精品解析：湖南省永州市2020年中考数学试题（解析版）

永州市 2020 年初中学业水平考试数学（试题卷）温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡，考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回． 3．本试题卷共 6 页，如有缺页，请声明． 4．本试题卷共三道大题，26 个小题．满分 150 分，考试时量 120 分钟．一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1. 2020的相反数为（）11A. B. C. D. 2020 2020 2020 2020 B【答案】【解析】【分析】直接利用相反数的定义求解．【详解】 2020的相反数为－（-2020）=2020．故选 B．【点睛】考查了相反数，解题关键是正确理解相反数的定义． 2. 永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A、轴对称图形，故本选项不合题意；是B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3. 永州市现有户籍人口约 635.3 万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）0.6353107 A. 5 人 B. 5 人 C. 6 人 D. 6.35310 63.5310 6.35310 C【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数. 6【详解】635.3 万= 故选：C. ，6.35310 【点睛】此题考察科学记数法，注意 n 的值的确定方法，当原数大于 10 时，n 等于原数的整数数位减 1，按此方法即可正确求解. 4. 下列计算正确的是（）2a3  a5 a2b  2ab2  3a3b3 a6  a3  a2 a6 a3  a9 A. B. C. D. C【答案】【解析】【分析】根据整式的加法计算法则，同底数幂乘法计算法则，同底数幂除法计算法则，幂的乘方计算法则依次判断即可. 2【详解】A、与2 不是同类项，不能合并，故该项错误； a b2ab 63B、 3 ，故该项错误； a  a  a 63C、 D、 9 ，故该项正确；，故该项错误； a a  a 2a3  a6 故选：C. 【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式的加法计算法则，同底数幂乘法计算法则，同底数幂除法计算法则，幂的乘方计算法则是解题的关键. 5. 已知一组数据 1，2，8，6，8 对这组数据描述正确的是（）A. 众数是 8 B. 平均数是 6 C. 中位数是 8 D. 方差是 9 A【答案】【解析】【分析】求出该组数据的平均数、众数、中位数及方差，再依次判断即可. 【详解】将数据由小到大重新排列为：1，2，6，8，8， ∴中位数为 6，众数为 8， 1 2  6 88  5 平均数为方差为：，5152222  (15)  (2 5)  (6 5)  2(85) =8.8， 正确的描述为：A，故选：A . 【点睛】此题考查统计是计算，正确掌握数据的平均数、众数、中位数及方差的计算方法是解题的关键. AB  DC,ABC  DCB 6. 如图，已知．能直接判断的方法是（）△ABC≌△DCB A. B. C. D. ASA SAS AAS SSS A【答案】【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理解答. 【详解】在△ABC 和△DCB 中， AB  DC ABC  DCB BC  CB ,∴(SAS), △ABC≌△DCB 故选：A. 【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键. PA, PB 7. 如图，已知 O O 是的两条切线，A，B 为切点，线段交于点 M．给出下列四种说法：① OP ；② ；③四边形有外接圆；④M 是AOP 外接圆的圆心，其中正确说法的个数 OP  AB OAPB PA  PB 是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C【答案】【解析】【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④． PA, PB 是O 【详解】解：如图，的两条切线， PA  PB,APO  BPO, PA  PB,APO  BPO, 故①正确， PO  AB, 故②正确， PA, PB 是O 的两条切线， OAP  OBP  90, Q的中点，连接 AQ, BQ ，取则OP 1AQ  OP  BQ, 2Q所以：以为圆心， QA B,O, P, A 为半径作圆，则共圆，故③正确， M 是外接圆的圆心， AOP MO  MA  MP  AO, AOM  60, 与题干提供的条件不符，故④错误，综上：正确的说法是个， 3故选 C．【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键． AE EB 238. EF//BC, 如图，在ABC 中，，四边形 BCFE 的面积为 21，则ABC 的面积是（）91 A. B. 25 C. 35 D. 63 3B【答案】【解析】【分析】 EF//BC 在ABC 中，，即可判断AEF∽ABC ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．【详解】解：∵ ∴EF//BC AEF  B，AFE  C AEF∽ABC ∴∵AE 2EB 3AE AB 25∴∴2SAEB SABC 24    5  25 SAEB S四边形BCFE 21 4∴S 21 ∵∴∴四边形BCFE SAEB =4 SABC =25 故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方． 9. 