湖南省怀化市 2020年中考数学真题 一、选择题（每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的 相应位置上） 1. 下列数中，是无理数的是（ ）13A. B. C. D. 03 7D【答案】 【解析】 【分析】 根据无理数的三种形式求解即可． 1【详解】解：-3，0， 是有理数， 是无理数． 73故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无 限不循环小数，③含有 π 的数． 2. 下列运算正确的是（ ）a6 a2 a4 a2 a3 a6 a2 a3 a5 A. B. C. (2ab)3 6a3b3 D. B【答案】 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项，进而可得 答案． 【详解】解：A、 2 与 3 不是同类项，不能合并，所以本选项计算错误，不符合题意； aa62B、 C、 D、 4 ，所以本选项计算正确，符合题意； a a a 32ab 8a3b3 6a3b3 ，所以本选项计算错误，不符合题意； 2356 ，所以本选项计算错误，不符合题意． a a a a 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法和乘法以及积的乘方等运算法则，属于基本题型，熟练 掌握上述基础知识是关键． 3. 《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中 2016 年光明日报出版社 出版的《红楼梦》有 350 万字，则“350 万”用科学记数法表示为（ ）3.5106 0.35107 3.5102 350104 A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 nnn取决于原数小数点的移动 1 a 科学记数法的形式是： ，其中 ＜10， 为整数．所以a 3.5 ，a 10 nnn位数与移动方向， 是小数点的移动位数，往左移动， 为正整数，往右移动， 为负整数。本题小数点往 左移动到 的后面，所以 3n 6. 4246【详解】解：350 万 35010 3.510 10 3.510 . 故选 A. 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定 a,n 好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 的4. 若一个多边形 内角和为1080°，则这个多边形的边数为【 】 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 C【答案】 【解析】 多边形内角和定理． 【分析】设这个多边形的边数为 ，由边形的内角和等于 ﹣﹣）nn180° n2180 n2=1080 ，（），即可得方程 （n=8 C解此方程即可求得答案： ．故选 ． ac5. 如图，已知直线 ，被直线 所截，且a / /b ，若 ，则 的度数为（ ）b 40 60 140 50 40 A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 首先根据对顶角相等可得∠1 的度数，再根据平行线的性质可得 的度数． 【详解】解：∵ ＝40°， ∴∠1＝ ＝40°， ∵a∥b， ∴＝∠1＝40°， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了对顶角相等和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 6. 小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（ ）A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 B【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，结合该公司所有员工工资的情况，从统计量的角度分析可得答案． 【详解】解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工 的工资水平， 故最应该关注的数据是中位数， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义，以及在实际情境中统计意义，掌握以上知识 是解题的关键． BAC 7. 在中， ，平分 ，交 BC 于点 ，，垂足为点 ，若 E，RtABC DE AC BD 3 DAD B 90 则的长为（ ）DE 3A. 3 B. C. 2 D. 6 2A【答案】 【解析】 【分析】 证明△ABD≌△AED 即可得出 DE 的长． 【详解】∵DE⊥AC， ∴∠AED=∠B=90°， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠EAD， 又∵AD=AD， ∴△ABD≌△AED， ∴DE=BE=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关 键． 28. 已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ k）x kx 4 0 A. B. k 4 C. k 4 D. k 4 k 2 C【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可得方程的判别式△=0，进而可得关于 k 的方程，解方程即得答案． 