湖北省荆门市 2020年中考数学试题 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 2 2 1. A. 的平方是（ ）B. C. D. 22 2D【答案】 【解析】 【分析】 2 先计算 【详解】∵ ( 2)2 2 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值和平方的计算，按照顺序进行计算即可． ，然后再计算平方． 2 2 ∴2. 据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持， 据统计，截至 2020 年 3 月 26 日，全国已有 7901 万多名党员自愿捐款，共捐款 82.6 亿元，82.6 亿用科学记 数法可表示为（ ）0.8261010 8.26109 8.26108 82.6108 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 9【详解】82.6 亿＝ 故选：B． ．8.2610 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 如图，菱形 中，E，F 分别是 ，AD BD 的中点，若 EF 5，则菱形 的周长为（ ）ABCD ABCD A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 C【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知 EF 为△ABD 的中位线，可求出 AB 的长，由于菱形四条边相等即可得到周长． 【详解】解：∵E，F 分别是 ∴EF 为△ABD 的中位线， ，AD BD 的中点， ∴AB 2EF 25 10 ，∵四边形 是菱形， ABCD ∴AD CD BC AB 10 ，∴菱形 的周长为104 40 ABCD 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，发现 EF 为△ABD 的中位线是解题的关键． 4. 下列等式中成立的是（ ）223x 1 2x 1 2A. C. B. x2 3×2 y 9×6 y3 111112 2 6 D. (x 1)(x 2) x 1 x 2 23D【答案】 【解析】 【分析】 根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可． 33×2 y 27×6 y3 【详解】解：A、 ，故选项 A 错误； 22x 1 2x 1 2×2 2x 1 x2 2x 1 B、 44×2 2x 1 x2 2x 1 4 x ，故选项 B 错误； 11322 2 C、 232 3 2 3 3 2 2 2 663 2 2 3( 3 2) ( 3 2)( 3 2) ， 6 2 6 故选项 C 错误； 11x 2 x 1 D、 x 1 x 2 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) x 2 x 1 (x 1)(x 2) 1，(x 1)(x 2) 故选项 D 正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相 关运算法则是解决本题的关键． 5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 2A【答案】 【解析】 【分析】 =×由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积 底面积 高，把相关数值代入 即可求解． 【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角 边长为 1，高为 2， 121211 则，等腰直角三角形的底面积 ，1=´ 2 = 1 ，体积=底面积×高 故选：A 2【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是 解决本题的关键． 16. AE AB D 为 ， 的中点， BC ，则 的面积为 ABC 中， △EBD AB AC,BAC 120, BC 2 3 4（）3 3 43 3 338A. B. C. D. 84B【答案】 【解析】 【分析】 1AE AB 连 接AD ， 用 等 腰 三 角 形 的 “三 线 合 一 ”， 得 到BAD 的 度 数 ， 及 ， 由 得Rt△ABD 433BE AB S S△ABD ，得 ，计算 的面积即可． △ABD △BDE 44【详解】连接 AD，如图所示： ∵，且 D 为 BC 中点 AB AC,BAC 120, BC 2 3 1AD BC BAD CAD BAC 60 ∴∴∵，且 ，BD DC 3 2AB 2, AD 1 中， Rt△ABD 1AE AB 43BE AB ∴433 1 3 3 8∴S△BDE SABD 1 3 44 2 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关 键． 7. 如图， O OC AB,APC 28 中， ，则 BOC 的度数为（ ）A. B. C. D. 28 56 14 42 D【答案】 【解析】 【分析】 由垂径定理都出 ，然后根据圆周角定理即可得出答案． AC BC 【详解】∵OC⊥AB， ∴ ，AC BC 1∴∠APC= ∠BOC， 2∵∠APC=28°， ∴∠BOC=56°， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出 是解题关键． AC BC 8. 