扬州市 2020 年初中毕业、升学统一考试数学试题 说明： 1．本试卷共 6 页，包含选择题（第 1 题~第 8 题，共 8 题）、非选择题（第 9 题~第 28 题，共 20 题）两部分．本卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡 一并交回． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷 的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位 号． 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用 2B 铅笔作答、非选择题在指定 位置用 0．5 毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 4．如有作图需要，请用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 实数 3 的相反数是（ ）133 D. A. B. C. 33 A【答案】 【解析】 【分析】 根据相反数的定义判断即可． 【详解】3 的相反数是﹣3． 故选 A． 【点睛】本题考查相反数的定义，关键在于牢记相反数基础知识． 下列各式中，计算结果为 6 的是（ ）2. m3D. m2 m2 m3 m3 m3 m12 m2 A. B. C. D【答案】 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘方和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解． 23【详解】A． 5 ，不符合题意 m m m 33B． C． 3 ，不符合题意 m m 2m 12 210 ，不符合题意 m m m 3m2 m6 D． ，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除， 底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结 果作为系数，字母部分保持不变． P x2 2,3 3. 在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D【答案】 【解析】 【分析】 直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案． 【详解】∵x2＋2＞0， ∴点 P（x2＋2，−3）所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 4. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘 画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对 称图形的是（ ）A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，属于基础概念题型，熟知轴对称图形的概念是解题关键． 5. 某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如下尚不完整的调查问卷： 调查问卷 你平时最喜欢的一种体育运动项目是（ A． B． C． D．其他运动项目 ________年________月________日 ）（单选） 准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备 选项目，选取合理的是（ ）A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ②④⑤ C【答案】 【解析】 【分析】 在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中找到三个互不包含，互不交叉的项目即 可． 【详解】解：∵①室外体育运动，包含了②篮球和③足球， ⑤球类运动，包含了②篮球和③足球， ∴只有选择②③④，调查问卷的选项之间才没有交叉重合， 故选：C． 【点睛】本题考查收集调查数据的过程与方法，理解题意，准确掌握收集数据的方法是解题的关键． 6. 如图，小明从点 A 出发沿直线前进 10 米到达点 B，向左转 后又沿直线前进 10 米到达点 C，再向左转 45 后沿直线前进 10 米到达点 D……照这样走下去，小明第一次回到出发点 A 时所走的路程为（ ）45 A. 100 米 B. 80 米 C. 60 米 D. 40 米 B【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用 360°除以 45°求出边数，然后再乘以 10 米即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进 10 米后再向左转 ∴他走过的图形是正多边形，边数 n=360°÷45°=8， ∴小明第一次回到出发点 A 时所走的路程=8×10=80 米． 故选：B． ，45 【点睛】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关 键． 7. 如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A，B，C 都在格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C、D， 则的值为（ ）sin ADC 23322 13 13 3 13 13 A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝ ，在 Rt△ACB 中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC 的正 ADC 弦值． 