2020年广州市初中毕业生学业考试数学 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1. 广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达 15233000 人次.将 15233000 用科 学记数法表示应为（ ） 152.33105 15.233106 1.5233107 0.15233108 D. A. B. C. C【答案】 【解析】 【分析】 根据科学记数法的表示方法表示即可． 7【详解】15233000= 故选 C． ,1.523310 【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于熟练掌握科学记数法的表示方法． 2. 某校饭堂随机抽取了 100 名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图 的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（ ） A. 套餐一 B. 套餐二 C. 套餐三 D. 套餐四 A【答案】 【解析】 【分析】 通过条形统计图可以看出套餐一出现了 50 人，最多，即可得出答案． 【详解】解：通过观察条形统计图可得：套餐一一共出现了 50 人，出现的人数最多，因此通过利用样本估 计总体可以得出学生最喜欢的套餐种类是套餐一； 故选： ．A【点睛】本题主要考查了条形统计图，明白条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，从条形统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. C. B. D. a b a b x5 x6 x30 2 a 3 a 6 a 5×2 x10 D【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则依次判断即可得到 答案. 【详解】A、 B、 与不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误； ab，故该选项错误； 2 a 3 a 6a 56C、 D、 11 ，故该选项错误； x x x 5×2 x10 ，故该选项正确， 故选：D. 【点睛】此题考查计算能力，正确掌握二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂 的乘方运算法则是解题的关键. D, E 4. 中，点 分别是 的边 ，的中点，连接 ，若 ，则 （ ） ABC 22 ABC 68 AC C 68 AB DE ∠AED A. B. C. D. 96 112 B【答案】 【解析】 【分析】 D, E 根据点 分别是 的边 ，的中点，得到 DE 是 的中位线，根据中位线的性质解答. ABC AC ABC AB 【详解】如图， D, E ∵点 分别是 的边 ，的中点， ABC AC AB ∴DE 是 的中位线， ABC ∴DE∥BC， ∴，C 68 ∠AED 故选：B. 【点睛】此题考查三角形中位线的判定及性质，平行线的性质，熟记三角形的中位线的判定定理是解题的 关键. 5. 如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ） A. 该圆锥的主视图是轴对称图形 B. 该圆锥的主视图是中心对称图形 C. 该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 A【答案】 【解析】 【分析】 首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而可得答案． 【详解】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形， 所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故 A 正确， 该圆锥的主视图是中心对称图形，故 B 错误， 该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 C 错误， 该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故 D 错误， 故选 A． 【点睛】本题考查的简单几何体的三视图，同时考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握以上知识 是解题的关键． y 3x 1 x , y 1 x 1, y x 2, y 6. 一次函数 的图象过点 ，2 ，3 ，则（ ） 111y1 y2 y3 y3 y2 y1 y2 y1 y3 y3 y1 y2 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于 0,所以 y 随 x 增减而减小． 故选 B． 的【点睛】本题考查一次函数图象 增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系． 4r为圆心， 为半径作 7. 