湖北省孝感市 2020 年中考数学试题 ─、精心选一选，相信自己的判断！ 1. 如果温度上升 ，记作 3℃，那么温度下降 2℃记作（ ）3℃ A. B. C. D. 3℃ 3℃ 2℃ 2℃ A【答案】 【解析】 【分析】 根据具有相反意义的量进行书写即可． 【详解】由题知：温度上升 ，记作 3℃ ，3℃ ∴温度下降 2℃，记作 故选：A． ，2℃ 【点睛】本题考查了具有相反意义的量的书写形式，熟知此知识点是解题的关键． 2. 如图，直线 ，相交于点 ，，垂足为点 ．若BOE 40，则 AOC 的度数为 OE CD O CD OAB （）A. 40 B. 50 C. D. 140 60 B【答案】 【解析】 【分析】 已知 ，BOE 40，根据邻补角定义即可求出 AOC 的度数． OE CD 【详解】∵ ∴OE CD COE 90 ∵∴BOE 40 AOC 180° COE EOB 18090 40 50 故选：B 【点睛】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平 角度数为 180°． 的3. 下列计算正确 是（ ）22ab2 b 2b A. 2a 3b 5ab B. 3ab 9ab2 C. D. 2a3b 6ab C【答案】 【解析】 【分析】 据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变和单项式的乘法 法则，逐一判断即可. 【详解】A：2a 和 3b 不是同类项，不能合并，故此选项错误； 23ab 9a2b2 故 B 错误； 故 D 错误. B： C： D： 正确； 2a3b 6ab 22ab b 2ab 【点睛】本题考查了合并同类项以及单项式的乘法的知识，解答本题的关键是熟练掌握合并同类项的法则. 4. 如图是由 5 个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 从左面看，所得到的图形形状即为所求答案． 【详解】从左面可看到第一层为 2 个正方形，第二层为 1 个正方形且在第一层第一个的上方， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 5. 某公司有 10 名员工，每人年收入数据如下表： 年收入/万元 人数/人 43648210 1则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ）A. 4，6 B. 6，6 C. 4，5 D. 6，5 B【答案】 【解析】 【分析】 数据出现最多的为众数;将数据从小到大排列,最中间的 2 个数的平均数为中位数． 【详解】6 出现次数最多, 故众数为: 6， 6+6 =6 最中间的 2 个数为 6 和 6，中位数为 故选: B． ，2【点睛】本题考查众数和中位数,需要注意,求解中位数前,一定要将数据进行排序． x3 xy2 6. 已知 ，，那么代数式 的值是（ ）y 5 1 x 5 1 x x y A. 2 B. C. 4 D. 52 5 D【答案】 【解析】 【分析】 先按照分式四则混合运算法则化简原式，然后将 x、y 的值代入计算即可． x3 xy2 x x y x x y x y =x+y= 【详解】解： =+=2 ．5 1 51 5x x y 故答案为 D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式是解答本题的关键． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：）与电阻 （单位： ）是反比例函数关 IAR系，它的图象如图所示．则这个反比例函数的解析式为（ ）24 48 64 36 I I I I A. B. C. D. RRRRC【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析式． 【详解】根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，在该函数图象上有一点(6,8)， k故设反比例函数解析式为 I= ，R将(6,8)代入函数解析式中， 解得 k=48， 48 故 I= R故选 C． 【点睛】本题主要考查反比例函数解析式的求解方法，掌握求解反比例函数解析式的方法是解答本题的关 键． 8. 将抛物线 C : y x2 2x 3 xCCC向左平移 1 个单位长度，得到抛物线 2 ，抛物线 2 与抛物线 3 关于 轴对 1C称，则抛物线 3 的解析式为（ ）y x2 2 A. B. y x2 2 C. y x2 2 D. y x2 2 A【答案】 【解析】 【分析】 C利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式 2 ，再因为关于 x轴对称的两个抛物线，自 C变量 x的取值相同，函数值 y互为相反数，由此可直接得出抛物线 3 的解析式． C : y x2 2x 3 C2 ：【 详 解 】 解 ： 抛 物 线 向 左 平 移1 个 单 位 长 度 ， 得 到 抛 物 线 122C：y x 2 ;y x+1 2 x+1 3 ，即抛物线 22x由于抛物线 2 与抛物线 3 关于 轴对称，则抛物线的解析式为： CCC.y x 2 3故选：A． 