精品解析：湖北省十堰市2020年中考数学试题（解析版）

2020 年十堰市初中毕业生学业水平考试数学试题一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内． 11. A. 的倒数是（）41414B. C. D. 44 A【答案】【解析】【分析】根据倒数的概念进行求解即可．【详解】 1的倒数是 4 4故选：A 【点睛】本题考查了倒数的概念，熟知两个数互为倒数，其积为 1 是解题的关键． 2. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（） A. 圆锥【答案】【解析】 B. 圆柱 C. 长方体 D. 四棱柱 B【详解】解：圆柱体的主视图、左视图、右视图，都是长方形（或正方形），俯视图是圆，故选：B．【点睛】本题考查三视图． 3. 如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点 O．若 AOC 130 ，则 BOD  （）30° A. B. C. D. 40 50 60 C【答案】【解析】【分析】根据角的和差关系求解即可．【详解】解：∵ AOC 130 ，∴，BOC  AOC  AOB  40 ∴，BOD  COD  BOC  50 故选：C．【点睛】本题考查角度的计算问题．弄清角与角之间的关系是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（）a  a2  a3 a6  a3  a2 D. (a  2)(a  2)  a2  4 A. B. 3C. a2b  a6b3 D【答案】【解析】【分析】根据整式的混合运算法则即可求解．【详解】A. 2 不能计算，故错误； a  a 633B. C，故错误； a  a  a 3a2b  a6b3 ，故错误； 2D. ，正确， (a  2)(a  2)  a  4 故选 D．【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 5. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如下表所示： cm 鞋的尺码/ 22 122.5 23 523.5 24 724.5 25 1销售量双 211 3若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ A. 平均数 B. 方差 C. 众数）D. 中位数 C【答案】【解析】【分析】根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．【详解】因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数．故选：C．【点睛】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数． 6. 已知ABCD 中，下列条件：① ；② ；③ AC  BD ；④ 平分 BAD ，其中能 AC AB  BC AC  BD C. ③ 说明ABCD 是矩形的是（ A. ① ）B. ② D. ④ B【答案】【解析】【分析】根据矩形的判定进行分析即可．【详解】A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故 A 错误； AB  BC B. C. D. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故 B 正确；，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故 C 错误； AC  BD AC  BD 平分 BAD ，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故 D 错误． AC 故选：B．【点睛】本题考查了矩形判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．的7. 某厂计划加工 180 万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的 1.5 倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产 x 万个口罩，则可列方程为（）180  x 180  x 180  x 180  x 1 1 A. C. B. D. x1.5x x1.5x 180 180 180 180  2  2 x1.5x x1.5x A【答案】【解析】【分析】根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果． 180  x 180  x 1 【详解】由题知： x1.5x 故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可． A, B,C, D 8. 如图，点 O ADC  30 在上，OA  BC ，垂足为 E．若，，则（）BC  AE 1 A. 2 B. 4 C. D. 32 3 D【答案】【解析】【分析】 11OE  OC  OA 连接 OC，根据圆周角定理求得 AOC  60 ，在中可得，可得 OC 的长度， Rt△COE 22故 CE 长度可求得，即可求解．【详解】解：连接 OC， ADC  30 ∵，∴，AOC  60 OE OC 12 cos60  在中，，Rt△COE 11OE  OC  OA ∴∴，2121AE  OC  OA 22∵∴∴∵，AE 1 ，OA  OC  2 CE  3OA  BC ，垂足为 E， ∴，BC  2 3 故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，作出合适的辅助线是解题的关键． n  9. 