为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组 10 名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112， 116，90，120，54，116 这组数据的平均数和中位数分别为（ A. 95，99 B. 94，99 C. 94，90 ）D. 95，108 B【答案】 【解析】 【分析】 按照平均数和中位数的计算方法进行计算即可． 7886 60 108112 116+90+120+54+116 =94 【详解】平均数为： 10 将数据按照从小到大进行排列为：54，60，78，86，90，108，112，116，116，120 90+108 =99 中位数为： 2故选：B． 【点睛】本题考查了平均数，中位数的计算，熟知以上计算方法是解题的关键． xOy 1, 3 9. 在平面直角坐标系 中， RtAOB 的直角顶点 B 在 y 轴上，点 A 的坐标为 ，将 RtAOB 沿直 线 y x翻折，得到 ，过 作垂直于 交 y 轴于点 C，则点 C 的坐标为（ ）AA C Rt△A OB OA 0,2 3 0,3 0,4 0,4 3 A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 先求出 OA，然后证明△ A’OB’ ∽△OCA’即可得出答案． 【详解】由题意可得 AB=1，OB= ，3∵△ABC 为直角三角形， ∴OA=2， 由翻折性质可得 =1， =，OA’=2，∠ =90°， A’B’O OB’ A’B’ 3∵∠ A’CO +∠ A’OC =90°，∠ A’OB’ +∠ A’OC =90°， ∴∠ A’CO =∠ A’OB’ ，∵⊥OA’，∠ =90°， A C A’B’O ∴△ A’OB’ ∽△OCA’ ，OA’ A’B’ 212∴，即 OC OC OA’ ∴OC=4， ∴点 C 的坐标为（0，-4）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理，证明△ A’OB’ ∽△OCA’是解题 关键． 若抛物线 y ax2 bx c(a 0) 经过第四象限的点 10. ），则关于 x 的方程 的根的情 21,1 ax bx c 0 况是（ ）A. 有两个大于 1 的不相等实数根 B. 有两个小于 1 的不相等实数根 D. 没有实数根 C. 有一个大于 1 另一个小于 1 的实数根 C【答案】 【解析】 【分析】 根据抛物线的图像进行判断即可． 【详解】∵a>0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线经过第四象限的点（1，-1） ∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，一个大于 1 另一个小于 1， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键． 2x 3 x 2 (x 2)(x 3) k 2 的解满足 11. 已知关于 x 的分式方程 ，且 k 为整数，则符合条件的 4 x 1 所有 k 值的乘积为（ ）A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 无法确定 A【答案】 【解析】 【分析】 6 k 3先解出关于 x 的分式方程得到 x= ，代入 求出 k 的取值，即可得到 k 的值，故可求解． 4 x 1 2 2x 3 x 2 (x 2)(x 3) k【详解】关于 x 的分式方程 k 21 得 x= ，7∵4 x 1 k 21 4 1 ∴7解得-7＜k＜14 ∴整数 k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又∵分式方程中 x≠2 且 x≠-3 ∴k≠35 且 k≠0 ∴所有符合条件的 k中，含负整数 6 个，正整数 13 个，∴k 值的乘积为正数, 故选 A． 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法． A 0,2 B 0,4 ，连接 12. 在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 （点 D 在点 C 右侧）在 x 轴上移动 ，CD 、，则 AC BD 的最小值为（ ）AC BD A. B. C. D. 2 5 2 10 6 2 3 5 B【答案】 【解析】 【分析】 作 A（0，2）关于 x 轴的对称点 A’（0，-2），再过 A’作 A’E∥x 轴且 A’E=CD=2，连接 BE 交 x 轴与 D 点， 过 A’作 A’C∥DE 交 x 轴于点 C，得到四边形 CDEA’为平行四边形，故可知 AC+BD 最短等于 BE 的长，再 利用勾股定理即可求解． 【详解】作 A（0，2）关于 x 轴的对称点 A’（0，-2） 过 A’作 A’E∥x 轴且 A’E=CD=2，故 E（2，-2） 连接 BE 交 x 轴与 D 点 过 A’作 A’C∥DE 交 x 轴于点 C， ∴四边形 CDEA’为平行四边形， 此时 AC+BD 最短等于 BE 的长， (2 0)2 (2 4)2 2 10 即 AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE= 故选 B． =【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质． 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分．） 1212 3tan30 (π 2020)0 ( )1 13. 计算： ______． 