【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函 数解析式以及关于 x轴对称的两个抛物线，自变量 x的取值相同，函数值 y互为相反数． 9. 如图，在四边形 AD∥BC ，BAD 30 中， D 90 ，，，．动点 P沿路径 ABCD BC 6 AB 4 从点 出发，以每秒1 个单位长度的速度向点 运动．过点 P作，垂足为 A B C D DAPH AD yy的面积为 ，则 关于 的函数图象大致是（ s运动的时间为 （单位： ）， xxH．设点 P）VAPH A. C. B. D. D【答案】 【解析】 【分析】 分点 P 在 AB 边上，如图 1，点 P 在 BC 边上，如图 2，点 P 在 CD 边上，如图 3，利用解直角三角形的知 识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断． 【详解】解：当点 P 在 AB 边上，即 0≤x≤4 时，如图 1， BAD 30 ∵AP=x， ，13∴∴，PH x, AH x221 1 33；y x x x2 2 2 28当点 P 在 BC 边上，即 4＜x≤10 时，如图 2， 13过点 B 作 BM⊥AD 于点 M，则 ，PH BM AB 2, AM AB 2 3,MH BP x 4 2211y AH PH 2 3 x 4 2 x 2 3 4 ∴；22当点 P 在 CD 边上，即 10＜x≤12 时，如图 3， AD= ，，PH 12 x 2 3 6 1y 2 3 6 12 x 3 3 12 x ∴；23y x2 0 x 4 8y x 2 3 4 4 x 10 综上，y 与 x 的函数关系式是： ，y 3 3 12 x 10 x 12 其对应的函数图象应为： ．故选：D． 【点睛】本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以 及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键． 10. 如图，点 在正方形 的边 上，将 绕点 顺时针旋转 A到的位置，连接 ，ABCD CD 90 EADE ABF EF 过点 作的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G．若 BG 3 ，CG 2 ，则 的长为（ ）CE AEF 515 92A. B. C. 4 D. 44B【答案】 【解析】 【分析】 根据正方形性质和已知条件可知 BC=CD=5,再由旋转可知 DE=BF,设 DE=BF=x，则 CE=5-x，CF=5+x，然后 再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出 x，最后求 CE 即可． 【详解】解：∵ BG 3 ∴BC=BG+GC=2+3=5 ，CG 2 ∵正方形 ABCD ∴CD=BC=5 设 DE=BF=x，则 CE=5-x，CF=5+x ∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90° ∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90° ∴∠HFG=∠BAG ∴△ABG∽△CEF CE BG 5 x 5 x 3554∴,即 ，解得 x= FC AB 515 ∴CE=CD-DE=5- 故答案为 B． =．44【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出 DE 的长 是解答本题的关键． 二、细心填一填，试试自己的身手！ 11. 原子钟是北斗导航卫星的“心脏”，北斗卫星上的原子钟的精度可以达到 100 万年以上误差不超过 1 秒．数据 100 万用科学记数法表示为______． 6【答案】 110 【解析】 【分析】 先将 100 万写成 1000000，然后再写成 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 1000000 写成 a 时小时点向左移 动的位数． 6【详解】解：100 万=1000000= 110 6故答案为 ．110 【点睛】本题考查了科学记数法，将 1000000 写成 a×10n 的形式，确定 a 和 n 的值是解答本题的关键． 112. 有一列数，按一定的规律排列成 ，，3， ，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是 ，9 567 1 3则这三个数中第一个数是______． 【答案】 81 【解析】 【分析】 题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 ，可设三个数为 n，-3n，9n，据题意列式即可求 567 解． 