湖北省襄阳市 2020年中考数学真题 一、选择题：本大题共 10 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将其标号在答题卡上涂黑作答 1. A. 2 的绝对值是（ 2 ）1212B. C. D. 2B【答案】 【解析】 【分析】 根据负数的绝对值是它的相反数，可得一个数的绝对值． 【详解】解： 2 的绝对值是 2， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数． 2. 如图， ，直线 分别交 ，于点 E，F， 平分 BEF ，若 ，则 EGD EFG 64 AB / /CD CD EG EF AB 的大小是（ ）A. B. 128 C. D. 132 122 112 C【答案】 【解析】 【分析】 利用平行线的性质求解 ，利用角平分线求解 ，再利用平行线的性质可得答案． BEG FEB 【详解】解： AB / /CD ，EFG FEB 180, EFG 64, FEB 180 64 116, 平分 BEF ，EG FEG BEG 58, AB / /CD BEG EGD 180, EGD 18058 122. 故选 ．C【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 3. 下列运算一定正确的是（ ）4(ab)2 ab2 a3 a12 a2 a3 a6 a a a2 A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 利用合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、 a a 2a ，故原式错误； 23B、 C、 D、 5 ，故原式错误； a a a 4a3 a12 ，原式正确； 22(ab) a b 2 ，故原式错误， 故选：C． 【点睛】此题考查了合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的 关键． 4. 下列说法正确的是（ ）1A. “买中奖率为 的奖券 10 张，中奖”是必然事件 10 B. “汽车累积行驶 ，从未出现故障”是不可能事件 10000km C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为 ”，意味着襄阳明天一定下雨 70% D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 D【答案】 【解析】 【分析】 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可． 1的【详解】A. “买中奖率为 奖券 10 张，中奖”是随机事件，故不符合题意； 10 B. “汽车累积行驶 ，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意； 10000km 的C. 襄阳气象局预报说“明天 降水概率为 ”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意； 70% D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质等内容，解决本题需 要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及方差越小，数据越稳定． 5. 如图所示的三视图表示的几何体是（ ）A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选：A． 【点睛】本题考查了由三视力还原几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体． x 4 2(x 1) 6. 不等式组 中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）1 (x 3) x 1 2 A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 – 2 £ x < 1 分别解不等式①和②，求得原不等式组的解集为 ，即可选出答案． x 4 2(x 1)① 【详解】解： ，1(x 3) x 1② 2 解不等式①：去括号，得 ，x 4 2x 2 移项，得 ，x 2x 4 2 合并同类项，得 ，x 2 系数化为 1，得 ；x 2 x 3 2 x 1 解不等式②：去分母，得 ，去括号，得 ，x 3 2x 2 移项，得 ，x 2x 2 3 x 1 合并同类项，得 ，系数化为 1，得 x 1 ；- 2 £ x < 1 故原不等式组的解集为 ．故选 A． 【点睛】本题考查不等式组，是中考的常考知识点，熟练掌握不等式组的解法是顺利解题的关键． 7. 