江苏省盐城市二〇二〇年初中毕业与升学考试 数学试题 注意事项： 1．本次考试时间为 120 分钟，卷面总分为 150 分，考试形式为闭卷． 2．本试卷共 6 页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 4．答题前，务必将姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 2020 的相反数是（ ） 11A. B. C. D. 2020 ﹣2020 2020 2020 B【答案】 【解析】 【分析】 直接利用相反数的定义得出答案． 【详解】解：2020 的相反数是：﹣2020． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键． 2. 下列图形中，属于中心对称图形的是：（ ） A. C. B. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的概念即图形旋转 180°后与原图重合即可求解． 【详解】解：解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转 180°后与 原图重合． 3. 下列运算正确的是：（ ） 3a3 a2 a6 a3 a a2 A. B. C. D. 2a a 2 2a2 6a5 C【答案】 【解析】 【分析】 根据整式的加减与幂的运算法则即可判断． 【详解】A. 2a a a ，故错误； 325B. C. D. ，故错误； a a a 32 ，正确； a a a 32a2 8a6 ，故错误； 故选 C． 【点睛】此题主要考查整式与幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则． a,b 4. 实数 在数轴上表示的位置如图所示，则（ ） a b a b A. B. C. D. a 0 a b C【答案】 【解析】 【分析】 根据数轴的特点即可求解． b a 【详解】由图可得 ，a 0 b 故选 C． 【点睛】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是熟知数轴的性质． 5. 如图是由 个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是：（ ） 4A. C. B. D. A【答案】 【解析】 【分析】 俯视图是指从上面往下面看得到的图形，根据此定义即可求解． 【详解】解：由题意知，该几何体从上往下看时，能看到三个并排放着的小正方体的上面，故其俯视图如 选项 A 所示， 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，主视图是指从前面往后面看所得到的图形，俯视图是指从上面往下 面看得到的图形，左视图是指从左边往右边看得到的图形． 6. 2019 年 7 月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为 万平方米，将数据 用科学记数法表示 400000 400000 应为：（ ） 0.4106 40104 4109 4105 A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于 1 时，n 是正数；当原 数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 5【详解】解：由题意可知，将 用科学记数法表示为： ，400000 400000 410 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 7. 把这 个数填入33 方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构 919 成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图 ②），是世界上最早的“幻方”．图 是仅可以看到部分 ①x数值的“九宫格”，则其中 的值为：（ ） A. B. C. D. 6314A【答案】 【解析】 【分析】 根据题意求出“九宫格”中的 y，再求出 x 即可求解． 【详解】如图，依题意可得 2+5+8=2+7+y 解得 y=6 ∴8+x+6=2+5+8 解得 x=1 故选 A． 的【点睛】此题主要考查一元一次方程 应用，解题的关键是根据题意得到方程求解． AC 6, BD 8 ．则线段OH 的 8. 如图，在菱形 O, H 为中，对角线 AC、BD 相交于点 BC 中点， ABCD 长为：（ ） 12 552A. B. C. D. 35B【答案】 【解析】 【分析】 因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有 AC BD ，AO OC 3 ，，又因为 H 为 BC BO OD 4 中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC BD ，AO OC 3 ，BO OD 4 ∴△BOC 是直角三角形 222∴BO OC BC ∴BC=5 ∵H 为 BC 中点 152OH BC ∴25故最后答案为 ．2【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的 性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键． 二、填空题（每题 3 分，满分 24 分，将答案填在答题纸上） 被直线 所截，a / /b,1 60 ．那么 _______________________o ． ca,b 9. 