【详解】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 n，9n ，可设第一个数是 n，则三个数为 n，-3 567 n 3n 9n 567 由题意： ，解得：n=-81， 故答案为：-81． 【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见 的数列，列出方程是解题的关键． m的长为______ ．（结果保留根号） 13. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AB 5 3 【答案】 (1.6) 3【解析】 【分析】 如图（见解析），先在 RtBCF 中，解直角三角形可求出 CF 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可 得 DE 的长，从而可得 CE 的长，然后根据线段的和差即可得． 【详解】如图，过 A 作 AE//BF ，交 DF 于点 E，则四边形 ABFE 是矩形 AB EF, AE BF 5m, AE EF 由图中数据可知， ，，，CD 3.4m CBF 30 DAE 45 F 90 CF BF CF 3tanCBF 在RtBCF 中， ，即 tan30 535 3 解得 CF (m) 3 AE EF,DAE 45 是等腰三角形 RtADE DE AE 5m CE DE CD 53.4 1.6(m) 5 3 EF CF CE 1.6(m) 35 3 则的长为 AB (1.6)m 35 3 3故答案为： ．(1.6) 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法 是解题关键． 14. 在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取 了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A 类：总时长 5分钟；B 类：5 分钟 总时长 分钟；C 类： 10 10 分钟 总时长 分钟；D 类：总时长 15 分钟），将调查所得数据整理并绘制成如下两幅不完整的统 15 计图． 该校共有 1200 名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过 5 分钟且不超过 10 分 钟的学生约有______人． 【答案】336 【解析】 【分析】 先根据 A 类的条形统计图和扇形统计图信息求出调查抽取的总人数，再求出每天做眼保健操总时长超过 5 分钟且不超过 10 分钟的学生的占比，然后乘以 1200 即可得． 【详解】调查抽取的总人数为 （人） 10 10% 100 41 100% 41% C 类学生的占比为 100 B 类学生的占比为 100% 10% 41% 21% 28% 则（人） 120028% 336 即该校每天做眼保健操总时长超过 5 分钟且不超过 10 分钟的学生约有 336 人 故答案为：336． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联等知识点，掌握理解统计调查的相关知识是解题 关键． 15. 如图 1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注 解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图 2 的图案，记阴影 nmnSSS = S 部分的面积为 1 ，空白部分的面积为 2 ，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为，若 2 ，则 1m的值为______． 3 1 【答案】 2【解析】 【分析】 S , S 2 的值，再 如图（见解析），设 ，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出 AB CD a 1S +S = m2 S = S 根据 2 建立等式，然后根据 建立等式求出 a 的值，最后代入求解即可． 112m,n 均为正数 【详解】如图，由题意得： AC m ，，BD n AB CD ，ABC 是直角三角形，且 22则大正方形的面积为 AC = m 22小正方形的面积为 BD = n AB CD a(a 0) 设则1S = 4S +n2 = 4´ AB×BD +n2 = 2an +n2 1Rt ABD 21S2 = 4SACD = 4´ CD×AB = 2a2 2S1 = S2 \ 2an +n2 = 2a2 S +S = m2 2S = m2 又，即 122\ 4a2 = m2 mma = – a 解得 或（不符题意，舍去） 22m2 mmn +n2 = 22a 将代入 得： 2an +n = 2a 22m2 2n n+2( )2 =1 两边同除以 得： mm2n= x >0 令则m22x +2x =1 – 3 – 1 3 1 2解得 或x = <0 （不符题意，舍去） x 2n即3 1 2的值为 m3 1 故答案为： ．2【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确 S , S 求出 2 的值是解题关键． 