如图， 中， ，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）RtABC ABC 90 A. B. C. D. EDC BAC DAC C DB DE AB AE D【答案】 【解析】 【分析】 由尺规作图可知 AD 是∠CAB 角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD 是∠CAB 角平分线，DE⊥AC， 在△AED 和△ABD 中： AED ABD=90 EAD BAD AD AD ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项 A、B 都正确， 又在 Rt△EDC 中，∠EDC=90°-∠C， 在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项 C 正确， 选项 D，题目中缺少条件证明，故选项 D 错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 3 匹小马能 拉 1 片瓦，1 匹大马能拉 3 片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有 x 匹，大马有 y 匹，则下列方程组 中正确的是（ ）x y 100 x y 100 x y 100 x y 100 x 3y A. B. C. D. 1 1 y 3x x 3y 100 y 3x 100 33C【答案】 【解析】 【分析】 设小马有 x 匹，大马有 y 匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100， 根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小马有 x 匹，大马有 y 匹，由题意可得： x y 100 ，1 x 3y 100 3故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关 系，列出方程组． 9. 已知四边形 是平行四边形， ，相交于点 O，下列结论错误的是（ ）ABCD AC BD A. ，OB OD OA OC B. 当 时，四边形 是菱形 AB CD ABCD C. 当 时，四边形 是矩形 ABC 90 ABCD D. 当 且AC BD 时，四边形 是正方形 AC BD ABCD B【答案】 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解： 四边形 OA OC,OB OD 是平行四边形， ABCD ，故 A 正确， 四边形 是平行四边形， ，ABCD AB CD 不能推出四边形 B是菱形，故 错误， ABCD 四边形 ABCD 是平行四边形， ，ABC 90 四边形 四边形 四边形 是矩形，故 C 正确， ABCD 是平行四边形， ，AC BD ，ABCD AC BD 是正方形．故 D 正确． ABCD 故选 B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 二次函数 y ax2 bx c的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ ；④ 210. ac 0 3a c 0 4ac b 0 x 1 当时，y 随 x 的增大而减小，其中正确的有（ ）A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 B【答案】 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口向上，得到 a＞0，由于抛物线与 y 轴交于负半轴，得到 c＜0，于是得到 ac＜0，故①正 b1 确；根据抛物线的对称轴为直线 x＝− ，于是得到 2a＋b＝0，当 x=-1 时，得到 故②正确； 3a c 0 2a 把 x＝2 代入函数解析式得到 4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与 x 轴有两个交点，也就是它所对应的方程 有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当 x＞1 时，y 随着 x 的增大而增大，故④错 误． 【详解】解：①∵抛物线开口向上与 y 轴交于负半轴， ∴a＞0,c＜0 ∴ac＜0 故①正确； ②∵抛物线的对称轴是 x=1， b1 ∴2a ∴b=-2a ∵当 x=-1 时，y=0 ∴0=a-b+c ∴3a+c=0 故②正确； 2③∵抛物线与 x 轴有两个交点，即一元二次方程 有两个不相等的实数解 0 ax bx c 2∴∴b 4ac 0 24ac b 0 故③正确； ④当-1＜x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞1 时 y 随 x 的增大而增大． 故④错误 所以正确的答案有①、②、③共 3 个 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与 x 轴的交点，正确识别 图象，并逐一分析各结论是解题的关键． 二、填空题：本大题共 6 个小题，把答案填在答题卡的相应位置上 x中，自变量 的取值范围是_____． 11. 函数 y x 2 【答案】 【解析】 【分析】 x 2 根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】依题意，得 x 2 0 ，解得： ，x 2 故答案为 ．x 2 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函 数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；③当函数解 析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式 有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______． 