如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A. 4 B. 2 C. D. 32 3 D【答案】【解析】【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为 2，该几何体的高为 2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可. 的【详解】由三视图可知：底面等边三角形边长为2，该几何体的高为 2，该几何体的左视图为长方形，该长方形的长为该几何体的高 2，宽为底面等边三角形的高， 3∵底面等边三角形的高= ，2sin 60 2  3 2∴ 它的左视图的面积是，2 3 故选：D. 【点睛】此题考查简单几何体的三视图，能根据几何体会画几何体的三视图，能依据三视图判断几何体的长、宽、高的数量，掌握简单几何体的三视图是解题的关键. kx0  y0  b y  kx  b y  kx  b P x, y d  10. 已知点 0 和直线，求点 P 到直线的距离 d 可用公式计算．根 01 k2 1,1 ，半径为 1，直线 l 的表达式为 C 据以上材料解决下面问题：如图，的圆心 C 的坐标为 y  2x  6 PQ 的最小值是（ C ，P 是直线 l 上的动点，Q 是上的动点，则）3 5 53 5 6 5 5A. B. C. D. 2 1 1 5B【答案】【解析】【分析】 C 过点 C 作直线 l 的垂线，交于点 Q，交直线 l 于点 P，此时 PQ 的值最小，利用公式计算即可. C 【详解】过点 C 作直线 l 的垂线，交于点 Q，交直线 l 于点 P，此时 PQ 的值最小，如图， kx0  y0  b 211 6 3 5 5d  1 C ∵点 C 到直线 l 的距离，半径为 1， 1 k2 21 2 3 5 PQ 的∴最小值是，5故选：B. 【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点 P 与点 Q 最小时的位置是解题的关键. 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 1×11. 在函数 y  中，自变量的取值范围是________． x 3 【答案】x≠3 【解析】【分析】根据分式有意义的条件，即可求解． 1y  【详解】∵在函数中，x-3≠0， x 3 ∴x≠3．故答案是：x≠3．【点睛】本题主要考查函数的自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键． x  y  4 12. 方程组的解是_________． 2x  y  2 x  2 y  2 【答案】【解析】【分析】直接利用加减消元法求解． x  y  4① 【详解】 2x  y  2② 由①+②得：3x=6，解得 x=2，把 x=2 代入①中得，y=2， x  2 y  2 所以方程组的解为．x  2 y  2 故答案为：．【点睛】考查了解二元一次方程组，解题关键是利用加减消元法实现消元． 2﹣﹣4x m=0 13. x 若关于的一元二次方程 xm有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．﹣m4．【答案】＞【解析】 22﹣△=b 4ac= ﹣﹣﹣﹣．44×1× m=16+4m 0＞，解得：＞ m4试题分析：：由已知得：考点：根的判别式．（）（）14. 永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了 50 名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： _________ 根据抽样调查结果，估计该校七年级 600 名学生中，80 分（含 80 分）以上的学生有人．【答案】480 【解析】【分析】用七年级的学生总数乘以样本中 80 分以上的比例即可得到答案. 2515 600  480 【详解】（人） 50 故答案为：480. 【点睛】此题考查用样本的比例估计总体的比例，由此求出对应的总体中的人数，正确理解用样本估计总体的方法是解题的关键. 215. 已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1 分米，则圆锥的侧面积是__________平方分米． 4【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图就是扇形，求圆锥的侧面积就是求扇形的面积，圆锥的底面周长就是扇形弧长，母线长就是扇形的半径，根据扇形面积公式，即可求解． 2【详解】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为分米，扇形的半径等于母线长为 1分米， 11  2 2 4S = lR S =  1= 根据得，平方分米．扇扇24故答案为．【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握圆锥的侧面展开图是解答本题的关键． a//b 16. 已知直线，用一块含 30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若 1 25，则 _________． 2  【答案】35° 【解析】【分析】 a2  DCA, 如图，标注字母，延长交于，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明 CED BDE  DCA 1，从而可得答案．【详解】解：如图，标注字母， a延长交于，CED B  30,DEB  90, 由题意得： BDE  60, a / /b, 2  DCA, BDE  DCA 1,1 25, DCA  60 25  35, 2  35. 故答案为：35. 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6如图，正比例函数 y  x与反比例函数 17. y   的图象交于 A，C 两点，过点 A 作 AB  x 轴于点 B，过 x点 C 作CD  x 轴于点 D，则的面积为_________． △ABD 【答案】6 【解析】【分析】根据函数解析式算出 A、D 的坐标,再根据三角形面积公式求出即可． 