浙江省温州市 2020 年初中学业水平考试数学试题 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．每小题只有一个选项是正确的，不选、 多选、 错选，均不给分） 21. 数 1，0， ，﹣2 中最大的是（ ）323A. B. C. D. ﹣2 10A【答案】 【解析】 【分析】 将各数按照从小到大顺序排列，找出最大的数即可． 2【详解】排列得：-2＜ ＜0＜1， 3则最大的数是 1， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数大小比较，将各数正确的排列是解本题的关键． 2. 原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了 1700000 年误差不 超过 1 秒．数据 1700000 用科学记数法表示（ ）17105 1.7106 0.17107 1.7107 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 n根据科学记数法的表示 可得出答案． a 10 ,1 a＜10 6【详解】根据科学记数法的知识可得:1700000= 故选 B． ．1.710 【点睛】本题考查了科学记数法的表示，主要是要对小数点的位置要清楚． 3. 某物体如图所示，它的主视图是（ ）A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 根据三视图的定义，其主视图，就是从前向后看得到的正投影，根据看到的图形一一判断即可． 【详解】A、是其主视图，故符合题意； B、是其左视图，故不符合题意； C、三种视图都不符合，故不符合题意； D、是 其俯视图，故不符合题意. 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形就是主视图，熟练掌握组合体图形的观察 方法是解题的关键． 4. 一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 4 个白球，2 个红球，1 个黄球．从布袋里任意摸 出 1 个球，是红球的概率为（ ）4371727A. B. C. D. 7C【答案】 【解析】 【分析】 利用红球的个数除以球的总个数解答即可． 【详解】解：从布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率= 2．7故选：C． 【点睛】本题考查了简单事件的概率，属于基础题型，熟知计算的方法是解题关键． 5. 如图，在△ABC 中，∠A＝40°，AB＝AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作□BCDE，则∠E 的度数 为（ ）A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° D【答案】 【解析】 【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C 的度数，再根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵∠A＝40°，AB＝AC， ∴∠ABC=∠C=70°， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠E=∠C=70°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型， 熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键． 6. 山茶花是温州市的市花，品种多样，“金心大红”是其中的一种．某兴趣小组对 30 株“金心大红”的花径进 行测量、记录，统计如下表． 这批“金心大红”花径的众数为（ ）A. 6.5cm 【答案】 【解析】 【分析】 B. 6.6cm C. 6.7cm D. 6.8cm C根据众数的定义判断即可，众数为一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：花径 6.7cm 的有 12 株，出现次数最多， 因此这批“金心大红”花径的众数为 6.7cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了众数的定义，了解众数为一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键． 7. 如图，菱形 OABC 的顶点 A，B，C 在⊙O 上，过点 B 作⊙O 的切线交 OA 的延长线于点 D．若⊙O 的半 径为 1，则 BD 的长为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 32D【答案】 【解析】 【分析】 连接 OB，由题意可知，∠OBD=90°；再说明△OAB 是等边三角形，则∠AOB =60°；再根据直角三角形的性 质可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得 BD 的长． 