精品解析：山东省潍坊市2020年中考数学试题（解析版）

山东省潍坊市 2020 年中考数学真题第Ⅰ卷（选择题共36 分）一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，错选、不选或选出的答案超过一个均记 0 分．） 1. 下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D. C【答案】【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 2. 下列运算正确的是（）3A. 2a  3b  5ab B. C. (a  b)2  a2  b2 D. a2b  a6b a3 a2  a5 B【答案】【解析】【分析】根据合并同类项、幂的乘方，同底数幂乘法以及完全平方公式，逐项判断即可．【详解】A、不是同类项，不能合并，故选项 A 计算错误； 32B、 C、 D、 5 ，故选项 B 计算正确； a a  a 22(a  b)  a  2ab  b 2 ，故选项 C 计算错误； 3a2b  a6b3 ，故选项 D 计算错误． 故选 B．【点睛】本题考查合了并同类项，同底数幂的乘法和积的乘方、以及完全平方公式，解题关键是熟记运算法则和公式． 3. 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少 1109 万．数字 1109 万用科学记数法可表示为（）1.109107 1.109106 0.1109108 11.09106 A. B. C. D. A【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，故先将 1109 万换成 11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．【详解】∵1109 万=11090000， ∴11090000=1.109×107．故选：A．【点睛】本题考查了科学记数法的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单． 4. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）A. B. C. D. D【答案】【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【详解】从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，故选：D．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．的5. 为调动学生参与体育锻炼积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10 名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5212则关于这组数据的结论正确的是（） A. 平均数是 144 B. 众数是 141 C. 中位数是 144.5 D. 方差是 5.4 B【答案】【解析】【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．【详解】解：根据题目给出的数据，可得： 141´ 5+ 144´ 2+ 145´ 1+ 146´ 2 x = = 143 A，故选项错误；平均数为： 5+ 2+ 1+ 2 141 B ，故选项正确；众数是： 141+ 144 = 142.5 C，故选项错误；中位数是： 2122)2)2)S2 = 141- 143 ´ 5+ 144- 143 ´ 2+ 145- 143 ´ 1+ 146- 143 ´ 2 = 4.4 éù()(((D，故选项错误；方差是： êúûë10 B故选：．【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的性质和计算，熟悉相关性质是解题的关键． 226. 若，则的值是（）m  2m 1 4m  8m  3 A. B. C. D. 1432D【答案】【解析】【分析】变形为 4(m2  2m) 3 ，然后把条件整体代入求值即可． 2把所求代数式【详解】∵ 4m  8m  3 2，m  2m 1 2∴4m  8m  3 2=4(m  2m) 3 =4×1-3 =1．故选：D． 2【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为 4m  8m  3 4(m2  2m) 3 ．DE AE 127. 如图，点 E 是ABCD 的边上的一点，且，连接 BE 并延长交的延长线于点 F，若 CD AD DE  3, DF  4 ，则ABCD 的周长为（）A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 C【答案】【解析】【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CF，AB=CD， ∴△ABE∽△DFE， DE FD 12∴∵，AE AB DE  3, DF  4 ，∴AE=6，AB=8， ∴AD=AE+DE=6+3=9， ∴ABCD 的周长为：（8+9）×2=34．故选：C．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答． 28. 关于 x 的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（）x  (k  3)x 1 k  0 A. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 A【答案】【解析】【分析】 2的先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）+4，然后根据非负数性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【详解】△=(k-3)2-4(1-k) =k2-6k+9-4+4k =k2-2k+5 =(k-1)2+4， ∴（k-1）2+4＞0，即△＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：①当 △＞0 时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． my  kx  b(k  0) y  ( m  0 ) 与A(2,3), B(1,6) 9. 