6x   【详解】令 ,解得 ,x  6 x∴A( ∴B( ),C( )．  6, 6 6,  6 ),D( )． 6,0  6,0 则 BD= ,AB= ,62 6 11 BD AD  2 6 6  6 ∴S△ABD =．22故答案为:6．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于利用联立解析式求解交点． P 4,3 ，M，N 分 18. AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 AOB  60 ，在 AOB 内有一点 OA,OB PM, PN, MN 别是边上的动点，连接，则PMN 周长的最小值是_________．【答案】 4 5 【解析】【分析】分别作出点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P PPPOA OB M1 和 2 ，连接 2 ，分别与和交于点和，此时， N1PP2 的长即为PMN 周长的最小值． 1【详解】解：分别作出点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P PP4PP1 和 2 ，则 2 （，），连接 -3 2 ，分别与和 OA 1OB 交于点 M 和 N，此时， PP的长即为周长的最小值． PMN 12可得直线 OA 的表达式为 y=2x，设 P (x,y)，由 P POA 垂直及 P P由2 与直线 2 中点坐标在 AOB  60 111直线 OA 上可得方程组： y 3 x  4 y  3 ·2  1 x  4  2·  2 2x  0 y  5 解得：则 P (0 5) ，， 1由两点距离公式可得： PP  (0  4)2  (5 3)2  4 5 12即PMN 周长的最小值．4 5 故答案为．4 5 【点睛】本题考查了轴对称变换中的最短路径问题，解题关键在于找出两个对称点，利用方程求出点 P 1 的坐标．三、解答题（本大题共 8 个小题，共 78 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 1 1  0319. 计算： 2020  8sin30  ．  2  【答案】0 【解析】【分析】依次计算零指数幂，化简立方根乘以特殊的三角函数值，最后一项利用负指数幂，最后相加减即可得出答案． 1 1 2 2 【详解】解：原式 211 2  0 【点睛】此题主要考查了实数的运算以及特殊的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 21a  2 a  2a 1 (a  2) 20. 先化简，再求值：，其中．a  2 a 1 a2 1 a2  4a  4 3【答案】，1 a 1 【解析】【分析】先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可． 21a  2 a  2a 1 (a  2) 【详解】解： a 1 a2 1 a2  4a  4 (a 1)2 1a  2 (a  2) a 1 (a 1)(a 1) (a  2)2  1 a 1 (a  2) a 1 (a 1)(a  2) a  2 a 1 a 1 a 1 3a 1 31 当时，原式 a  2 2 1 【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键． 21. 今年 6 月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为 A，B，C，D 四个等级，A：90  S 100 ，B：80  S  90 ，C： 70  S  80 ，D： S  70 ，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整． m  n  _________，B 等级所占扇形的圆心角度数为___________．（2）扇形统计图中 ___________，（3）该校准备从上述获得 A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四 AABB， 2 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到 1 人中有两名男生（用，2 表示），两名女生（用 11名男生和 1 名女生的概率． 2【答案】（1）见解析；（2）15，5，252°；（3） 3【解析】【分析】 (1)先求出总人数，减去 A、B、D 等级的人数即可补充统计图； (2)利用每个等级是人数除以总数再乘以 100%求出 m 与 n，根据百分比乘以 360°求出 B 等级所占圆心角的度数； (3)列树状图解答. 【详解】解：（1）总人数为 28  70%  40 （人）， C 等级的人数为： 40  4  28  2  6（人），补充统计图： 62m%  100% 15% n%  100%  5% ，（2），40 40 ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 70%360  252 故答案为：，n  5，252° ； m 15 （3）列树状图如下：共有 12 种等可能的情况，其中恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的有 8 种， 823∴P（1 男，1 女） .12 【点睛】此题考查统计的计算：求调查的总人数，计算部分的百分比，计算部分的圆心角的度数，还考查了利用列树状图求事件的概率. 22. 一艘渔船从位于 A 海岛北偏东 60°方向，距 A 海岛 60 海里的 B 处出发，以每小时 30 海里的速度沿正南方向航行．已知在 A 海岛周围 50 海里水域内有暗礁．（参考数据：）3 1.73, 5 2.24, 7 2.65 （1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行 3 小时后到达 C 处，求 A，C 之间的距离．