根据图中数字的规律，若第 n 个图中出现数字 396，则（） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 B【答案】【解析】【分析】 n观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于 396，解得为正整数即成立，否则舍去．【详解】根据图形规律可得： n，解得不为正整数，舍去； 2n(1 n) 2n(1 n)  396 上三角形的数据的规律为：，若 22n，解得不为正整数，舍去；下左三角形的数据的规律为：，若 n 1 n 1 396 n下中三角形的数据的规律为： 2n 1，若 2n 1 396 ，解得不为正整数，舍去； n(n  4) n(n  4)  396 ，解得 n 18，或下右三角形的数据的规律为：，若，舍去 n  22 故选：B．【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键． k1 k2 k1 xk2 x10. y  y  如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则 ABCD BAD 120 （）133A. B. 3 C. D. 33B【答案】【解析】【分析】 k1 xk2 xy  y  据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点即为原点 O．如图：作 CM⊥x 轴于 M，DN⊥x 轴于 N．连接 OD，OC．证明，利用相似三角形的性质可得答案． COM∽ODN k1 xk2 xy  y  【详解】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形， OD  OC, ∴菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点即为原点 O，如图：作 CM⊥x 轴于 M，DN⊥x 轴于 N．连接 OD，OC． ∵DO⊥OC， ∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°， ∴∠COM=∠ODN， ∵∠CMO=∠DNO=90°， ∴，COM∽ODN 12k2 k1 k2 k1 SCOM SODN CO OD 21,2菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点即为原点 O, ,BAD 120 OCD  60, COD  90, DO tan 60   3, CO CO DO 3,322 k2 k1 CO OD 31 , 33k1  3. k2 故选 B．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） x  2y  3 1 2x  4y  11. 已知，则 ______．【答案】7 【解析】【分析】 x  2y  3 2x  4y  6 1 2x  4y 由可得到，然后整体代入计算即可． x  2y  3 【详解】解：∵ ，2 x  2y  2x  4y  23  6 ∴∴，1 2x  4y 1 6  7 ，故答案为：7．【点睛】本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键． 12. 如图，在ABC 中，是AC 的垂直平分线．若 AE  3 ，的周长为 13，则ABC 的周长 DE △ABD 为______．【答案】19. 【解析】【分析】 AC  2AE, AD  DC 由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线． AE  3 ，AC DE  AC  2AE  6, AD  DC,  AB  BD  AD 13, 的周长  AB  BC  AC  AB  BD  AD  AC ABC 13 6 19. 故答案为：19. 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． A, B,C, D 13. 某校即将举行 30 周年校庆，拟定了四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．若该校有学生 3000 人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案 B 的人数为______．【答案】1800 【解析】【分析】根据条形统计图和扇形统计图可知赞成 C 方案的有 44 人，占样本的成方案 B 的人数占比，用样本估计总体即可求解．，可得出样本容量，即可得到赞 22% 【详解】解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成 C 方案的有 44 人，占样本的，22% ∴样本容量为：（人）， 44  22%  200 120 100%  60% ∴赞成方案 B 的人数占比为：，200 ∴该校学生赞成方案 B 的人数为：故答案为：1800．（人）， 300060% 1800 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．，定义运算 m*n  (m  2)2  2n ．若，则 _____． m,n a  2*a  4*(3) 14. 对于实数【答案】【解析】【分析】 13 4*(3) 2*a  4*(3) 得出关于 a 的一元一次方程，求解根据给出的新定义分别求出即可．与的值，根据 2*a 【详解】解：∵ m*n  (m  2)2  2n ，22∴，，2a  2  2  2a 16  2a 4 3  4  2  2 3  42   2*a  4*(3) ∵∴，a  13 ，解得，16  2a  42 故答案为：．