和∠ABC 所对的弧长都是 ， 【详解】∵ ADC AC ∴根据圆周角定理知，∠ABC＝ ， ADC AC2 BC2 22 32 13 ∴Rt△ACB 中，AB= 在AC AB 22 13 13 根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ ，13 2 13 ∴=，sin ADC 13 故选 A． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求 的正弦值转化成求∠ABC 的正弦值，本题是一道比较不错的习题． ADC ax y 8. 小明同学利用计算机软件绘制函数 （a、b 为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可 2x b 以推断常数 a、b 的值满足（ ）b 0 a 0 a 0 b 0 D. ， A. ，b 0 B. ，C. ，b 0 a 0 a 0 C【答案】 【解析】 【分析】 根据图像过二、四象限可判断 a 的取值，根据 x 在负半轴的图像，可判断 b 的取值． 【详解】∵图像过二、四象限 ∴a＜0， ∵x 在负半轴时，图像不连续 ∴b＞0 故选 C． 【点睛】此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系． 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上） 9. 2020 年 6 月 23 日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过 6500000 辆 营运车辆导航设施应用北斗系统，数据 6500000 用科学记数法表示为________． 【答案】6.5×106 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 【详解】解：6500000 用科学记数法表示应为：6.5×106， 故答案为：6.5×106． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3210. 分解因式： ______． a 2a a 【答案】 a(a 1)2 【解析】 【分析】 先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】原式= a(a2 2a 1) a(a 1)2 故答案为： a(a 1)2 ，．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． x 2 311. 代数式 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 x 2 根据二次根式的非负性计算即可得到结果． 【详解】由题可得： ，x 2 0 即，x 2 0 解得： ．x 2 故答案为 ．x 2 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，准确理解非负性的含义是解题的关键． 212. 方程 的根是_______． x 1 9 x 2, x 4 【答案】 12【解析】 【分析】 利用直接开平方法解方程. 2【详解】解： x 1 9 x 1 3 x 1 3 ，x 2, x 4 ∴，12x 2, x 4 故答案为： .12【点睛】此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题 的关键. 12 13. 圆锥的底面半径为 3，侧面积为 ，则这个圆锥的母线长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据圆锥的底面半径可以求出底面周长即为展开后的弧长,侧面积即为展开后扇形的面积,再根据扇形的面 积公式求出扇形的半径即为圆锥的母线． 【详解】∵底面半径为 3, ∴底面周长=2×3π=6π． 212 6 4 ∴圆锥的母线= 故答案为:4． ．【点睛】本题考查圆锥与扇形的结合,关键在于理解圆锥周长是扇形弧长,圆锥母线是扇形半径． 的14. 《九章算术》是中国传统数学 重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载 的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高 1 丈（1 丈 10 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根 3 尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地 面________尺高． 91 【答案】 20 【解析】 【分析】 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即 可． 【详解】解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2， 91 x 解得： ；20 91 故答案为： ．20 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解 题． 15. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用 黑白打印机打印于边长为 2cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷 点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 2________ ．cm 【答案】2.4 【解析】 【分析】 求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得 60%计算即可； 【详解】∵正方形的二维码的边长为 2cm， 2∴正方形二维码的面积为 ，4cm ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得 60%， 2∴黑色部分的面积约为： ，4 60%=2. 4cm 2故答案为 ．2. 4cm 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键． 16. