一、选择题（本大题共 10 小题，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答 题卡相应的位置上） 1. 下列各数中，比 2 小的数是（ ）A. B. C. D. 303 1 C【答案】 【解析】 【分析】 根据大于 0 的数是正数，而负数小于 0，排除 A、D，而-1>-2，排除 B，而-3<-2，从而可得答案． 【详解】根据正负数的定义，可知-2<0，-2<3，故 A、D 错误； 而-2<-1，B 错误； -3<-2，C 正确； 故选 C． 【点睛】本题目考查有理数的大小比较，较容易，熟练掌握有理数的大小比较方法是顺利解题的关键． 2. 2019 年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到 92700 亿元．用科学记数法表示 92700 是 （）0.927105 9.27104 92.7103 927102 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 n1 a 10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 科学记数法的表示形式为 形式，其中 a 10 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1 时，n 是正数；当原数的绝对 值<1 时，n 是负数． 【详解】解：92700=9.27×104 故选 B． n1 a 10 ，n 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 形式，其中 a 10 为整数．表示时关键要确定 a 的值及 n 的值． 3. 下列运算正确的是（ ）( 2)2 2 A. B. (x y)2 x2 y2 C. D. (3a)2 9a2 2 3 5 D【答案】 【解析】 【分析】 根据算术平方根的性质，完全平方公式，合并同类二次根式法则，积的乘方的运算法则依次判断即可得到 答案. 2【详解】A、 ，故该选项错误； (2) 2 (x y)2 x2 2xy y2 B、 C、 D、 ，故该选项错误； 中两个二次根式不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误； 2 ，故该选项正确； 2 3 2(3a) 9a 故选：D. 【点睛】此题考查算术平方根的性质，完全平方公式，合并同类二次根式法则，积的乘方的运算法则，熟 练掌握各知识点是解题的关键. 4. 如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是 （）A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面往下看，上面看到两个正方形，下面看到一个正方形，右齐． 故选： ．C【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握物体的三视图是解题的关键． 5. 1cm 3cm 、 、 从长度分别为 5cm 、四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ）6cm 1133412A. B. C. D. 4A【答案】 【解析】 【分析】 试验发生包含的基本事件可以列举出共 4 种，而满足条件的事件是可以构成三角形的事件，可以列举出共 1 种，根据概率公式得到结果． 【详解】解：∵试验发生包含的基本事件为（1cm，3cm，5cm）；（1cm，3cm，6cm）；（1cm，5cm，6cm）； （3cm，5cm，6cm），共 4 种； 而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为（3cm，5cm，6cm），共 1 种； 1∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ，4故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏， 16. 已知 AOB ，作 AOB 的平分线 OM OM OC ，在射线 上截取线段 ，分别以 O、C 为圆心，大于 OC 2的长为半径画弧，两弧相交于 E，F．画直线 ，分别交 于 D，交 于 G．那么， 一定是（ ）OA OB ODG D. 直角三角形 EF A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 C【答案】 【解析】 【分析】 根据题意知 EF 垂直平分 OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到 OD=OG 得到答案. 【详解】如图，连接 CD、CG， 1OC ∵分别以 O、C 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于 E，F 2∴EF 垂直平分 OC， 设 EF 交 OC 于点 N， ∴∠ONE=∠ONF=90°， ∵OM 平分 AOB ，∴∠NOD=∠NOG， 又∵ON=ON， ∴△OMD≌△ONG， ∴OD=OG， ∴△ODG 是等腰三角形， 故选：C. 【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定 定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到 EF 垂直平分 OC 是解题的关键. yyA(2,4) 7. 已知正比例函数 1 的图象与反比例函数 2 的图象相交于点 ，下列说法正确的是（ ）yy 2x A. 