山东省泰安市 2020 年中考数学真题 一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确 的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 11. A. 的倒数是（ ） 21212B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 根据倒数的概念求解即可. 1【详解】根据乘积等于 1 的两数互为倒数，可直接得到- 的倒数为 ．2故选 A 2. A. 下列运算正确的是（ ）2x3 x6 x10 x2 x5 x3 x4 x12 3xy xy 2 B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据整式的加减乘除法则分开讨论即可得到结果． 3xy xy 2xy 【详解】A． ，故 A 错误； 34x x x3+4 =x B． C． D． 7 ，故 B 错误； 12 ，故 C 错误； x10 x2 x102 x 2x3 x6 ，故 D 正确； 故答案选 D． 【点睛】本题主要考查了整式加减乘除的混合运算，准确进行幂的运算公式是解题的关键． 3. 2020 年 6 月 23 日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨， 可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过 4000 亿 元．把数据 4000 亿元用科学记数法表示为（） A. 12 元 B. 10 元 C. 11 元 D. 9 元 410 410 410 410 C【答案】 【解析】 【分析】 科学记数法就是将一个数字表示成 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 表示整数． n 的值为这个数的整数位 数减 1，由此即可解答． 11 410 【详解】4000 亿=400000000000= 故选 C． ．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法就是将一个数字表示成 a×10 n 的形式，正确确定 a、n 的值是 解决问题的关键． 4. 将含 30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若 ，则 2 等于（ ）1 50 A. 80° B. 100° C. 110° D. 120° C【答案】 【解析】 【分析】 如图，先根据平行线性质求出∠3，再求出∠4，根据四边形内角和为 360°即可求解． 【详解】解：如图，由题意得 DE∥GF， ∴∠1=∠3=50°， ∴∠4=180°-∠3=130°， ∴在四边形 ACMN 中，∠2=360°-∠A-∠C-∠4=110°． 故选：C 【点睛】本题考查了平行线的性质，四边形的内角和定理，熟知相关定理是解题关键． 5. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的 20 名学生 的读书册数进行调查，结果如下表： 册数/册 人数/人 1225374452根据统计表中的数据，这 20 名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）A. 3，3 B. 3，7 C. 2，7 D. 7，3 A【答案】 【解析】 【分析】 由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是 20 人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第 10 和 11 个所对应册数的平均数即可求得结果； 【详解】由表中数据可得，人数基数最大的 7 人所应的册数是 3，所以众数是 3． 3+3 将数据从小到大排序后，第 10 和第 11 个数据均为 3，所以中位数为： 故选：A． =3 ，2【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键． 6. 如图， O O O 是的切线，点 A 为切点， 交于点 B，P 10，点 C 在 上，OC//AB ．则 OP PA BAC 等于（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 50° B【答案】 【解析】 【分析】 连接 OA，求出∠POA= 80°，根据等腰三角形性质求出∠OAB=∠OBA=50°，进而求出∠AOC=130°， 得到∠C=25°，根据平行线性质即可求解． 【详解】解：如图，连接 OA， O ∵是的切线， PA ∴∠PAO=90°， ∵P 10 ，∴∠POA=90°-∠P=80°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=50°， ∵OC//AB ，∴∠BOC=∠ABO=50°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C=25°， ∵OC//AB ，∴∠BAC=∠C=25°． 故选：B 【点睛】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，平行线的性质等知识，熟知各知识点是解题关键．一 般情况下，在解决与圆有关的问题时，根据圆的的半径都相等，可以得到等腰三角形，进而可以进行线段 或角的转化． 化成 (x a)2 b （a，b 为常数）的形式，则 a，b 的值分别是（ ）27. 将一元二次方程 x 8x 5 0 8 ，69 A，21 B. ，11 C. 4，21 D. 4 4 A【答案】 【解析】 【分析】 根据配方法步骤解题即可． 2【详解】解： x 8x 5 0 2移项得 配方得 ，x 8x 5 22，x 8x 4 516 2x 4 21 即，∴a=-4，b=21． 故选：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为 1 时，方程两边同时加上 一次项系数一半的平方． 8. O AB BC,BAC 30 如图，ABC 是的内接三角形， ，是直径， AD 8 ，则 AC 的长为 AD （ ） 833A. 4 B. C. D. 4 3 2 3 B【答案】 【解析】 【分析】 连接 BO，根据圆周角定理可得 ，再由圆内接三角形的性质可得 OB 垂直平分 AC，再根据正 BOA 60 弦的定义求解即可． 