【详解】解：连接 OB ∵菱形 OABC ∴OA=AB 又∵OB=OA ∴OB=OA=AB ∴△OAB 是等边三角形 ∵BD 是圆 O 的切线 ∴∠OBD=90° ∴∠AOB=60° ∴∠ODB=30° 3∴在 Rt△ODB 中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2× 故答案为 D． =32【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，其中证 明△OAB 是等边三角形是解答本题的关键． 8. 如图，在离铁塔 150 米的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 ，测倾仪高AD 为 1.5 米，则铁塔的高 BC 为（ ）150 A. (1.5＋150tan )米 B. (1.5＋ D. (1.5＋ )米 )米 tan 150 C. (1.5＋150sin )米 sin A【答案】 【解析】 【分析】 过点 A 作 AE⊥BC 于 E，则 BE 可由仰角的正切值求得，再加上 AD 的长即为 BC 的长． 【详解】解：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于 E， 可知 AE=DC=150，EC=AD=1.5， ∵塔顶的仰角为 ，BE BE tan ∴，AE 150 ∴∴BE 150tan ，BC BE CE BE AD 1.5150tan ，故选：A． 【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 已知(﹣3， 1 )，(﹣2， 2 )，(1， 3 )是抛物线 y 3×2 12x m上的点，则（ ）yyy9. y3 yyy3 y1 yy2 yyy1 D. yy22 A. B. C. 12313B【答案】 【解析】 【分析】 先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可． 12 【详解】解：抛物线 y 3×2 12x m的对称轴为 x 2 ，2 3 ∵3 0 x 2 ，∴是 y 随 x 的增大而增大， 是 y 随 x 的增大而减小， x 2 yy又∵(﹣3， 1 )比(1， 3 )距离对称轴较近， yy y 1 ，2∴3故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键． 10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点 C 作 CR⊥FG 于点 R，再过点 C 作 PQ⊥CR 分别交边 DE，BH 于点 P，Q．若 QH＝2PE，PQ＝15，则 CR 的长为（ ）A. 14 B. 15 C. D. 8 3 6 5 A【答案】 【解析】 【分析】 PC CEEP 12连接 EC，CH，设 AB 交 CR 于点 J，先证得△ECP∽△HCQ，可得 ，进而可求得 CQ＝ CQ CHHQ 10，AC:BC＝1:2，由此可设 AC＝a，则 BC＝2a，利用 AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形 ABQC 为平行四边 形，由此可得 AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得 而可求得 CR 的长． ，AC 2 5BC 4 5 ，利用等积法求得CJ 4 ，进 【详解】解：如图，连接 EC，CH，设 AB 交 CR 于点 J， ∵四边形 ACDE，四边形 BCIH 都是正方形， ∴∠ACE＝∠BCH＝45°， ∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°， ∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°， ∴点 E、C、H 在同一直线上，点 A、C、I 在同一直线上， ∵DE∥AI∥BH， ∴∠CEP＝∠CHQ， ∵∠ECP＝∠QCH， ∴△ECP∽△HCQ， PC CEEP 12∴，CQ CHHQ ∵PQ＝15， ∴PC＝5，CQ＝10， ∵EC:CH＝1:2， ∴AC:BC＝1:2， 设 AC＝a，则 BC＝2a， ∵PQ⊥CR，CR⊥AB， ∴CQ∥AB， ∵AC∥BQ，CQ∥AB， ∴四边形 ABQC 为平行四边形， ∴AB＝CQ＝10， 222∵∴∴，AC BC AB 2，5a 100 （舍负） ，a 2 5 ∴∵∴，AC 2 5BC 4 5 121 AC BC AB CJ ，22 5 4 5 CJ 4 ，10 ∵JR＝AF＝AB＝10， ∴CR＝CJ＋JR＝14， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应 用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 211. 分解因式：x －25=_________________. x 5 x5 【答案】 【解析】 x2 25 x 5 x5 222﹣﹣，所以直接应用平方差公式即可： x25=x 5试题分析：因为 ．x 3 0 12. _______ ．不等式组 的解集为 x 4 1 2 2 x 3 【答案】 【解析】 【分析】 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． x 3 0 ① 【详解】解： x 4 1 ② 2 由①得： 由②得： ，x 3 ，x 2 2 x 3 ∴不等式组的解集为： 2 x 3 ，故答案为： ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找 不到”的原则是解答此题的关键． 