【答案】40° 【解析】 试题解析：∵AB=AD，∠BAD=20°， 180 BAD 180 20 ∴∠B= =80°， 22∵∠ADC 是△ABD 的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°， ∵AD=DC， 180 ADC 180100 ∴∠C= 13. =40°． 22《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为 或），如正北方向的卦为 ．从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2 根 和1 根 的概率 为______． 3【答案】 8【解析】 【分析】 利用概率公式即可求解． 【详解】解： 观察图形可得，一共有8 种情况，恰有 2 根 和1 根 的的情况有 3 种， 3所以 P= ，838故答案为： ．【点睛】此题考查了等可能事件的概率求解，对于等可能事件发生的概率＝所求情况数与总情况数之比． 214. 汽车刹车后行驶的距离 s 与行驶时间 t（秒）的函数关系是 s＝15t﹣6t ，汽车从刹车到停下来所用时间是 _______秒． 【答案】1.25 【解析】 【分析】 利用配方法求二次函数最值的方法解答即可． 【详解】∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375， ∴汽车从刹车到停下来所用时间是 1.25 秒． 故答案为：1.25． 【点睛】考核知识点:二次函数应用.理解函数最值是关键. 15. 在⊙O 中，若弦 BC 垂直平分半径 ，则弦 BC 所对的圆周角等于_________°． OA 【答案】120°或 60° 【解析】 【分析】 1根据弦 BC 垂直平分半径 ∠BOE=60°，即可求出答案. 及 OB=OC 证明四边形 OBAC 是矩形，再根据 OB=OA，OE= 求出 OA 2【详解】设弦 BC 垂直平分半径 CF， 于点 E，连接 OB、OC、AB、AC，且在优弧 BC 上取点 F，连接 BF、 OA ∴OB=AB，OC=AC， ∵OB=OC， ∴四边形 OBAC 是菱形， ∴∠BOC=2∠BOE， 1∵OB=OA，OE= ,21∴cos∠BOE= 2，∴∠BOE=60°， ∴∠BOC=∠BAC=120°， 1∴∠BFC= ∠BOC=60°， 2∴ 弦BC 所对的圆周角为 120°或 60°， 故答案为：120°或 60°. 【点睛】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定 理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键. 16. 如图，矩形 中，E 为边 上一点，将 沿ADE DE 折叠，使点 A 的对应点 F 恰好落在边 BC ABCD AB 5上，连接 交AF DE 于点 N，连接 ．若 ，，则矩形 的面积为 BN BF·AD 15 ABCD tanBNF 2________． 【答案】 15 5 【解析】 【分析】 5根据折叠的性质以及矩形的性质推导出 ，故 ，在 中应用勾股定理， CFD BEF Rt△BEF BF BE 25AB BE 5BF 得到 ，即可求解． 2【详解】解：由折叠可得： ，，，AN NF AE EF AF DE ∴∵ABN BAF BNF BAF ABN 2BAF ，且易得 ，ADF 2ADE 2BAF ∴∴∵，ADF BNF CFD 5CD CF ，tan BNF tan CFD 2，BFE CFD 90 BFE BEF 90 ，∴∴，CFD BEF BF 55，即 ， tan BEF BF BE BE 222在中， BE2 BF2 AB BE ，Rt△BEF 5AB BE 5BF 解得 ，2∵∴，BF·AD 15 ，AB AD 15 5 故答案为： ．15 5 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是不求出线段的具体长度，而 是得到 AB 和 BF 的比例关系直接求解矩形的面积． 三、解答题：本大题共 9 个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答 题卡上每题对应的答题区域内 6先化简，再求值：(2x 3y)2 (2x y)(2x y) 2y(3x 5y)，其中 ．17. x 2, y 1 26xy 【答案】化简结果为 ，求值为 ．6 3 6 2 【解析】 【分析】 根据完全平方公式、平方差公式、单项式和多项式相乘运算法则求解即可. 22222【详解】解：原式 4x 12xy 9y 4x y 6xy 10y (4×2 4×2 ) (y2 10y2 9y2 ) (12xy 6xy) 6xy ．6当时代入： x 2, y 1 26原式 ． 6 2 ( 1) 6 3 6 2 2故答案为： ．6 3 6 2 【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公 式以及多项式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键 18. 襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如 图，工程队拟沿 方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点 E 处同时施工，要使 A，C，E AC 三点在一条直线上，工程队从 上的一点 B 取 ，ABD 140 BD 560 米， ．