如图， cos A B 中， ，C 90 AB 5 ，，以点 B，当 时， RtABC r 3 5B 与的位置关系是（ ） AC A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 B【答案】 【解析】 【分析】 45cos A 根据 中， ，，求出 AC 的值，再根据勾股定理求出 BC 的值，比较 BC 与半 RtABC C 90 B 径 r 的大小，即可得出 与的位置关系． AC 45cos A 【详解】解：∵ 中， ，，RtABC C 90 AC AB ，4∴cosA= 5∵AB 5 ∴AC=4 BC2 AC2 3 B ∴BC= 当时， 与的位置关系是：相切 r 3 AC 故选：B 【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理 解求出 BC 是解题的关键． 8. 往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，则水的最大深 AB 48cm 度为（ ） A. B. C. 16cm D. 20cm 8cm 10cm C【答案】 【解析】 【分析】 过点 O 作 OD⊥AB 于 D，交⊙O 于 E，连接 OA，根据垂径定理即可求得 AD 的长，又由⊙O 的直径为 OA 的长，然后根据勾股定理，即可求得 OD 的长，进而求得油的最大深度 的长． 52cm，求得 DE 【详解】解：过点 O 作 OD⊥AB 于 D，交⊙O 于 E，连接 OA， 11AD AB 48 24cm 由垂径定理得： ，22∵⊙O 的直径为52cm ，∴在∴OA OE 26cm ，2222RtAOD 中，由勾股定理得： ，OD OA AD = 26 24 =10cm DE OE OD 26 10 16cm ，∴油的最大深度为16cm 故选： ，．C【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三 角形，利用勾股定理解决． 2y x a x不经过第二象限，则关于 的方程 9. 直线 实数解的个数是（ ）. ax 2x 1 0 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 1 个或 2 个 D【答案】 【解析】 【分析】 根据直线 y x a a 0 不经过第二象限，得到 ，再分两种情况判断方程的解的情况. y x a 【详解】∵直线 a 0 不经过第二象限， ∴，2∵方程 ，ax 2x 1 0 当 a=0 时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当 a<0 时，方程为一元二次方程， 2∵∆= ，b 4ac 4 4a ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易 错点是 a 的取值范围，再分类讨论. 10. BC 8 ，过点 如图，矩形 的对角线 ，交于点 ，，作OE AC ，交 于ABCD AC OAB 6 OBD AD 点，过点 作，垂足为 ，则 F的值为（ ） OE EF EEEF BD 48 524 12 32 A. B. C. D. 555C【答案】 【解析】 【分析】 根据勾股定理求出 AC=BD=10，由矩形的性质得出 AO=5，证明 得到 OE 的长，再证明 AOE ADC 可得到 EF 的长，从而可得到结论． DEF DBA 【详解】∵四边形 ABCD 是矩形， ， AC BD ABC BCD ADC BAD 90 BC 8 ， AB 6 AD BC 8 ，DC AB 6 22，，BD 10 AC AB BC 10 1OA AC 5 ，2OE AC ，AOE 90 ，，AOE ADC 又CAD DAC ，AOE ADC AO AE EO ，AD AC CD 5AE EO ，810 25 4615 AE OE ，，47DE ，4同理可证， ，DEF DBA DE EF ，BD BA 7FF ，410 621 EF ，20 15 21 24 OE EF 故选：C． ，420 5【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关 键． 第二部分 非选择题（共120 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．） 11. 已知 ，则 的补角等于________ ． A 100 A 【答案】80 【解析】 【分析】 根据补角的概念计算即可． 【详解】∠A 的补角=180°－100°=80°, 故答案为:80． 【点睛】本题考查补角的概念,关键在于牢记基础知识． 12. 计算： __________． 20 5 【答案】 5【解析】 【分析】 先化简二次根式，再进行合并即可求出答案． 【详解】 ，20 5 2 5 5 5 故答案为： ．5【点睛】本题考查了二次根式的加减，关键是二次根式的化简，再进行合并． x313. 方程 的解是_______． x 1 2x 2 3【答案】 2【解析】 【分析】 根据分式方程的解法步骤解出即可． x3【详解】 x 1 2x 2 左右同乘 2(x+1)得: 2x=3 3解得 x= ．23经检验 x= 是方程的跟． 23故答案为: ．