【详解】解：由题意，得： k 2 16 0 ，解得： k 4 ．故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程 根的个数的关系是解题关键． 9. 在矩形 中， 、相交于点 ，若AOB 的面积为 2，则矩形 的面积为（ ）ABCD AC OABCD BD A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 C【答案】 【解析】 【分析】 S SBCO SCDO SABO 2 ，即可求出矩形 ABCD 的 根据矩形的性质得到 OA=OB=OC=OD，推出 面积. ADO 【详解】∵四边形 ABCD 是矩形，对角线 ∴AC=BD，且 OA=OB=OC=OD， 、相交于点 ，AC OBD S SBCO SCDO SABO 2 ∴,ADO 4S 8 ,∴矩形 的面积为 ABCD ABO 故选：C 【点睛】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的；面积四等分，由此 可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键. k2 y k x b 10. y (x 0) 在同一平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图像如图所示、则当 112xx2 时，自变量 的取值范围为（ y1 y ）AB. C. 0 x 1 D. x 1 x 3 1 x 3 D【答案】 【解析】 【分析】 观察图像得到两个交点的横坐标，再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段，从而可得答 案． 1,3, 【详解】解：由图像可得：两个交点的横坐标分别是： y y 所以：当 2 时， 1，1 x 3 故选 D． 【点睛】本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式，掌握数型结合的方法是解题的关 键． 二、填空题（请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 111. 代数式 有意义，则 x 的取值范围是__． x 1 【答案】x＞1 【解析】 【分析】 根据被开方式大于零列式解答即可. 【详解】解：由题意得：x﹣1＞0， 解得：x＞1， 故答案为 x＞1． 【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考 虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；③当代数 式是二次根式时，被开方数为非负数． 312. 若因式分解： __________． x x x x1 x 1 【答案】 【解析】 【分析】 应用提取公因式法，公因式 x，再运用平方差公式，即可得解. x3 x x x2 1 x x1 x 1 【详解】解： 【点睛】此题主要考查运用提公因式进行因式分解，平方差公式的运用，熟练掌握即可解题. 13. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是 80 分，面试成绩是 60 分，综合成绩笔试占 60%，面试占 40%，则该教师的综合成绩为_________分． 【答案】72 【解析】 【分析】 根据综合成绩笔试占 60%，面试占 40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以 60%，加上面试成绩乘以 40%，即 可求解． 【详解】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为 （分） 8060% 6040%=72 故答案为：72． 【点睛】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 如图，在ABC 和ADC 中， ，BC DC ， ，则 ________º． 14. AB AD D B 130 【答案】130 【解析】 【分析】 证明△ABC≌△ADC 即可． 【详解】∵ BC DC ，AC=AC， ，AB AD ∴△ABC≌△ADC， ∴∠D=∠B=130°， 故答案为：130． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键． 15. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是________（结果保留 ）． 【答案】24π cm² 【解析】 【分析】 根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积． 【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是 4÷2=2cm，高是 6cm， 圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高， 且底面周长为：2π×2=4π(cm)， ∴这个圆柱的侧面积是 4π×6=24π(cm²)． 故答案为：24π cm²． 【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆 柱体． x△OB A△A BA △A B A △A BA Bn ，都是一边在 轴上的等边三角形，点， 116. 