如图，函数的图象相交于点两点，则不等式 xmkx  b  的解集为（）xAB. 或x 1 C. x 1 D. 或0  x 1 x  2 2  x  0 x  2 D【答案】【解析】【分析】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． my  kx  b k 0 A(2,3), B(1,6) y  m  0 【详解】解：∵函数 与的图象相交于点两点， xmxkx  b  ∴不等式故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．的解集为：或0  x 1 ，x  2 AOB  90,OA  3,OB  4 10. 如图，在 RtAOB 中，，以点 O 为圆心，2 为半径的圆与交于点 C， OB 过点 C 作交于点 D，点 P 是边上的动点．当最小时，的长为（）CD  OB OA PC  PD OP AB 3321A. B. C. 1 D. 24B【答案】【解析】【分析】延长 CO 交 O 于点 E，连接 EP，交 AO 于点 P，则 PC+PD 的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出 CD，PO 的长即可． O 【详解】延长 CO 交于点 E，连接 ED，交 AO 于点 P，如图， ∵CD⊥OB， ∴∠DCB=90°, 又AOB  90 ，∴∠DCB=∠AOB， ∴CD//AO BC CD ∴BO AO ∵OC=2，OB=4， ∴BC=2, 24CD 32∴，解得，CD= ；3∵CD//AO， EO PO 2 PO 34=∴，即，解得，PO= EC DC 43故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称—最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 3x 5…1 11. 若关于 x 的不等式组有且只有 3 个整数解，则 a 的取值范围是（）2x  a  8 A. B. C. D. 0  a  2 0  a  2 0  a  2 0  a  2 C【答案】【解析】【分析】先求出不等式组的解集（含有字母 a），利用不等式组有三个整数解，逆推出 a 的取值范围即可． 3x 5…1 【详解】解：解不等式得：，x  2 8 a 2x  解不等式 2x  a  8得：，8 a 22  x  ∴不等式组的解集为：，3x 5…1 ∵不等式组有三个整数解， 2x  a  8 ∴三个整数解为：2，3，4， 8 a 4   5 ∴，2解得：，0  a  2 故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数求出关于 a 的不等式组． ìïïa- b (a… 2b) a Ä b = 12. 若定义一种新运算： íï例如：31  31  2 ；5 4  5 4  6  3．则函数 a + b- 6 (a < 2b) ïîy  (x  2)  (x 1) 的图象大致是（）A. B. C. D. A【答案】【解析】【分析】 ìïïa- b (a… 2b) a Ä b = x + 2 ³ 2(x- 1) íï根据，可得当时， x  4 ，分两种情况当 x  4 时和当时，分 x  4 a + b- 6 (a < 2b) ïî别求出一次函数的关系式，然后判断即可． x + 2 ³ 2(x- 1) 【详解】解：当时， x  4 ，(x + 2)Ä (x- 1) = (x + 2)- (x- 1) = x + 2- x + 1= 3 ，∴当x  4 时， y  3 即：当，(x + 2)Ä (x- 1) = (x + 2)+ (x- 1)- 6 = x + 2+ x- 1- 6 = 2x- 5 时，，x  4 y  2x 5 k  2  0 ∴即：，，yx随的增大而增大， y  2x 5 ∴当时，，函数图像向上， x  4 A综上所述，选项符合题意， A故选：．【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键第Ⅱ卷（非选择题共84 分）说明：将第Ⅱ卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上．二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分．只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分．） 213. _____ ．因式分解：x y﹣9y＝【答案】y（x+3）（x﹣3）【解析】【分析】先提取公因式 y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】解：x2y﹣9y，＝y（x2﹣9），＝y（x+3）（x﹣3）．【点睛】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 14. 若，则 a  b  _________． | a  2 |  b  3  0 【答案】5 【解析】【分析】 a根据非负数的性质列式求出【详解】根据题意得，、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． b，a  2  0 b 3  0 ，解得 ∴，a  2 b  3 ，．a  b  2  3  5 故答案为：5．【点睛】本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式都等于 0 列式是解题的关键． PQ 15. 如图，在中，，B  20 ，垂直平分，垂足为 Q，交 BC 于点 P．按以下 RtABC C  90 AB AC, AB 步骤作图：①以点 A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点 D，E；②分别以点 D，E 为 1PQ 的夹角为，则 DE 圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点 F；⑤作射线．若与AF AF 2  ________°．【答案】55°．【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM 是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出．