2【点睛】本题考查解分式方程,关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤． xx轴向右平移到 ECD ，若四边形 ABDC 1,3 14. 如图，点 的坐标为 ，点 B在轴上，把 OAB 沿的A面积为 9，则点 的坐标为_______． C【答案】(4，3) 【解析】 【分析】 过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H，得到 AH=3，根据平移的性质证明四边形 ABDC 是平行四边形，得到 AC=BD， 根据平行四边形的面积是 9 得到 ，求出 BD 即可得到答案. BD AH 9 【详解】过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H， ∵A（1,3）， ∴AH=3， 由平移得 AB∥CD，AB=CD， ∴四边形 ABDC 是平行四边形， ∴AC=BD， ∵，BD AH 9 ∴BD=3， ∴AC=3， ∴C(4，3) 故答案为：(4，3). 【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关 系. 绕点 逆时针旋转到AB C ABC 15. 如图，正方形 中， ，，AC 分别交对角线 BD 于点 ABCD AAB E, F ，若 ，则 的值为_______． EF ED AE 4 【答案】16 【解析】 【分析】 根据正方形及旋转的性质可以证明 ，利用相似的性质即可得出答案． ，AEF DEA BAC=ADB 45 【详解】解：在正方形 中， ABCD ∵∴∴∵∴绕点 逆时针旋转到AB C ，ABC A，B AC =BAC 45 ，EAF=ADE 45 ，AEF=AED ，AEF DEA AE EF ∴∴，DE AE 22．EFED AE 4 16 故答案为：16． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的 性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． mm a16. 对某条线段的长度进行了 3 次测量，得到 3 个结果（单位： ）9.9，10.1，10.0，若用 作为这条线 222a 段长度的近以值，当 ______ mn 时， (a 9.9) (a 10.1) (a 10.0) 最小．对另一条线段的长度进 n行了 次测量，得到 个结果（单位： nmm xn ，若用 作为这条线段长度的近似值，当_____ x x , x ,, x ）12时， x x 2 x x 2 x x 2 最小． mm 1 2 n x1 x2 xn (1). (2). 【答案】 10.0； ．n【解析】 【分析】 (a 9.9)2 (a 10.1)2 (a 10.0)2 整 理得：，设2（1）把3a 60.0a 300.02 y 3a2 60.0a 300.02 ，利用二次函数性质求出当 a 10.0 时有最小值； 2（2）把 x x 2 x x 2 x x 整理得： n ，22nx2 2 x x x x x 2 x x 1 2 n 1212n22y nx2 2 x x x x x 2 x x y，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时 x设n 1212n的值． 【详解】解：（1）整理 (a 9.9)2 (a 10.1)2 (a 10.0)2 得： ，23a 60.0a 300.02 设y 3a2 60.0a 300.02 ，60.0 23 a 10.0 由二次函数的性质可知：当 时，函数有最小值， 即：当 a 10.0 时， (a 9.9)2 (a 10.1)2 (a 10.0)2 的值最小， 故答案为：10.0； 2（2）整理 x x 2 x x 2 x x 得： n ，22nx2 2 x x x x x 2 x x 1 2 n 1212n22y nx2 2 x x x x x 2 x x 设n ，由二次函数性质可知： 1212n2 x x x n x1 x2 xn 12当时， x 2n n22y nx2 2 x x x x x 2 x x n 有最小值， 1212nx1 x2 xn 时， x x 2 x x 2 x x 2 的值最小， x 即：当 1 2 n nx1 x2 xn 故答案为： ．ny x x 2 x x 2 x x n 【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设 2 ，整理成二次 1 2 函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可． 三、解答题（本大题共 9小题，满分 102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 2x 1… x 2 x 5 4x 1 17. 解不等式组： ．【答案】x≥3 【解析】 【分析】 根据解不等式组的解法步骤解出即可． 2x 1… x 2 ① 【详解】 x 5 4x 1 ② 由①可得 x≥3 由②可得 x>2, ∴不等式的解集为：x≥3． 【点睛】本题考查解不等式组,关键在于熟练掌握解法步骤． 18. 如图， ，，D 80 ．求 BCA的度数． BAC DAC 25 AB AD 【答案】75°. 