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 ，则螺帽边长 b 3cm a ________cm． 【答案】 3【解析】 【分析】 根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得 CD 的长，根据锐角三 角函数的余弦，可得答案． 【详解】解：如图：作 BD⊥AC 于 D 由正六边形，得 ∠ABC=120°，AB=BC=a， ∠BCD=∠BAC=30°． 3由 AC=3，得 CD= ．23CD 33，cos∠BCD= =，即 2aBC 22解得 a= ，3故答案为： ．3【点睛】本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的 性质，余弦函数． 17. 如图，在ABC 中，按以下步骤作图： ①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB、BC 于点 D、E． 1DE ②分别以点 D、E 为圆心，大于 ③作射线 BF 交 AC 于点 G． 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F． 2如果 AB 8 ，BC 12 ，的面积为 18，则 的面积为________． ABG CBG 4510 【答案】 【解析】 【分析】 由作图步骤可知 BG 为∠ABC 的角平分线，过 G 作 GH⊥BC,GM⊥AB，可得 GM=GH ,然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得 GH，最后运用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由作图作法可知：BG 为∠ABC 的角平分线 过 G 作 GH⊥BC,GM⊥AB ∴GM=GH ∵S△ABC=S△ABG+ S△BCG=18 121ABGM BC GH 18 ∴,2∵∴AB 8 ，BC 12 ，11958GH 12GH 18 ,解得：GH= 22129412 10 ∴的面积为 ．CBG 55410 故答案为 ．5【点睛】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线 定理是解答本题的关键． 18. BC 8 如图，在ABCD 中， ，B 60 AB 10 ，，点 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长 ，连接 EG，则 EG 的最小值为________． 1DF DE 至点 F，使得 ，以 EC、EF 为邻边构造 EFGC 4【答案】9 ．3【解析】 【分析】 4598FO EN ，过 C 连接 FC，作 DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出 DM= ，EO= 作 CH⊥AB 于 H，可求出 CH= ，根据题意，EG 必过点 N，当 EN⊥CD 时，EG 最小，此时四边形 EHCN 4 3 9EN 求出 EO 即可得到结论． 是矩形，故可得 EN=CH= ，代入 EO= 4 3 8【详解】解：连接 FC，交 EG 于点 O，过点 D 作 DM//FC，交 EG 于点 M，如图所示， 1DF DE ∵44DE EF ∴5∵DM//FC， ∴△DEM∽△FEO， DM DE EM 45∴，FO EF EO ∵DM//FC， ∴△DMN∽△CON， MN DM ∴,NO OC ∵四边形 ECGF 是平行四边形， ∴CO=FO， MN DM 45∴∴∴NO OF 4EN EO EN EM EO EN 45,5EO EN 9EO EN ,8过点 C 作 CH⊥AB 于点 H， 在 Rt△CBH，∠B=60︒，BC=8， ∴CH=BCsin60︒=4 ，3根据题意得，EG 必过点 N，当 EN⊥CD 时，EG 最小，此时四边形 EHCN 是矩形， ∴EN=CH=4 ，39924 3 3,∴EO= 8∴EG=2EO=9 故答案为：9 ．．33【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： 1 1 （1） （2） 2sin 60 12 2 x 1 x2 1 xx2 x 【答案】（1） ；（2）1 2 3 【解析】 【分析】 （1）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算法则对各项进行化简计算，再进行加减 计算即可； （2）先将除法变为乘法，根据分式的乘法运算法则进行计算即可． 1 1 【详解】解：（1） 2sin 60 12 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 x 1 x2 1 x（2） x2 x x x1 x 1 xx 1 x 1 1 的【点睛】本题考查特殊角 三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算和分式的混合运算，解题的关键 是要熟练掌握运算法则． x 5 0 20. 解不等式组 ，并写出它的最大负整数解． 3x 1 2x 1 2 【答案】不等式组的解集为 x≤−5；最大负整数解为-5 【解析】 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解不等式 x＋5≤0，得 x≤−5， 3x 1 2x 1 解不等式 ，得：x≤−3， 2的则不等式组 解集为x≤−5， 所以不等式组的最大负整数解为−5． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大 取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21. 扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用 的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中表示 A 等级的扇形圆心角为________ （2）补全条形统计图； ；（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有 2000 名学生，试估计该校需 要培训的学生人数． 