【详解】如图， ∵△ABC 是直角三角形，∠C=90°，，B  BAC  90 ，B  20 ，BAC  90 B  90 20  70 BAC ∵是的平分线， AM 112  BAC  70  35 ，22PQ 是的垂直平分线， AB AMQ 是直角三角形，，1 2  90 ，1 90 2  9035  55 ∵∠α 与∠1 是对顶角，．  1 55 故答案为：55°．【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键． 3x m  3 m  16. 若关于 x 的分式方程 1 有增根，则 _________． x  2 x  2 【答案】． 3【解析】【分析】 x先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中 m计算即可求出的值． 3x  m  3 x  2 【详解】解：去分母得： ，整理得： 2x  m 1 ，3x m  3 x∵关于的分式方程 1 有增根，即，x  2  0 x  2 x  2 ∴把x  2 ，x  2 代入到 2x  m 1中得： 22  m 1，解得： m  3 ，故答案为：． 3【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值． BC, DC AG, EG, AE ，将 17. 如图，矩形中，点 G，E 分别在边上，连接和ABG ECG 分别沿 ABCD AG, EG CE  3,CG  4 折叠，使点 B，C 恰好落在上的同一点，记为点 F．若，则 AE sinDAE  _______． 7【答案】 25 【解析】【分析】 25 3~EA  根据折叠的性质结合勾股定理求得 GE 用勾股定理得到 DE 的长，即可求解．，BC=AD=8，证得 Rt△EGF Rt△EAG，求得，再利  5 【详解】矩形 中，GC=4，CE =3，∠C=90 ， ABCD 2222∴GE= ，GC  CE  4  3  5 根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90 ， ∴BG=GF=GC=4， ∴BC=AD=8， ∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180 ∴∠AGE=90 ，，~∴Rt△EGF Rt△EAG， EG EF 535∴∴，即，EA EG EA 25 EA  ，3225 37AE2  AD2  82  ∴DE= ，37DE 7325 sin DAE  ∴，AE 25 37故答案为：．25 【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键． DA B C D A  18. 如图，四边形是正方形，曲线是由一段段 90 度的弧组成的．其中： 1 的圆心 DA ABCD 11112为点 A，半径为；AD BA 1 的圆心为点 B，半径为；；A B 11CB 1 的圆心为点 C，半径为 B C 11DC 1 的圆心为点 D，半径为 1 ；… C1D    的圆心依次按点 A，B，C，D 循环．若正方形的边长为 1，则 A2020B2020 ABCD DA , A B1, B1C1,C1D1, 11的长是_________．【答案】【解析】【分析】 4039 DA B C D A  曲线是由一段段90 度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径 +1 ，到 11112ADn1  AA  4 n 1 1 BA  BB  4 n 1  2 ，，再计算弧长． nnnDA B C D A  【详解】解：由图可知，曲线是由一段段 90 度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1， 11112AD  AA 1 BA  BB  2 ，，……， 111ADn1  AA  4 n 1 1 BA  BB  4 n 1  2 ，，nnnBA  BB2020  4 20201  2  8078 故的半径为 ，A2020B2020 2020 90 8078  4039 的弧长= ．A2020B2020 180 故答案为：．4039 nr 180 l  【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：键．，找到每段弧的半径变化规律是解题关三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分．解答应与出文字说明、证明过程或演算步骤．） x 1 x  3 x 1 1 19. 先化简，再求值：，其中 x 是 16 的算术平方根． x2  2x 1 4【答案】 3【解析】【分析】先将括号里的进行通分运算，然后再计算括号外的除法，把除法运算转化为乘法运算，进行约分，得到最简分式，最后把 x 值代入运算即可． 2x －2x+1 x+1 x－3 －÷【详解】解：原式＝，x2－2x+1 x2－2x+1 x－1 x2－3x x－1 ×＝，x2－2x+1 x－3 x x－3 x－1 x－3 ×＝＝，2x－1 x．x－1 ∵x 是 16 的算术平方根， ∴x=4， 4当 x=4 时，原式= ．3【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 20. “”某校综合与实践小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测 AB 120 CA B 米的点处悬停，此时测得桥两端，两点的俯角量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方 AB 60° 45° 和，求桥分别为的长度． AB 【答案】【解析】【分析】 40 3+ 120 oCAB DA点，根据桥两端，两点的俯角分别为 B60° 45° 和，可得过地点作交于，CD  AB ACD  30 BCD  45 ，利用特殊角懂得三角函数求解即可． C【详解】解：如图示：过地点作 AB D于点，交CD  AB o，则有：，ACD  30 BCD  45 3o∴AD = CDgtanÐACD = CDgtan30 = 120´ = 40 3 ，3BD = CDgtanÐBCD = CDgtan 45o = 120´ 1= 120 ，∴．