【解析】 【分析】 由三角形的内角和定理求出∠DCA=75°，再证明△ABC≌△ADC，即可得到答案. 【详解】∵ ,,D 80 DAC 25 ∴∠DCA=75°, ∵,,AC=AC， BAC DAC 25 AB AD ∴△ABC≌△ADC， ∴∠BCA=∠DCA=75°. 【点睛】此题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质，这是一道比较基础的三角形题. k2 16 k219. 已知反比例函数 y 的图象分别位于第二、第四象限，化简： ． (k 1) 4k xk 4 k 4 【答案】5 【解析】 【分析】 由反比例函数图象的性质可得 k<0,化简分式时注意去绝对值． 【详解】由题意得 k<0． k2 16 k2 16 k 4 k 4 k 4 (k 1)2 4k = k2 2k 1 4k k2 2k 1 k 4 k 4 k 4 2 k 4 k 1 k 4 k 1 k 4 k 1 5 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质和分式的化简,关键在于去绝对值时符号的问题． 20. 为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共 30 名老人提供居家养老服 务，收集得到这 30 名老人的年龄（单位：岁）如下： 甲社区 乙社区 67 66 68 69 73 72 75 74 76 75 78 78 80 80 82 81 83 85 84 85 85 88 85 89 90 91 92 96 95 98 根据以上信息解答下列问题： （1）求甲社区老人年龄的中位数和众数； （2）现从两个社区年龄在 70 岁以下的 4 名老人中随机抽取 2 名了解居家养老服务情况，求这 2 名老人恰 好来自同一个社区的概率． 1【答案】（1）中位数是 82，众数是 85；（2） .3【解析】 【分析】 （1）根据中位数及众数的定义解答； （2）列树状图解答即可. 【详解】（1）甲社区老人的 15 个年龄居中的数为：82，故中位数为 82， 出现次数最多的年龄是 85，故众数是 85； （2）这 4 名老人的年龄分别为 67,68,66,69 岁，分别表示为 A、B、C、D， 列树状图如下： 共有 12 种等可能的情况，其中 2 名老人恰好来自同一个社区的有 4 种，分别为 AB，BA，CD，DC， 413∴P（这 2 名老人恰好来自同一个社区）= .12 【点睛】此题考查统计知识，会求一组数据的中位数、众数，能列树状图求事件的概率，熟练掌握解题的 方法是解题的关键. xxOy 21. 如图，平面直角坐标系 中， 的边 在轴上，对角线 ，AC OB 交于点 ，函数 OABC OC Mky x 0 A 3,4 的图象经过点 和点 ．Mx（1）求 的值和点 的坐标； kM（2）求 的周长． OABC 【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28 【解析】 【分析】 ky （ 1 ） 将 点A （ 3,4 ） 代 入 中 求 出k 的 值 ， 作AD⊥x 轴 于 点D ， ME⊥x 轴 于 点E ， 证 明 xME MC 1212 y ，求出 ME=2，代入 △MEC∽△ADC，得到 即可求出点 M 的坐标； AD CA x（2）根据勾股定理求出 OA=5，根据点 A、M 的坐标求出 DE，即可得到 OC 的长度，由此求出答案. ky 【详解】（1）将点 A（3,4）代入 中，得 k= ，34 12 x∵四边形 OABC 是平行四边形， ∴MA=MC， 作 AD⊥x 轴于点 D，ME⊥x 轴于点 E， ∴ME∥AD， ∴△MEC∽△ADC， ME MC 12∴，AD CA ∴ME=2， 12 y 将 y=2 代入 中，得 x=6， x∴点 M 的坐标为（6,2）； （2）∵A（3,4）， ∴OD=3，AD=4， 22∴,OA OD AD 5 ∵A（3,4），M（6,2）， ∴DE=6-3=3， ∴CD=2DE=6， ∴OC=3+6=9， ∴的周长=2(OA+OC)=28. OABC 【点睛】此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股 定理，相似三角形的判定及性质. 22. 粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目 标．某公交集团拟在今明两年共投资 9000 万元改装 260 辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出 租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50% （1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； （2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆． ．【答案】（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是 25 万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是 160 辆． 