如图，直线 2 【答案】 【解析】 【分析】 60 根据平行线的性质即可求解． 【详解】∵ a / /b,1 60 ∴2 1 60 故答案为：60． 【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等． 1,4,7,4,2 10. 一组数据 的平均数为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】 2根据平均数的定义，将这组数据分别相加，再除以这组数据的个数，即可得到这组数据的平均数． 1,4,7,4,2 【详解】由题意知，数据 的平均数为： 1x (1 4 7 4 2) 2 ．5故答案为：2． 【点睛】本题考查平均数，按照平均数的定义进行求解即可．平均数反映一组数据的平均水平，它能代表 一组数据的集中趋势． 2211. 因式分解： ____． x y (x y)(x y) 【答案】 【解析】 ；试题分析：直接利用平方差公式分解：x2－y2＝(x＋y)(x－y)． 故答案为(x＋y)(x－y)． x 1 xx 12. 分式方程 0 的解为 _______________________． 【答案】 【解析】 【分析】 1xx方程两边同时乘 化成整式方程，进而求出 的值，最后再检验即可． x【详解】解：方程两边同时乘 得： ，x 1 0 解得： ，x 1 检验，当 时分母不为 0， x 1 故原分式方程的解为 ．x 1 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式方程的解法，先方程两边同时乘以最简公分母化成整式方程，然后求解，最后要记 得检验． 13. 一个不透明的袋中装有 3 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白 球的概率是______. 2【答案】 .5【解析】 【分析】 根据概率的求法，找准两点：①全部的情况数；②符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里共有将 5 个球，其中 2 个白球， 2∴任意摸出一个球为白球的概率是： ，52故答案为 .5【点睛】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的 结果数． BAC _______________________o BOC 100, 14. 如图，在 O 中，点 在上， 则ABC 【答案】130 【解析】 【分析】 O O 画出 的圆周角∠BDC 交于点 ，构造出 D的内接四边形；根据圆周角定理求出∠BDC 的度数， BC BAC 再根据圆内接四边形的性质，即可得出 的度数． O O 【详解】如图，画出 的圆周角∠BDC 交于点 ，则四边形ABDC 为的内接四边形， DBC ∵圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半， 11BDC BOC 100 50 ∴，22O ∵四边形 ABDC 为的内接四边形， ，∴BDC BAC 180 ∴．BAC 180 BDC 18050 130 故答案为：130 ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心 角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关 键． AE BC / /DE, BC DE, AD BC 4, AB DE 10 15. 如图， 且，则 的值为_________________． AC 【答案】 【解析】 【分析】 2BC / /DE, 设 AB=a，根据 得到△ABC∽△ADE，得到对应线段成比例即可求出 AB,再根据相似比的定义即 可求解． BC / /DE, 【详解】∵ ∴△ABC∽△ADE， AB BC ∴AD DE 设 AB=a,则 DE=10-a a4故410 a 解得 a1=2,a2=8 ∵BC DE ∴AB=2， AE AD 2 故AC AB 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟知得到对应线段成比例． 5A 5,2 ,B(5，4),C(8，1) m VA B C M (m，0), 16. 如图，已知点 ，直线 轴，垂足为点 其中 ，若 与l x ABC 2k VA B C y (k 0) 关于直线 对称，且 l有两个顶点在函数 的图像上，则 的值为： kx_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】 或与6 4 VA B C 因为 ABC 关于直线 l 对称，且直线 轴，从而有互为对称点纵坐标相同，横坐标之和为 l x k VA B C y (k 0) 2m，利用等量关系计算出 m 的值，又由于 是哪两个点在函数上，求出 k 的值． 有两个顶点在函数 ，从而进行分情况讨论 x5 VA B C M (m，0) ，m 【详解】解：∵ 与ABC 关于直线 l 对称，直线 轴，垂足为点 l x 2∴∵A’ (2m 5,2) ，B’ (2m 5,4) ，C’ (2m 8,1) k VA B C y (k 0) 有两个顶点在函数 xk（1）设 A’ (2m 5,2) ，B’ (2m 5,4) 在直线 上， y (k 0) x5252(2m 5)2 (2m 5)4 m m 代入有 ，不符合 故不成立； k（2）设 A’ (2m 5,2) ，C’ (2m 8,1) 在直线 上， y (k 0) xm 1， A’ (3,2)，C’ (6,1) ，代入方程后 k=-6； (2m 5)2 (2m 8)1 有，k（3）设 B’ (2m 5,4) ，C’ (2m 8,1) 在直线 上， y (k 0) xm 2 ， B’ (1,4) ，C’ (4,1) ，代入方程后有 k=-4； (2m 5)4 (2m 8)1 有，综上所述，k=-6 或 k=-4； 故答案为：-6 或-4． 