14k16. y y k 0 如图，已知菱形 的对角线相交于坐标原点 ，四个顶点分别在双曲线 O和上， ABCD xxxAC 23OF ．平行于 轴的直线与两双曲线分别交于点 ，，连接 ，，则 的面积为 OE OEF EFBD ______． 13 2【答案】 【解析】 【分析】 AC BD 2先作 AG x 轴于点 G，作 轴于点 H，证明 ，利用 ，同时设出点 A 的 BH x △AOG △OBH 3y n 坐标，表示出 OH，BH 的长度，求出 k 的值，设直线 EF 的解析式为 ，表示点 E，F 的坐标，求出 EF 的长度，可求得 的面积． OEF 【详解】作 AG x 轴于点 G，作 轴于点 H，如图所示： BH x ∵∴AOG OAG AOG BOG 即OAG BOH △AOG △OBH AO OGAG AC 23∴OB BH OH BD 4(m, ) 设点 A 的坐标为 m4OG m, AG 则∴∴m3m 6OH , BH m26 3m | k | OH BH 9 m 2 ky ∵∴的图象在第二，四象限 xk 9 y n 设直线 EF 的解析式为： 94F( ,n), E( ,n) 则∴∴nn9413 EF ( ) nnn11 13 13 2S EF| yF | n △OEF 22n13 故答案为： ．2【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，快速找到相似三角形求出 k 的值，是解题的关键． 三、用心做一做，显显自己的能力！ 01 317. 计算： 8 3 1 2sin 60 4 【答案】 2 ．【解析】 【分析】 先计算立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可． 3【详解】原式 2 3 1 2 1 2 2 3 1 3 1 ． 2 【点睛】本题考查了立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是 解题关键． 18. 如图，在ABCD 中，点 在的延长线上，点 在的延长线上，满足 ．连接 ，CD EAB FBE DF EF 分别与 BC ，交于点 G，H．求证： ．EG FH AD 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】 先根据平行四边形的性质可得 ，，AB//CD ABC CDA ，再根据平行线的性质、邻补角的定义可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证． EBG FDH E F 【详解】∵四边形 为平行四边形 ABCD ∴∴，AB//CD ABC CDA ，180 ABC 180 CDA E F EBG FDH E F BE DF 在BEG 和中， DFH EBG FDF BEG DFH(ASA) ∴∴．EG FH 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、邻补角的定义、三角形全等的判定定理与性质等 知识点，熟练掌握平行四边形的性质，正确找出全等三角形是解题关键． 19. 有 4 张看上去无差别的卡片，上面分别写有数 ，2，5，8． 1 （1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为______； （2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数 之差的绝对值大于 3 的概率． 138【答案】（1） ;（2） 2【解析】 【分析】 （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列表展示所有 16 种等可能的结果数,再找出两次抽取的卡片上两数之差的绝对值大于 3 结果数,然后根 据概率公式求解． 2412【详解】解：（1）抽取到的数为偶数的概率为 P= ．（2）列表如下： 第 1 次 2581 第 2 次 1,1 2,1 5,1 8,1 1 – 1,2 2,2 5,2 5,5 5,8 8,2 8,5 258()1,5 1,8 2,5 2,8 8,8 ∵差的绝对值有 16 种可能，绝对值大于 3 的有 6 种可能， 638P ∴差的绝对值大于 3 的概率 ．16 【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n,再从中选出符合事 件 A 或 B 的结果数目 m,然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率． A 1,5 B 3,1 C 4,0 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，和，请按下列要求画图并填空． （1）平移线段 （2）将线段 ，使点 平移到点 ，画出平移后所得的线段 C，并写出点 的坐标为______； DCD AB A绕点 逆时针旋转 A，画出旋转后所得的线段 ，并直接写出 cosBCE 的值为______； AE 90 AB y（3）在 轴上找出点，使 的周长最小，并直接写出点 的坐标为______． FFABF 5【答案】（1）（2，-4） （2） （3）（0,4） 5【解析】 【分析】 （1）平移线段 AB，使 A 点平移到 C 点，可以知道 A 点是向右平移 5 个单位，向下平移 5 个单位，故可以 确定 D 点坐标． 