正比例函数 1 的解析式是 14,2 B. 两个函数图象的另一交点坐标为 yyC. 正比例函数 1 与反比例函数 2 都随 x 的增大而增大 y y D. 当 或x 2 0 x 2 时， 21D【答案】 【解析】 【分析】 8y = 2x y =- 根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式 和，可判断 A 错误；两个函数 12x的两个交点关于原点对称，可判断 B 错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性质，可判断 C 错误，D 正确，即可选出答案． k2 y【详解】解：根据正比例函数 1 的图象与反比例函数 2 的图象相交于点 yA(2,4) y =k x ，即可设 ， 1 1 y = ，2xA(2,4) k 2 k 8 ，将分别代入，求得 ，128y = 2x y =- 即正比例函数 另一个交点与 ，反比例函数 ，故 A 错误； 12xA(2,4) 2， 4 ，故 B 错误； 关于原点对称，即 8y = 2x y =- 正比例函数 随 x 的增大而减小，而反比例函数 在第二、四象限的每一个象限内 y 均随 x 的 12x增大而增大，故 C 错误； 根据图像性质，当 8y = 2x 的下方，故 D 正 y =- 或0 x 2时，反比例函数 均在正比例函数 x 2 12x确． 故选 D． 【点睛】本题目考查正比例函数与反比例函数，是中考的重要考点，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题 的关键． 8. 如图， 、PA PB 为⊙O 的切线，切点分别为 A、B， 交于点 C， AB 的延长线交⊙O 于点 D．下 PO PO 列结论不一定成立的是（ ）A. 为等腰三角形 B. D. 与AB PD 相互垂直平分 △BPA C. 点 A、B 都在以 为直径的圆上 为的边 上的中线 PO PC △BPA AB B【答案】 【解析】 【分析】 连 接OB ， OC ， 令M 为 OP 中 点 ， 连 接MA ， MB ， 证 明Rt△OPB≌Rt△OPA ， 可 得BP=AP ， ∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出 为等腰三角形，可判断A；根据△OBP 与△OAP 为直角三 △BPA 角形，OP 为斜边，可得 PM=OM=BM=AM，可判断 C；证明△OBC≌△OAC，可得 PC⊥AB，根据△BPA 为等腰三角形，可判断 D；无法证明 相互垂直平分，即可得出答案． 与AB PD 【详解】解：连接 OB，OC，令 M 为 OP 中点，连接 MA，MB， ∵B，C 为切点， ∴∠OBP=∠OAP=90°， ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OPB≌Rt△OPA， ∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC， ∴为等腰三角形，故 A 正确； △BPA ∵△OBP 与△OAP 为直角三角形，OP 为斜边， ∴PM=OM=BM=AM ∴点 A、B 都在以 为直径的圆上，故 C 正确； PO ∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC， ∴△OBC≌△OAC， ∴∠OCB=∠OCA=90°， ∴PC⊥AB， ∵△BPA 为等腰三角形， ∴为的边 上的中线，故 D 正确； AB PC △BPA 无法证明 与AB PD 相互垂直平分， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运 用是解题关键． xOy 9. 如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点 D 在 y ABCD AB a, BC b,DAO x 轴的正半轴上，矩形的边 ．则点 C 到 x 轴的距离等于（ ）acos x +bsin x acos x +bcos x asin x +bcos x asin x +bsin x D. A. B. C. A【答案】 【解析】 【分析】 作 CE⊥y 轴于 E．解直角三角形求出 OD，DE 即可解决问题． 【详解】作 CE⊥y 轴于 E． 在 Rt△OAD 中， ∵∠AOD=90°，AD=BC= ，∠OAD= x，b∴OD= ，ADsin OAD bsin x ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDE+∠ADO=90°， 又∵∠OAD+∠ADO=90°， x∴∠CDE=∠OAD= ∴在 Rt△CDE 中， ，ax，∵CD=AB= ，∠CDE= ∴DE= ，CDcos CDE acos x xacos x +bsin x ∴点 C 到 轴的距离=EO=DE+OD= 故选：A． ，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 已知二次函数 y ax2 bx c图象的对称轴为 ，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② 10. x 1 abc 0 a b n(an b),(n 1) b 2a 0 ；③ ；④ ；⑤ ．