【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐 标之和为对称轴横坐标的 2 倍是解题的关键． 三、解答题 （本大题共11 小题，共 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 0æö÷÷÷ø217. 计算： 23 – 4 + -p ç．ççè37【答案】 【解析】 【分析】 根据乘方，二次根式和零指数幂的运算法则化简，然后再计算即可． 【详解】解：原式 8 2 1 ． 7 【点睛】本题主要考查了乘方，二次根式和零指数幂的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2x 1 1 18. 解不等式组： 3．4x 5 3x 2 【答案】 【解析】 【分析】 2 x 7 的分别求出不等式组中两不等式 解集，表示在数轴上，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解 集． 2x 1 1① 【详解】解：由题意知： 34x 5 3x 2② 解不等式 移项得： ：去分母得： ，，①2x 1 3 2x 4 系数化为 1 得： ，x 2 x 7 ，解不等式 ②，得 在数轴上表示不等式 ①、② 的解集如图： 不等式组的解集为 ．2 x 7 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式组的解集，其中不等式组的解集 取法为：同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间． mm2 9 3 1 19. 先化简，再求值： ，其中 ．m 2 m 3 1【答案】 ，1 m 3 【解析】 【分析】 根据分式的加减乘除运算法则进行运算即可化简，最后将 代入求解即可． m 2 mm2 9 m 3 m 3 m 3 3【详解】解：原式 mmm2 9 m 3 mm 3 mm 3 m 3 1m 3 当时代入， m 2 11 原式 ．2 3 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式的加减乘除运算法则及化简求值，先乘除，再加减，有括号先算括号内的，熟练掌 握运算法则及运算顺序是解决此类题的关键． 3o20. 如图，在ABC 中， 的平分线 交AC 于点 ．求 的BD AB C 90 ,tan A ,ABC D.CD 3 3长？ 【答案】6 【解析】 【分析】 3由求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由 BD 是∠ABC 的平分线得出∠CBD=30°，进而求出 BC tanA 3的长，最后用 sin∠A 即可求出 AB 的长． 3o【详解】解：在 中， RtABC A 30o,ABC 60o, ABC 的平分线， C 90 ,tanA 3是Q BD CBD ABD 30, 又QCD 3, CD tan30o BC 3 ，C 90,A 30 在中， ，RtABC BC AB 6 ．sin30 6故答案为： ． 的【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数 定义及特殊角的三角函数是解决此类 题的关键． 21. 如图，点 是正方形， 的中心． OABCD EB EC; （1）用直尺和圆规在正方形内部作一点 （异于点 ），使得 （保留作图痕迹，不写作法） OEEB、EC、EO, （2）连接 求证： ．BEO CEO 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 的（1）作 BC 垂直平分线即可求解； （2）根据题意证明 即可求解． VEBO VECO 1【详解】 如图所示，点 即为所求． E2 连接OB、OC 1由 得： EB EC O 是正方形 ABCD 中心， OB OC, 在和中， ECO △EBO EB EC EO EO OB OC VEBO VECO SSS , ．BEO CEO 【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等 三角形的判定与性质． 22. 在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图 为地区累计确诊人数 ①A的条形统计图，图 ②B为 地区新增确诊人数的折线统计图． （1）根据图 中的数据， 地区星期三累计确诊人数为，新增确诊人数为 A；①（2）已知 地区星期一新增确诊人数为人，在图 ②中画出表示 地区新增确诊人数的折线统计图． AA14 （3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？ 【答案】（1）41,13；（2）见解析；（3）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】 （1）根据图①的条形统计图即可求解； （2）根据图 中的数据即可画出折线统计图； ①（3）根据折线统计图，言之有理即可． 【详解】（1） 地区星期三累计确诊人数为41；新增确诊人数为 41-28=13， A故答案为：41；13； 2 如图所示： 3 A 地区累计确诊人数可能会持续增加， B地区新增人数有减少趋势，疫情控制情况较好（答案不唯 一）． 【点睛】此题主要考查统计图的应用，解题的关键是根据题意作出折线统计图． 23. 