南京市 2020 年初中学业水平考试数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 3 (2) 1. 计算 的结果是（ ）5 A. B. C. D. 51 1D【答案】 【解析】 【分析】 利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可． 3 2 3 2 5. 【详解】解： 故选 D． 【点睛】本题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． 2. 3 的平方根是（ ）A. 9 B. C. D. 3 3 3 D【答案】 【解析】 【分析】 直接根据平方根的概念即可求解． 2【详解】∵ 3 3 ∴3 的平方根是 故选：D． ． 3 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 322 的结果是（ ）3. 计算 (a ) a a3 a7 a8 a4 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，从而可得答案． 322【详解】解： (a ) a a6 a2 a4. 故选 B． 【点睛】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的除法，掌握以上运算的运算法则是解题的关键． 4. 党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据， 2012 2019 年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ）A. 2019 年末，农村贫困人口比上年末减少 551 万人 B. 2012 年末至 2019 年末，农村贫困人口累计减少超过 9000 万人 C. 2012 年末至 2019 年末，连续 7 年每年农村贫困人口减少 1000 万人以上 D. 为在 2020 年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少 551 万农村人口的任务 A【答案】 【解析】 【分析】 用 2018 年年末全国农村贫困人口数减去 2019 年年末全国农村贫困人口数，即可判断 A； 用 2012 年年末全国农村贫困人口数减去 2019 年年末全国农村贫困人口数，即可判断 B； 根据 2012～2019 年年末全国农村贫困发生率统计图，通过计算即可判断 C； 根据 2012～2019 年年末全国农村贫困发生率统计图，即可判断 D． 【详解】A、1660-551=1109，即 2019 年末，农村贫困人口比上年末减少 1109 万人，故本选项推断不合理， 符合题意； B、2012 年末至 2019 年末，农村贫困人口累计减少：9899-551=9348，所以超过 9000 万人，故本选项推断 合理，不符合题意； C、9899-8249=1650，8249-7017=1232，7017-5575=1442，5575-4335=1240，4335-3046=1289， 3046-1660=1386，1660-551=1109，所以连续 7 年每年农村贫困人口减少 1000 万人以上，故本选项推理合理， 不符合题意； D、根据 2012～2019 年年末全国农村贫困发生率统计图，知：2019 年末，还有 551 万农村人口的脱贫任务， 故本选项推理合理，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条 形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 25. 关于 x 的方程 （为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）(x 1)(x 2) A. 两个正根 C. 一个正根，一个负根 B. 两个负根 D. 无实数根 C【答案】 【解析】 【分析】 先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断 根的正负即可． 2【详解】解： ，(x 1)(x 2) 整理得： x2 x 3 2 0 12 4 3 2 42 13 0 ，∴，∴方程有两个不等的实数根， xx，2设方程两个根为 、1x x 3 p2 x x 1 ∵，1122∴两个异号，而且负根的绝对值大． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相 等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系 bacx x x x 数的关系： ，1212a6. 如图，在平面直角坐标系中，点 P在第一象限，⊙P 与 x 轴、y 轴都相切，且经过矩形 AOBC 的顶点 C， (0,8) 与 BC 相交于点 D，若⊙P 的半径为 5，点 的坐标是 ，则点 D 的坐标是（ ）A(9,2) (9,3) (10,2) (10,3) D. A. B. C. A【答案】 【解析】 【分析】 在 Rt△CPF 中根据勾股定理求出 PF 的长，再根据垂径定理求出 DF 的长，进而求出 OB，BD 的长，从而求 出点 D 的坐标． 【详解】设切点分别为 G，E，连接 PG，PE，PC，PD，并延长 EP 交 BC 与 F，则 PG=PE=PC=5，四边形 OBFE 是矩形． ∵OA=8， ∴CF=8-5=3， ∴PF=4， ∴OB=EF=5+4=9． ∵PF 过圆心， ∴DF=CF=3， ∴BD=8-3-3=2， ∴D(9，2)． 故选 A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线 是解答本题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（将答案填在答题纸上） 7. 写出一个负数，使这个数的绝对值小于 3__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】 根据绝对值的定义及有理数的大小比较方法求解即可． 