【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50 海里【解析】【分析】 AD  BC （1）过 A 点作（2）在于点 D，在中求出 AD 与 50 海里比较即可得到答案； Rt△ABD 中求出 BD 得到 CD，再根据勾股定理求出 AC. Rt△ABD AD  BC 【详解】解：（1）过 A 点作于点 D， ∴，ADB  ADC  90 由题意可得，B  60 3∴在中，，Rt△ABD AD  AB sin60  60  30 3 51.9  50 2∴渔船在航行过程中没有触礁的危险； （2）在中，，Rt△ABD BD  AB cos60  30 ∵∴BC  330  90 ，DC  90  30  60 ，2222在中，，RtADC AC  AD  CD  (30 3)  60  30 7 79.50 即 A，C 之间的距离为 79.50 海里. 【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键. 23. 某药店在今年 3 月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和 N95 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费 1600 元，N95 口罩花费 9600 元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比 N95 口罩的单价少 10 元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和 N95 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共 2000 只，预算购进的总费用不超过 1 万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【答案】（1）一次性医用口罩和 N95 口单价分别是 2 元，12 元；（2）药店购进一次性医用口罩至少 1400 只【解析】【分析】 x 10 （1）设一次性医用口罩单价为 x 元，则 N95 口罩的单价为 元，列分式方程求解即可；（2）设购进一次性医用口罩 y 只，根据题意列不等式求解即可． x 10 【详解】解：（1）设一次性医用口罩单价为 x 元，则 N95 口罩的单价为 元1600 9600 由题意可知，，xx 10 解方程得x  2 经检验 x  2 是原方程的解， x  2 时， x 10  12 ．当．答：一次性医用口罩和 N95 口单价分别是 2 元，12 元．（2）设购进一次性医用口罩 y 只 2y 12(2000  y)  10000 根据题意得解不等式得，y 1400 ．答：药店购进一次性医用口罩至少 1400 只．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握列分式方程与列不等式是解题的关键． O, AB 24. O O 如图，ABC 内接于是的直径，与相切于点 B，交的延长线于点 D，E AC BD BD 为的中点，连接．CE BD O （1）求证：（2）已知是的切线． CE ，求 O，E 两点之间的距离． BD  3 5,CD  5 9【答案】（1）见解析；（2） 2【解析】【分析】（1）连接，先推出，然后根据是CE RtBCD 斜边上的中线，得出CE  BE ，从 BD OC BCD  90 O 而可得，根据与相切，得到OBC  EBC  90 ，EBC  ECB BD OCE  90 O 可得OCB  ECB  90 ，即，即可证明是的切线； CE BD CD （2）连接 OE，先证明 BCD∽ABD ，可得可求出 OE．，可求出 AD，根据是的中位线，即 OE △ABD AD BD 【详解】（1）证明：连接，OC ∵∴∵∴∵∴∴∵∴∴∴∴OC  OB ，OBC  OCB O ，是的直径，，则 AB ，ACB  90 BCD  90 是CE RtBCD 斜边上的中线， BD CE  BE ，，EBC  ECB O 与相切， BD ，即OBC  EBC  90 ，ABD  90 OCE  90 OCB  ECB  90 ，即，OC  CE O ，是的切线； CE （2）连接 OE， ∵∴D  D，BCD  ABD ，BCD∽ABD ，BD CD 2∴，即，(3 5)  5AD AD BD ∴∵，AD  9 是的中位线， OE △ABD 19OE  AD  ∴．22【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定进而性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，掌握知识点，结合现有条件灵活运用是解题关键． xoy 25. 在平面直角坐标系中，等腰直角ABC 的直角顶点 C 在 y 轴上，另两个顶点 A，B 在 x 轴上，且，抛物线经过 A，B，C 三点，如图 1 所示． AB  4 （1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线 l 交抛物线于 M，N 两点，如图 2 所示． ①求面积的最小值． △CMN 32Q 1, ②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 P，使得点 P 与点 Q 关于直线 l 对称，若存在， 求出点 P 的坐标及直线 l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 12121y  x2  2 P3, P  3, 【答案】（ 1 ）；（ 2 ） ①4 ； ② 点，或点，y  (1 3)x 2y  (1 3)x 【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为 y  ax2  bx  c，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解 A, B,C 析式即可得到答案； y  kx M x, y N x, y 2（2）①设直线 l 的解析式为，交点 2  ，2  ，联立一次函数与二次函数的解析式， 1x  x 利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线 k121P m, m2  2 OP  OQ m, 列方程求解再求上存在点，使得点 P 与点 Q 关于直线 l 对称，利用对称得： 2点 P 的坐标及直线 l 的一次函数表达式即可．