【详解】如图，连接 OB， O ∵是的内接三角形， ABC ∴OB 垂直平分 AC， 1∴，AM CM= AC OM AM ，2AB BC,BAC 30 又∵ ，∴，BCA 30 ∴,BOA 60 又∵AD=8， ∴AO=4， AM AO AM 3，2∴si n 60 4解得： ∴，AM 2 3 ．AC 2AM 4 3 故答案选 B． 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键． 在同一平面直角坐标系内，二次函数 y ax2 bx b(a 0) 与一次函数 9. 的图象可能是（ ）y ax b A. C. B. D. C【答案】 【解析】 【分析】 根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断 a，b 的符号，利用排除法即可解答． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意； B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意； C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意； D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． BC = 6cm 10. 如图，四边形 是一张平行四边形纸片，其高 AG 2cm，底边 ，，沿虚线 ABCD B 45 EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若 BEF 30，则 的长为（ ）AF 6A. B. C. D. 1cm (2 3 3)cm (2 3)cm cm 3D【答案】 【解析】 【分析】 过点 F 作 ，AG=2， ，可得 BG=FM=2，令 AF=x，根据 BEF 30，根据正切值可 B 45 FM BC 得 EM 的长，加起来等于 BC 即可得到结果． 【详解】如图所示，过点 F 作 交BC 于点 M， FM BC ∵，AG⊥BC B 45 ，AG=2， ∴BG=FM=2，AF=GM， 令 AF=x， ∵两个梯形全等， ∴AF=GM=EC=x， 又∵ BEF 30 ，FM 2ME =∴，t an 30 33∴，ME 2 3 又∵BC=6， ∴，BC BG GM ME EC 2 x 2 3 x 6 ∴．x 2 3 故答案选 D． 【点睛】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质 判断边角是解题的关键． AC, BD 11. 如图，矩形 中， 相交于点 O，过点 B 作 交BF AC CD 于点 F，交 于点 M，过点 AC ABCD FN, EM D 作 交于点 E，交 于点 N，连接 AC ．则下列结论： DE//BF AB ①③；② ；DN BM EM //FN AE FC ；④当 AO AD 时，四边形 是菱形． DEBF 其中，正确结论的个数是（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 D【答案】 【解析】 【分析】 通过判断△AND≌△CMB 即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF 证明出③，再证明出△NFM≌△MEN， 得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF 与 EB 先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及 内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到 DE=BE，即可知四边形为菱形． 【详解】∵BF⊥AC ∴∠BMC=90° 又∵ DE//BF ∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC ∴∠DNA=∠BMC=90° ∵四边形 ABCD 为矩形 ∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB ∴∠ADB=∠CBD ∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO 即∠AND=∠CBM 在△AND 与△CMB DNA BMC 90 AND CBM AD BC ∵∴△AND≌△CMB(AAS) ∴AN=CM，DN=BM，故①正确． ∵AB∥CD ∴∠NAE=∠MCF 又∵∠DNA=∠BMC=90° ∴∠ANE=∠CMF=90° 在△ANE 与△CMF 中 ANE CMF 90 AN CM ∵NAE MCF ∴△ANE≌△CMF（ASA） ∴NE=FM，AE=CF，故③正确． 在△NFM 与△MEN 中 FM NE FMN ENM 90 MN MN ∵∴△NFM≌△MEN（SAS） ∴∠FNM=∠EMN ∴NF∥EM，故②正确． ∵AE=CF ∴DC-FC=AB-AE，即 DF=EB 又根据矩形性质可知 DF∥EB ∴四边形 DEBF 为平行四边 根据矩形性质可知 OD=AO， 当 AO=AD 时，即三角形 DAO 为等边三角形 ∴∠ADO=60° 又∵DN⊥AC 根据三线合一可知∠NDO=30° 又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30° 故 DE=EB ∴四边形 DEBF 为菱形，故④正确． 故①②③④正确 故选 D． 【点睛】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关 键． A(2,0), B(0,2) BC 1 12. 如图，点 A，B 的坐标分别为 ，点 C 为坐标平面内一点， ，点 M 为线段 的中 AC OM OM 的最大值为（ ） 点，连接 ，则 1122 2 2 D. A. B. C. 2 1 2 21 2B【答案】 【解析】 【分析】 如图所示，取 AB 的中点 N，连接 ON，MN，根据三角形的三边关系可知 OM＜ON+MN，则当 ON 与 MN 共线时，OM= ON+MN 最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答． 