【详解】解：∵|-1|=1，1<3， ∴这个负数可以是-1． 故答案为：-1（答案不唯一）． 【点睛】一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 18. 若式子 1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是__________． x 1 【答案】 【解析】 【分析】 x 1 由分式有意义的条件可得答案． x 1 0, 【详解】解：由题意得： x 1, 故答案为： x 1 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 9 (ns) 9. 纳秒 是非常小的时间单位， ，北斗全球导航系统的授时精度优于 20ns ，用科学计数法表 1ns 10 s 示20ns 是__________． 【答案】 8 s． 210 【解析】 【分析】 根据科学记数法的表示形式进行表示即可． 9 【详解】∵ ，1ns 10 s ∴20ns =20×10-9s， 用科学记数法表示得 8 s， 210 故答案为： 8 s． 210 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 310. 计算 的结果是__________． 3 12 13【答案】 【解析】 【分析】 先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即可． 3【详解】 3 12 33 2 3 33 3 1，313故答案为： ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键． x 3y 1 2x y 3 x y 11. 已知 x、y 满足方程组 ，则 的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】 x, y 先解方程组求解 ，从而可得答案． x 3y 1① 【详解】解： 2x y 3② 2x 6y 2 5y 5, ①得： ③2 ③－②得： y 1, y 1 把代入①： x 3 1, x 2, x 2 ,所以方程组的解是： y 1 x y 1. 故答案为： 1. 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． xx 1 12. 方程 的解是__________． x 1 x 2 1x 【答案】 4【解析】 【分析】 去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． xx 1 【详解】解： x 1 x 2 2 x 1 x x 2 , x2 2x 1 x2 2x, 4x 1, 1x . 414x 经检验： 是原方程的根． 1x 故答案为： ．4【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意要检验. 的图象绕原点 逆时针旋转 ，所得到的图像对应的函数表达式是__________． O90 y 2x 4 13. 将一次函数 1y x 2 【答案】 2【解析】 【分析】 根据一次函数互相垂直时系数之积等于-1，进而得出答案； y 2x 4 【详解】∵一次函数的解析式为 ，A 2,0 B 0,4 ，的∴设与 x 轴、y 轴 交点坐标为 、y 2x 4 ∵一次函数 的图象绕原点 逆时针旋转 O，90 A 0, 2 B – 4, 0 ∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为 、，1 1 1y ax b a 令，代入点得 ，，b 2 21y x 2 ∴旋转后一次函数解析式为 ．21y x 2 故答案为 ．2【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关 键． 14. 如图，在边长为 2cm 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 在 BC 上，则 的面积为__________． PEF 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 BF, 如图，连接 过作于G，利用正六边形的性质求解 的长，利用 与BF EF 上的高相等， AG⊥BF ABF 从而可得答案． BF, 【详解】解：如图，连接 过作G于 ， AG⊥BF A正六边形 ABCDEF , AB AF FE 2,A 120 ABC AFE, ABF AFB 30, BG FG, CBF BFE 90, AG AB sin30 1, BG AB cos30 3, CB / /EF, BF 2 3, 1SPEF 22 3 2 3. 2故答案为： 2 3. 【点睛】 本题考查的是正多边形的性质，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌 握以上知识是解题的关键． ll215. 如图，线段 AB、BC 的垂直平分线 、 相交于点，若 39°，则 AOC =__________． O1 1【答案】78 【解析】 【分析】 如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的 定 义 结 合 三 角 形 外 角 性 质 得 到 ∠AOG =51 -∠A ， ∠COF =51-∠C ， 利 用 平 角 的 定 义 得 到 ∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180 ，计算即可求解． 