那么点 E 与 AC D 50 点 D 间的距离是多少米？（参考数据： ，，）sin50 0.77 cos50 0.64 tan50 1.19 【答案】点 E 与点 D 间的距离是 358.4 米． 【解析】 【分析】 由，根据三角形外角的性质可得 ，故 为直角三角形，根据 的余弦 ABD 140 BED 90 BDE D 值即可求解． 【详解】解：∵ ，ABD 140 D 50 ∴∴，BED 90 DE DE cosD 0.64 ，即 ，解得 （米）， DE 358.4 BD 560 答：点 E 与点 D 间的距离是 358.4 米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到 形． 为直角三角 BDE 19. 在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每 4天用水量是原来每天用水量的 ，这样120 吨水可多用 3 天，求现在每天用水量是多少吨？ 5【答案】现在每天用水量是 8 吨． 【解析】 【分析】 120 45120 x4设原来每天用水量为 x 吨，则现在每天用水量为 吨，原来使用的天数为 天，现在使用的天数为 xx5天，根据 120 吨水现在使用的天数比原来使用的天数多用 3 天列出方程求解即可. 4x【详解】设原来每天用水量为 x 吨，则现在每天用水量为 吨，根据题意得， 5120 120 4-=3 xx5解得，x=10， 的经检验，x=10 是原方程 根. 454x= 10=8 ∴吨， 5答：现在每天用水量是 8 吨． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求 解后要进行检验． 20. 3 月 14 日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开 展了一次数学趣味知识竞賽（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了 50 名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满 分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50 名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端 点值，不含后端点值）． 信息二：第三组的成绩（单位：分）为 74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题： （1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是_________分，抽取的 50 名学生竞赛成绩的中位数是_________分； （3）若该校共有 1500 名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于 80 分的约为_________人． 【答案】（1）补全图形见解析；（2）76；78；（3）720． 【解析】 【分析】 （1）用抽取的总人数减去第一组、第三组、第四组与第五组的人数即可得第二组的人数，然后再补全频数 分布直方图即可； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； 20+4 50 （3）样本估计总体，样本中不低于 80分的占 ，进而估计 1500 名学生中不低于 80分的人数． 【详解】（1）第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人） 补全统计图如下： （2）第三组竞赛成绩中 76分出现次数最多，出现了 3次，故众数为 76分； 50个数据中，最中间的两个数据分别是第 25个和 26个数据，对应的分数为：77分和 79分，它们的平均 77+79 =78 数为： （分），故中位数为 78（分）； 2故答案为：76；78； 20+4 （3）1500× =720（人）， 50 故答案为：720． 【点睛】考查扇统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解 决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． my kx b A(1,4) B(n,2) 和点 ． 21. y (x 0) 如图，反比例函数 和一次函数 的图象都经过点 21xm n _________； （1） _________， y y （2）求一次函数的解析式，并直接写出 2 时 x 的取值范围； 1my (x 0) （3）若点 P 是反比例函数 面积为_________． 