【详解】解：如图所示，取 AB 的中点 N，连接 ON，MN，三角形的三边关系可知 OM＜ON+MN，则当 ON 与 MN 共线时，OM= ON+MN 最大， A(2,0), B(0,2) ∵，则△ABO 为等腰直角三角形， 22∴AB= ∴ON= ，N 为 AB 的中点， OA OB 2 2 12AB 2 ，又∵M 为 AC 的中点， ∴MN 为△ABC 的中位线，BC=1， 1212BC 则 MN= ，122 ∴OM=ON+MN= ，12 ∴OM 的最大值为 故答案选：B． 2【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当 ON 与 MN 共 线时，OM= ON+MN 最大． 二、填空题（本大题共 6 小题，满分 24 分．只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分） x y 16, 13. 方程组 的解是___________． 5x 3y 72 x 12 y 4 【答案】 【解析】 【分析】 利用加减法解方程即可． x y 16① 【详解】解： 5x 3y 72② 3x 3y 48 ①×3 得 ③， ②-③得 2x 24 解得 x=12， ，把 x=12 代入①得 12+y=16， y=4， x 12 y 4 ∴原方程组的解为 ．x 12 y 4 故答案为： 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法中的加减消元法，解答的关键在于根据题目特点合理消元． 14. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 的坐标 x VA B C VA B C A(0,3) B(1,1) C(3,1) 分别为 ，，．是ABC 关于 轴的对称图形，将 A的对应点为 M，则点 M 的坐标为________． 绕点 逆时针旋 B转 180°，点 (2,1) 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，画出旋转后图形，即可求解 VA B C (2,1) 【详解】解：如图，将 绕点 逆时针旋转 180°，所以点 A的对应点为 M 的坐标为 ．B(2,1) 故答案为： 【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的对称，旋转，解题关键是理解对称旋转的含义，并结合网格解 题． BC / /AD, BE AD 15. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． ，斜坡 长，26m AB 斜坡 的坡比为 12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测， AB 当坡角不超过 50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 A 不动，则坡顶 B 沿 BC 至少向右移 m________ 时，才能确保山体不滑坡．（取 ）tan50 1.2 【答案】10 【解析】 【分析】 如图，设点 B 沿 BC 向右移动至点 H，使得∠HAD=50°，过点 H 作 HF⊥AD 于点 F，根据 AB 及 AB 的坡 比，计算出 BE 和 AE 的长度，再根据∠HAF=50°，得出 AF 的值即可解答． 【详解】解：如图，设点 B 沿 BC 向右移动至点 H，使得∠HAD=50°，过点 H 作 HF⊥AD 于点 F， ∵AB=26，斜坡 的坡比为 12∶5， AB 则设 BE=12a，AE=5a， 22∴12a 5a 262 ，解得：a=2， ∴BE=24，AE=10， ∴HF=BE=24， ∵∠HAF=50°， HF 24 tan50 1.2 ，解得：AF=20， 则AF AF ∴BH=EF=20-10=10， m故坡顶 B 沿 BC 至少向右移 10 时，才能确保山体不滑坡， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定 义是解题的关键． 16. 如图，点 O 是半圆圆心， BE 是半圆的直径，点 A，D 在半圆上，且 AD//BO,ABO 60, AB 8 ，过点 D 作 DC BE 于点 C，则阴影部分的面积是________． 64 8 3 【答案】 3【解析】 【分析】 S阴影 =S扇形AOE S S S△AOD 求出半圆半径、OC、CD 长，根据 AD∥BO，得到 ，根据 △OCD 即可求 △ABD 解 ． 【详解】解：连接 OA， ∵，OA=OB， ABO 60 ∴△OAB 是等边三角形， ∴OA=AB=8，∠AOB=60° ∵AD∥BO， ∴∠DAO=∠AOB=60°， ∵OA=OD， ∴△OAD 等边三角形， 是∴∠AOD=60°， ∴∠DOE=60°， ∴Rt△OCD 中， 在，CD ODsin 60 4 3,OC ODcos60 4 ∵AD∥BO， S S△AOD ∴∴，△ABD 120 82 164 3．S阴影 =S扇形AOE S△OCD 44 3 8 3 360 264 3 8 3 故答案为： S S△AOD 【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据 AD∥BO，得到 ，从 △ABD 而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差． 已知二次函数 y ax2 bx c （是常数， y）的 x与 的部分对应值如下表： a,b,c 17. xa 0 2 5 0264 y606 4 下列结论： ①；a 0 ②当 时，函数最小值为 ；x 2 6 8, y 8, y y y ③若点 ，点 在二次函数图象上，则 ；21212④方程 有两个不相等的实数根． ax bx c 5 其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②； 8, y 8, y 2y yy= 5把点 可判断④，进而可得答案． 