AB = AD + BD = 40 3+ 120 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 21. 在 4 月 23 日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间 t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A 档：t  8 ；B 档：；C 档：；D 档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 8  t  9 9  t 10 t 10 ①A 档和 D 档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图 1 和图 2 是两幅不完整的统计图．根据以上信息解答问题：（1）求本次调查的学生人数，并将图 2 补充完整；（2）已知全校共 1200 名学生，请你估计全校 B 档的人数；（3）学校要从 D 档的 4 名学生中随机抽取 2 名作读书经验分享，已知这 4 名学生 1 名来自七年级，1 名来自八年级，2 名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的 2 名学生来自不同年级的概率． 5【答案】（1）40 人，补全图形见解析；（2）480 人；（3） 6【解析】【分析】（1）用 A 档和 D 档所有数据数减去 D 档人数即可得到 A 档人数，用 A 档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去 A 档，B 档和 D 档人数，即可得到 C 档人数，从而可补全条统计图；（2）先求出 B 档所占百分比，再乘以 1200 即可得到结论；（3）分别用 A，B，C，D 表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可. 【详解】（1）由于 A 档和 D 档共有 12 个数据，而 D 档有 4 个，因此 A 档共有：12-4=8 人， 8÷20%=40 人，补全图形如下： 16 =480 （2）1200× （人） 40 答：全校 B 档的人数为 480人，（3）用 A 表示七年级学生，用 B 表示八年级学生，用 C 和 D 分别表示九年级学生，画树状图如下， 10 12 56所以 P（2 名学生来自不同年级） =【点睛】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 22. 如图， O O 为的直径，射线交于点 F，点 C 为劣弧的中点，过点 C 作，垂 CE  AD AB AD BF 足为 E，连接．AC O （1）求证：是的切线； CE BAC  30, AB  4 （2）若，求阴影部分的面积． 2【答案】（1）证明见解析；（2） ．3【解析】【分析】（1）连接 BF，证明 BF//CE，连接 OC，证明 OC⊥CE 即可得到结论；（2）连接 OF，求出扇形 FOC 的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】（1）连接，BF Q AB O 是的直径， AFB  90 ，即，BF  AD ，CE  AD BF / /CE 连接，OC ∵点 C 为劣弧的中点， BF OC  BF ，BF / /CE ∵，OC  CE O O ∵OC 是的半径，的切线； ∴CE 是 OF （2）连接 OA  OC ，BAC  30 ，BOC  60 ∵点 C 为劣弧的中点， BF   ，FC  BC ，FOC  BOC  60 Q AB  4 ，，FO  OC  OB  2 60 22 2∴S 扇形 FOC =，  360 32即阴影部分的面积为： ．3【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 23. 因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价 50 元，每天销售量 y （桶）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价- 进价）【答案】（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80 元，1800 元．【解析】【分析】（1）设 y 与 x 之间的函数表达式为 y=kx+b，，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得 w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，即可求解．【详解】（1）设 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为：y=kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得： 100＝60k  b ，80＝70k  b k＝ 2 解得：，b＝220 故函数的表达式为：y=-2x+220；（2）设药店每天获得的利润为 W 元，由题意得： w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800， ∵-2＜0，函数有最大值， ∴当 x=80 时，w 有最大值，此时最大值是 1800，故销售单价定为 80 元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润 1800 元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键． AB, AC 上，且 24. 如图 1，在ABC 中，，点 D，E 分别在边 A  90, AB  AC  2 1  0    360 ，连接．现将绕点 A 顺时针方向旋转，旋转角为，如图 2，连 AD  AE 1 DE ADE CE, BD,CD 接．（1）当时，求证：；0   180 CE  BD （2）如图 3，当  90时，延长交于点，求证： F垂直平分；CE CF BD BD 的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．