详解】如图，连接 BO 并延长， 【ll∵ 、2 分别是线段 AB、BC 的垂直平分线， 1∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90 ∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO， ，∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90 ∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)， -39 =51 ， ∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF， ∴∠AOG =51 -∠A，∠COF =51-∠C， 而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180 ∴51 -∠A+2∠A+2∠C+51 -∠C+39 ∴∠A+∠C=39 ∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78 ，=180 ， ，，故答案为：78 ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅 助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用． 下列关于二次函数 y (x m)2 m2 1 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 y x2 的图象 m（16. (0,1) 形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时，y 随 x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点 x 0 2在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是__________． y x 1 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 ①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当 时，y 的值即可 x 0 得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 y (x m)2 m2 1的顶点坐标，再代入函数 2进行验证即可得． y x 1 m 0时，将二次函数 y x2 的图象先向右平移 m 个单位长度，再向上平移 个单位 2【详解】 当m 1 长度即可得到二次函数 y (x m)2 m2 1的图象；当 时，将二次函数 y x2 的图象先向左平 m 0 个单位长度即可得到二次函数 y (x m)2 m2 1的图象 2m 移个单位长度，再向上平移 m 1 该函数的图象与函数 y x2 的图象形状相同，结论①正确 对于 y (x m)2 m2 1 时， y (0 m)2 m2 11 当x 0 (0,1) 即该函数的图象一定经过点 ，结论②正确 x m 时，y 随 x 的增大而减小 x m 由二次函数的性质可知，当 则结论③错误 时，y 随 x 的增大而增大；当 y (x m)2 m2 1的顶点坐标为 (m,m2 1) 2对于二次函数 y x 1 时， y m2 1 x m 当2即该函数的图象的顶点 (m,m2 1)在函数 的图象上，结论④正确 y x 1 综上，所有正确的结论序号是①②④ 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17～21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 1a2 2a a 1 17. 计算： (a 1 ) a 1 a【答案】 a 2 【解析】 【分析】 先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可． 1a2 2a a 1 【详解】解： (a 1 ) a 1 (a 1)(a 1) 1 a 1 a 1 a2 2a a2 a 1 a 1 a(a 2) a．a 2 【点睛】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减， 有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 218. 解方程： .x 2x 3 0 x 3, x 1 【答案】 12【解析】 【分析】 将方程的左边因式分解后即可求得方程的解 【详解】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0， 即 x+1=0 或 x-3=0， 解得：x1=-1，x2=3 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为 0，然后把方程左边进行因式分解， 这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 19. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE. 【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析：根据全等三角形的判定定理 ASA 可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等” 可得 AD =AE，继而可得结论． 试题解析：在△ABE 与△ACD 中， A＝A AB＝AC B＝C ，∴△ACD≌△ABE（ASA）， ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）, ∴AB-AD=AC-AE， 即：BD=CE. k(2,1) 20. 已知反比例函数 y 的图象经过点 x（1）求 的值 k（2）完成下面的解答 2 x 1① 解不等式组 kx1② 解：解不等式①，得 ．ky 根据函数 的图象，得不等式②得解集 ．x把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．