的图象上一点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，则POM 的1x【答案】（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2 【解析】 【分析】 my (x 0) （1）把 A(1,4)代入 求出 m 的值；再将 y=2 代入反比例函数式，即可求出 n 的值； 1xy y （2）由（1）可知 A、B 两点的坐标，将这两点的坐标代入求出 k、b 的值即可，再根据 t 图象判定出 12时 x 的取值范围； 4（3）设 P 点横坐标为 a,则纵坐标为 ，即可知道OM、PM，进而求出面积即可． amy (x 0) 【详解】解：（1）把 x=1,y=4 代入 得， 1xm4= ，1解得 m=4 4y (x 0) ∴1x4n当 y=2 时，2= 解得，n=2 y kx b （2）把 A(1,4)，B(2,2)分别代入 得24 k b k 2 b 6 解得 2 2k b ∴y2=-2x+6 当 y1＜y2 时，从图象看得出：1<x<2 （3）设 P 点横坐标为 a,则纵坐标为 4a，4a∴OM=a，PM= ,1141OM PM a k 2 ∴S△POM =22a2【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能 根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积． 的是⊙O 直径，E，C 是 22. 如图， O CD AE ，过点 C 作 交 上两点，且 ，连接 ，AC AB AE AE EC BC 的延长线于点 D． （1）判定直线 与⊙O 的位置关系，并说明理由； CD （2）若 ，，求图中阴影部分的面积． AB 4 CD 3 233 3 【答案】（1）直线 DC 与⊙O 相切，理由见解析（2） -2【解析】 【分析】 （1）连接 OC，如图，由圆周角的的定理推论得到∠EAC＝∠OAC，加上∠ACO＝∠OAC，则∠ACO＝ ∠DAC，于是可判断 OC∥AD，则根据平行线的性质得到 OC⊥CD，然后根据直线与圆的位置关系的判定 方法可判断 DC 是⊙O 的切线； （2）连接 OE、BC，作 CH⊥AB 于 H，如图，先利用角平分线的性质得到 CH＝CD＝ ，求出△ACH 的 3面积，再根据三角形全等的判定和性质得出△ADC 的面积=△ACHD 的面积，再利用 S 阴影=S 梯形 OCDE-S 扇形 OCE=S△ACD-S 扇形 OCE= S△ACH-S 扇形 OCE，即可得出答案． 【详解】证明：（1）直线 DC 与⊙O 相切． 理由如下：连接 OC，如图， ∵EC BC ∴∠EAC＝∠OAC ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠ACO＝∠DAC， ∴OC∥AD， ∵CD⊥AE， ∴OC⊥CD， ∴DC 是⊙O 的切线； （2）连接 OC、OE、CB，过 C 作 CH⊥AB 于 H， ∵CH⊥AB，CD⊥AE ∴∠ADC=∠AHC， ∵∠EAC＝∠OAC，AC=AC ∴△ADC≌△AHC ∴CH= ，AH=AD， CD 3 ∵∠CAH+∠ACH=∠BCH+∠ACH=90° ∴∠CAH=∠BCH， 又∵∠CHA=∠BHC， ∴△CAH∽△BCH CH AH ∴BH CH 3AH ∴4 AH 3∴AH=3 或 1（舍去 1） ∴BH= 1 123 3 ∴S△ACH =3 3 2在 Rt△CHB 中，BH=1，HC= 3∴∠BCH=30°=∠CAB ∴∠COB=∠EOC=60° 6022 233 3 23 3 2∴S 阴影=S 梯形 OCDE-S 扇形 OCE=S△ACD-S 扇形 OCE= S△ACH-S 扇形 OCE= -=-360 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、 平行线的判定和性质、扇形的面积公式及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键，求阴影部分 面积时要注意转化思想的应用． 23. 受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果 经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的 出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按 25 元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果 x 千克，付款 y 元，y 与 x 之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当 和0 x 50 x 50 时，y 与 x 之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共 100 千克，且甲种水果不少于 40 千克，但又不超过 60 千 克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额 w（元）最少？ （3）若甲，乙两种水果的销售价格分別为 40 元/千克和 36 元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进 量的分配比例购进两种水果共 a 千克，且销售完 a 千克水果获得的利润不少于 1650 元，求 a 的最小值． 30x 0 x 50 12 13 y 126 【答案】（1） ；（2）甲进 40 千克，乙进 60 千克付款总金额最少；（3） 千24x 300 x 50 克． 