的（2）根据 B、C、E 三点坐标，连接 BE，可以判断出△BCE 为直角三角形，故可求解 cosBCE 值． （3）过 A点做 y轴的对称点 A’，连接 A’B，与 y轴的交点即为 F点．此时△ABF 的周长最小，通过求解函 数解析式确认点Ｆ的坐标． 【详解】解：(1)如图所示：平移线段 AB，使 A 点平移到 C 点，可以知道 A 点是向右平移 5 个单位，再向 下平移 5 个单位，根据题意可知，B点(-3,1)平移到 D点，故可以确定点 D的坐标． 2,4 点 D的坐标为 (2)如图所示： 根据题意，AE 是线段 AB 围绕点 A 逆时针旋转 90°得到，故 AB=AE，不难算出点 E 的坐标为(3,3)．连接 ；22BE，根据 B、C、E 三点坐标算出 BC= 、EC= 、BE= ，故 2 ,可以判断出△BEC 10 2 10 BE EC BC 5 2 为直角三角形． EC BC 5故cosBCE 5(3)如图所示： 过 A 点做 y 轴的对称点 A’，连接 A’B，与 y 轴的交点即为 F 点．故可知 A’的坐标为(1,5)，点 B 的坐标为 (-3,1),设 A’B 的函数解析式为 y=kx+b，将(1,5)，(-3,1)代入函数解析中解得 k=1，b=4，则函数解析式为 y=x+4, 则 F点坐标为(0,4), F故点 的坐标为 (0,4) ．【点睛】（1）本题主要考查平移，洞察点 A是如何平移到点 C，是求出 D点坐标的关键．（2）连接 BE，根 据 B、C、E 三点坐标判断出△BCE 是直角三角形，就不难算出 cosBCE 的值．（3）本题通过做 A 点的对 称点 A’，连接 A’B，找到 A’B 与 y轴的交点 F 是解答本题的关键． 1×2 2k 1 x k2 2 0 x21. 已知关于 的一元二次方程 ．2（1）求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； kxxx x 3 （2）若方程的两个实数根 ，2 满足 ，求 的值． k112【答案】（1）见解析 （2）0，-2 【解析】 【分析】 （1）根据根的判别式即可求证出答案； xx2 的关系式，进一步可以求出答案. （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得 与的 、k1122 2k 1 4 k2 2 2k2 4k 9 【详解】(1)证明：∵ 2 k 1 7 ，22∵无论 为何实数，2 k 1 0 ，k2∴ 2 k 1 7 0 ，∴无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； k(2)由一元二次方程根与系数的关系得： 1x x k2 2 x x 2k 1 ，，12122x x 3 ∵，122∴∴x x 9 ，2 1x x 2 4x1x2 9 ，2 1122k 1 4 k2 2 9 2∴，化简得： ，k 2k 0 2解得 ，2 ．k 0 【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题. 1kg 1kg 甲产品的 22. 某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品．已知 乙产品的售价比 1kg 甲产品售价的 3 倍，用 270 元购买丙产品的数量是用 60 元购买乙产 1kg 售价多 5 元， 丙产品的售价是 品数量的 3 倍． （1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？ （2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共 40kg ，其中乙产品的数量是丙产品数量 40kg 的 2 倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的 3 倍．请你帮忙计算，按此方案购买 最少要花费多少元？ 农产品 40kg 【答案】（1）甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是 5 元、10 元、15 元；（2）按此方案购买 农产品最少要花费 300 元． 