【答案】（1）500；108；（2）见解析；（3）估计该校需要培训的学生人数为 200 人 【解析】 【分析】 （1）根据条形统计图中 A 项为 150 人，扇形统计图中 A 项为 30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算 360°的 30%即 360°×30%即可； （2）根据扇形统计图中 B 选项占 40%，求出条形统计图中 B 选项的人数，补全条形统计图即可； 50 （3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为 ×100%，由此估计 2000 名学生所占 500 50 的百分比也为 ×100%，进而求出该校需要培训的学生人数． 500 【详解】解：（1）150÷30%=500（人）， 360°×30%=108°， 故答案为：500；108； （2）500×40%=200（人），补全条形统计图如下： 50 3（ ） ×100%×2000=200 （人） 500 ∴估计该校需要培训的学生人数为 200 人． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与 扇形统计图的之间的关系是解题的关键． 22. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了 A、B、C 三个测温通道，某 天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园． （1）小明从 A 测温通道通过的概率是________； （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率． 1【答案】(1) ;(2) 313．【解析】 【分析】 13(1) 因为共开设了 A、B、C 三个测温通道，小明从 A 测温通道通过的概率是 (2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可． ．13【详解】(1) 因为共开设了 A、B、C 三个测温通道，小明从 A 测温通道通过的概率是 ，1故答案为： ．3(2)由题意画出树状图： 3913由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率= ．【点睛】本题考查概率的计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率． 23. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50% 王师傅：甲商品比乙商品的数量多 件． ．40 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单． 【答案】每件 【解析】 元，进货单见解析． 40 【分析】 x设乙的进价每件为 元，分别表示乙的数量，甲的数量，利用数量关系列方程解方程即可． 3200 x【详解】解：设乙的进价每件为 元，乙的数量为 件， x7200 则甲的进价为每件 元，甲的数量为 件，所以： 1.5x 1.5x 7200 3200 40 1.5x x6x 240, ，x 40 经检验： 是原方程的根， x 40 3200 7200 1.5x 60, 80, 120, x1.5x 所以：乙商品的进价为每件 所以：进货单如下： 元． 40 商品 甲进价（元/件） 数量（件） 总金额 7200 120 80 60 40 乙3200 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握列分式方程解应用题是解题的关键． 24. 如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 ，分别交 AB，DC 于点 E、F，连 EF AC 接 AF、CE． 3OE （1）若 ，求 EF 的长； 2（2）判断四边形 AECF 的形状，并说明理由． 【答案】（1）3；（2）菱形，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）只要证明 即可得到结果； AOE COF （2）先判断四边形 AECF 是平行四边形，再根据对角线互相垂直且平分证明是菱形，即可得到结论； 【详解】（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC、BD 是对角线， ∴，OA=OC， EAO FCO 又∵ ，EF AC ∴，AOE COF 在△AOE 和△COF 中， EAO FCO OA OC ，AOE COF △AOE △COF ASA ∴．∴FO=EO， 3OE 又∵ ，23∴．EF 2OE 2 3 2故 EF 的长为 3． （2）由（1）可得， ，四边形 ABCD 是平行四边形， AOE COF ∴，FC∥AE， FC AE ∴四边形 AECF是平行四边形， ，OE=OF，OA=OC， 又EF AC ∴平行四边形 AECF 是菱形． 【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的 关键． 25. O 如图，ABC 内接于 ，B 60 ，点 E 在直径 CD 的延长线上，且 AE AC ．O （1）试判断 AE 与 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC 6 ，求阴影部分的面积． 【答案】（1）AE 与⊙O 相切，理由见详解；（2） ．S阴影 6 3 2 【解析】 【分析】 （1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而 得出∠EAO=90°，即可得出答案； S SAOE S 扇AOD，即可求出阴影部分的面 （2）连接 AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据 阴影 积． 