【答案】 3 1 【解析】 【分析】 原式第一项运用算术平方根的性质进行化简，第二项代入特殊角三角函数值，第三项运用零指数幂运算法 则计算，第四项运用负整数指数幂的运算法则进行计算，最后根据实数的运算法则得出结果即可. 1212 3tan30 (π 2020)0 ( )1 【详解】 3=2 33 3 1 1 2 3=故答案为： 3 1 【点睛】此题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解答此题的关键. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 4mx 3m2 0(m 0)的一个根比另一个根大 2，则 m 的值为_____． 14. 【答案】1 【解析】 【分析】 利用因式分解法求出 x1,x2，再根据根的关系即可求解． 【详解】解 x2 4mx 3m2 0(m 0) （x-3m）（x-m）=0 ∴x-3m=0 或 x-m=0 解得 x1=3m,x2=m， ∴3m-m=2 解得 m=1 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用． OA OB 2,AOB 90 15. 如图所示的扇形 中， ，C 为 上一点， ，连接 BC ， AOC 30 AOB AB 过 C 作 的垂线交 于点 D，则图中阴影部分的面积为_______． AO OA 23【答案】 32【解析】 【分析】 先根据题目条件计算出 OD，CD 的长度，判断 为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行 BOC 计算即可． 【详解】在 中， AOC 30 ,OC OA 2 RtCOD ∴CD 1,OD 3 ∵∴AOB 90 BOC 60 OB OC ∵∴为等边三角形 BOC S阴影 =S△COD S扇形BOC S△BOC ∴160 22 3 31 22 2360 42 3322 33故答案为： 2【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键． B 2,1 16. 如图，矩形 的顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上， ，将OAB 绕点 O 顺时针旋转，点 B 落 OABC ky (x 0) 在 y 轴上的点 D 处，得到OED 的值为______． ，交BC 于点 G，若反比例函数 的图象经过点 G，则 k OE x1【答案】 2【解析】 【分析】 根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出 CG 的长度，即可求解． 22【详解】解： 由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB= 1 2 5 由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°， ∴OE=OA=2，DE=AB=1， ∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°， ∴△COG∽△EOD， OC CG 12CG =∴，即 ，，OE DE 11解得：CG= 21∴点 G（ ，1）， 2k12y (x 0) 代入 可得：k= ，x1故答案为： ．2【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的 性质求出 OG 的长度． 如图，抛物线 y ax2 bx c(a 0)与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 ，给出下列结 17. x 1 1,2 ( ) M x, y , N x, y 1 论：① ；②若点 C 的坐标为 ，则ABC 的面积可以等于 2；③ 是抛 abc 0 1222(3,1) ，则方程 x x x x 2 y y 物线上两点 2 ，若 ，则 2 ；④若抛物线经过点 ax bx c 1 0 1121的两根为 ，3 其中正确结论的序号为_______． 1 【答案】①④ 【解析】 【分析】 ①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断 a,b,c 的正负情况，即可． ②根据图形可知 AB 的值大于 4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于 2． ③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大． ④把点代入抛物线，可求得 x=3 是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解． 线轴轴【详解】解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0， 抛物 与y 的交点在 y 的正半 上， c>0， abc<0，正确． 112S ， 2 S ABCy 42 ②从图像可知，AB>4, >，故错误． ABC ABC 2x x 2 x1 x到 1 的距离小于 到1 的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值 2③，从图像可知 ，故错误． 212 y y 越大； 1229a 3b c 1 ④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴ ，即 x=3， ax bx c 1 ax bx c 1 0 2是方程 的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确． ax bx c 1 0 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方 程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来 解． 