13. 若扇形的圆心角为 45°，半径为 3，则该扇形的弧长为_______． 34【答案】 【解析】 【分析】 n R 180 L 根据弧长公式 求解． n R 45 3 3L 【详解】 ．180 180 43故答案为： 4．n R 180 L 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式 ．14. 某养猪场对 200 头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值） 如图所示，其中质量在 77.5kg 及以上的生猪有_______头． 【答案】140 【解析】 【分析】 根据题意和直方图中的数据可以求得质量在 77.5kg 及以上的生猪数，本题得以解决． 【详解】由直方图可得， 质量在 77.5kg 及以上的生猪有：90+30+20=140（头）， 故答案为：140． 【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． k15. 点 P，Q，R 在反比例函数 y （常数 k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作 x 轴、 xy 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为 S1，S2，S3．若 OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27， 则 S2 的值为_______． 27 5【答案】 【解析】 【分析】 S , S , S S S 27 利用反比例函数系数 的几何意义，及OE＝ED＝DC 求解 3 ，然后利用 列方程求解即 k1213可得到答案． k, 【详解】解：由题意知：矩形 的面积 OFPC OE DE DC, 1S1 k, 3OGQD 的，矩形OARE 面积都为 ， 同理：矩形 kOE DE DC, 1221S2 k k k, 36111S3 k k k k, 362S1 S3 27, 11 k k 27, 23162 k ,5162 127 S2 .56527 .故答案为： 5【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键． 16. 如图，在河对岸有一矩形场地 ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸 l 上依次取点 E，F，N，使 AE⊥l，BF⊥l，点 N，A，B 在同一直线上．在 F 点观测 A 点后，沿 FN 方向走到 M 点，观测 C 点发现∠1 ＝∠2．测得 EF＝15 米，FM＝2 米，MN＝8 米，∠ANE＝45°，则场地的边 AB 为_______米，BC 为_______ 米． (1). (2). 20 2 【答案】 15 2 【解析】 【分析】 过点 C 作 CP⊥EF 于点 P，过点 B 作直线 GH∥EF 交 AE 于点 G，交 CP 于点 H，如图，则△ABG、△BCH 都是等腰直角三角形，四边形 BGEF、BHPF 是矩形，于是可根据等腰直角三角形的性质和勾股定理依次求 出 AG、BG、AB 的长，设 FP=BH=CH=x，则 MP=x－2，CP=x+10，易证△AEF∽△CPM，然后根据相似 三角形的性质即可得到关于 x 的方程，解方程即可求出 x，再根据勾股定理即可求出 BC 的长． 【详解】解：过点 C 作 CP⊥EF 于点 P，过点 B 作直线 GH∥EF 交 AE 于点 G，交 CP 于点 H，如图，则 GH⊥AE，GH⊥CP， ∴四边形 BGEF、BHPF 是矩形， ∵∠ANE＝45°，∴∠NAE＝45°， ∴AE=EN=EF+FM+MN=15+2+8=25， ∵∠ABG＝45°，∴∠GAB＝45°， ∴AG=BG=EF=15， 22∴，GE=BF=PH=10， AB AG BG 15 2 ∵∠ABG＝45°，∠ABC＝90°，∴∠CBH＝45°， ∴∠BCH=45°，∴BH=CH， 设 FP=BH=CH=x，则 MP=x－2，CP=x+10， ∵∠1=∠2，∠AEF=∠CPM=90°， ∴△AEF∽△CPM， AE CP 25 x 10 ∴，即 ，解得：x=20， EF PM 15 x 2 即 BH=CH=20， 22∴．BC BH CH 20 2 ∴米， 米． AB 15 2 BC 20 2 故答案为： ，15 220 2 ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理以及相似三角形的判定 和性质等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. （1）计算： 4 2 ( 6)0 (1) ；（2）化简： (x 1)2 x(x 7) ．【答案】（1）2；（2） 9x 1 【解析】 【分析】 的（1）原式分别根据算术平方根 性质、绝对值的代数意义、非零数的零次幂的运算法则对各项进行化简后 再进行加减运算即可； （2）原式运用完全平方公式和单项式乘以多项式把括号展开后再合并同类项即可得到结果． 