【解析】 【分析】 （1）根据函数图像利用选定系数法即可求出 y 与 x 之间的函数关系式． （2）甲进 x 千克，则乙进（100－x）千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当 40≤x≤50 时，甲水果 y=30x 进货量 x 与付款 y 的关系式为 ，结合乙水果花费的金额，表示出 w 关于 x 的一次函数关系式，根据 y=24x+300 x 取值范围求出 w 的最小值；第二，当 50＜x≤60 时，甲水果进货量 x 与付款 y 的关系式为 ，同样加上乙水果花费金额，表示出 w 函数关系式，再根据 x 的取值范围求出 w 最小值，比较 w 谁最小，从 而确定甲乙两种水果进货量． （3）通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用 a 表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同 的进货价格，表示出利润不低于 1650 元的不等式，从而求出 a 的最小值． 【详解】（1）当 时，设 y=kx， 0 x 50 将（50，1500）代入得 1500=50k， 解得 k=30， y=30x 所以 ；当时，设 y=k x+b， 1x 50 将（50，1500）、（70，1980）分别代入得 1500 50k b 1，1980 70k1 b k 24 1解得： ，b 300 y=24x+300 所以 综上 ；30x 0 x 50 y ；24x 300 x 50 （2）甲进货 x 千克，则乙进货（100－x）千克 ①40≤x≤50 w=30x+（100－x）×25 =5x+2500 ∵k＞0 ∴当 x=40 时，w 有最小值为 2700； ②50＜x≤60， w=24x+300+（100－x）×25， =﹣x+2800， ∵k＜0， ∴当 x=60 时 w 有最小值为 2740， ∵2700＜2740， ∴当甲进 40 千克，乙进 60 千克时付款总金额最少； 2535aa；（3）由题可设甲为 ，乙为 2a当 0≤ ≤50 时，即 0≤a≤125 5则甲的进货价为 30 元/千克， 2535aa×（36－25）≥1650， ×（40－30）＋ 8250 ＞125， 53 ∴a≥ 与 0≤a≤125 矛盾，故舍去， 2a当＞50 时，即 a＞125， 5则甲的进货价为 24 元/千克， 2535aa×（36－25）≥1650， ×（40－24）＋ 12 126 ∴a≥ ＞125 ， 13 12 13 126 ∴a 的最小值为 12 126 答：a 的最小值为 ，利润不低于 1650 元． 13 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式应用，解题关键在于理解题意，通过一次函数的性 质和一元一次不等式，运用数形结合思想进行解题． 24. 在ABC 中， BAC 90 ，．点 D 在边 BC 上， 且，交边 BC AB AC DE DA DE DA AE 于点 F，连接 ．CE （1）特例发现：如图 1，当 AD AF 时，①求证： ；②推断： ACE _________．； BD CF （2）探究证明：如图 2，当 时，请探究 ACE 的度数是否为定值，并说明理由； AD AF EF AF 13（3）拓展运用：如图 3，在（2）的条件下，当 时，过点 D 作 的垂线，交 于点 P，交 AC AE AE 16 CK 于点 K，若 ，求 的长． DF 3【答案】（1）①证明见解析，② ；（2） 为定值，证明见解析；（3） ACE 90 ACE 90 5 2. 【解析】 【分析】 ABD≌ACF, DFE∽AFC, （1）①利用已知条件证明 即可得到结论，②先证明 利用相似三角形的性 AFD∽CFE, 质再证明 结合相似三角形的性质可得答案； （2）由（1）中②的解题思路可得结论； EF a, AF 3a, FC, AC, DP, AP, EP, PF, DF, 利用等腰直角三角形的性质分别表示： 由 （3）设 则a利用相似三角形的性质建立方程求解 ，即可得到 APK∽ACE, 表示 再证明 DFE∽AFC 答案． AD AF, 【详解】证明：（1）① ADF AFD, ADB AFC, AB AC, B C, ABD≌ACF, BD CF. ②推断： ACE 90. 理由如下： AD DE, DA DE, AED DAE 45, AB AC,BAC 90, ACB 45, ACF DEF, DFE AFC, DFE∽AFC, DF FE ,AF FC AFD CFE, AFD∽CFE, DAF ECF 45, ACE ACF ECF 90. （2） 为定值， ACE 90 理由如下： ACF DEF 45, 由（1）得： DFE AFC, DFE∽AFC, DF FE ,AF FC AFD CFE, AFD∽CFE, DAF ECF 45, ACE ACF ECF 90. EF AF 13（3） ，EF a, AF 3a, 设则 AE AF EF 4a, DP AE, DA DE, DA DE, DP AP EP 2a, PF a, DF DP2 FP2 5a, DE DA 2 2a, DFE∽AFC, DF FE DE ,AF FC AC 5a a2 2a ,3a FC AC 3 5 56 10a FC a, AC ,5APK ACE 90,PAK CAE, APK∽ACE, AP AK ,AC AE AP AE AK AC 16 CK ,36 10 516 610 2a 4a a a，35解得： a 10, DF 5a 5 10 5 2. 【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质， 更重要的是考查学生的学习探究的能力，掌握以上知识是解题的关键． 