【答案】（1）2；（2） x 1 【解析】 ，0 x 2，见解析， 0 x 1 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据移项、合并同类项、系数化为 1 求出不等式①的解集；根据反比例函数的图像求出不等式②的解 集，进而求出公共部分即可． k(2,1) y 【详解】解：（1）因为点 (2,1) 在反比例函数 ，的图像上， xky 所以点 的坐标满足 xk1 即，解得 ；k 2 2 2 x 1① （2） ，kx1② 解不等式①，得 x 1 ∵y=1 时，x=2， ；ky ∴根据函数 的图象，得不等式②得解集 0 x 2 ．x把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为 0 x 1 ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用反比例函数图象解不等式，以及不等式组的解 法，求出反比例函数解析式是解答本题的关键． 21. 为了了解某地居民的用电量情况，随机抽取了该地 200 户居民六月份的用电量（单位： kW h ）进行调 查，整理样本数据得到下面的频数分布表： 组别 用电量分组 频数 50 100 34 11 1123456788 x 93 93 x 178 178 x 263 263 x 348 348 x 433 433 x 518 518 x 603 603 x 688 121根据抽样调查的结果，回答下列问题： （1）该地这 200 户居民六月份的用电量的中位数落在第 组内． （2）估计该地 1 万户居民六月份的用电量低于178kW h的大约有多少户． 【答案】（1）2；（2）7500 【解析】 【分析】 （1）将 200 个数据按大小顺序排列最中间两个数的平均数即为中位数，进而可解决问题； （2）求出用电量低于178kW h的户数的百分比，根据总户数求出答案．. 【详解】解：（1）将 200 个数据按大小顺序排列最中间两个数即第 100 和 101 个数，它们的平均数即为中 位数，这两个数都落在第 2 组， 故答案为：2； 50 100 （2） 10000 7500 （户） 200 因此，估计该地 1 万户居民六月的用电量低于178kW h的大约有 户. 7500 【点睛】本题考查频数分布表，利用统计表获取信息的能力，以及利用样本估计总体，利用统计表获取信 息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题． 22. 甲、乙两人分别从 A、B、C 这 3 个景点随机选择 2 个景点游览． （1）求甲选择的 2 个景点是 A、B 的概率． （2）甲、乙两人选择的 2 个景点恰好相同的概率是 ．132【答案】（1） ；（2） 9【解析】 【分析】 （1）列举出所有可能出现的结果，利用概率公式求解即可； （2）根据树状图求得恰好只有两人选择相同的情况，再根据概率公式求解即可． 的【详解】（1）解：用列表法表示所有可能出现 结果如下： （1）共有 9 种可能出现的结果，其中选择 A、B 的有 2 种， 2∴P（A、B） =；9（2）共有 9 种可能出现的结果，其中选择景点相同的有 3 种， 3913=∴P（景点相同） =．1故答案为： ．3【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解 答的关键． 23. 如图，在港口 A 处的正东方向有两个相距 的观测点 B、C，一艘轮船从 A 处出发， 北偏东 方向 ）6km 26 航行至 D 处， 在B、C 处分别测得 ，ABD 45 C 37 求轮船航行的距离 AD (参考数据： ，sin 26 0.44 cos26 0.90 ，tan 26 0.49 ，，，sin37 0.60 cos37 0.80 tan37 0.75 【答案】20km 【解析】 【分析】 DH DH CH BH 过点 作，垂足为 H，通过解 和RtDCH RtDBH 得和，根 DH AC Dtan37 tan 45 据求得 DH，再解 求得 AD 即可． BC CH BH RtDAH 【详解】解：如图，过点 作，垂足 为HDH AC D在中， RtDCH C 37 DH CH tan37 DH CH tan37 在中， DBH 45 RtDBH DH BH tan 45 DH BH tan 45 BC CH BH DH DH 6 tan37 tan 45 DH 18 在中， RtDAH ADH 26 DH AD cos26 DH AD 20 （km） cos26 因此，轮船航行的距离 约为 20km AD 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三 角形是解题的关键． 24. 如图，在ABC 中， AC BC ，D 是 AB 上一点，⊙O 经过点 A、C、D，交 BC 于点 E，过点 D 作 ，交⊙O 于点 F，求证： DF / /BC （1）四边形 DBCF 是平行四边形 （2） AF EF 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）利用等腰三角形的性质证明∠BAC ∠B ，利用平行线证明 ，利用圆的性质证明 ADF B BD / /CF, BAC CFD ，再证明 即可得到结论； （2）如图，连接 ，利用平行线的性质及圆的基本性质 ，再利用圆内接四边形的性质证明 AE AEF B EAF B ，从而可得结论． 【详解】证明：（1） AC BC ，BAC B ，，DF / /BC ，ADF B 又BAC CFD ,ADF CFD, BD / /CF, 四边形 是平行四边形． DBCF （2）如图，连接 AE ，ADF B ADF AEF AEF B O 四边形 AECF 是的内接四边形 ECF EAF 180 BD / /CF ECF B 180 EAF B AEF EAF AF EF 【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接 四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 25. 小明和小丽先后从 A 地出发同一直道去 B 地， 设小丽出发第 时， 小丽、小明离地的距离分别为 xmin y my m 、yy 180x 2250 y， 2 与 x 之间的函数表达式是 ，1 与 x 之间的数表达式 121y 10×2 100x 2000 ．