生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图 ）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格 ①中，对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图 ，通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息． ②1,2 表示两个不同位置的小 （1）用树状图或列表格的方法，求图 ③可表示不同信息的总个数：（图中标号 方格，下同） （2）图 ④为2 2 的网格图．它可表示不同信息的总个数为 ；nn （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用 的网格图来表示各人身份 n人，则 的最小值为 信息，若该校师生共 ；492 【答案】（1）见解析；（2）16；（3）3 【解析】 【分析】 （1）根据题意画出树状图即可求解； （2）根据题意画出树状图即可求解； （3）根据（1）（2）得到规律即可求出 n 的值． 1【详解】 解：画树状图如图所示： 图③的网格可以表示不同信息的总数个数有 个． 4（2）画树状图如图所示： 4图④2×2 的网格图可以表示不同信息的总数个数有 16=2 个， 故答案为：16． （3）依题意可得 3×3 网格图表示不同信息的总数个数有 29=512＞ ，492 n故则 的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查画树状图与找规律，解题的关键是根据题意画出树状图． 24. 如图， O O 是ABC 的外接圆， 是的直径， ．DCA B AB O （1）求证： 是的切线； CD E, DE （2）若 DE AB ，垂足为 交与点；求证： 是等腰三角形． AC DCF 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1) 连 接OC ， 由AB 是 圆O 的 直 径 得 到 ∠BCA=90° ， 进 一 步 得 到 ∠A+∠B=90° ， 再 根 据 已 知 条 件 ，且∠A=∠ACO 即可证明∠OCD=90°进而求解； DCA B (2)证明 ，再由 DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，进而得到∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到 A DCA 90 DC=DF，进而得到△DFC 为等腰三角形． 【详解】解：(1)证明：连接 ，OC QOC OA, OCA A, Q AB 为圆 的直径， OBCA 90, A B 90o, QDCA B, 又OCA DCA OCD 90o, OC CD, 又点在圆 上， OCO CD 是的切线． o(2) QOCA DCA 90 , OCA A, A DCA 90, DE AB, A EFA 90, DCA EFA, QEFA DFC, 又DCA DFC, 是等腰三角形． DCF 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定 理是解决此类题的关键． 若二次函数 y ax2 bx c的图像与 轴有两个交点 2 ，且经过点 △ACN 是等腰直角 xM x,0 ,N x,0 0 x x 25. 121x过点 的直线与 轴交于点与该函数的图像交于点 （异于点 ）．满足 A 0,2 , C, lBAA5S ,VBMN S的面积为 2 ，且 S S 三角形，记 的面积为 ．AMN 1212（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）； （2）求直线 相应的函数表达式； l（3）求该二次函数的表达式． y x 2 【答案】（1）上；（2） ；（3） y 2×2 5x 2 【解析】 【分析】 (1)由抛物线经过点 M、N、A 点即可确定开口向上； △ACN (2)根据 是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是 ，此时 CAN 90 ACN ANC 45, AO CO NO 2 ，由此算出 C 点坐标，进而求解； 55S S OA BH (3)过 B 点作 BH⊥x 轴，由 1 得到 ，由 OA 的长求出 BH 的长，再将 B 点纵坐标代入直 222线 l 中求出 B 点坐标，最后将 A、B、N 三点坐标代入二次函数解析式中求解即可． 【详解】解：(1)∵抛物线经过点 M、N、A，且 M、N 点在 x 轴正半轴上，A 点在 y 轴正半轴上， ∴抛物线开口向上， 故答案为：上． o(2)①若 ，ACN 90 则与重合，直线 与二次函数图像交于 l点COA∵直线与该函数的图像交于点 ∴不合符题意，舍去； B（异于点 ）Ax在 轴下方， ②若 ∵点 ，则 ANC 90 Cx在轴上， C∴不合符题意，舍去； ③若 CAN 90 ACN ANC 45, AO CO NO 2 则C(2，0), N 2,0 l : y kx b 设直线 A 0,2 ,C(2,0) 代入： 将2 b k 1 b 2 ，解得 0 2k b l : y x 2 直线 故答案为： (3)过 点作 ．y x 2 BH x ．B轴，垂足为 H，11SAMN =S MN OA S=S MN BH ，，1BMN 2225QS S 又，，2125OA BH 2又，OA 2 ，BH 5 即B点纵坐标为 ， 5又(2)中直线 l 经过 B 点， y 5 y x 2 中，得 x 3 将代入 ，B 3,5 ，将三点坐标代入 y ax2 bx c中，得 A、B、N c 2 4a 2b 2 0 9a 3b 2 5 ，a 2 b 5 c 2 解得 ，抛物线解析式为 y 2×2 5x 2 ．