（3）在旋转过程中，求 BCD 3 2 5 ，旋转角的度数为的【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）面积的最大值为 BCD 2135 【解析】【分析】 （1）利用 “SAS”证得△ACE △ABD 即可得到结论； （2）利用 “SAS”证得△ACE △ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出 AD=BC= ，利用等腰三 2  2 角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的 BCD 性质结合三角形面积公式即可求解．【详解】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90 ∴∠CAE=∠BAD， ，AC  AB CAE  BAD AE  AD 在△ACE 和△ABD 中，，∴△ACE △ABD(SAS)， ∴CE=BD；（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ， AC  AB CAE  BAD AE  AD 在△ACE 和△ABD 中，，∴△ACE △ABD(SAS)， ∴∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠AEC=90 ∴∠ABD+∠FEB=90 ，且∠AEC=∠FEB，，∴∠EFB=90 ，∴CF⊥BD， ∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ， 2 1 ∴BC= AB = ，CD= AC+ AD= ，22  2 2  2 ∴BC= CD， ∵CF⊥BD， ∴CF 是线段 BD 的垂直平分线；（3）中，边BC 的长是定值，则 BC 边上的高取最大值时的面积有最大值， BCD BCD 的面积取得最大值，如图： ∴当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上时， BCD ∵∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，DG⊥BC 于 G， 2 1 12  2 2∴AG= BC= ，∠GAB=45 ，22  2 22  4 2∴DG=AG+AD= ，∠DAB=180 -45 =135 ，1 112  4 23 2 5 BC  DG  2  2 ∴的面积的最大值为：，BCD 222旋转角 135 ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 2A 2,0 和点 B 8,0 ，与 y 轴交于点 C，顶点为 25. 如图，抛物线与 x 轴交于点 y  ax  bx  8(a  0) AC, BC, BC D，连接与抛物线的对称轴 l 交于点 E．（1）求抛物线的表达式； 3PB, PC S SABC （2）点 P 是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点 P 的坐标； PBC 5（3）点 N 是对称轴 l 右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点 M，使得以点 M，N，E 为顶点的三 ED 角形与OBC 相似？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 1y  x2  3x 8 P 2，12 ，P 6，8 【答案】（1）；（2） 1  2  ；（3）在射线 3,5 15 上存在点 M，使得以点 M，N， ED 23,8 3，11 E 为顶点的三角形与相似，点 M 的坐标为： ，或．OBC 【解析】【分析】 2A 2,0 和点 B 8,0 （1）直接将 代入，解出 a，b 的值即可得出答案； y  ax  bx  8(a  0) x（2）先求出点 C 的坐标及直线 BC 的解析式，再根据图及题意得出三角形 PBC 的面积；过点 P 作 PG 1P t, t2  3x 8 x轴，交轴于点G，交 BC 于点 F，设，根据三角形 PBC 的面积列关于 t 的方程，解 2出 t 的值，即可得出点 P 的坐标；（3）由题意得出三角形 BOC 为等腰直角三角形，然后分 MN=EM，MN=NE，NE=EM 三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案． 2A 2,0 和点 B 8,0 【详解】（1）抛物线过点 y  ax  bx  8(a  0) 4a  2b 8  0 64a 8b 8  0 1a   2b  3 1y  x2  3x 8 抛物线解析式为： 2y  8 （2）当时， x  0 C 0,8 y  x 8 直线 BC 解析式为： 11SABC  ABOC  108  40 223SPBC  SABC  24 5xx过点 P 作 PG 轴，交轴于点G，交 BC 于点 F 1P t, t2  3x 8 设2F t,t 8 1PF  t2  4t 21SPBC  PF OB  24 2121 t2  4t 8  24 即2t1  2,t2  6 P 2，12 ，P 6，8 1  2  C 0，8 ,B 8，0 ，COB=90 （3） OBC 为等腰直角三角形 b3x      3 1y  x2  3x 8 12抛物线的对称轴为 2a 2  2点 E 的横坐标为 3 又点 E 在直线 BC 上点 E 的纵坐标为 5 E 3，5 1M 3，m , N n, n2  3n 8 设2①当 MN=EM， ,时EMN  90 △NME  △COB m 5  n 3  1  n2  3n 8  m  2 n  6 m  8 n  2 m  0 解得或（舍去） 3,8 此时点 M 的坐标为 MEN  90 ②当 ME=EN，时m 5  n 3  1  n2  3n 8  5  2 m  5 15 n  3 15 m  5 15 n  3 15 解得：或（舍去） 3,5 15 此时点 M 的坐标为 ③当 MN=EN， MNE  90 时连接 CM，易知当 N 为 C 关于对称轴 l 的对称点时，此时四边形 CMNE 为正方形 CM  CE ，△MNE  △COB C 0,8 ,E 3,5 ,M 3,m 22CM  32  m 8 ,CE  32  58  3 2 2 32  m 8  3 2 m 11,m  5 解得：（舍去） 123，11 此时点 M 的坐标为 3,8 ，在射线上存在点 M，使得以点 M，N，E 为顶点的三角形与OBC 相似，点 M 的坐标为： 3，11 ED 3,5 15 或．【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．本试卷的题干 0635