4 2 ( 6)0 (1) 【详解】（1） =2-2+1+1 =2； （2） (x 1)2 x(x 7) 22==x 2x 1 x 7x 9x 1 【点睛】此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，熟练运用运算法则是解答此题的关键． 18. 如图，在△ABC 和△DCE 中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点 A，C，D 依次在同一直线上，且 AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）连结 AE，当 BC＝5，AC＝12 时，求 AE 的长． 【答案】（1）见解析；（2）13 【解析】 【分析】 根据题意可知，本题考察平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内 错角相等再通过 AAS 以及勾股定理进行求解． 【详解】解：（1）∵ AB//DE ∴在BAC CDE △ABC 和△DCE 中 B DCE BAC CDE AC DE ∴△ABC≌△DCE （2）由（1）可得 BC=CE=5 在直角三角形 ACE 中 AE AC2 CE2 122 52 13 【点睛】本题考察平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是 解决此类问题的关键． 19. A，B 两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示． （1）要评价这两家酒店 7~12 月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量； （2）已知 A，B 两家酒店 7~12 月的月盈利的方差分别为 1.073（平方万元），0.54（平方万元）．根据所给 的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述 理由． 【答案】（1）平均数， xA 2.5, xB 2.3；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据平均数可以判断营业水平，根据数据求平均数即可 （2）根据平均数和方差综合分析即可 【详解】（1）选择两家酒店月营业额的平均数： 1xA (11.6 2.2 2.7 3.5 4) 2.5 ，61x (2 31.7 1.81.7 3.6) 2.3 ，B6（2）A 酒店营业额的平均数比 B 酒店的营业额的平均数大，且 B 酒店的营业额的方差小于 A 酒店，说明 B 酒店的营业额比较稳定，而从图像上看 A 酒店的营业额持续稳定增长，潜力大，说明 A 酒店经营状况 好． 【点睛】此题考查平均数的求法和方差在数据统计中的应用． 20. 如图，在 6×4 的方格纸 ABCD 中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点 A， B，C，D 重合． （1）在图 1 中画格点线段 EF，GH 各一条，使点 E，F，G，H 分别落在边 AB，BC，CD，DA 上，且 EF＝ GH，EF 不平行 GH； （2）在图 2 中画格点线段 MN，PQ 各一条，使点 M，N，P，Q 分别落在边 AB，BC，CD，DA 上，且 PQ ＝MN． 5【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据方格纸的特点,只要在 AB 与 CD 边上的点不对称就可以得到不平行,再根据勾股定理确定长度,画 法不唯一. （2）根据勾股定理分别算出 PQ 和 MN,使得 PQ＝ MN 的点即为所求的点. 522【详解】（1）由 EF=GH= ,可得图形如下图: 2 +3 =5 PQ 42 32 25 2MN 1 22 5（2）如图所示, ,.所以 ,PQ∶MN 25∶ 5= 5 得到: PQ＝ MN. 5【点睛】本题主要考查了利用格点作图的知识点,利用勾股定理的知识点结合求解即可. 已知抛物线 y ax2 bx 1经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． 21. （1）求 a，b 的值； yyy 12 y （2）若(5， 1 )，(m， 2 )是抛物线上不同的两点，且 1 ，求 m 的值． 2a 1,b 4 【答案】（1） ；（2） m 1 【解析】 【分析】 （1）将点的坐标分别代入解析式即可求得 a，b 的值； yyy 12 y （2）将(5， 1 )，(m， 2 )代入解析式，联立 1 即可求得 m 的值. 2【详解】（1）∵抛物线 y ax2 bx 1经过点（1，-2），（-2，13）， 2 a b 1 a 1 ∴，解得 ，13 4a 2b 1 b 4 ∴a 的值为 1，b 的值为-4； yy（2）∵(5， 1 )，(m， 2 )是抛物线上不同的两点， 25 20 1 y y 6 y 6 111m2 4m 1 y y2 12 y1 m 1 y2 6 m 5 y2 6 ∴，解得 或（舍去） 2∴m 的值为-1. 【点睛】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关 键. 22. 