1125. 如图，直线 y x2 bx c 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 C，抛物线 经过点 A，点 C， y x 2 42且交 x 轴于另一点 B． （1）直接写出点 A，点 B，点 C 的坐标及抛物线的解析式； （2）在直线 （3）将线段 上方的抛物线上有一点 M，求四边形 P m,0 面积的最大值及此时点 M 的坐标； ABCM AC OA O A 绕 x 轴上的动点 顺时针旋转 90°得到线段 ，若线段 与抛物线只有一个公 O A 共点，请结合函数图象，求 m 的取值范围． 11y x2 x 2 【答案】（1）A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是 面积的最大值为 8，点 M 的坐标为（2，2）；（3） ；（2）四边形 ABCM 42或3 17 m 4 3 17 m 2 ．【解析】 【分析】 1（1）对直线 ，分别令 x=0，y=0 求出相应的 y，x 的值即得点 A、C 的坐标，根据待定系 y x 2 2数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点 B 的坐标； （2）过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，如图 1 所示．设点 M 的横坐标为 m，则 MF 的长可 用含 m 的代数式表示，然后根据 S 四边形 ABCM=S△ABC+S△AMC 即可得出 S 四边形 ABCM 关于 m 的函数关系式，再 利用二次函数的性质即可求出四边形 面积的最大值及点 M 的坐标； ABCM 落在抛物线上时，分别画出图形如图 2、图 3，分别用 m 的代数式 （3）当 m＞0 时，分旋转后点 A与点 O的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出 m 的值，进而可得 m 的范围；当 m＜0 时， 表示出点 A与点 O用同样的方法可再求出 m 的一个范围，从而可得结果． 1【详解】解：（1）对直线 ，当 x=0 时，y=2，当 y=0 时，x=4， y x 2 2∴点 A 的坐标是（0，2），点 C 的坐标是（4，0）， 把点 A、C 两点的坐标代入抛物线的解析式，得： c 2 12c 2 b ，解得： ， 1 42 4b c 0 4 11y x2 x 2 ∴抛物线的解析式为 ，42∵抛物线的对称轴是直线 ，C（4，0）， x 1 ∴点 B 的坐标为（﹣2，0）； ∴A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是 （2）过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，如图 1 所示． 11y x2 x 2 ；421112 m2 m 2 设 M（m， ），则 F（m， ）， m 2 421111 MF m2 m 2 m 2 m2 m ∴， 4224∴S 四边形 ABCM=S△ABC+S△AMC 121BC AO MF OC =21114 62 m2 m 4 221 m2 2m 6 212 m 2 8 ，2∵0＜m＜4， ∴当 m=2 时，四边形 面积最大，最大值为 8，此时点 M 的坐标为（2，2）； ABCM （3）若 m＞0，当旋转后点 A落在抛物线上时，如图 2，线段 与抛物线只有一个公共点， （舍去）； O A ∵点 A的坐标是（m+2，m）， 1412m 2 m 2 2 m ∴，解得： 或m 3 17 m 3 17 2 O A 当旋转后点 O落在抛物线上时，如图 3，线段 与抛物线只有一个公共点， ∵点 O的坐标是（m，m）， 11 m2 m 2 m ∴，解得：m=2 或 m=﹣4（舍去）； 42 O A ∴当 m＞0 时，若线段 与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是： ；3 17 m 2 O A 若 m＜0，当旋转后点 O落在抛物线上时，如图 4，线段 与抛物线只有一个公共点， ∵点 O的坐标是（m，m）， 11 m2 m 2 m ∴，解得：m=﹣4 或 m=2（舍去）； 42 O A 当旋转后点 A落在抛物线上时，如图 5，线段 与抛物线只有一个公共点， ∵点 A的坐标是（m+2，m）， 1412m 2 m 2 2 m ∴，解得： 或m 3 17 m 3 17 （舍去）； 2 O A ∴当 m＜0 时，若线段 与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是： ；3 17 m 4 O A 综上，若线段 与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是： 或3 17 m 4 ．3 17 m 2 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、一元二次 方程的解法、二次函数的图象与性质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合性，属于中考压 轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 本试卷的题干 0635
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