13 【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键． ( 1) ACB 15. 如图，圆心角为的扇形内，以 BC 为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则 90 AB AC  ______．【答案】2 【解析】【分析】本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解．【详解】将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为 S1，S2；两块空白分别为 S3，S4，连接 DC，如下图所示：由已知得：三角形 ABC 为等腰直角三角形，S1+ S2=π-1， ∵BC 为直径， ∴∠CDB=90°，即 CD⊥AB，故 CD=DB=DA， 中点，由对称性可知  ∴D 点为与弦 CD 围成的面积与 S3 相等． BC CD 设 AC=BC=x， S S3  S4  S1  S2 ，则扇ACB 90  x2  x2 11xx2 S4  S△ACB  S△BCD  S3  x2  x S3  S3 其中故：，，S扇ACB =360 42224 x2 4×2 ， S3  (  S3 )   1 4x  2, x  2 求解得：（舍去） 12故答案：2．【点睛】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解． BD  8,CD  6 16. 如图，D 是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ABC AD AD _____．【答案】12 【解析】【分析】以 CD 为边向外作等边三角形 CDE，连接 BE，可证得△ECB≌△DCA 从而得到 BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：如图 1，以 CD 为边向外作等边三角形 CDE，连接 BE， ∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°， ∴∠ECB=∠DCA， ∴△ECB≌△DCA（SAS）， ∴BE=AD， ∵DE=CD=6，BD=8， ∴8-6<BE<8+6， ∴2<BE<14， ∴2<AD<14． ∴则的最大值与最小值的差为 12． AD 故答案为：12 【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把 AD转化为 BE从而求解，是一道较好的中考题．三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分） 1 1   | 2 | 20200 ．17. 计算：   2  【答案】1 【解析】【分析】根据负整数指数幂，绝对值的运算，0 次幂分别计算出每一项，再计算即可． 1 1  【详解】解：  | 2 | 20200   2   2  2 1 ．1 【点睛】本题考查负整数指数幂，绝对值的运算，0 次幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． a b a2 b2 18. 先化简，再求值：，其中．1 a  3  3,b  3 a  2b a2  4ab  4b2 b【答案】，． 3 a  b 【解析】【分析】 b利用完全平方公式、平方差公式和通分等方法将原分式化简成，再将 a、b 的值代入化简后的分式 a  b 中即可得出结论． a  b ab  a b a  2b 1 【详解】解：原式 2a  2b 2a  2b a b 1 1   a  2b a b ab  a  2b a  b b，a  b 3   3 ．当时，原式 a  3  3,b  3 3 3 3 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 19. 如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，50 „   75 现有一架长为的梯子，当梯子底端离墙面时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据： 6m 2m ，sin50  0.77,cos50  0.64 sin75  0.97,cos75  0.26 ）？【答案】当梯子底端离墙面时，此时人能够安全使用这架梯子． 2m 【解析】【分析】分别求出当时和当时梯子底端与墙面的距离 AC 的长度，再进行判断即可．   50   75 AC AC cos50   0.64 【详解】解：当时，，解得；  50 AC  3.84m AB 6AC AC cos75   0.26 当时，，解得；  75 AC 1.56m AB 6所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在之间， 1.56m  3.84m 故当梯子底端离墙面时，此时人能够安全使用这架梯子． 2m 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，求出人能够安全使用这架梯子时，梯子底端与墙面的安全距离的范围是解题的关键． 20. 某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同．（1）小文诵读《长征》的概率是_____；（2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率． 