答案】1800 【解析】 【分析】 从图 1 和图 2 中可知，当 t=30 时，日销售量达到最大，每件产品的销售利润也达到最大，所以由日销售利 润=销售量×每件产品销售利润即可求解． 【详解】由图 1 知，当天数 t=30 时，市场日销售量达到最大 60 件； 从图 2 知，当天数 t=30 时，每件产品销售利润达到最大 30 元， 所以当天数 t=30 时，市场的日销售利润最大，最大利润为 60×30=1800 元， 故答案为：1800 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，也考查了学生的观察能力、理解能力和解决实际问题的能力，仔 细审题，利用数形结合法理解题目已知信息是解答的关键． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (3)2 2( 21) 2 2 19. 计算： 【答案】7 【解析】 【分析】 先算乘方、二次根式的混合运用和绝对值，最后算加减即可． (3)2 2( 21) 2 2 【详解】解： =9 2 2 2 2 2 =7． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的混合运用和绝对值等知识，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 2a 1 a 1 a 1 aa 1 a20. () 先化简，再求值： ，其中 a 2 a【答案】 【解析】 ；时，原式= ． 2a 2 a 1 【分析】 先利用分式的运算法则化简，然后代入 计算即可． a 2 2a 1 a 1 a 1 aa 1 a() 【详解】解： a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 aaaa 1 2 2 1 2 时，原式= a 2 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 21. 如图， OM O O O 是的半径，过点 作的切线 ，且 ，，OA OB 分别交 于点 ，CMAB MA MB ，求证： AC BD D【答案】见解析 【解析】 【分析】 首先得出VAOM VBOM ，推出 OA=OB，再利用 OA-OC=OB-OD 得出结果即可． 【详解】解：∵AB 是⊙O 的切线， ∴OMA OMB 90 ，∵MA=MB，OM=OM， ∴VAOM VBOM ，∴OA=OB， ∵OC，OD 都是⊙O 的半径， ∴OC=OD， ∴OA-OC=OB-OD， 即 AC=BD． 【点睛】本题考查了切线的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定． 22. 为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数 进行统计，结果如下表： 笔画 715 3568910 13 10 1428411 12 14 7数16 16 字数 10 20 36 914 24 14 11 1请解答下列问题： （1）被统计汉字笔画数的众数是多少？ （2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图： x笔画数 （画） 分组 字数（个） 组组组组组1 x 3 4 x 6 AB22 mCDE7 x 9 76 n10 x 12 13 x 15 18 mn的值及扇形统计图中组对应扇形圆心角的度数． 请确定上表中 、（3）若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在 画（ 组）的字数有多少个？ C7~9 【答案】（1）8；（2）50，34，A 的度数为：39.6°，B 的度数为：90°，C 的度数为：136.8°，D 的度数 为：61.2°，E 的度数为：32.4°；（3）1330. 【解析】 【分析】 （1）根据众数的定义即可求出答案； 的（2）通过原题给出 表格可以得出m、n 的值；可以根据 A 所占的比例为 11%可求出总统计的为 200 个， 然后可以分别求出 B 组、C 组、E 组的百分百，从而进一步求出各个部分对应的角度； （3）根据统计表格可以得出 C 组所占的百分数为 38%，所以可以进一步求出答案. 【详解】（1）由题所给的表格得 8 画的字数最多，所以众数为：8； （2）由题意可得 B 组是表示笔画为 4，5，6 的字数，m 所以答案为 50；D 组是表示笔画为 10，11，12 的 字数，n 所以答案为 34；因为 A 组字数为 22 个且占 11%，，所以总统计的字数为 200，所以 B 组，C 组，E 组各占的比例为：25%，38%，9%； 故 A 组的度数：360°×11%=39.6°； B 组的度数：360°×25%=90°； C 组的度数：360°×38%=136.8°； D 组的度数：360°×17%=61.2°； E 组的度数：360°×9%=32.4°； 76 （3）3500× =1330（个）， 200 故若这篇文章共有 3500 个汉字，估计笔画数在 7~9 画（ 组）的字数有1330 个. C【点睛】本题主要考查的是众数以及扇形图的相关知识，熟练掌握相关定理即可. 23. 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形 ，高 米，斜坡 的坡度 ABCD CD DH 12 i 1:1，此处大堤的正上方有高压电线穿过， 表示高压线上的点与堤面 的最近距离（ P、、HDPD AD 在同一直线上），在点 处测得 C．DCP 26 的坡角 （1）求斜坡 CD （2）电力部门要求此处高压线离堤面 的安全距离不低于 米，请问此次改造是否符合电力部门的安全 18 AD 要求？（参考数据： ，sin 26 0.44 tan 26 0.49 ，，sin 71 0.95 tan 71 2.90 ）【答案】（1）45°；（2）此次改造符合电力部门的安全要求． 