【详解】（1）AE 与⊙O 相切，理由如下： 连接 AO， ∵∠B=60°， ∴∠AOC=120°， ∵AO=CO，AE=AC， ∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°， ∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°， ∴∠EAC=120°， ∴∠EAO=90°， ∴AE 是⊙O 的切线； （2）连接 AD，则ADC B 60 ∴∠DAC=90°， ，∴CD 为⊙O 的直径， 在 Rt△ACD 中，AC=6，∠OCA=30°， AC CD 3∴∴，cos30 2，CD 4 3 ∴∴∴，∠AOD=60°， OA OD OC 2 3 160 (2 3)2 S阴影 SAOE S扇AOD 62 3 2360 ．S阴影 6 3 2 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解 题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题． 26. 阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 3x y 5 2x 3y 7 x 4y 7x 5y 和已知实数 x、y 满足 ①， ②，求 的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运 算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数 式的值，如由① ②可得 x 4y 2 7x 5y 19 ．这样的解题思想就是通常所说的“整 ，由① ②可得 2 体思想”． 解决问题： 2x y 7 x 2y 8 x y x y ________； （1）已知二元一次方程组 ，则 ________， （2）某班级组织活动购买小奖品，买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、5 块橡 皮、3 本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需多少元？ x* y ax by c （3）对于实数 x、y，定义新运算： 乘法运算．已知 ，其中 a、b、c 是常数，等式右边是通常的加法和 ，3*5 15 4*7 28 ，那么 ________． 1*1 【答案】（1）-1，5；（2）购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需 30 元；（3）-11 【解析】 【分析】 2x y 7① （1）已知 ，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得 x-y，①+②即可求得 x+y 的值； x 2y 8② （2）设每支铅笔 x 元，每块橡皮 y 元，每本日记本 z 元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思 想”，即可求解； x* y ax by c （3）根据 ，可得 ，，，3*5 3a 5b c 15 4*7 4a 7b c 28 1*1 a b c 根据“整体思想”，即可求得 的值． a b c 2x y 7① 【详解】（1） x 2y 8② ①-②，得 x-y=-1 ①+②，得 3x+3y=15 ∴x+y=5 故答案为：-1，5 （2）设每支铅笔 x 元，每块橡皮 y 元，每本日记本 z 元，则 20x 3y 2z 32① 39x 5y 3z 58② ①×2，得 40x+6y+4z=64③ ③-②，得 x+y+z=6 ∴5(x+y+z)=30 ∴购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需 30 元 答：购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需 30 元 x* y ax by c （3）∵ ∴①， ②， 3*5 3a 5b c 15 4*7 4a 7b c 28 1*1 a b c ∴②-①，得 ③a 2b 13 ∴④5a 10b 65 ①+②，得 ⑤7a 12b 2c 43 2a 2b 2c 22 ⑤-④，得 ∴a b c 11 故答案为：-11 【点睛】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题 还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值． 27. 如图 1，已知点 O 在四边形 ABCD 的边 AB 上，且OA OB OC OD 2，OC 平分 BOD ，与 BD 交于点 G，AC 分别与 BD、OD 交于点 E、F． （1）求证：OC / /AD （2）如图 2，若 ；AE AF 的值； ，求 DE DF DE DF （3）当四边形 ABCD 的周长取最大值时，求 的值． 2 3 【答案】（1）见详解；（2） ；（3） 23【解析】 【分析】 （ 1 ） 先 由 三 角 形 外 角 得 出 ∠BOD=∠DAO+∠ODA ， 然 后 根 据OA=OD ， OC 平 分 ∠BOD 得 出 ∠DAO=∠ODA，∠COD=∠COB，可得∠COD=∠ODA，即可证明； （2）先证明△BOG≌△DOG，得出∠ADB=∠OGB=90°，然后证明△AFO∽△AED，得出 AD AE ∠AOD=∠ADB=90°， ，根据勾股定理得出 AD=2 ，即可求出答案； 2AO AF OB2 -OG2 4-x2 BG2 +CG2 （3）先设 AD=2x，OG=x，则 CG=2-x，BG= =，BC= ==CD，然 8 4x 后得出四边形 ABCD 的周长=4+2x+4 ，令 =t≥0，即 x=2-t2，可得四边形 ABCD 的周长=-2 2 x 2 x 12（t-1）+10，得出 x=2-t2=1，即 AD=2，然后证明△ADF≌△COF，得出 DF=OF= OD=1，根据△ADO 是 2DE DA 32 3 3 tan30 等边三角形，得出∠DAE=30°，可得 ，求出 DE= ，即可得出答案． 