故答案为： y 2×2 5x 2 ．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论 的思想，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键． 26. 木门常常需要雕刻美丽的图案． （1）图①为某矩形木门示意图，其中 长为 200 厘米， 长为 厘米，阴影部分是边长为 厘米 30 100 AB AD 的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点 刻图案如虚线所示，求图案的周长； P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所 1（2）如图 中心点 与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再 滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图 中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长． ②，对于 中的木门，当模具换成边长为 厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的 30 3 P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点 ②600 120 3 20 cm 【答案】（1） ；（2）雕刻所得图案的草图见解析，图案的周长为 480cm 【解析】 【分析】 PE CD, 求出 PE，进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可解答； （1）过点 P作（2）如图，过 P 作 PQ⊥CD 于 Q，连接 PG,先利用等边三角形的性质求出 PQ、PG 及∠PGE，当移动到点 时，求得旋转角和点 P 旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结合图形可求 P’ 得所得图案的周长． 1PE CD, 【详解】 如图，过点 P作垂足为 E是边长为 的正方形模具的中心， 30cm P PE 15cm, 15cm, 同理： A B 与之间的距离为 AB 15cm, 之间的距离为 与与AD A’D’ 15cm, B’C BC 之间的距离为 A’B’ C ‘D’ 200 1515 170cm, B’C ‘ A’D’ 100 1515 70cm, C四边形A’B C D’ 170 70 2 480cm ．答：图案的周长为 ．480cm 2PE、PF、PG, PQ CD Q，垂足为 如图，连接 过点 P作是边长为 的等边三角形模具的中心， 30cm P PE PG PF,PGF 30 Q PQ GF, GQ QF 15 3cm, PQ CQtan30 15cm, CQ PG 30cm ．cos30 当三角形 EFG 向上平移至点 G与点 重合时， D绕点 顺时针旋转30 , VE ‘F G 由题意可得： D使得 与边重合 E ‘G ‘ AD DP”, 5cm 绕点 顺时针旋转 D至DP’ 30 30 30 lp p 5cm ． 180 同理可得其余三个角均为弧长为 图中的虚线即为所画的草图， 的圆弧， 30 30 C 200 30 3100 30 3 2 4 ∴180 600 120 3 20 cm ．600 120 3 20 cm 答：雕刻所得图案的草图的周长为 ．【点睛】本题考查了图形的平移与旋转、等边三角形的性质、解含 30º角的直角三角形、图形的周长等知 识，解答的关键是熟练掌握图形平移和旋转过程中的变化特征，结合基本图形的性质进行推理、探究、发 现和计算． 27. 以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题 ．1~ 4 1（ ）在 中， ，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数 RtABC C 90, AB 2 2 据如下表：（单位：厘米） 2.7 0.8 3.5 AC BC 2.8 2.6 1.2 3.8 2.3 1.6 3.9 1.5 2.4 3.9 0.4 2.8 3.2 2240.4 AC BC 3.2 2（ ）根据学习函数的经验，选取上表中BC 和的数据进行分析； AC BC (x, y) BC x, AC BC y 设，以 为坐标，在图 所示的坐标系中描出对应的点； ①①②连线； 观察思考 y时， 最大； x 3（ ）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当 AB 2a(a 4C（ ）进一步猜想：若 RtMBC 中， ，斜边 为常数， ），则 C 90 a 0 BC 时， 最大． AC BC 推理证明 54（ ）对（ ）中的猜想进行证明． 21问题 ．在图 中完善 的描点过程，并依次连线； ①34问题 2．补全观察思考中的两个猜想： _______ _______ 53问题 ．证明上述 中的猜想： A, B 间的距离是 厘米， 的是一个感光元件 截面设计草图，其中点 4问题 ．