如图，C，D 为⊙O 上两点，且在直径 AB 两侧，连结 CD 交 AB 于点 E，G 是 上一点，∠ADC＝ AC ∠G． （1）求证：∠1＝∠2； 2（2）点 C 关于 DG 的对称点为 F，连结 CF，当点 F 落在直径 AB 上时，CF＝10，tan∠1＝ ，求⊙O 的半 5径． 29 【答案】（1）见解析；（2） 4【解析】 【分析】 （1）根据∠ADC＝∠G 得 ，进而可得 CB DB ，由此可得∠1＝∠2； AC AD 1（2）连接 OD、FD，先证 FC＝FD，FD＝CD，进而可得 FC＝FD＝CD＝10，DE＝ CD＝5，再根据 tan∠1 22＝可得 BE＝2，设 OB＝OD＝x，则 OE＝5－x，根据勾股定理即可求得⊙O 的半径． 5【详解】（1）证明：∵∠ADC＝∠G， ∴ ， AC AD ∵AB 为⊙O 的直径， ∴ACB ADB ∴，ACB AC ADB AD ∴，CB DB ∴∠1＝∠2； （2）解：连接 OD、FD， ∵ ， ，AC AD CB DB ∴点 C、D 关于直径 AB 对称， ∴AB 垂直平分 CD， 1∴FC＝FD，CE＝DE＝ CD，∠DEB＝90°， 2∵点 C 关于 DG 的对称点为 F， ∴DG 垂直平分 FC， ∴FD＝CD， 又∵CF＝10， ∴FC＝FD＝CD＝10， 1∴DE＝ CD＝5， 22∵在 Rt△DEB 中，tan∠1＝ 5BE 2∴∴，，DE BE 5255∴BE＝2， 设 OB＝OD＝x，则 OE＝5－x， 222∵在 Rt△DOE 中， ，OE DE OD ∴(x 2)2 52 x2 ，29 x 解得： 429 4∴⊙O 的半径为 ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直径的性质、解直角三角形以及勾股定理，作出正确的辅助线以及根据 轴对称性证得 FC＝FD＝CD＝10 是解决本题的关键． 23. 某经销商 3 月份用 18000 元购进一批 T 恤衫售完后，4 月份用 39000 元购进单批相同的 T 恤衫，数量是 3 月份的 2 倍，但每件进价涨了 10 元． （1）4 月份进了这批 T 恤衫多少件？ （2）4 月份，经销商将这批 T 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价 180 元．甲店按标价卖出 a 件 以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出 a 件，然后将 b 件按标价九折售出，再将剩余的 按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①用含 a 的代数式表示 b； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值． 150 a b 【答案】（1）300 件；（2）① ；②3900 元； 2【解析】 【分析】 18000 （1）设 3 月份购进 T 恤 x 件，则该单价为 元，4 月份购进 T 恤 2x 件，根据等量关系，4 月份数量 x是 3 月份的 2 倍可得方程，解得方程即可求得； （2）①甲乙两家各 150 件 T 恤，甲店总收入为 180a (150 a)0.8180 ，乙店总收入为 180a 1800.9b 1800.7(150 a b) ，甲乙利润相等，根据等量关系可求得 ab 关系式；②根据题意 可列出乙店利润关于 a 的函数式，由 以及①中的关系式可得到 a 的取值范围，进而可求得最大利润. a b 【详解】（1）设 3 月份购进 T 恤 x 件， 18000 2x( 10) 39000 ，解得 x=150， 由题意得： x经检验 x=150 是分式方程的解，符合题意， ∵4 月份是 3 月份数量的 2 倍， ∴4 月份购进 T 恤 300 件； 180a (150 a)0.8180 （2）①由题意得，甲店总收入为 ，180a 1800.9b 1800.7(150 a b) 乙店总收入为 ，∵甲乙两店利润相等，成本相等， ∴总收入也相等， 180a (150 a)0.8180 180a 1800.9b 1800.7(150 a b) ∴=，150 a b 化简可得 ，2150 a b ∴用含 a 的代数式表示 b为： ；2y 180a 1800.9b+1800.7(150 a b) 19500 ②乙店利润函数式为 结合①可得 ，y 36a 2100 ，150 a b 因为 ，，a b 2y 3650 2100 =3900， ∴a 50 ，∴ max 即最大利润为 3900 元. 【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作出等量关系列出方程，根据利润 得出函数式，根据未知数范围进行求解． 24. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF 分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段 AB，CD 于 点 E，F（点 E，B 不重合）．在线段 BF 上取点 M，N（点 M 在 BN 之间），使 BM＝2FN．当点 P 从点 D 6y x 12 匀速运动到点 E 时，点 Q 恰好从点 M 匀速运动到点 N．记 QN＝x，PD＝y，已知 ，当 Q 为 524 y BF 中点时， ．5（1）判断 DE 与 BF 的位置关系，并说明理由； （2）求 DE，BF 的长； （3）若 AD＝6．