3【详解】（1）由三角形外角可得∠BOD=∠DAO+∠ODA， ∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ODA， ∵OC 平分∠BOD， ∴∠COD=∠COB， ∴∠COD=∠ODA， ∴OC∥AD； （2）∵OC 平分 BOD ∴∠COD=∠COB， ，OB OD ∠BOG ∠DOG 在△BOG 与△DOG 中 ，OG OG ∴△BOG≌△DOG， ∴∠BGO=∠DGO=90°， ∵AD∥OC， ∴∠ADB=∠OGB=90°，∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OAC， ∵DE=DF， ∴∠DFE=∠DEF， ∵∠DFE=∠AFO， ∴∠AFO=∠DEF， ∴△AFO∽△AED， AD AE ∴∠AOD=∠ADB=90°， ∵OA=OD=2， ，AO AF ∴根据勾股定理可得 AD=2 ，2AD AE2 2 ∴=；=2AO AF 2（3）∵OA=OB，OC∥AD， ∴根据三角形中位线可设 AD=2x，OG=x，则 CG=2-x，BG= OB2 -OG2 4-x2 =，BG2 +CG2 ∴BC= ==CD， 8 4x ∴四边形 ABCD 的周长=AB+AD+DC+BC =4+2x+2 8 4x =4+2x+4 2 x 令=t≥0，即 x=2-t2， 2 x ∴四边形 ABCD 的周长=4+2x+4 2 x =4+2（2-t2）+4t =-2t2+4t+8 =-2（t-1）2+10， 当 t=1 时，四边形 ABCD 的周长取得最大值，最大值为 10， 此时 x=2-t2=1， ∴AD=2， ∵OC∥AD， ∴∠ADF=∠COF，∠DAF=∠OCF， ∵AD=OC=2， ∴△ADF≌△COF 1∴DF=OF= OD=1， 2∵AD=OC=OA=OD， ∴△ADO 是等边三角形， 由（2）可知∠DAF=∠OAF，∠ADE=90°， ∴在 Rt△ADE 中，∠DAE=30°， DE DA 3 tan30 ∴，32 3 ∴DE= ，3DE ∴2 3 =．DF 3【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定 与性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质，涉及的知识点比较复杂，综合性较强，灵活运用这些知识 点是解题关键． kA 1,2 B 5,n n 0 y x 0 的图 28. 如图，已知点 、，点 P 为线段 AB 上的一个动点，反比例函数 x像经过点 P．小明说：“点 P 从点 A 运动至点 B 的过程中，k 值逐渐增大，当点 P 在点 A 位置时 k 值最小， 在点 B 位置时 k 值最大．” （1）当 n 1时． ①求线段 AB 所在直线的函数表达式． ②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的 k 的最小值和最大值． （2）若小明的说法完全正确，求 n 的取值范围． 1y x 4949281 16 x 【答案】（1）① ；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当 时， 有最大值 k；当 10 n 时， 有最小值 ；（2） ；x 1 k29【解析】 【分析】 （1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； 1y x 49419k x2 x ②由①得直线 AB 为 ，则 ，利用二次函数的性质，即可求出答案； 44n 2 410 n ky x （2）根据题意，求出直线 AB 的直线为 ，设点 P 为（x， ），则得到 4xn 2 4n 10 bk x2 x 5 ，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴 ，即 42a 可求出 n 的取值范围． 【详解】解：（1）当 n 1时，点 B 为（5，1）， y ax b ①设直线 AB 为 ，则 1494a a b 2 ，解得： ，5a b 1 b 19y x ∴；44②不完全同意小明的说法；理由如下： 1y x 494由①得 ，k设点 P 为（x， ），由点P 在线段 AB 上则 xkx194 x ，4191981 16 k x2 x (x )2 ∴；44421 0 ∵，4981 x ∴当 当时， 有最大值 k；216 时， 有最小值 k；x 1 292x ∴点 P 从点 A 运动至点 B 的过程中，k 值先增大后减小，当点 P 在点 A 位置时 k 值最小，在 时 k 值最大． 的位置 A 1,2 B 5,n ，（2）∵ 、y ax b 设直线 AB 为 ，则 n 2 a a b 2 410 n 4，解得： ，5a b n b n 2 y 10 n x ∴，44k设点 P 为（x， ），由点P 在线段 AB 上则 xn 2 4n 10 k x2 x，4n 2 4 0 当，即 n=2 时， k 2x，则 k 随 x 的增大而增大，如何题意； n 10 4n 2 n 10 2n 4 x 当 n≠2 时，则对称轴为： ；2∵点 P 从点 A 运动至点 B 的过程中，k 值逐渐增大，当点 P 在点 A 位置时 k 值最小，在点 B 位置时 k 值最 大． 即 k 在1≤x≤5中，k 随 x 的增大而增大； n 2 0 当时，有 4n 2 4n 10 2n 4 0 1 n 2 ∴，解得： ，n 6 ∴不等式组的解集为： ；n 2 n 2 0 当时，有 4n 2 4n 10 2n 4 0 10 n 2 ∴，解得： ，9 5 10 9n ∴综合上述，n 的取值范围为： ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关 键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析． 本试卷的题干 0635
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