正确的是（ ）a b c 0 2c 3b A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤ D【答案】 【解析】 【分析】 由图像判断出 a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据 b=-2a 可判断②；根据当 x=-1 时函数值小于 0 可判断③； 根据当 x=1 时，y 有最大值，y=a+b+c，当 x=n 时，y=an2+bn+c 即可判断④；当 x=3 时，函数值小于 0， by=9a+3b+c<0，且 b=-2a，即 a= ，代入 9a+3b+c<0 可判断⑤． 2【详解】∵抛物线开口向下， ∴a<0， b-∵对称轴 x= =1>0， 2a ∴b=-2a， ∴b>0， ∵抛物线与 y 轴的交点在正半轴， ∴c>0， ∴abc<0，①错误； ∵b=-2a， ∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②错误； 由图像可得当 x=-1 时，y=a-b+c<0，③错误； 当 x=1 时，y 有最大值，y=a+b+c， 当 x=n 时，y=an2+bn+c， a+b+c>an2+bn+c， 即 a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确； 当 x=3 时，函数值小于 0，y=9a+3b+c<0， b∵b=-2a，即 a= ，2b代入 9a+3b+c<0 得 9（ 3b ）+3b+c<0， 2+c<0， 2-3b+2c<0，即 2c<3b，⑤正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线图像和二次函数系数之间的关系，熟知抛物线图像和二次函数系数之间的 关系是解题关键． 二、填空题（本大题共 8 小题，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上） 1311. —的绝对值是______________． 1【答案】 3【解析】 【分析】 根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 113【详解】解：- 的绝对值是 31故答案为 ．3【点睛】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝 对值是 0． 212. 分解因式： =_________________________． 2m 2 2(m 1)(m 1) 【答案】 【解析】 ．2(m2 1) ．22(m 1)(m 1) 【详解】试题分析： ==2m 2 2(m 1)(m 1) 故答案为 ．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 13. 若多边形的内角和是外角和的 2 倍，则该多边形是_____边形. 【答案】六 【解析】 【分析】 n设这个多边形的边数为 ，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可． n【详解】设这个多边形的边数为 ，n 2 180 2360 ∴，解得： ，n 6 故答案为：六． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，是基础知识要熟练掌握内角和公式和外角和公式． x… 1 14. 不等式组 3的解集为______________． 1 2x 1 【答案】 【解析】 【分析】 x 1 分别解不等式即可得到不等式组的解集. x… 1① 【详解】解： 3，1 2x 1② 解不等式①得： 解不等式②得： ，x 3 x 1 ，∴原不等式组的解集为 ，x 1 故答案为： .x 1 【点睛】此题考查求不等式组的解集，正确解每个不等式求出不等式组的解集，熟记不等式组解集的口诀： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了. EAC ___________度． 15. 如图，直线 ∥BC ，，若 ，则 BA AC ABC 54 AE 【答案】36. 【解析】 【分析】 BAE, 根据平行线的性质先求解 利用 ，从而可得答案． BA AC 【详解】解：∵ AE ， ∥BC B BAE 180, B 54, BAE 18054 126, BA AC, BAC 90, EAC 12690 36, 故答案为：36. 【点睛】本题考查的是平行线的性质，垂直的性质，掌握以上知识是解题的关键． 16. 从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分 的关心，选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了 10 块自然条件相同的试验田进行试 验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是 甲 7.5 ，乙 7.5 ，方差 xx 0.010, S 2 乙 0.002 ，你认为应该选择的玉米种子是_________． 分别是 S2 甲 【答案】乙 【解析】 【分析】 通过平均数和方差的性质判断稳定性即可． 【详解】∵ 甲 7.5 ，乙 7.5 x，x∴=，乙x甲x∴甲，乙的每公顷产量相同， S2 S2 ∵∴，，甲 0.010 0.002 乙S2 S2 >，甲乙∴乙的产量比甲的产量稳定， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是解题关键． A(6,0) CODE 17. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点 ，点 B 在 y 轴的正半轴上， ．矩形 的ABO 30 OA, AB,OB CODE CODE 顶点 D，E，C 分别在 上， ．