如图， ，，3 ，…， 1112223n1 n3xB2 BB3 ，…， 都在反比例函数 AAAAA3 ，…， n ，都在 轴上，则 n，的图象上，点 ，，y (x 0) 2n1x的坐标为________． 2 n,0 【答案】 【解析】 【分析】 如图，过点 B1 作 B1C⊥x 轴于点 C，过点 B2 作 B2D⊥x 轴于点 D，过点 B3 作 B3E⊥x 轴于点 E，先在△OCB1 中，表示出 OC 和 B1C 的长度，表示出 B1 的坐标，代入反比例函数，求出 OC 的长度和 OA1 的长度，表示 出 A1 的坐标，同理可求得 A2、A3 的坐标，即可发现一般规律． 【详解】如图，过点 B1 作 B1C⊥x 轴于点 C，过点 B2 作 B2D⊥x 轴于点 D，过点 B3 作 B3E⊥x 轴于点 E， ∵△OA1B1 为等边三角形， ∴∠B1OC=60°， B1C tan∠ B OC= = 3 ，B1C= ∴OC， 31OC 2设 OC 的长度为 x，则 B 的坐标为（ ），代入函数关系式可得： ，x, 3x 3x 3 1解得，x=1 或 x=-1（舍去）， ∴OA1=2OC=2， ∴A1（2，0） 2 y, 3y 设 A1D 的长度为 y，同理，B2D 为 y，B 的坐标表示为 ，322 y 3y 3 代入函数关系式可得 ，解得：y= ∴A1D= ∴A2（ 或 y= （舍去） 2 1 2 1 ，A1A2= ，OA2= 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，0） 2 2 2 2 z, 3z 设 A2E 的长度为 z，同理，B3E 为 z，B 的坐标表示为 ，332 2 z 3z 3 代入函数关系式可得 ，解得：z= ∴A2E= 或 z= （舍去） 3 2 3 2 ，A A = ，OA = 3 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 233∴A （ ，0）， 2 3 3综上可得：A （ ，0）， 2 n n2 n,0 故答案为： ．【点睛】本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角 三角形，灵活运用各类知识求出 A1、A2、A3 的坐标是解题的关键． 三、解答题 8 22 2cos45 | 2 2 | 17. 计算： 94.【答案】 【解析】 【分析】 1ap a p (a 0) 按照公式 即可． 、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算，最后计算加减 12【详解】解：原式= 2 2+ 2 22 2 2 21 2 2+ 2 2 2 41 2 494.94.故答案为 【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂、负指数幂公式、熟记特殊锐角三角函数 值及二次根式与绝对值的性质等． 11x 2 18. 先化简，再求值： ，然后从 ，0，1 中选择适当的数代入求值． 1 x 1 x 1 x2 1 2【答案】 ，1． x+ 2 【解析】 【分析】 根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入 求值即可． x 0 x 1 x 1 x 2 (x 1)(x 1) 【详解】原式 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) x 2 2(x 1)(x 1) x 2 (x 1)(x 1) 2．x 2 ∵x+1≠0 且 x-1≠0 且 x+2≠0， ∴x≠-1 且 x≠1 且 x≠-2， 当时，分母不为 0，代入： x 0 2=1 原式 ．0 2 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，注意运算顺序为：先算乘除，再算加减，有括号先算括号内 的；另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为 0． 19. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、 B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调 查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有_____________名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 ___________度； （2）请你将条形统计图补全； （3）若该校七年级共有 600 名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共 有多少名？ （4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目 的概率． 1【答案】（1）50，72；（2）见解析；（3）96 名；（4） ．4【解析】 【分析】 （1）用条形统计图中 D 类的人数除以扇形统计图中 D 类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统 计图中 A 类的人数除以总人数再乘以 360°即可求出扇形统计图中 A 类所占扇形的圆心角的度数； （2）用总人数减去其它三类人数即得 B 类人数，进而可补全条形统计图； （3）用 C 类人数除以总人数再乘以 600 即可求出结果； （4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后 根据概率公式计算即可． 