【解析】 【分析】 x甲产品的售价为 元，先表示出 1kg 1kg 1kg 丙产品的售价，再根据“用 270 元购 （1）设 乙产品的售价和 买丙产品的数量是用 60 元购买乙产品数量的 3 倍”建立方程，然后求解即可得； 40kg mkg ，先求出乙种农产品的数量和甲种农产 （2）设 的甲、乙、丙三种农产品搭配中，丙种农产品有 品的数量，再根据题干三种农产品间的数量关系列出不等式求出 m 的取值范围，然后根据（1）的结论得出 所需费用关于 m 的函数关系式，最后利用一次函数的性质即可得． x甲产品的售价为 元，则 1kg 1kg x 5 1kg 元， 丙产品的售价为 【详解】（1）设 乙产品的售价为 元3x 270 60 3 由题意得： 3x x 5 解得： x 5 经检验， 则是所列分式方程的解，也符合题意 x 5 ，x 5 10 3x 15 答：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是 5 元、10 元、15 元； 40kg mkg 2mkg ，则乙种农产品有 ，甲种农产品 （2）设 的甲、乙、丙三种农产品搭配中，丙种农产品有 40 3m kg 有由题意得： 40 3m m 32m 解得 m 5 y元40kg 设按此销售方案购买 农产品所需费用 y 5 403m 102m 15m 20m 200 则ym∵在 m 5 范围内， 随的增大而增大 y∴当 m 5时， 取得最小值，最小值为 （元） 205 200 300 40kg 答：按此方案购买 农产品最少要花费 300 元． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，依据 题意，正确列出方程和函数的解析式是解题关键． 23. O 过点 的切线交于点 ，记 O 已知ABC 内接于 ，AB AC ，ABC 的平分线与 交于点 ，与 DAC 交于点 ，连接 ECD O 并延长与 ．BAC AF（1）如图 1，若 ， 60 DF ①直接写出 DC 的值为______； O ②当 的半径为 2 时，直接写出图中阴影部分的面积为______； DF DC 23 60 （2）如图 2，若 ，且 ，，求 BE 的长． DE 4 13 3 22【答案】（1）① ； ② ；（2）5 23【解析】 【分析】 （1）①连接 AD，连接 AO 并延长交 BC 于 H 点，根据题意先证明△ABC 是等边三角形，再得到∠AFD 为 直角，利用含 30°的直角三角形即可求解；②根据割补法即可求解阴影部分面积； O （2）连接 ，连接 并延长交 于点 H，连接 ，根据题意先证明 ，得到 AO AD DH VADF≌VADE CD DE ，再求出 ，根据 ，得到 ，即可求出 BD，从而求出 BE DC 6 △DCE ∽△DBC DF DE 4 DB CD 的长． 【详解】解：（1）① BAC 60 ∴△ABC 是等边三角形， ，AB AC ∵BD 平分∠ABC， 1∴∠DBC= ∠ABC=30°， 2∵∠BDC=∠BAC=60° ∴∠BCD=180°-∠DBC-∠BDC=90° ∴BD 是直径， ∴∠BAD=90°，CD=AD 连接 AO 并延长交 BC 于 H 点， ∵AO=BO ∴∠BAH=∠ABO=30°， ∴∠AHB=180°-∠BAH-∠ABC=90° ∴AH⊥BC O ∵AF 是 的切线 ∴AF⊥AH ∴四边形 AHCF 是矩形 ∴AF⊥CF ∵∠ADB=∠BDC=60° ∴∠ADF=180°-∠ADB-∠BDC=60° ∴∠FAD=90°-∠ADF=30° DF DF 12∴；DC AD ②∵半径为 2， ∴AO=OD=2， ∵∠DBC=30°， 1∴CD= BD=2=AD， 21∴DF= AD=1, 22222∴AF= ,AD DF 2 1 3 ∵∠AOB=180°-2∠ABO=120°， ∴∠AOD=180°-∠AOB=60°， ∴160 AO2 160 22 3 3 2S阴影 S梯形AODF S扇形AOD (AO DF) AF (2 1) 3 2360 2360 23﹔13 3 22 3故答案为：① ； ② ；2O （2）如图，连接 ，连接 并延长交 于点 H，连接 ，则ADH 90 DH ，AO AD DAH DHA 90 O ∴∵∴∴∵∴∴∴∵∴．与相切， AF ．DAH DAF FAO 90 ．DAF DHA 平分 ABC ，BD ．，．ABD CBD DHA DAC DAF DAC ，AB AC ∠ABC ACB ．O ．∵四边形 内接于 ，ABCD ABC ADC 180 ∴又∵ ，ADF ADC 180 ∴．ADF ABC 又∵ ，ADB ACB ABC ∴．ADF ADB 又∵ 公共， AD △ADF ≌△ADE ASA ∴∴∵，．DF DE 4 DF DC 23，∴∵∴．DC 6 ，DCE ABD DBC CDE 公共， ．△DCE ∽△DBC CD DE 646∴，即 ，DB CD DB ∴∴DB 9 ．．BE DB DE 5 【点睛】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的性质、等边三角形的判定与性质 及相似三角形的判定与性质． y ax2 4ax 4a 6 a 0 x24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 与轴交于 ，B两点（点 在点 ABAy的左侧），与 轴交于点 ，顶点为点 ．CD（1）当 时，直接写出点 ，B，，的坐标： Da 6 CA______， B______， ______， ______； CDA4xa，求 的值和 tan AED （2）如图 1，直线 交轴于点 ，若 E的长； DC CE 3x（3）如图 2，在（2）的条件下，若点 为的中点，动点 P在第三象限的抛物线上，过点 P作轴的 NOC Q垂线，垂足为 ，交 t的横坐标为 ，记 于点 ；过点 F作，垂足为 H．