【解析】 【分析】 （1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下 降50%，列出式子即可求出答案； （2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资 9000 万元改装 260 辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程， 求解即可． 50 1-50% =25 【详解】解：（1）依题意得： （万元） （2）设明年改装的无人驾驶出租车是 x 辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆,依题意得： 50 260 x +25x=9000 解得： x=160 答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是 25 万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是 160 辆． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程． 23. 如图， 中， ．ABD ABD ADB （1）作点 关于 的对称点 ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） CABD （2）在（1）所作的图中，连接 BC ①求证：四边形 是菱形； ，，连接 ，交 于点 到．DC AC OBD ABCD 13 2OE ②取 BC 的中点 ，连接 ，若 ，，求点 的距离． OE BD 10 EEAD 120 【答案】（1）见解析；（2）①见解析：② ．13 【解析】 【分析】 （1）过点 做的垂线交 于点 ，在 的延长线上截取 ，即可求出所作的点 关于 AAM CM ABD BD MAM 的对称点 ；CBD AO CO （2）①利用 ，AC BD 得出 BO DO ，利用 ，以及 AC BD 得出四边形 ABD ADB 是菱形； ABCD ②利用 为中位线求出 的长度，利用菱形对角线垂直平分得出 的长度，进而利用 RtAOB 求出 OB OE AB 的长度，得出对角线 的长度，然后利用面积法求出点 到的距离即可． AO AC EAD 【详解】（1）解：如图：点 即为所求作的点； C（2）①证明： ∵，；AC BD ，ABD ADB 又∵ AO AO ，∴ABO ADO BO DO ∴，AO CO 又∵ ，AC BD ∴四边形 是菱形； ABCD ②解：∵四边形 是菱形， ABCD AO CO ∴，BO DO ，AC BD 又∵ ，BD 10 ∴∵，BO=5 为BC 的中点， E∴∵∴CE BE ，AO CO ，为OE ABC 的中位线， 13 OE ∵∴，2AB 13 ，∴菱形的边长为 13， ∵在∴AC BD ，BO=5 222 ，即： ，22RtAOB 中，由勾股定理得： AO AB BO AO 13 5 =12 ,AC 122 24 设点 到的距离为 ，利用面积相等得： hEAD 12410 13h ，2120 h 解得： ，13 120 13 即到的距离为 ．EAD 的【点睛】本题考查了对称点 作法、菱形的判定以及菱形的面积公式的灵活应用，牢记菱形的判定定理， 以及对角线乘积的一半等于菱形的面积是解决本题的关键． A, B 24. O 如图， 为等边 的外接圆，半径为 2，点 在劣弧 上运动（不与点 重合），连接 ，ABC DDA AB ，．DC DB （1）求证： 是的平分线； DC ADB x的长 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明 （2）四边形 ADBC 的面积 S是线段 DC 理由； M , N （3）若点 分别在线段 ，CA CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点 运动到每一个确定的位置， Dttt的周长有最小值 ，随着点的运动， 的值会发生变化，求所有 值中的最大值． DMN D32【答案】(1)详见解析；(2)是， ；(3) 4 3 S x (2 3 x 4) 4【解析】 【分析】 (1)根据等弧对等角的性质证明即可； (2)延长 DA 到 E,让 AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出 S 的面积； (3)作点 D 关于直线 BC、AC 的对称点 D1、D2，当 D1、M、N、D 共线时△DMN 取最小值，可得 t=D1D2， 有对称性推出在等腰△D1CD2 中,t= ，D 与 O、C 共线时 t 取最大值即可算出． 3x 【详解】(1)∵△ABC 为等边三角形,BC=AC， 1∴,都为 圆， 3AC BC ∴∠AOC=∠BOC=120°， ∴∠ADC=∠BDC=60°， ∴DC 是∠ADB 的角平分线． (2)是． 如图，延长 DA 至点 E，使得 AE=DB． 连接 EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC． ∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC， ∴△EAC≌△DBC(SAS)， ∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°， 故△EDC 是等边三角形， 3∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知 DC 边上的高为 x21332∴．