【详解】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%=50 名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心 10 360 72 角的度数为 ；50 故答案为：50，72； （2）B 类人数是：50－10－8－20=12 名，补全条形统计图如图所示： 8600 96 （3） 名， 50 答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有 96 名； （4）所有可能的情况如下表所示： 由表格可得：共有 16 种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有 4 种， 414∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率 ．16 【点睛】本题是统计与概率类综合题，主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次 事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 20. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为 30°，然后 向古树底端 C 步行 20 米到达点 B 处，测得古树顶端 D 的仰角为 45°，且点 A、B、C 在同一直线上求古树 CD 的高度．（已知： ，结果保留整数） 2 1.414, 31.732 【答案】27 米 【解析】 【分析】 CD CA 设 CB=CD=x，根据 tan30°= 即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，AB=20，∠DAB=30°，∠C=90°，∠DBC=45°， ∵△BCD 是等腰直角三角形， ∴设 CB=CD=x， CD CD x3tan30°= =，CA AB CB 20 x 3解得 x=10 +10≈10×1.732+10=27.32≈27， 3∴CD=27， 答：CD 的高度为 27 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，构造直角三角形是解题关键． 21. 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （2）图形判定：如图 1，在四边形 中， ∥BC ，AC BD ，过点 D 作 BD 垂线交 BC 的延长 ABCD AD 线于点 E，且 ，证明：四边形 是垂等四边形． DBC 45 ABCD （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图 2 中，面积为 24 的垂等四边形 内接于⊙O 中， ．求⊙O 的半径． ABCD BCD 60 【答案】（1）④；（2）证明过程见解析；③4 【解析】 【分析】 （1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可； （2）根据已知条件可证明四边形 ACED 是平行四边形，即可得到 AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质 即可得到结果； （3）过点 O 作OE BD ，根据面积公式可求得 BD 的长，根据垂径定理即可得到答案． 【详解】（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形对角线相等但不垂直；③ 菱形的对角线互相垂直但不相等；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； （2）∵ AC BD ∴AC∥DE， ，，ED BD 又∵ BC ∥ ， AD ∴四边形 ADEC 是平行四边形， ∴AC=DE， 又∵ ，DBC 45 ∴△BDE 是等腰直角三角形， ∴BD=DE， ∴BD=AC， ∴四边形 是垂等四边形． ABCD （3）如图，过点 O 作OE BD ，∵四边形 是垂等四边形， ABCD ∴AC=BD， 又∵垂等四边形的面积是 24，,根据垂等四边形的面积计算方法得： ，AC BD 4 3 又∵ ，BCD 60 ∴，DOE 60 设半径为 r，根据垂径定理可得： 在△ODE 中，OD=r，DE= ，2 3 DE 2 3 r 4 ∴∴，si n 60 32O 的半径为 4． 【点睛】本题主要考查了四边形性质与圆的垂径定理应用，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的 关键． 22. 某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共 20 台，已知甲型平板电脑进价 1600 元，售价 2000 元； 乙型平板电脑进价为 2500 元，售价 3000 元． （1）设该商店购进甲型平板电脑 x 台，请写出全部售出后该商店获利 y 与 x 之间函数表达式． （2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过 39200 元，全部售出所获利润不低于 8500 元，请设计出 所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润． 