设点 PAN FFH DE f FP FH ．t①用含 的代数式表示 f；5 t m m 0 f，求 的最大值． ②设 225 283f t2 4t 3,0 1,0 0,18 2,6 ；（ 2 ） 【 答 案 】（ 1 ） ，，，；；（ 3 ） ① ；36326 ②．3【解析】 【分析】 y 0 （1）求出 时，x 的值可得点 A、B 的坐标，求出 时，y 的值可得点 C 的坐标，将二次函数的解 x 0 析式化为顶点式即可得点 D 的坐标； （2）先求出顶点 D 的坐标，从而可得 DK、OK 的长，再利用正切三角函数可得 EK、OE、OC 的长，从而 可得出点 C 的坐标，然后将点 C 的坐标代入二次函数的解析式可得 a 的值，利用勾股定理可求出 CE 的长； （3）①如图，先利用待定系数法求出直线 AN 的解析式，从而可得点 F 的坐标，由此可得出 PF 的长，再 利用待定系数法求出直线 CE 的解析式，从而可得点 J 的坐标，由此可得出 FJ 的长，然后根据相似三角形 FH FJ f，从而可得 FH 的长，最后根据 的定义即可得； 的判定与性质可得 OE CE f②先将 的表达式化为顶点式，从而得出其增减性，再利用二次函数的性质即可得． 【详解】（1）当 时， y 6×2 24x 18 a 6 2y 0 当时， ，解得 或x 3 x 1 6x 24x 18 0 A(3,0) B(1,0) 则点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 y 18 时， 当x 0 C(0,18) 则点 C 的坐标为 将 y 6×2 24x 18化成顶点式为 y 6(x 2)2 6 D(2,6) 则点 D 的坐标为 3,0 1,0 0,18 2,6 故答案为： ，，，；（2）如图，作 轴于点 DK x K将y ax2 4ax 4a 6化成顶点式为 y a(x 2)2 6 D(2,6) 则顶点 D 的坐标为 ∴在，DK 6 OK 2 DK EK 643tan AED 中， ，即 RtDKE EK 9EK 解得 2952OE EK OK 2 2OC 54OC OE Rt△COE tan AED 在中， ，即 3210 OC 解得 310 310 525 622CE OC OE ( )2 ( )2 C(0, )，3210 310 3代入 y ax2 4ax 4a 6得： 4a 6 C(0, )将点 解得 2a ；3（3）①如图，作 与FP ED 的延长线交于点 J10 323C 0, a 由（2）可知， ，2810 y x2 x ∴当3323810 x2 x 0 y 0 时， ，解得 或x 5 x 1 333A 5,0 B 1,0 ∴，为 OC 的中点 Q N 53N 0, ∴y k x b 设直线 AN 的解析式为 1113535k b 0 k1 1153A 5,0 N 0, 将点 ，代入得： ，解得 53b 1b 1153y x 则直线 AN 的解析式为 32810 3P t, t2 t ∵33153F t, t ∴∴3152810 253PF t ( t2 t ) t2 3t 33333352OE 由（2）知， 5210 3E,0 C 0, ，y k x b 设直线 CE 的解析式为 22524k2 b2 0 k2 510 33E,0 C 0, 将点 ，代入得： ，解得 10 10 32b2 b2 3410 y x 则直线 CE 的解析式为 33410 3J t, t ∴315410 553FJ t ( t ) t ∴∵33333JF//y ，轴FH DE ∴∴，FHJ EOC 90 FJH ECO FJH ECO 553 t FH 5FH FJ 325 ∴，即 OE CE 26解得 FH t 1 25f PF FH t2 3t t 1 ∴33283f t2 4t 即；3283226 32f t2 4t f t 3 ②将 化成顶点式为 33ff时， 随t 的增大而减小 由二次函数的性质可知，当t 3时， 随t 的增大而增大；当 t 3 5 t m m 0 5 m 0 因此，分以下两种情况： 当在时5 m 3 f内， 随t 的增大而增大 5 t m t m 2326 32f时， 取得最大值，最大值为 m 3 则当 22又m 3 0 当时， 5 m 3 3226 26 2 m 3 333当在时3 m 0 ff内， 随t 的增大而减小 内， 随t 的增大而增大；在 5 t 3 3 t m 26 f时， 取得最大值，最大值为 则当 t 3 326 f综上， 的最大值为 ．3【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、正切三角函数、相似 三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）①，通过作辅助线，构造相似三角形求出 的长是解题 FH 关键． 本试卷的题干 0635
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