①当 DP＝DF 时，通过计算比较 BE 与 BQ 的大小关系；②连结 PQ，当 PQ 所在直线经过 四边形 ABCD 的一个顶点时，求所有满足条件的 x 的值． 10 14 ,DE 12, BF 16 BQ BE 10, ；② 【答案】（1） DE//BF ，理由见解析；（2） ；（3）① 3 3 【解析】 【分析】 （1）推出∠AED=∠ABF，即可得出 DE∥BF； 25 6y y x 12 （2）求出 DE=12，MN=10，把 代入 ，解得：x=6，得到 NQ=6，得出 QM=4，由 45FQ=QB，BM=2FN，得出 FN=2，BM=4，即可得出结果； （3）①连接 EM 并延长交 BC 于点 H，易证四边形 DFME 是平行四边形，得出 DF=EM，求出 ∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°， 22 BQ DF=EM=BM=4，MH=2，EH=6，由勾股定理得 ，,当 DP=DF 时 ，求出 ，BH 2 3 BE 4 3 3得到 BQ＞BE； ②（Ⅰ）当 PQ 经过点 D 时，y=0，则 x=10； FQ CF 10 3x （Ⅱ）当 PQ 经过点 C 时，由 FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，则 ，即可求得 ；DP CD PE AE （Ⅲ）当 PQ 经过点 A 时，由 PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，则 ，根据勾股定理得 BQ AB 14 x ,则 ，；由图可知，PQ 不可能过点 B． AE 6 3 AB 10 3 3【详解】解：（1）DE 与 BF 的位置关系为：DE∥BF，理由如下： 如图 1 所示： ∵∠A=∠C=90°， ∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°， ∵DE、BF 分别平分∠ADC、∠ABC， 11ADE ADC，ABF ABC， 221ADE ABF 180 90， 2∵∠ADE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠ABF， ∴DE∥BF； （2）令 x=0，得 y=12， ∴DE=12， 令 y=0，得 x=10， ∴MN=10， 25 46y y x 12 把代入 ，5解得：x=6，即 NQ=6， ∴QM=10-6=4， ∵Q 是 BF 中点， ∴FQ=QB， ∵BM=2FN， ∴FN+6=4+2FN， 解得：FN=2， ∴BM=4， ∴BF=FN+MN+MB=16； （3）①连接 EM 并延长交 BC 于点 H，如图 2 所示： ∵FM=2+10=12=DE，DE∥BF， ∴四边形 DFME 是平行四边形， ∴DF=EM， ∵AD=6，DE=12，∠A=90°， ∴∠DEA=30°， ∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°， ∴∠ADE=60°， ∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°， ∴∠DFM=∠DEM=120°， ∴∠MEB=180°-120°-30°=30°， ∴∠MEB=∠FBE=30°， ∴∠EHB=180°-30°-30°-30°=90°，DF=EM=BM=4， 1MH BM 2 ，2∴EH=4+2=6， 2222由勾股定理得： ，BH BM MH 4 2 2 3 2222∴，BE EH HB 6 (2 3) 4 3 6 x 12 4 当 DP=DF 时， ，530 x 解得： ，220 22 BQ 14 x 14 ，3322 ＞4 3 ，3BQ＞BE； ②（Ⅰ）当 PQ 经过点 D 时，如图 3 所示： y=0，则 x=10； （Ⅱ）当 PQ 经过点 C 时，如图 4 所示： ∵BF=16，∠FCB=90°，∠CBF=30°， 1CF BF 8 ，2CD=8+4=12， ∵FQ∥DP， ∴△CFQ∽△CDP， FQ CF ∴∴，DP CD 2 x 86，12 12 510 x 解得： ；3（Ⅲ）当 PQ 经过点 A 时，如图 5 所示： ∵PE∥BQ， ∴△APE∽△AQB， PE AE ∴，BQ AB 2222根据勾股定理得： ∴,AE DE AD 12 6 6 3 ，AB 6 3 4 310 3 612 12 6 3 ，514 x 10 3 14 x 解得： ；3由图可知，PQ 不可能过点 B； 10 14 3x x 综上所述，当 x=10 或 或时，PQ 所在的直线经过四边形 ABCD 的一个顶点． 3【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平 行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含 30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难 度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 本试卷的题干 0635
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