【解析】 【分析】 （1）根据坡度i 1:1可求出 α 的值； （2）延长 AD 交 PC 于点 E，过点 E 作 EF⊥BC 于 F，解直角三角形 EFC 求出 CF 的长得到 HF 的长，故可 得 DE 的长，解直角三角形 PDE 得 PD 的长，再与 18 进行比较即可得到结论． 【详解】解（1）∵ ，tan i 1:11 ∴；=45 （2）延长 AD 交 PC 于点 E，过点 E 作 EF⊥BC 于 F，如图， 则四边形 DEFH 是矩形， ∴EF=DH=12m，DE=HF，∠HDE=∠EFH=∠DHF=90°， ∵α=45°， ∴∠HDC=45°， ∴HC=DH=12m， 又∠PCD=26°， ∴∠ECF=45°+26°=71°， EF FC EF 12 tan 71 FC 4.14 ∴，即 m， tan 71 2.90 ∴HF=HC-CF=12-4.14=7.86m， ∴DE=7.86m， ∵AE//BC， ∴∠PED=∠PCH=71°， PD DE PD tan PED tan 71 在 Rt△PDE 中， ，即 ，7.86 ∴m， PD 7.862.90 22.80＞18 ∴此次改造符合电力部门的安全要求． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键． 24. “你怎么样，中国便是怎么样：你若光明，中国便不黑暗”。 年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心 2019 灵，各界人士齐心协力，众志成城。针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用 7防护服生产车间仍有 人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作 小时增 8加到 小时，每小时完成的工作量不变原来每天能生产防护服 10 套，现在每天能生产防护服 650 套． 800 （1）求原来生产防护服的工人有多少人？ （2）复工 天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为 小时公司决定将复工后生产的 10 10 防护服 套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？ 14500 【答案】（1）20；（2）8 【解析】 【分析】 yx（1）设原来生产防护服的工人有 人，每小时完成的工作量为 套，根据题意列出方程组，求解即可． （2）求出 10 天后，还剩余多少防护服没生产，根据（1）求出复工后每天的生产数量，相除即可得出结 果． yx【详解】（1）设原来生产防护服的工人有 人，每小时完成的工作量为 套， 根据原来每天工作 小时，每天能生产防护服套， 800 8x´ y´ 8=800 得．根据现在每天工作 小时，每天能生产防护服650 套， 10 (x – 7)´ y´ 10 = 650 得．ìïx´ y´ 8=800 联立方程，得 í(x – 7)´ y´ 10 = 650 ïîìïx´ y=100 ∴得í(x – 7)´ y = 65 ïîx100 20 ==x – 7 65 13 yx解得 =20， =5． 经检验 x=20，y=5 是原方程的解 即原来生产防护服的工人有 20 人． （2）复工 10 天，生产 650´ 10 = 6500 套，剩余14500 – 6500 =8000套． 由（1）可知：原来生产防护服的工人有 20 人，每小时完成的工作量为 5 套． 由题意知：10 天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为 10 小时． 则每天生产 20´ 5´ 10 =1000套． 需要8000 ¸ 1000 =8天． 【点睛】本题主要考查函数的性质及整式的乘除，熟练掌握函数的性质及整式的乘除是解题的关键． x(4,2) 25. 如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 P为一个动点，过点 P作轴的垂线 ，垂足 FPH (x , y ) 、1为H，点 P在运动过程中始终满足 【提示：平面直角坐标系内点 、的坐标分别为 PF PH NM1MN2 (x x )2 (y y )2 (x , y ) ，则 】222121（1）判断点 （2）设动点 P在运动过程中是否经过点 C（0，5） y(x, y) x，求 关于 的函数表达式：填写下表，并在给定坐标系中画出函数的图象： P的坐标为 xy0… … 6… … 824x（3）点 关于轴的对称点为 C，点 P在直线C F 的下方时，求线段 长度的取值范围 CPF 1y x2 2x 5 【答案】（1）点 P在运动过程中经过点 C（0，5）；（2）y 与 x 的函数表达式为 65 7 65 ，表格和 4图象见解析；（3）1﹤PF﹤ 8【解析】 【分析】 （1）若点 P 经过点 C，则有 PH=5，利用公式求得 PF，即可判断； (x 4)2 (y 2)2 y2 yx，化简可得到 关于 的函数表达式，分别将表中x值代入表 （2）由 PH=PF 得 达式，求出对应的 y值，则可完善表格，再利用描点法画出对应的图象即可． 长度的取值范围即是求线段 PH 长度的取值范围，先求出直线C F 的函数表达式， （3）由题意，求线段 PF 代入 P 的函数表达式解之得交点坐标，结合图象即可得到线段 PH（即就是 PF）长度的取值范围． 