将矩形 沿 x 轴向右平移，当矩形 与ABO OD 2 CODE 向右平移的距离为___________． 重叠部分的面积为 时，则矩形 6 3 【答案】2 【解析】 【分析】 先求出点 B 的坐标（0， ），得到直线 AB 的解析式为： ，根据点 D 的坐标求出 OC y 3x 6 3 6 3 CODE 的长度，利用矩形 与ABO 重叠部分的面积为 列出关系式求出 ，再利用一次函数 D G 2 3 6 3 关系式求出OD =4，即可得到平移的距离. A(6,0) 【详解】∵ ，∴OA=6， 在 Rt△AOB 中， ，ABO 30 OA tan30 OB 6 3 ∴，∴B（0， ）， 6 3 ∴直线 AB 的解析式为： ，y 3x 6 3 当 x=2 时，y= ，4 3 ∴E（2， ），即 DE= ，4 3 4 3 ∵四边形 CODE 是矩形， ∴OC=DE= ，4 3 CODE C O D E D E AB 设矩形 沿 x 轴向右平移后得到矩形 ，交于点 ， G OB ∴∥，D E ∴△ ∴∠ ∴∠ ∽△AOB， AD G =∠AOB=30°， AGD =∠ =30°， EGE AGD ∴,GE 3EE CODE ∵平移后的矩形 与ABO 重叠部分的面积为 ，6 3 C O D GE ∴五边形 的面积为 ,6 3 1 O D O C EE GE 6 3 ∴∴,2124 3 EE 3EE 6 3 ,2∴,EE 2 CODE ∴矩形 向右平移的距离 =，DD EE 2 故答案为：2. 【点睛】 此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点 的综合题型，且较为基础的题型. 18. 观察下列结论： AB, BC AB, BC AN CM ，（1）如图①，在正三角形 中，点 M，N 是 中，点 M，N 是 上的点，且 上的点，且 ，则 ，则 ABC AM BN AM BN ；NOC 60 （2）如图②，在正方形 ，ABCD AN DM NOD 90 ；AB, BC ABCDE （3）如图③，在正五边形 中，点 M，N 是 上的点，且 ，则 ，AM BN AN EM NOE 108；…… A A A A A 根据以上规律，在正 n 边形 n 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点 M，N 是 1234A A , A A A M A NA NA M 相交于 O．也会有类似的结论．你的结论是 3 上的点，且 ，与122121n_________________． (n 2)180 A NA M NOA 【答案】 ，1nnn【解析】 【分析】 根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出（1）、（2）、（3）的结论，根据以上规律可得 出正 n 边形的结论． 【详解】（1）∵正三角形 ABC 中，点 M、N 是 AB、AC 边上的点，且 AM=BN， n 2 180 3 2 180 ∴AB=AC，∠CAM=∠ABN= ∵在△ABN 和△CAM 中， ， 60 n3AB AC ABN CAM BN AM ，∴△ABN≌△CAM（SAS）， ∴AN= CM，∠BAN=∠MCA， ∴∠NOC=∠OAC+∠MCA =∠OAC+∠BAN =∠BAC=60°， 故结论为：AN= CM，∠NOC=60 （2）∵正方形 ABCD 中，点 M、N 是 AB、BC 边上的点，且 AM=BN， ；n 2 180 4 2 180 ∴AB=AD，∠DAM=∠ABN= ， 90 n4同理可证：Rt△ABN Rt△DAM， ∴AN= DM，∠BAN=∠ADM， ∠NOD=∠OAD+∠ADM =∠OAD+∠BAN =∠BAC=90°， 故结论 ：AN= DM，∠NOD=90 （3）∵正五边形 ABCDE 中，点 M、N 是 AB、BC 边上的点，且 AM=BN， 为；n 2 180 5 2 180 ∴AB=AE，∠EAM=∠ABN= ，108 n5同理可证得：Rt△ABN Rt△EAM， ∴AN= EM，∠BAN=∠AEM， ∠NOE=∠OAE+∠AEM =∠OAE+∠BAN =∠BAE=108°， 故结论为：AN= EM，∠NOE=108 ；∵正三角形的内角度数为：60°， 正方形的内角度数为：90°， 正五边形的内角度数为：108°， n2 180 ∴以上所求的角恰好等于正 n 边形的内角 A A A A A ，nA A , A A A M A NA NA M 在正 n 边形 n 中，点 M，N 是 3 上的点，且 ，与相交于 121n1234122(n 2)180 A NA M NOA O，结论为： ，．1nnn(n 2)180 A NA M NOA 故答案为： ，．1nnnA NA M 与【点睛】本题考查了正 n 边形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是发现 1nn的夹角与正 边形的内角相等． 三、解答题（本大题共 8 小题，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明 的主要步骤） 19. 计算： ．2cos45 ( 2020) | 2 2 | 【答案】3 【解析】 【分析】 根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算及去绝对值法则进行计算即可． 【详解】解： 2cos45 ( 2020) | 2 2 | 2＝2× +1+2－ 22=+1+2－ 22=3． 【点睛】本题考查零次幂的性质、特殊角的三角函数值，绝对值性质实数的运算，熟练掌握计算法则是正 确计算的前提． a2 2a a2 1 a 1 20. 