【答案】（1）y=-100x+10000；（2）共有四种采购方案：①甲型电脑 12 台，乙型电脑 8 台，②甲型电脑 13 台，乙型电脑 7 台，③甲型电脑 14 台,乙型电脑 6 台，④甲型电脑 15 台，乙型电脑 5 台，采购甲型电脑 12 台，乙型电脑 8 台时商店获得最大利润，最大利润是 8800 元. 【解析】 【分析】 (1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可； (2)根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当 x 取最 小值时，y 有最大值，将 x=12 代入函数解析式求出结果即可. 【详解】（1）由题意得：y=（2000-1600）x+（3000-2500）（20-x）=-100x+10000， ∴全部售出后该商店获利 y 与 x 之间函数表达式为 y=-100x+10000； 1600x 2500(20 x) 39200 （2）由题意得： ，400x 500(20 x) 8500 解得 ，12 x 15 ∵x 为正整数， ∴x=12、13、14、15， 共有四种采购方案： ①甲型电脑 12 台，乙型电脑 8 台， ②甲型电脑 13 台，乙型电脑 7 台， ③甲型电脑 14 台,乙型电脑 6 台， ④甲型电脑 15 台，乙型电脑 5 台， ∵y=-100x+10000，且-100<0， ∴y 随 x 的增大而减小， ∴当 x 取最小值时，y 有最大值， 即 x=12 时，y 最大值= ，10012 10000 8800 ∴采购甲型电脑 12 台，乙型电脑 8 台时商店获得最大利润，最大利润是 8800 元. 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据 题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键. 23. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，延长 AB 到点 D，使 CD=CA，且 D 30 ．（1）求证： 是⊙O 的切线． CD （2）分别过 A、B 两点作直线 CD 的垂线，垂足分别为 E、F 两点，过 C 点作 AB 的垂线，垂足为点 G．求 2证： ．CG AE BF 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【解析】 【分析】 (1) 连 接OC ， ∠CAD=∠D=30° ， 由OC=OA ， 进 而 得 到 ∠OCA=∠CAD=30° ， 由 三 角 形 外 角 定 理 得 到 ∠COD=∠A+∠OCA=60°，在△OCD 中由内角和定理可知∠OCD=90°即可证明； (2)证明 AC 是∠EAG 的角平分线，CB 是∠FCG 的角平分线，得到 CE=CG，CF=CG，再证明△AEC∽△CFB， 对应线段成比例即可求解． 【详解】解：(1)连接 OC，如下图所示： ∵CA=CD，且∠D=30°， ∴ ∠CAD=∠D=30°， ∵ OA=OC， ∴ ∠CAD=∠ACO=30°， ∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°， ∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°， ∴ OC⊥CD， ∴ CD 是⊙O 的切线． (2)连接 BC，如下图所示： ∵∠COB=60°，且 OC=OB， ∴△OCB 为等边三角形，∠CBG=60°， 又 CG⊥AD，∴∠CGB=90°， ∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°， 又∠GCD=60°， ∴CB 是∠GCD 的角平分线，且 BF⊥CD，BG⊥CG， ∴BF=BG， 又 BC=BC， ∴△BCG≌△BCF， ∴CF=CG. ∵∠D=30°，AE⊥ED，∠E=90°， ∴∠EAD=60°， 又∠CAD=30°， 的∴AC 是∠EAG 角平分线，且 CE⊥AE，CG⊥AB ∴CE=CG， ∵∠E=∠BFC=90°，∠EAC=30°=∠BCF， ∴△AEC∽△CFB， AE CE ∴，即 ，AE BF CF CE CF BF CE CG,CF CG 又，2∴．AE BF CG 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等，属于中考常考题 型，熟练掌握切线性质、角平分线性质是解决此题的关键. 如图所示，抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 M 为抛物线的顶 24. 点． （1）求点 C 及顶点 M 的坐标． △BCN （2）若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 BN、CN 求面积的最大值及此时点 的坐 N标． （3）若点 D 是抛物线对称轴上的动点，点 G 是抛物线上的动点，是否存在以点 B、C、D、G 为顶点的四 边形是平行四边形．若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，试说明理由． （4）直线 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与 P 的坐标；若不存在，请说明理由． ABC 相似．若存在，求出点 27 83215 4, 【答案】(1) (0,-3)，(1,-4)；(2) ，( )；(3) G 点坐标存在，为(2，-3)或(4，5)或(-2，1)；(4) P 点坐 39(1,2) ．