三、解答题（本大题共 7小题，共 69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 先化简，再求值： (2x y)2 (x 2y)2 x(x y) 2(x 2y)(2x y) ，其中 ．x 2 1, y 2 1 【答案】 y2 3xy ；．2 2 【解析】 【分析】 利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可． 【详解】解： = [(2x + y)- (x + 2y)]2 – x2 – xy 原式 = (x- y)2 – x2 – xy = x2 – 2xy + y2 – x2 – xy y2 3xy 当时， x 2 1, y 2 1 2原式 ( 21) 3( 21)( 21) 3 2 23 。 2 2 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算 法则是解题的关键． ÐB 19. 如图，ABC 中， AB AC ，的平分线交 于 D， AE / /BC AC 交的延长线于点 E， BD 交BE 于点 F． AF AB （1）若 （2）若 ，求 的度数； BAC 40 AFE ，求 的长． AD DC 2 AF 43AF 3．【答案】（1） AFE 125 ；（2） 【解析】 【分析】 （1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出 ABC ，，再根据垂直与外角的性质即可求 ABD 出；AFE （2）根据题意证明 ，再得到ABC 为等边三角形，故可得到 ，可根据三角 ADE≌CDB ABD 30 函数的性质即可求出 AF． 【详解】（1）∵ ，AB AC BAC 40 ，180 40 70 ∴．ABC 2∵∴平分 ，ABC BD 1ABD DBC 70 35 ，2∵∴∴，AF AB BAF 90 AFE BAF ABD 90 35 125 ，．（2）∵ ，AE//BC E DBC ∴，又，ADE CDB AD CD ∴，ADE≌CDB ∴∵，AE CB E DBC,ABD DBC ∴∴∴∴∴∴∵∴，E ABD ，AB AE ，AB CB AC ABC ABC 60 为等边三角形， ，，ABD 30 ，AD DC 2 ，AB 4 343在RtABF 中， ．AF AB tan30 4 33【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函 数的应用． 20. 如图是某商场第二季度某品牌运动服装的 S 号，M 号，L 号，XL 号，XXL 号销售情况的扇形统计图和条 形统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）求 XL 号，XXL 号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照 M 号，XL 号运动服装的销量比，从 M 号、XL 号运动服装中分别取出 x 件、y 件，若再取 2 件 XL x y 2 件运动服装中，随机取出 1 件，取得 M 号运动服装的概 号运动服装，将它们放在一起，现从这 3率为 ，求x，y 的值． 5【答案】（1）XL 号，XXL 号运动服装销量的百分比分别为 15%，10%；（2）补全条形图如图所示，见解析； x 12 y 6 （3） ．【解析】 【分析】 （1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可； （2）分别求出 S、L、XL 的数量，然后补全条形图即可； x 2y （3）由销量比，则 ，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：（1）抽取的总数为： （件）， 60 30% 200 20 100% 10% ∴XXL 的百分比： XL 的百分比： ，200 ；1 25% 30% 20% 10% 15% ∴XL 号，XXL 号运动服装销量的百分比分别为 15%，10%． （2）根据题意， S 号的数量： L 号的数量： XL 号数量： （件）， （件）， （件）， 25% 200 50 20% 200 40 15% 200 30 补全条形图如图所示． x 2y （3）由题意，按照 M 号，XL 号运动服装的销量比，则 ，x35根据概率的意义，有 ，x y 2 x 2y x∴35，x y 2 x 12 解得： ．y 6 【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计 图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 30° 21. 如图，海岛 B 在海岛 A 的北偏东 方向，且与海岛 A 相距 20 海里，一艘渔船从海岛 B 出发，以 5 海 里/时的速度沿北偏东 方向航行，同时一艘快艇从海岛 A 出发，向正东方向航行．