化简： ．a 1 a 1 2a 【答案】 【解析】 【分析】 先计算括号内异分母分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得. 2a2 a 1 2a 【详解】解：原式= a 1 a 1 (a 1)(a 1) 1(a 1)(a 1) 2a ==a 1 a 1 2a .【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟记分式混合运算的顺序和各类运算法则是解题的关键． 21. 如图，在正方形 的外侧，作等边角形 ，连接 BE 、．ABCD CE ADE （1）求证：△BAE≌△CDE （2）求 的度数． ；AEB 【答案】(1)见解析；(2)15°． 【解析】 【分析】 (1)利用正方形的性质得到 AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等边三角形的性质得到 AE=DE，∠EAD=∠EDA=60° 即可证明； (2)由 AB=AD=AE，得到△ABE 为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用 三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°， ∵△ADE 是等边三角形， ∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°， ∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°， ∴∠BAE=∠CDE， 在△BAE 和△CDE 中: AB CD BAE CDE AE DE ，△BAE≌△CDE(SAS) ∴．(2)∵AB=AD，且 AD=AE， ∴△ABE 为等腰三角形， ∴∠ABE=∠AEB， 又∠BAE=150°， ∴由三角形内角和定理可知： ∠AEB=(180°-150°)÷2=15°． 故答案为：15°． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，第二问中能得出△ABE 是等腰三角 形且∠BAE=150°是解题关键． 22. 为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌 握情况．现从七年级学生中随机抽取 50 名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述 和分析．部分信息如下： 50 x 60 60 x 70 70 x 80 ，a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组： 80 x 90 ，，，90 x 100 ）如图所示 70 x 80 b．七年级参赛学生成绩在 这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78 ， 79 c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 七平均数 中位数 众数 76.9 m80 d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为 79 分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 75 分以上（含 75 分）的有______人； （2）表中 m 的值为__________； （3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第______名； （4）该校七年级学生有 500 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数． 【答案】（1）31；（2）77.5；（3）24；（4） 人270 【解析】 【分析】 （1）根据条形图及成绩在 70≤x＜80 这一组的数据可得； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为 79 分在 70≤x＜80 这一组的数据的最后 1 位，据此可得到答案； （4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数所占比例可得． 【详解】（1）成绩在 70≤x＜80 这一组的数据中，75 分以上（含 75 分）的有 8 人， ∴在这次测试中，七年级 75 分以上（含 75 分）的有 15+8+8=31(人)， 故答案为：31； （2）七年级 50 人成绩的中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据分别为 77、78， 77 78 ∴m= =77.5， 2故答案为：77.5； （3）七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为 79 分在 70≤x＜80 这一组的数据的最后 1 位， 即 15+8+1＝24(名) ∴在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第 24 名， 故答案为：24； 4 158 270 (人) ． （4）估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数为 500 50 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所 需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 23. 