113【答案】（1）；（2） 3【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求解；（2）根据题意画出树状图，利用概率公式即可求解． 1【详解】（1）P（小文诵读《长征》）= ；31故答案为：；3（2）依题意画出树状图如下： 391故 P（小文和小明诵读同一种读本）= ．3【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图． 2x , x 21. 已知关于 x 的一元二次方程有两个实数根．x  4x  2k  8  0 12（1）求 k 的取值范围； x3x  x x3  24 （2）若，求 k 的值． 121 2 【答案】(1) k  2 ；(2) k=3 【解析】【分析】 (1)根据   0 建立不等式即可求解； 2x x(x  x )  2x x 24 (2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可． 12121 2 【详解】解：(1)由题意可知，   (4)2  41(2k 8)  0，整理得：16+8k 32  0 解得： k  2 的取值范围是：，，∴．kk  2 故答案为： k  2 ．3132x x  x x x x(x  x )  2x x 24 (2)由题意得：，21212121 2 x +x =4 x x 2k 8 ，由韦达定理可知：，121 2 2(2k 8) 4  2(2k 8)  24 故有：，2整理得：，k  4k  3  0 k =3,k 1 解得：，12又由(1)中可知 k  2 的值为，∴．k=3 故答案为： k=3 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点， k．当＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根；当 ＜0 时，方程没有实数根． 22. 如图，为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，与过点 C 的切线垂直，垂足为 D，交半圆 O AD AB AD 于点 E．（1）求证：（2）若平分；AC DAB O, A, E,C ，试判断以为顶点的四边形的形状，并说明理由． AE  2DE 【答案】(1)见解析；(2)菱形，证明过程见解析【解析】【分析】 (1)连接 OC，由切线的性质可知∠COD=∠D=180°，进而得到 OC∥AD，得到∠DAC=∠ACO，再由 OC=OA 得到∠ACO=∠OAC，进而得到∠DAC=∠OAC 即可证明； (2) 连接 EC、BC、EO，过 C 点作 CH⊥AB 于 H 点，先证明∠DCE=∠CAE，进而得到△DCE∽△DAC，再由 AE=2DE 结合三角函数求出∠EAC=30°，最后证明△EAO 和△ECO 均为等边三角形即可求解．【详解】解：(1)证明：连接 OC，如下图所示： ∵CD 为圆 O 的切线，∴∠OCD=90°， ∴∠D+∠OCD=180°， ∴OC∥AD， ∴∠DAC=∠ACO，又 OC=OA， ∴∠ACO=∠OAC， ∴∠DAC=∠OAC， ∴ AC 平分∠DAB． (2) 四边形 EAOC 为菱形，理由如下：连接 EC、BC、EO，过 C 点作 CH⊥AB 于 H 点，如下图所示，由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC=180°，又∠AEC+∠DEC=180°， ∴∠DEC=∠B，又∠B+∠CAB=90°， ∠DEC+∠DCE=90°， ∴∠CAB=∠DCE，又∠CAB=∠CAE， ∴∠DCE=∠CAE，且∠D=∠D， ∴△DCE∽△DAC，设 DE=x，则 AE=2x，AD=AE+DE=3x， CD DE 22∴∴，∴ ，CD =AD DE  3x AD CD ，CD= 3x DC 3x 3在 Rt△ACD 中，，tan DAC= AD 3x 3∴∠DAC=30°， ∴∠DAO=2∠DAC=60°，且 OA=OE， ∴△OAE 为等边三角形，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC=2∠EAC=60°， ∴△EOC 为等边三角形， ∴EA=AO=OE=EC=CO，即 EA=AO=OC=CE， ∴四边形 EAOC 为菱形．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角函数、菱形的判定等知识点，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决本题的关键． 23. 某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过 12 天完成．这种设备的出厂价为 1200 元/台，该企业第一天生产 22 台设备，第二天开始，每天比前一天多生产 2 台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第 x 天（x 为整数）的生产成本为 m（元台），m 与 x 的关系如图所示．（1）若第 x 天可以生产这种设备 y 台，则 y 与 x 的函数关系式为______，x 的取值范围为______；（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？