【详解】（1）若点 P 经过点 C，则 PH=5， 22∵,PF (0 4) (5 2) 5 ∴PF=PH， 故点 P 经过点 C； (x 4)2 (y 2)2 y2 （2）由 PH=PF 得 ，1y x2 2x 5 化简得： ，41y x2 2x 5 故 y 与 x 的函数表达式为 ；4分别将 x=0、2、4、6、8 代入表达式中，则对应的 y=5、2、1、2、5， 填写表格 为：xy05… 62… 82241… 5 … 函数图象如下： ；（2）设直线C F 的函数表达式为 y=kx+b， b 5 将点 F（4，2）、点 C（0，﹣5）代入，得： ，4k b 2 74k 解得： ，b 5 7的y x 5 ∴直线C F函数表达式为 ，471y x 5 y x2 2x 5 将代入 得： 44741x 5 x2 2x 5 2，即 ，x 15x 40 0 415 65 15 65 解得： x1 , x2 227y x 5 分别代入 中，得: 465 7 65 65 7 65 ,y1 , y2 88当 x=4 时，y=1， 65 7 65 ∵点 P在直线C F 的下方，且 ﹥1， 865 7 65 ∴结合图象知，1﹤y﹤ ,865 7 65 即 1﹤PH﹤ ,8又 PF=PH， 65 7 65 ∴1﹤PF﹤ ,8【点睛】本题考查二次函数与动点问题，涉及求函数表达式、列表描点画图象、解一元二次方程等，解答 的关键是认真审题，寻找相关信息的联系点，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进 而推理、探究、发现和计算． 26. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等 邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图 1，正方形 中， 是上的点，将 绕B点旋转，使 BC 与重合，此时点 ABCD CD BCE EBA E的对应点 在的延长线上，则四边形 为“直等补”四边形，为什么？ FDA BEDF （2）如图 2，已知四边形 是“直等补”四边形， ，CD 1 ，B，点 到直线 ABCD AB BC 5 AD AB AD 的距离为 BE ．①求 ②若 的长． BE 、分别是 、AB AD 边上的动点，求 MNC 周长的最小值． NM【答案】（1）见解析；（2）①BE=4；② MNC 周长的最小值为 8 2 【解析】 【分析】 （1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180° ，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°,BF=BE,进而可证得四边形 为“直等补”四边形； BEDF （2）如图 2，将△ABE 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△CBF，可证得四边形 EBFD 是正方形，则有 BE=FD, 设 BE=x，则 FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可； （3）如图 3，延长 CD 到 P，使 DP=CD=1，延长 CB 到 T，使 TB=BC=5，则 NP=NC，MT=MC, 由△MNC 的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT 知，当 T、M、N、P 共线时，△MNC 的周长取得最小 值 PT，过 P 作 PH⊥BC 交 BC 延长线于 H，易证△BFC∽△PHC，求得 CH、PH，进而求得 TH，在 Rt△PHT 中，由勾股定理求得 PT，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）如图 1 由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE ∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°， ∴∠F+∠BED=180°， ∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°， 故满足“直等补”四边形的定义， ∴四边形 为“直等补”四边形； BEDF （2）∵四边形 是“直等补”四边形，AB=BC， ABCD ∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°， 如图 2，将△ABE 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△CBF， 则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE ∴D、C、F 共线， ∴四边形 EBFD 是正方形， ∴BE=FD， 设 BE=x，则 CF=x-1， 在 Rt△BFC 中，BC=5， 由勾股定理得： x2 (x 1)2 25，即 ，2x x 12 0 解得：x=4 或 x=﹣3(舍去)， ∴BE=4 （3）如图 3，延长 CD 到 P，使 DP=CD=1，延长 CB 到 T，使 TB=BC=5, 则 NP=NC，MT=MC, ∴△MNC 的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT 当 T、M、N、P 共线时，△MNC 的周长取得最小值 PT， 过 P 作 PH⊥BC，交 BC 延长线于 H， ∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH, ∴△BCF∽△PCH, BC BF CF ∴即,PC PH CH 543，2PH CH 685CH , PH 解得： ,5656 55 5 在 Rt△PHT 中，TH= ,522,PT PH HT 8 2 ∴MNC 周长的最小值为 ．8 2 【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方 程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析 图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算． 本试卷的题干 0635
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