某口罩生产厂生产的口罩 1 月份平均日产量为 20000，1 月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求 量大增，为满足市场需求，工厂决定从 2 月份起扩大产能，3 月份平均日产量达到 24200 个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量为多少？ 【答案】（1）10%；（2）26620 个 【解析】 【分析】 （1）设口罩日产量的月平均增长率为 x，根据 1 月及 3 月的日产量，即可列出方程求解． （2）利用 4 月份平均日产量=3 月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案． 【详解】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为 x，依据题意可得： 20000（1＋x）2＝24200， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意舍去）， ∴x＝10%， 答：口罩日产量的月平均增长率为 10%； （2）依据题意可得： 24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个）， 答：按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量 为26620 个． 【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量． 24. 如图， 是⊙O 的直径， 是⊙O 的切线， BC 交⊙O 于点 E． AC AB （1）若 D 为 的中点，证明： 是⊙O 的切线； AC DE （2）若 ，CE 3.6 ，求⊙O 的半径 的长． CA 6 OA 【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O 的半径 的长为 4 OA 【解析】 【分析】 （1）连接 AE 和 OE，由直角三角形的性质和圆周角定理易得∠OED=90°，可得 DE 是⊙O 的切线； ~（2）在 Rt△ACE 中求得 AE 的长，证得 Rt△ABE Rt△CAE，利用对应边成比例即可求解． 【详解】（1）连接 AE，OE， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°， ∵AC 是圆⊙O 的切线， ∴AC⊥AB， 在直角△AEC 中， ∵D 为 AC 的中点， ∴DE=DC=DA， ∴∠DEA=∠DAE， ∵OE=OA， ∴∠OEA=∠OAE， ∵∠DAE+∠OAE=90°， ∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°， ∴OE⊥DE， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=∠AEC=90°， 18 5在 Rt△ACE 中， CA=6， CE=3.6= ，218 524 AC2 CE2 62 ∴AE= ，5∴∠B+∠EAB=90°， ∵∠CAE+∠EAB=90°， ∴∠B=∠CAE， ~∴Rt△ABE Rt△CAE， 24 AB AB AE 5∴∴，即 ，．18 6AC CE 5AB 8 ，1AB 4 ∴⊙O 的半径 OA= 2【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、 相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 25. 问题背景：如图 1，在四边形 中， ，BAD 90 BCD 90 ，BA BC ，，ABCD ABC 120 MBN 60 ，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 、于 E、F．探究图中线段 ，，DC CF AD AE EF FC 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长 到 G，使 ，连接 ，先证明 CG AE BG _______________； △BCG≌△BAE ，再证明△BFC≌△BFE ，可得出结论，他的结论就是 探究延伸 1：如图 2，在四边形 中， ，BAD 90 BCD 90 ，BA BC ，ABCD ABC 2MBN ，MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交 、于 E、F．上述结论是否仍然成立？ DC AD 请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸 2：如图 3，在四边形 中， BA BC ，BAD BCD 180 ，ABC 2MBN ，ABCD MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交 、于 E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． DC AD 30° 实际应用：如图 4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 偏东 的 A 处舰艇乙在指挥中心南 的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 75 海里/小时的 70 速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以 100 海里/小时的速度前进，1.2 小时后，指挥中心观测到甲、 乙两舰艇分别到达 E、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距 70 离． 