（3）求当天销售利润低于 10800 元的天数． y=2x  20 【答案】（1）；1 x 12 （2）第 6 天时，该企业利润最大，为 12800 元. （3）7天【解析】【分析】（1）根据题意确定一次函数的解析式，实际问题中 x 的取值范围要使实际问题有意义；（2）求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可；（3）根据（2）中的函数解析式列出不等式方程即可解答． y=22+2 x 1 =2x  20 【详解】（1）根据题意，得 y 与 x 的解析式为： （）1 x 12 （2）设当天的当天的销售利润为 w元，则根据题意，得当 1≤x≤6 时， w=（1200-800）（2x+20）=800x+8000， ∵800＞0，∴w 随 x 的增大而增大， ∴当 x=6 时，w 最大值=800×6+8000=12800．当 6＜x≤12 时，的易得 m 与 x 关系式：m=50x+500 w=[1200-（50x+500）]×（2x+20） =-100×2+400x+14000=-100（x-2）2+14400． ∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w 随 x 的增大而减小，天数 x 为整数， ∴当 x=7 时，w 有最大值，为 11900 元， ∵12800＞11900， ∴当 x=6 时，w 最大，且 w 最大值=12800 元，答：该厂第 6 天获得的利润最大，最大利润是 12800 元．（3）由（2）可得， 1≤x≤6 时， 800x 8000＜10800 解得：x＜3.5 则第 1-3天当天利润低于 10800 元，当 6＜x≤12 时， 210（0 x  2）14400＜10800 解得 x＜-4（舍去）或 x＞8 则第 9-12 天当天利润低于 10800 元，故当天销售利润低于 10800 元的天数有 7天．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，解题关键在于理解题意，利用待定系数法确定函数的解析式，并分类讨论． 24. 如图 1，已知△ABC≌△EBD ，，点 D 在上，连接并延长交于点 ACB  EDB  90 CD AB AE F．（1）猜想：线段与AF EF 的数量关系为_____； 180 时，得到图 2，连接 CD （2）探究：若将图 1 的绕点 B 顺时针方向旋转，当小于并延 CBE △EBD 长交于点 F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； AE （3）拓展：图 1 中，过点 E 作，垂足为点 G．当ABC 的大小发生变化，其它条件不变时，若 EG  CB ，EBG  BAE BC  6 ，直接写出的长． AB 【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由见解析；(3)12 【解析】【分析】 (1) 延长 DF 到 G 点，并使 FG=DC，连接 GE，证明△ACF △EDG，进而得到△GEF 为等腰三角形，即可 ≌证明 AF=GE=EF； (2)证明原理同(1)，延长 DF 到 G 点，并使 FG=DC，连接 GE，证明△ACF △EDG，进而得到△GEF 为等 ≌腰三角形，即可证明 AF=GE=EF； (3)补充完整图后证明四边形 AEGC 为矩形，进而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．【详解】解：(1)延长 DF 到 G 点，并使 FG=DC，连接 GE，如下图所示 ∵，△ABC≌△EBD ∴DE=AC，BD=BC， ∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF， ∴∠ADF=∠DCB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， ∵∠EDB=90°， ∴∠ADF+∠FDE=90°， ∴∠ACD=∠FDE，又延长 DF 使得 FG=DC， ∴FG+DF=DC+DF， ∴DG=CF，在△ACF 和△EDG 中， AC  ED ACF  EDG CF  DG ，∴△ACF △EDG(SAS)， ≌∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE， ∴∠G=∠GFE ∴GE=EF ∴AF=EF，故 AF 与 EF 的数量关系为：AF=EF. 故答案为：AF=EF； (2)仍旧成立，理由如下：延长 DF 到 G 点，并使 FG=DC，连接 GE，如下图所示设 BD 延长线 DM 交 AE 于 M 点， ∵，△ABC≌△EBD ∴DE=AC，BD=BC， ∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF， ∴∠MDF=∠DCB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， ∵∠EDB=90°， ∴∠MDF+∠FDE=90°， ∴∠ACD=∠FDE，又延长 DF 使得 FG=DC， ∴FG+DF=DC+DF， ∴DG=CF，在△ACF 和△EDG 中， AC  ED ACF  EDG CF  DG ，∴△ACF △EDG(SAS)， ≌∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE， ∴∠G=∠GFE ∴GE=EF， ∴AF=EF，故 AF 与 EF 的数量关系为：AF=EF. 故答案为：AF=EF； (3)如下图所示： ∵BA=BE， ∴∠BAE=∠BEA， ∵∠BAE=∠EBG, ∴∠BEA=∠EBG， ∴AE CG， // ∴∠AEG+∠G=180°， ∴∠AEG=90°， ∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°， ∴四边形 AEGC 为矩形， ∴AC=EG，且 AB=BE， ∴Rt△ACB Rt△EGB(HL)， ≌∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，又∵ED=AC=EG，且 EB=EB， ∴Rt△EDB Rt△EGB(HL)， ≌∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE， ∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°， ∴∠BAC=30°， ∴在 Rt△ABC 中由 30°所对的直角边等于斜边的一半可知： AB  2BC 12 ．