2 小时后，快艇到达 C 75 处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的 E 处． （1）求 的度数； ABE （2）求快艇的速度及 C，E 之间的距离． （参考数据： ）sin15 0.26,cos15 0.97,tan15 0.27, 31.73 【答案】（1） 【解析】 ；（2）快艇的速度为 9.85 海里时，C，E 之间的距离为 19.9 海里． ABE 135 【分析】 的于点 D，作 BF CE 于点 E，根据题意求出∠ABD 和∠ADE 度数，即可求解； （1）过点 B 作 BD AC （2）求出 BE 的长度，根据解直角三角形求出 BF 和 EF 的长度，在 中，求出 AD、BD 的长度， Rt△ABD 证出四边形 为矩形，可求得快艇的速度和 CE 之间的距离． BDCF 【详解】（1）过点 B 作 于点 D，作 BF CE 于点 E． BD AC 由题意得： ，NAB 30 GBE 75 ，∵∴而∴AN //BD ，，ABD NAB 30 DBE 180 GBE 180 75 105 ABE ABD DBE 30 105 135 ．（2） （海里） BE 52 10 在中， ，Rt△BEF EBF 90 75 15 （海里）， （海里）， EF BE sin15 100.26 2.6 BF BE cos15 100.97 9.7 AB 20,ABD 30 在中， ，Rt△ABD 1AD AB sin30 20 10 （海里）， 23BD AB cos30 20 10 3101.73 17.3 （海里）， 2∵，，，∴ ，BD AC BF EC CE AC BDC DCF BFC 90 ∴四边形 为矩形， BDCF DC BF 9.7, FC BD 17.3 AC AD DC 10 9.7 19.7 ∴∴，，CE EF CF 2.6 17.3 19.9 19.7 2v 9.85 设快艇的速度为 v 海里/时，则 （海里时） 的答：快艇 速度为9.85 海里时，C，E 之间的距离为 19.9 海里． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题，理清题中各个角的度数，熟 练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 22. 如图， O O O 为的直径， 为的切线，M 是 上一点，过点 M 的直线与 交于点 B，D 两 AC AP AP AB, AD, AB 点，与 交于点 E，连接 ．AC BE （1）求证： ；AB BM 24 AB 3 AD ，O （2）若 ，求 的半径． 5O 【答案】（1）见解析；（2） 的半径为 2.5． 【解析】 【分析】 1 2 90 ，再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到 （1）根据切线的性质得到 ，可得 AP AC ，故可证明； 1 4 24 5AM AD （2）解法 1，先连接 BC,证明 ，得到 EM=6，根据勾股定理求出 AE，再根据 MAE∽CBA 24 AM AD 列出比例式求出直径，故可求出；解法 2，连接 CD，同理得到 ，根据勾股定理求出 AE， 5设EC x，根据等腰三角形的性质得到 CD=CE=x,再利用 Rt△ACD 列出方程故可求出 x,再得到直径即可 求解． O O 【详解】（1）证明：∵ 为的切线， 为的直径， AC AP ∴∴∴，AP AC ，3 4 90° 1 2 90 ，又∵ ，AB BE ∴∴∴， 2 3 1 4 AB BM ．（2）方法 1：解：如图，连接 BC ，∵为直径，∴ ，AC ABC 90 ∴，而 ，C 3 90 3 4 90° ∴，C 4 1 4,C D 又： ，∴∴∵，1 D C 24 AM AD 5，AB 3 ，，∵ EM 6 ，AB BM BE 224 518 5222∴．AE EM AM 6 1 C,EAM ABC 90 ∵∴，，MAE∽CBA ME AE ∴∴，CA AB 18 6，53CA 18 18 5CA 5 ∴∴O 的半径为 2.5． 方法 2：解：如图，连接 CD， ∵，∴ ， 2 3 AB BE 2 DEC,3 EDC 又∵ ，∴，DEC EDC ∴，DC EC ∵为直径，∴ ，AC ADC 90 ∴ADE EDC 90 ，3 4 90,EDC 3 而，∴，ADE 4 又∵ ，1 4 ∴∴，1 ADE 24 AM AD ，5AB 3, AB BM BE ∵∴，EM 6 ，224 18 5222∴．AE EM AM 6 518 AC AE EC x, DC x 设在EC x，则 ，5中， RtADC 22 7524 518 52 ，∴ x2 x ，解得 AD2 DC2 AC x 18 575AC O 5 ∴∴，的半径为 2.5． 【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与 性质及等腰三角形的性质． 23. 2020 年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力 度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按 30 天计）的第 x 天（x 为正整数）的销售价格 p（元/千克） 25x 4 (0 x„ 20) p 关于 x 的函数关系式为 ，销售量 y（千克）与 x 之间的关系如图所示． 1 x 12 (20 x„ 30) 5（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？ （销售额=销售量×销售价格） 2x 80 (0 x„ 20) 4x 40 (20 x„ 30) y 【答案】（1） ；（2）当月第 15 天，该产品的销售额最大，最大销售额是 500 元． 【解析】 【分析】 （1）分为 和20 x 30 ，用待定系数法确定解析式即可； 0 x 20 （2）分别计算出 和20 x 30 时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可． 