【答案】EF=AE+CF．探究延伸 1：结论 EF=AE+CF 成立．探究延伸 2：结论 EF=AE+CF 仍然成立．实际 应用：210 海里． 【解析】 【分析】 FC 延长 到 G，使 ，连接 ，先证明△BCG≌△BAE ，可得 BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证 BG CG AE 明，可得 GF=EF，即可解题； △BGF≌△BEF FC 探究延伸 1：延长 到 G，使 ，连接 ，先证明△BCG≌△BAE ，可得 BG=BE， BG CG AE ∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得 GF=EF，即可解题； △BGF≌△BEF FC 探究延伸 2：延长 到 G，使 ，连接 ，先证明△BCG≌△BAE ，可得 BG=BE， BG CG AE ∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得 GF=EF，即可解题； △BGF≌△BEF 的长实际应用：连接 EF，延长 AE，BF 相交于点 C，然后与探究延伸 2 同理可得 EF=AE+CF，将 AE 和 CF 代入即可． 【详解】解：EF=AE+CF FC 理由：延长 到 G，使 ，连接 ，CG AE BG 在△BCG 和△BAE 中， BC BA BCG BAE 90 CG AE ，∴△BCG≌△BAE （SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=60°， ∴∠CBG+∠CBF=60°， 即∠GBF=60°， 在△BGF 和△BEF 中， BG BE GBF EBF BF BF ，∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸 1：结论 EF=AE+CF 成立． FC 理由：延长 到 G，使 ，连接 ，CG AE BG 在△BCG 和△BAE 中， BC BA BCG BAE 90 CG AE ，∴△BCG≌△BAE （SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， 1∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC， 21∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC， 21即∠GBF= ∠ABC， 2在△BGF 和△BEF 中， BG BE GBF EBF BF BF ，∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸 2：结论 EF=AE+CF 仍然成立． FC 理由：延长 到 G，使 ，连接 ，CG AE BG ∵BAD BCD 180 ，∠BCG+∠BCD=180°， ∴∠BCG=∠BAD 在△BCG 和△BAE 中， BC BA BCG BAE CG AE ，∴△BCG≌△BAE （SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， 1∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC， 21∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC， 21即∠GBF= ∠ABC， 2在△BGF 和△BEF 中， BG BE GBF EBF BF BF ，∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 实际应用：连接 EF，延长 AE，BF 相交于点 C， ∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°， 1∴∠EOF= ∠AOB 2∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°， 的∴符合探索延伸中 条件 ∴结论 EF= AE+CF 仍然成立 即 EF=75×1.2+100×1.2=210（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为 210 海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2y kx 2 A(1,0) 26. 已知直线 与抛物线 （b，c 为常数，b 0）的一个交点为 ，点 y x bx c M (m,0) 是 x 轴正半轴上的动点． 2y kx 2 （1）当直线 与抛物线 （b，c 为常数，b 0）的另一个交点为该抛物线的顶点 E y x bx c 时，求 k，b，c 的值及抛物线顶点 E 的坐标； （2）在（1）的条件下，设该抛物线与 y 轴的交点为 C，若点 Q 在抛物线上，且点 Q 的横坐标为 b，当 1S△EQM S △ACE 时，求 m 的值； 21227 2 4b （3）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 ，当 的最小值多 时，求 b 的值． 