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为 y  ax2  bx  c ，在等腰中，垂直平分，且，RtABC OA  OB  OC  2 A(2,0) B(2,0) C(0,2) OC AB AB  4 ∴∴．4a  2b  c  0 4a  2b  c  0 c  2 ，12b  0 a  解得： c  2 1y  x2  2 ∴抛物线的解析式为 2y  kx M x, y N x, y （2）①设直线 l 的解析式为，交点 2  ，2  121y  x2  2 由，2y  kx 1×2  kx  2  0 可得，2x  x  2k x  x  4 ，∴∴∴∴．1212222，x  x  x  x  4x1x2  4k 16 2  2  112．x1  x2  2 k  4 1S SOCM  SOCN  OC  x  x  2 k2  4 ．CMN 1222∴当 k  0 时，取最小值 4． 2 k  4 S∴CMN 的最小值是 4． 1P m, m2  2 ②假设抛物线上存在点，使得点 P 与点 Q 关于直线 l 对称， 23  2 3112   m2  m2  2 , OP  OQ ∴，即   2  2m 1 m  1 ，解得：，m1  3 m2  3 ，34m 1 m  1 ，∵当，（不合题意，舍去．） 34121 3 P3, PQ ,1 时，点，线段的中点为．m1  3 21 3 ∴，k  1 22k    1 3 ．1 3 ∴直线 l 的表达式为：．y  (1 3)x 121 3 P  3, PQ ,1 当∴m1  3 时，点 1 3 ，线段的中点为．2，k  1 221 3 k    1 3 ．∴直线 l 的表达式为： y  (1 3)x 1212P3, P  3, 综上：点，或点，．y  (1 3)x y  (1 3)x 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质，利用因式分解的方法解方程，掌握以上知识是解题的关键． 26. 某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两 6cm 张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图 1 所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 45° 的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图 2 所示的四边形时，求证：四边形是菱形． ABCD ABCD （3）设平移的距离为并求 s 的最大值．，两张纸条重叠部分的面积为 2 ．求 s 与 x 的函数关系式， xcm(0  x  6  6 2) scm 【答案】（ 1 ）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（ 2 ）见解析；（ 3 ） 12x2 (0  x„ 6) 6x 18(6  x„ 6 2) 2s  ，s 的最大值为．36 2cm 12 [x  (6  6 2)]  36 2(6 2 x  6  6 2) 236 2(x  6  6 2) 【解析】【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；（2）分别过点 B、D 作 BE  CD于点 E、于点 F，再根据纸条的特点证明四边形 ABCD是平行 DF  CB 四边形，再证明邻边相等即可证明；（3）分、、和 x= 四种情况分别求出 s 与 x 的函数关系式， 6  6 2 0  x  6 6  x„ 6 2 6 2 x<6  6 2 然后再求最大值即可．【详解】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）证明：分别过点 B、D 作 BE  CD于点 E、于点 F， DF  CB ∴BEC  DFC  90 ∵两张纸条等宽， ∴在．BE  DF  6 和BCE DCF 中BCE  DCF  45 ，22∴，BC  DC  6  6 =62 ∵两张纸条都是矩形，， ∴AB//CB ．BC//AD ∴四边形是平行四边形， ABCD 又∵ BC  DC ，∴四边形是菱形； ABCD （3）Ⅰ、如图：当时，重叠部分为三角形，如图所示， 0  x  6 1S  x2 ∴∴，220  S„ 18 ．最大值为．18cm xcm (x  6)cm 的时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形下底为 Ⅱ、如图：当，上底为．，6  x„ 6 2 12S  x  x  6 6  6x 18 ∴，当时，s 取最大值 (36 218)cm x  6 2 2Ⅲ、当时，重叠部分为五边形， 6 2 x  6  6 2 11S五边形 =S菱形  S三角形  6 26  (6  6 2 x)2  [x  (6  6 2)]2  36 2 ．2236 218  S  36 2 此时．五边形 Ⅳ、当时，重叠部分为菱形，．x  6  6 2  36 2cm2 S∴菱形 12x2 (0  x„ 6) 6x 18(6  x„ 6 2) s  ∴12 [x  (6  6 2)]  36 2(6 2 x  6  6 2) 236 2(x  6  6 2) 2∴s 的最大值为．36 2cm 【点睛】本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键．本试卷的题干 0635