2m（1）小丽出发时，小明离 A 地的距离为 ．（2）小丽发至小明到达 B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？ 【答案】（1）250；（2）当小丽出发第 时，两人相距最近，最近距离是90m 4min 【解析】 【分析】 yy2 求得结果即可； （1）由 x=0 时，根据 -1（2）求出两人相距的函数表达式，求出最小值即可． yy【详解】解（1）当 x=0时， 1 =2250， 2 =2000 yy2 =2250-2000=250（m） ∴-1故答案为：250 （2）设小丽出发第 时，两人相距 ，x min Sm S 180x 2250 10×2 100x 2000 则即2S 10x 80x 250 其中 0 x 10 x b80 210 4 因此，当 时2a 4ac b2 410250 (80)2 S 有最小值， 90 4a 410 也就是说，当小丽出发第 时，两人相距最近，最近距离是90m 4min 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． AD AD AB AB ¢ VA B C 分别是 AB、 A B上一点， 26. 如图，在ABC 和中，D、 D．CD C DA C AC AB A B （1）当 时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的 △ABC ~△A B C 空格 ECD AC BC VA B C 是否相似，并说明理由 （2）当 时，判断ABC 与 CD C DA CB C AC AD 【答案】（1） ，；（2）相似，理由见解析 A A A D C DA C 【解析】 【分析】 CD C DA C AC AB A BA D AD △ADC ~ A D C （1）根据 证得△ ，推出 ，再证明结论； A A ，利用三边对应成比例证得 △，再推出 ， D E ACB A C B （2）作 DE∥BC， ∥DCE ~ D C E B C AC A CB C BC 证得 ，即可证明△ △．ABC ~ A B C AB AB AD AD 【详解】（1）∵ ，AB A BA D AD ∴∵∴，CD AC C DA C AB A B ，， CD AC C DA C AD A D ∴△ △，ADC ~ A D C ∴∵，A A AC AB ， A C A B ∴△ △，ABC ~ A B C CD C DA C AC AD A D 故答案为： ，；A A ¢ D E （2）如图，过点 D、 D分别作 DE∥BC， ∥，B C A C DE 交 AC 于点 E， 交于点 E，D E ∵DE∥BC， ∴△ △，ABC ADE ~ AD DE AE ∴，AB BC AC A B B C A E A C A DD E 同理： ， AD AD AB AB 又， DE DE BC BC ∴，DE BC ∴， D EB C AC AC AE AE 同理： ， A C AC AE AC A E ∴即∴， AC EC EC ， AC AC EC E C AC A C ，CD AC BC 又∴，， C DA CB C CD DE EC C DD EE C ∴△ △，DCE ~ D C E ∴，CED C E D ∵DE∥BC， ∴，CED ACB 180 同理： ∴，CED A CB180 ，ACB A C B AC A CB C BC 又， ∴△ △．ABC ~ A B C 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第 2 问的关键． 27. 如图①，要在一条笔直的路边 上建一个燃气站，向 同侧的A、B 两个城镇分别发铺设管道输送燃气， ll试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （1）如图②，作出点 A 关于 的对称点 A，线 与直线 的交点C 的位置即为所求， 即在点C 处建气 lA B lC，连接 站， 所得路线ACB 是最短的，为了让明点 C 的位置即为所求，不妨在 直线上另外任取一点 l BC ， 证明 AC CB AC C B ， 请完成这个证明． AC ，（2）如果在 A、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形 的铺设管道的方案（不需说明理由）， ①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示 ②生态保护区 圆形区域，位置如图④所示． 是【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析，②见解析 【解析】 【分析】 A C CA ，利用三角形的三边关系，即可得到答案； （1）连接 ，利用垂直平分线的性质，得到 A C （2）由（1）可知，在点 C 处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计分析，即可 求出最短的路线图． 【详解】（1）证明：如图，连接 A C ∵点 A、 A关于 l 对称，点 C 在 l 上 A C CA ∴，CA CB A’C CB A’B ∴，AC ‘ C ‘B A’C ‘ C ‘B 同理 ，A B A’C ‘ C ‘B A C ‘B 在∴中，有 AC CB AC ‘ C ‘B ；（2）解：①在点 C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是 AC+CD+DB（如图，其中 D 是正方形的顶点）． ②在点 C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是 （如图，其中 CD、BE 都与圆相 AC CD DE EB 切）． 【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确 确定点 C 的位置，从而确定铺设管道的最短路线． 本试卷的题干 0635
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