2AM 2DM 1,4 【答案】（1）-2，2，-3， ；（2）3或 7；（3）3 【解析】 【分析】 y kx 2 A(1,0) A(1,0) y kx 2 （1）由题意可知直线 经过 ，因而把 代入直线 即可求出 k 的值，然 2A(1,0) y kx 2 后把 代入抛物线得出含 b 的代数式表达 c，再根据直线 与抛物线 （b，c y x bx c 2 b 4c b ,y 2x 2 为常数，b 0）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标 E ，并代入直线 ，解方程 24即可求出 b 的值，代入即可求解； y 2x 2 （2）由（1）可知直线的解析式是 ，抛物线的解析式为 y x2 2x 3 ，根据题意使 求x 0 出 C 的坐标，使 x b 2 求出 Q 的坐标，根据已知条件作图，延长 EQ交 x轴于点 B，因为点 D在 y轴上 y 2x 2 且在直线 上，所以令 时求出点 D的坐标，看图可知 AO是△ACE 以 CD为底的高，设 E到 y x 0 1S△ACE 求出 △EQM ，设点 E lSS S 轴的距离为 ，是△CED以 CD为底的高，因此可以求出 ACE ，根据 1△EQM 2y ax c l ,l l和 Q所在直线的解析式为 ，求出点 B 的坐标，设点 Q和点 E到 x轴的距离分别为 ，2 是 SEMB SBQM 求解，即可求出 m 的值； 23Sl△EMB 以 MB为底的高， 3 是△BQM 以 MB为底的高，再根据 EQM 12b （3）将点 D 的横坐标 代入抛物线 （b，c 为常数，b 0），根据点 A的坐标得到含 b y x bx c 21b3b3b , x b 的的代数式表达 c，求出点 D 的纵坐标为 ，可知点 D 在第四象限，且在直线 22 4 2 4 N(0,1) 右侧，取点 ，过点 D 作直线 AN 的垂线，垂足为 G，DG 与 x 轴相交于点 M，过点 D 作 QH⊥x 轴 1b ,0 M (m,0) ，用 于点 H，则点 H ，在 Rt△MDH 中，可知 ，由题意可知点 DMH MDH 45 227 2 含 b 的代数式表示 m，因 【详解】解：（1）∵直线 ，可得方程，求解即可得出答案． 2AM 2DM 4y kx 2 A(1,0) 经过 ，A(1,0) y kx 2 ∴把 代入直线 ，可得 ，解得 ；0 k 2 k 2 2A(1,0) ∵抛物线 ∴把 （b，c 为常数， ）经过 ，b 0 y x bx c 2A(1,0) 代入抛物线 ，可得 ，y x bx c c b 1 2y kx 2 ∵当直线 与抛物线 （b，c 为常数， ）的另一个交点为该抛物线的顶点 E， b 0 y x bx c 2 2 b 4c b b 4c b ,,y 2x 2 ∴顶点 的坐标为 E，把 代入直线 ，E2424b4c b2 可得 ∴，2 2 244 b 1 b2 b，解得 ，b 2 2 2 24∵b 0，∴ ，∴ c 2 1 3 ，b 2 1,4 ∴顶点 的坐标为 ．E，抛物线的解析式为 y x2 2x 3 ，y 2x 2 （2）由（1）可知直线的解析式是 ∵抛物线与 y 轴的交点为 C， 0,3 ∴令 ，C 的坐标为 ，x 0 ∵点 Q 在抛物线上，且点 Q 的横坐标为 b， 由（1）可知 ∴Q 的坐标为 ，∴ x 2 ，b 2 2,3 ．延长 EQ交 x轴于点 B，如图 1 所示， y 2x 2 ∵D 在 y轴上，且在直线 上， 0,2 ∴当 时，点 D的坐标为 ，x 0 l∵AO 是△ACE 以 CD为底的高，设 E到 y轴的距离为 ，是△CED以 CD为底的高， 11111SS SACD SCED CD AO CD l 11 111 ∴∴，ACE EQM 122221112 SACE 1 ．22y ax c 设点 E和 Q所在直线的解析式为 2,3 ，a 1 y x 5 1,4 把点 E 和点 Q 代入，解得： ，∴该直线的解析式为 ，c 5 y 0 5,0 ．令，求得点 B 的坐标为 l ,l l l ， 2 是△EMB 以 MB为底的高， 3 是△BQM 以 MB为底的高， 设点 Q和点 E到 x轴的距离分别为 231111S SEMB SBQM MB l MB l 5 m 4 5 m 3 1 ∴，EQM 2322227或 ，． 解得： m 3 12b （3）∵点 D 在抛物线 （b，c 为常数，b 0）上，且点 D 的横坐标为 ，y x bx c 221212∴，yD b b b c 2A(1,0) ∵在抛物线 （b，c 为常数， ）上， b 0 y x bx c 2∴1 b c 0 ，即 ，c b 1 2121b3∴，yD b b b b 1= 22 4 1b3b , x b 的右侧． 可知点 D 在第四象限，且在直线 22 4 22AM 2DM 2 AM DM ∵，2N(0,1) ∴可取点 ，如图 2，过点 D 作直线 AN 的垂线，垂足为 G，DG 与 x 轴相交于点 M， 2∴ ，得 ，GAM 45 AM GM 21b ,0 则此时点 M 满足题意，过点 D 作 QH⊥x 轴于点 H，则点 H ，2在 Rt△MDH 中，可知 ，DMH MDH 45 ∴，DH MH, DM 2MH M (m,0) ∵点 ，b312b1 0 b m m ∴∵，解得： ， 2 4 2427 2 4，2AM 2DM b 1 12b 1 27 2 2 (1) 2 2 b ∴∴， 2 4 2 4 4b 3 ．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、 三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式． 本试卷的题干 0635
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