故答案为：．12 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长 DF 到 G 点并使 FG=DC，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线． 2A 1,0 C 0,3 25. 已知抛物线 y  ax  2ax  c 过点 和，与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D．（1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；（2）如图 1，E 为线段 BC 上方的抛物线上一点，，垂足为 F，轴，垂足为 M，交 BC EM  x EF  BC 于点 G．当时，求的面积； BG  CF EFG （3）如图 2，与的延长线交于点 H，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 P，使？AC OPB  AHB BD 若存在，求出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由． 1 5 5 5 2D(1,4) S1 P(0,3), P,【答案】（1），；（2）；（3）存在， ,y  x  2x  3 2  EFG 1221 5 5 5 P,3  22【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出 a 的值即可得到解析式，进而得到顶点 D 坐标； y  x  3 y  x  b （2）先求出 BC 的解析式，再设直线 EF 的解析式为 ,设点 E 的坐标为 m,m2  2m  3 2，联立方程求出点 F，G 的坐标，根据 2 列出关于 m 的方程并求解，然后求 BG  CF 得 G 的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；（3）过点 A 作 AN⊥HB，先求得直线 BD，AN 的解析式，得到 H，N 的坐标，进而得到  ，设点 H  45 p n,n2  2n  3 ，过点 P 作 PRx 轴于点 R，在 x 轴上作点 S 使得 RS=PR，证明，根据 OPS∽OPB 相似三角形对应边成比例得到关于 n 的方程，求得后即可得到点 P 的坐标．【详解】（1）把点 A（-1，0），C（0，3）代入 y  ax2  2ax  c 中， a  2a  c  0 ，c  3 a  1 c  3 解得， y  x2  2x  3 ，bx   1 时，y=4，当2a D(1,4) 2（2）  y  x  2x  3 y  0, x  1, 令或 x=3 B(3,0) y  kx  b (k  0) 设 BC 的解析式为 C(0,3), B(3,0) 将点代入，得 b  3 ，3k  b  0 k  1 b  3 解得， y  x  3 EF  CB y  x  b m,m2  2m  3 设直线 EF 的解析式为 ,设点 E 的坐标为，2y  x  b 将点 E 坐标代入中，得，b  m  m  3  y  x  m2  m  3 y  x  3 y  x  m2  m  3 m2  m x  y  2m2  m  6 222m  m m  m  6 F ,22y  x  3 把 x=m 代入 G(m,m  3) BG  CF BG2  CF2 2 2 22m  m m  m 即(m 3)2  (3 m)2  22解得 m=2 或 m=-3 ∵点 E 是 BC 上方抛物线上的点 ∴m=-3 舍去 E(2,3), F(1,2)，G(2,1) ∴点 EF  12 12  2 FG  12 12  2 1SEFG  2  2 1 2（3）过点 A 作 AN⊥HB， D(1,4), B(3,0) ∵点  yDB  2x  6 A(1,0) C(0,3) ，点 ∵点  yAC  3x  3 y  x  3 y  2x  6 3x  y  524 53 24 ,H 5 5 112yx  b 设，把（-1，0）代入，得 b= AN 211 y  x  2211y  x  22y  2x  6 11 58x  y  511 8 ,N 5 5 22   11 58 AN2  1    5  2216 58    5  22816 5  HN2    5   AN  HN H  45 p n,n2  2n  3 设点 过点 P 作 PR⊥x 轴于点 R，在 x 轴上作点 S 使得 RS=PR n2  3n  3,0  且点 S 的坐标为 RSP  45 若OPB  AHB  45 在和OPS △OPB 中， POS  POB OSP  OPB OPS∽OPB OP OS OB OP OP2  OBOS n2  (n 1)2 (n 3)2  3（ n2  2n  3) 1 5 n  0 或n  2P(0,3) 11 5 5 5 P,2  221 5 5 5 P,3  22【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第 3 问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．本试卷的题干 0635