( , ) 标存在，为 或44【解析】 【分析】 b 4ac b2 (1)令抛物线解析式中 x=0 即可求出 C 点坐标，由公式 即可求出顶点 M 坐标； )( ,2a 4a 2(2)如下图所示，过 N 点作 x 轴的垂线交直线 BC 于 Q 点，设 N( )，求出 BC 解析式，进而得 n,n 2n 3 SBCN =SNQC S NQB 即可求解； 到 Q 点坐标，最后根据 2(3)设 D 点坐标为(1,t)，G 点坐标为( )，然后分成①DG 是对角线；②DB 是对角线；③DC 是 m,m 2m 3 对角线时三种情况进行讨论即可求解； (4)连接 AC，由 CE=CB 可知∠B=∠E，求出 MC 的解析式，设 P(x,-x-3)，然后根据△PEO 相似△ABC，分成 EO EPEO EP 和BA BCBC BA 讨论即可求解. 【详解】解：(1)令 y x2 2x 3 中 x=0，此时 y=-3，故 C 点坐标为(0,-3)， b 4ac b2 ，(1,4) 又二次函数的顶点坐标为 ，代入数据解得 M 点坐标为 )( ,2a 4a 故答案为：C 点坐标为(0，-3)， M 点坐标为(1，-4)； (2) 过 N 点作 x 轴的垂线交直线 BC 于 Q 点，连接 BN，CN，如下图所示： 令y x2 2x 3 中 y=0，解得 B(3,0)，A(-1,0)， y ax b 设直线 BC 的解析式为： ，代入 C(0,-3)，B(3,0)， 3 b a 1 y x 3 ∴，解得 ，即直线 BC 的解析式为： ，0 3a b b 3 2(n,n 3) 设 N 点坐标为( n,n 2n 3)，故 Q 点坐标为 ，其中 ，0 n 3 121SBCN =SNQC SNQB =QN (xQ xC ) QN (xB xQ ) 则21=QN (xQ xC +xB xQ ) 212x , x , x =QN (x x ) ，其中 B 分别表示 Q,C,B 三点的横坐标， QCBCQN (n 3) (n2 2n 3) n2 3n x x 3 且故，，BC12393327 8S=(n2 3n)3 n2 n (n )2 ，其中 ，0 n 3 BCN 22223227 Sn 当时， BCN 有最大值为 ，83215 4, 此时 N 的坐标为( )， 27 83215 S, 故答案为： BCN 有最大值为 ，N 的坐标为( )； 42(3) 设 D 点坐标为(1,t)，G 点坐标为( )，且 B(3,0)，C(0,-3) m,m 2m 3 分类讨论： 情况①：当 DG 为对角线时，则另一对角线是 BC，由中点坐标公式可知： 1 m t m2 2m 3 xD xG yD yG (,)，即 (,)，线段 DG 的中点坐标为 线段 BC 的中点坐标为 2222xB xC yB yC 3 0 0 3 (,)(,)，，即 2222此时 DG 的中点与 BC 的中点为同一个点， 1+m 32m 2 t 0 2故，解得 ，t m2 2m 3 32 2检验此时四边形 DCGB 为平行四边形，此时 G 坐标为(2，-3)； 情况②：当 DB 为对角线时，则另一对角线是 GC，由中点坐标公式可知： xD xB yD yB 1 3 t 0 ((,))((,)，线段 DB 的中点坐标为 线段 GC 的中点坐标为 ，即 ，即 2222m 0 m2 2m 3 3 xG xC yG yC ,,)，2222此时 DB 的中点与 GC 的中点为同一个点， 1+3 m 0 m 4 t 2 22故，解得 ，t 0 m2 2m 3 3 2 2检验此时四边形 DCBG 为平行四边形，此时 G 坐标为(4，5)； 情况③：当 DC 为对角线时，则另一对角线是 GB，由中点坐标公式可知： xD xC yD yC 1 0 t 3 ((,)(,)，线段 DC 的中点坐标为 线段 GB 的中点坐标为 ，即 ，即 2222m 3 m2 2m 3 0 xG xB yG yB ,)(,)，2222此时 DB 的中点与 GC 的中点为同一个点， 1+0 m 3 m 2 t 8 22故，解得 ，t 3 m2 2m 3 0 2 2检验此时四边形 DGCB 为平行四边形，此时 G 坐标为(-2，1)； 综上所述，G 点坐标存在，为(2，-3)或(4，5)或(-2，1)； (4) 连接 AC，OP，如下图所示， 设 MC 的解析式为：y=kx+m，代入 C(0,-3)，M(1，-4) 3 m k 1 m 3 即，解得 4 k m y x 3 y 0 ，求得 E 点坐标为(-3,0)， ∴MC 的解析式为： ，令 ∴OE=OB=3，且 OC=OC， ∴CE=CB，即∠B=∠E， 设 P(x,-x-3)，又∵P 点在线段 EC 上，∴-3<x<0， 2222则，，EP (x 3) (x 3) 2(x 3) BC 3 3 3 2 由题意知：△PEO 相似△ABC， 分类讨论： EO EP 情况①： BA BC 3439342(x 3) x ( , ) ∴，解得 ，满足-3<x<0，此时 P 的坐标为 ；．443 2 EO EP 情况②： BC BA 32(x 3) (1,2) ∴，解得 ，满足-3<x<0，此时 P 的坐标为 (1,2) x 1 43 2 39( , ) 综上所述，P 点的坐标为 或．44【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、平行四边形的存在性问题、相似三角形的性质和判定等，综 合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题. 本试卷的题干 0635
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