0 x 20 y k x b 【详解】（1）当 时，设 1 ，由图象得： 0 x 20 1b 80 k 2 11解得： 20k1 b 40 b 80 11y 2x 80(0 x„ 20) ∴当y k x b 20 x 30 时，设 2 ，由图象得： 220k b 40 k2 4 22解得： 30k2 b2 80 b2 40 y 4x 40(20 x„ 30) ∴2x 80 (0 x„ 20) y 综上， ．4x 40 (20 x„ 30) w yp （2）设当月该农产品的销售额为 w 元，则 时， ．当0 x 20 244w (2x 80) x 4 x2 24x 320 (x 15)2 500 5554 0 ∵，由二次函数的性质可知： 5w时， 500 x 15 ∴当 最大 当20 x 30 时， 144w (4x 40) x 12 x2 56x 480 (x 35)2 500 5554 0,20 x„ 30 ∵当，由二次函数的性质可知： 54x 30 w (30 35)2 500 480 时， 最大 5∵500 480 x 15 ∴当 时，w 取得最大值，该最大值为 500． 答：当月第 15 天，该产品的销售额最大，最大销售额是 500 元． 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并 进行准确的计算是解题的关键． 1524. 如图，抛物线 L : y x2 x 3 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B． 24（1）求直线 的解析式及抛物线顶点坐标； AB （2）如图 1，点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 P 作 于点 D，求 PD BD 的最大值，并求出此时点 P 的坐标； 轴，垂足为 C， 交PC x PC AB 15L : y x2 x 3 （3）如图 2，将抛物线 向右平移得到抛物线 ，直线 与抛物线 交于M，N 两 AB LL24点，若点 A 是线段 的中点，求抛物线 的解析式． MN L54121 313 4, y x 3 x 【答案】（1）直线 的解析式为 ，抛物线顶点坐标为 ；（2）当 时， AB 32 413 57 169 113 32y x2 x P, PD BD 的最大值为 ；；（ 3） ．432 32 24【解析】 【分析】 y kx b （1）先根据函数关系式求出 A、B 两点的坐标，设直线 的解析式为 ，利用待定系数法求出 AB AB 的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标； DE y （2）过点 D 作 轴于 E，则 DE//OA ．求得 AB=5，设点 P 的坐标为 15543 x, x2 x 3 x 4 x, x 3 ，则点 D 的坐标为 ，ED=x，证明 ，由相似三 BDE∽BAO 2445BD x，用含 x 的式子表示 PD，配方求得最大值，即可求得点 P 的坐标； 角形的性质求出 41121 32 y (x m)2 （3）设平移后抛物线 的解析式 ，将 L′的解析式和直线 AB 联立，得到关于 x 的方 L23425 16 M x, y , N x, y 1 x , x x2 2 m x m2 0 程，设 2 ，则 2 是方程 的两根，得到 11234x1 x2 2 m x x 8 ，可求得 m 的值，即可求得 L′的函数解析式． ，点 A 为 的中点， MN 1215y x2 x 3 【详解】（1）在 中， 24153×2 x 3 0 x , x 4 y 0 令∴令，则 ，解得 ，12242A(4,0) ．y 3 B 0,3 ，则 ，∴ ．x 0 344k b 0 b 3 k y kx b 设直线 的解析式为 的解析式为 ，则 ，解得： ，AB AB b 3 3y x 3 ∴直线 ．42151254121 32 y x2 x 3 x ，245121 32 , ∴抛物线顶点坐标为 4DE y （2）如图，过点 D 作 OA 4,OB 3 轴于 E，则 DE//OA ． ∵∴，2222，AB OA OB 4 3 5 1554 x, x2 x 3 x 4 设点 P 的坐标为 ， 243x, x 3 的则点 D 坐标为 ，4∴∵∴ED x ．DE//OA ，，BDE∽BAO BD ED ∴∴∴，BA OA BD x，545BD x．431251PD x 3 x2 x 3 x2 2x 而，442215113 113 4169 32 ∴PD BD x2 2x x x2 x x ，24242154 0 x 4 ∵当，，由二次函数的性质可知： 213 169 x 时， PD BD 的最大值为 ．432 2345313 45 13 3 57 32 x2 x 3 ，444413 57 P, ∴．432 1121 32 y (x m)2 （3）设平移后抛物线 的解析式 ，L23y x 3 41联立 ，121 32 2y (x m) 23∴1121 x 3 (x m)2 ，4232 325 x2 2 m x m2 0 整理，得： ，416 325 16 M x, y , N x, y 1 x , x x2 2 m x m2 0 设2 ，则 2 是方程 的两根， 112434x x 2 m ∴．12x x 8 而 A 为 的中点，∴ ，MN 123413 42 m 8 m ∴，解得： ．2113 121 32 1213 32∴抛物线 的解析式y x x2 x ．L244【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解 题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 本试卷的题干 0635
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