图 ②中折线 B E F G A 4厘米， E F G 90o, 平行光线从 区域射入， BNE 60o, 线段 为AG BE 1 FM、FN AB 感光区城，当 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值． EF 122【答案】问题 ：见解析；问题 ：， 3；问题 ：见解析；问题 ：当 4时，感光区域长 2a EF 2 21 æö4 3 ÷ç÷ç4 2+ 2- cm 度之和 最大为 FM FN ÷ç÷÷ç3èø【解析】 【分析】 11问题 ：根据（）中的表格数据，描点连线，作出图形即可； AC = 4a2 – x2 ，y时， 最大；设 x BC x, AC BC y 21问题 ：根据（）中的表格数据，可以得知当 2，则 2×2 – 2xy + y2 – 4a2 = 0 y = x + 4a2 – x2 y £ 2 2a ；可得 ，有 ，可得出 AC = 4a2 – x2 BC x, AC BC y 3问题 ：可用两种方法证明，方法一：（判别式法）设 ，则 ，可得 2×2 – 2xy + y2 – 4a2 = 0 y = x + 4a2 – x2 y £ 2 2a ，有 ，可得出 ；方法二：（基本不等式），设 ，得 m2 + n2 = 4a2 ，可得 ，根据当 时，等式成立有 22m n BC m, AC n, AC BC y m n 2mn 2 ，可得出 mn 2a y £ 2 2a ；4问题 ：方法一：延长 交于点 ，过点 C作H H B于点 ，垂足为 ，过点 作 BK GF EF AAH EF AM 交于点 ，垂足为 K，BK 交中， BNE 60,E 90o, BE 1， Q于点 ，由题可知：在 BNE KAH AG 3ÐG = 90°, AG = 1,ÐAMG = 30° tanAMG 得NE = ，根据 ，有 ，得 ，易证四边形 AGFH GM 3 3GM 4 3 FN + FM = EF + FG- EN – GM 为矩形，四边形 为矩形，根据 可得 FN + FM = BQ + AQ + 2- ，BKFE 3AQ BQ 3由问题 可知，当 时， 最大，则有 时， 最大为 FM FN BQ AQ 2 2 BQ AQ 2 2 æö4 3 3÷ç÷ç4 2+ 2- cm ；方法二： ÷ç÷÷çèø3延长 相交于点 H同法一求得： ，根据四边形 为矩形，有 EB、GA GFEH GM 3, NE 334 3 3可，3，得到 MF – FN = a- b+ 2- ，由问题 MF = EH – GM = b+ 1- FN EF NE a 1 33知，当 则可得 时， 最大 ab a b 2 2 a b 2 2 æö4 3 ÷ç÷ç4 2+ 2- cm ．时最大为 FM FN ÷ç÷÷ç3èø1【详解】问题 ：图 3 2 问题 ：( ) 24；( ) 2a 3问题 ： 法一：（判别式法） BC x, AC BC y 证明：设 在2222中， RtABC QC 90, AC AB BC 4a x , y x 4a2 x2 y x 4a2 x2 y2 2xy x2 4a2 x2 , 2×2 2xy y2 4a2 0, x关于 的元二次方程有实根， \ b2 – 4ac = 4y2 – 4´ 2× x2 – 4a2 ³ 0, () y2 8a2 , Q y 0, a 0, y 2 2a, y当取最大值 时， 2 2a 2×2 4 2ax 4a2 0 22x- 2a = 0 ()x1 x2 2a y时， 有最大值． 当BC 2a 法二：（基本不等式） BC m, AC n, AC BC y 设C 90, 中， 在RtABC m2 n2 4a2 2Q m- n ³ 0, ()22．m n 2mn m n 当时，等式成立 4a2 2mn, mn 2a2 ．Q y m n m2 n2 2mn 2， 4a 2mn Qmn 2a2 , y 2 2a, y时， 有最大值． 当BC AC 2a 4问题 ： C, 于点 法一：延长 交EF AM H, H, 垂足为 过点 过点 作作于点 ABAH EF BK GF K, K, 垂足为 交于点 Q, BK 交于点 AH 由题可知：在 中， BNE 60,E 90o, BE 1 BNE BE tanBNE NE 13 即NE 3NE 3 AM / /BN, C 60, QGFE 90o, 又CMF 30, AMG 30, QG 90, AG 1,AMG 30 ，在中， RtAGM AG tanAMG ，GM 31即3GM GM 3, QG GFH 90,AHF 90, 四边形 为矩形 AGFH AH FG, QGFH E 90o,BHF=90 ，四边形 为矩形， BKFE BK FE, Q FN FM EF FG EN GM 3 BK AH 3 34 3 3 BQ AQ QH QK 4 3 BQ AQ 2 3Rt△ABQ 中， 在．AB 4 AQ BQ 3由问题 可知，当 时， 最大 BQ AQ 2 2 æö4 3 3÷ç÷ç4 2+ 2- cm 时， 最大为 FM FN BQ AQ 2 2 ÷ç÷÷çèøæö4 3 3÷ç÷ç4 2+ 2- 最大为 cm 即当 时，感光区域长度之和 FM FN ÷EF 2 21 ç÷÷çèø法二： H, 延长 相交于点 EB、GA 同法一求得： 3GM 3, NE 3AH a, BH b 设四边形 为矩形， GFEH GF EH, EF GH, ．MF EH GM b 1 3 3FN EF NE a 1 34 3 MF FN a b 2 3Qa2 b2 16, 3由问题 可知，当 时， 最大 ab a b 2 2 æö4 3 3÷ç÷ç4 2+ 2- 最大为 cm 时FM FN ÷a b 2 2 ç÷÷çèøæö4 3 3÷ç÷ç4 2+ 2- cm ．即当 时，感光区域长度之和 最大为 FM FN ÷EF 2 21 ç÷÷çèø【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数，不等式，解直角三角形，三角函数，矩形的性质等知识点， 熟悉相关性质是解题的关键． 本试卷的题干 0635
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