S SDBC SADC SEAC SADC SCDE x x x (2 3 x 4) 224(3)依次作点 D 关于直线 BC、AC 的对称点 D1、D2,根据对称性 △DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2． ∴D1、M、N、D 共线时△DMN 取最小值 t,此时 t=D1D2, 由对称有 D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA, C∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°． ∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°， 在等腰△D1CD2 中,作 CH⊥D1D2， 33则在 Rt△D1CH 中，根据 30°特殊直角三角形的比例可得 D1H= ，CD x12233同理 D2H= ∴t=D1D2= CD2 x22．3DC 3x ∴x 取最大值时,t 取最大值． 即 D 与 O、C 共线时 t 取最大值,x=4． 所有 t 值中的最大值为 ．4 3 【点睛】本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量． xOy G : y ax2 bx c 0 a 12 A 1,c 5a B x,3 ， ， 125. 平面直角坐标系 中，抛物线 过点 C x,3 SS的面积为 ， 2△OCE ，顶点 不在第一象限，线段BC 上有一点 ，设 的面积为 ，DE△OBE 2132S1 S2 ．a（1）用含 的式子表示 ；b（2）求点 的坐标； E6（3）若直线 与抛物线 G的另一个交点 的横坐标为 F，求 y ax2 bx c 在时的取值 3 1 x 6 DE aa范围（用含 的式子表示）． 【答案】（1）b 6a ；（2） 【解析】 7252yE,3 E,3 0时，有 ＜ 或；（3）当 ＜9a. 1 x 6 【分析】 A 1,c 5a G : y ax2 bx c 0 a 12 （1）把 代入： ，即可得到答案； 32S S （2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与 BC 的交点为 H，确定顶点的位置，分情况利用 ，12S求解 ，从而可得答案； OEH （3）分情况讨论，先求解 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系 DE c, 数的关系求解 结合二次函数的性质可得答案． A 1,c 5a G : y ax2 bx c 0 a 12 【详解】解：（1）把 c 5a a b c, b 6a, 代入： ，b 6a, （2） y ax2 6ax c 0 a 12 , 抛物线 为：6a 2a x 3, 抛物线的对称轴为： 顶点 不在第一象限， D顶点 在第四象限， Dxx , 记对称轴与 BC 交点为 2的如图，设 ＜H，1BH CH, 则SOBH SOCH ,3S1 S2 ，23SOBH SOHE SOCH SOHE , 23SOHE , 413 EH 3 , 241EH , 27E ,3 , 252xx , E,3 . 当＞同理可得： 127252E,3 E或,3 . 综上： 2（3） y ax2 6ax c a x3 c 9a, D 3,c 9a , 72E,3 y kx b, 当，设 为： DE 7k b 3 23k b c 9a k 6 2c 18a b 7c 63a 18 解得： y 6 2c 18a x 7c 63a 18, 为DE 2y ax 6ax c y 6 2c 18a x 7c 63a 18 ax2 6 2c 24a x 6c 63a 18 0, y消去 得： 66 2c 24a 3 3 ,由根与系数的关系得： aac 9a, 解得： 2 y ax2 6ax 9a a x3 , y 4a, y 9a, 当当时， 时， x 1 x 6 y 0 当当x 3时， ，y0时，有 ＜ ＜9a. 1 x 6 52E,3 D 3,c 9a , 当，y 2c 18a 6 x 5c 45a 18, 同理可得 为： DE y 2c 18a 6 x 5c 45a 18 y ax2 6ax c ax2 12a 2c 6 x 6c 45a 18 0, y同理消去 得： 612a 2c 6 6 ,aac 9a 6, 解得： 2 y ax2 6ac 9a 6 a x3 6, 此时，顶点在第一象限，舍去， y0时，有 ＜ 综上：当 ＜9a. 1 x 6 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的 坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系， 掌握以上知识是解题的关键． 本试卷的题干 0635
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