【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得： 和点 代入解析式求出 、 2 即可③；当 ﹣时，利用一元二次方程的根的判别式即 1125a 5b c 6 4a 2b c 6 c 4 a 1 b 3 c 4 ，解得： ，∴二次函数的解析式是 y x2 3x 4 ∴a=1＞0，故①正确； ，3225 4x 当时，y 有最小值 ，故②错误； 8, y 8, y y 36 y 84 ，y y 2 ，故③正确； 若点 ，点 在二次函数图象上，则 ，∴ 121212222当 y=﹣5 时，方程 即，∵ ，∴方程 有两 x 3x 1 0 x 3x 4 5 3 4 5 0 ax bx c 5 个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的结论是：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的 根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键． 18. 右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都 等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记 n1 ，第二个数记为 2 ，第三个数记为 3 ，……，第 个数记为n ，则 aaaaa a 为_________． 4200 【答案】20110 【解析】 【分析】 n n1 根据所给数据可得到关系式 ，代入即可求值． an 2n n1 【详解】由已知数据 1，3，6，10，15，……，可得 ，an 245 2200 201 a 10 ∴∴，，a200 20100 42a a 20100+10=20110 ．4200 故答案为 20110． 【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 78 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步 骤） 1a2 4 a 3 19. （1）化简： a 1 x 1 ；a 3 x 1 1 （2）解不等式： ．34a 2 a 2 【答案】（1） ；（2） x 5 【解析】 【分析】 （1）先把小括号内的分式通分后，再把除法转化为乘法，约分后即可把分式化为最简； （2）先去掉不等式中的分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后化系数为 1 即可求出不等式的解． 1a2 4 a 3 a 1 【详解】（1）解： a 3 (a 1)(a 3) a 3 1(a 2)(a 2) a 3 a 3 a2 4a 31 a 3 a 3 (a 2)(a 2) (a 2)2 (a 2)(a 2) a 2 a 2 （2）解：不等式两边都乘以 12，得 4(x 1) 12 3(x 1) 即4x 4 12 3x 3 4x 3x 8 3 解得 x 5 ∴原不等式的解集是 ．x 5 【点睛】第（1）题考查了分式的化简，熟练运用分式的运算法则是解决问题的关键；第（2）题考查了一 元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的一般步骤是解决问题的关键． my kx b A(3,a) B(14 2a,2) 20. 如图，已知一次函数 y 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，点 ．x（1）求反比例函数的表达式； y（2）若一次函数图象与 轴交于点C，点 D 为点 C 关于原点 O 的对称点，求 的面积． △ACD 12 y 【答案】（1） ；（2）18 x【解析】 【分析】 （1）根据点 A、B 都在反比例函数图象上，得到关于 a 的方程，求出 a，即可求出反比例函数解析式； y kx b （2）根据点 A、B 都在一次函数 的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点 C 坐标， 求出 CD 长，即可求出 的面积． △ACD A(3,a) mB(14 2a,2) y 【详解】解：（1）∵点 ，点 在反比例函数 的图象上， x3a (14 2a) 2 ∴．解得 ．a 4 ∴．m 34 12 12 y ∴反比例函数的表达式是 （2）∵ ．x，a 4 (3,4),(6,2) ∴点 A，点 B 的坐标分别是 ．y kx b ∵点 A，点 B 在一次函数 的图象上， 4 3k b, 2 6k b. ∴2k , 解得 3b 6. 2y x 6 ∴一次函数的表达式是 y 6 ．3当时， ．x 0 0,6 ∴点 C 的坐标是 ．∴．OC 6 ∵点 D 是点 C 关于原点 O 的对称点， ∴．CD 2OC AE y 作轴于点 E， ∴．AE 3 1SACD CD AE 2 CO AE 63 18 【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点 A、B 都在反比例函数图象上， 得到关键 a 的方程，求出 a，得到点 A、B 坐标． 21. 为迎接 2020 年第 35 届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 A：机器人；B：航模；C：科幻绘画； D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完 整的统计图． 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是_________名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数； （4）在 C 组最优秀的 3 名同学（1 名男生 2 名女生）和 E 组最优秀的 3 名同学（2 名男生 1 名女生）中， 各选 1 名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的概率． 5【答案】（1）80；（2）见解析；（3）72º；（4）图表见解析， 9【解析】 【分析】 （1）根据题目中已知 B 的占比和人数已知，可求出总人数； （2）用总人数减去其他人数可求出 D 的人数，然后补全条图即可； （3）先算出 A 的占比，再用占比乘以 360°即可； （4）根据列表法进行求解即可； 【详解】（1）由题可知： （人）， 18 22. 5%=80 ∴参加学生的人数是 80人； （2）由（1）可得：D的人数为 ，画图如下： 80-16-18- 20- 8=18 16 ，80 （3）由（1）可得，A的占比是 16 360 72 ∴．80 （4）列表如下： C 男 C 女 1 C 女 2 E 男 （C 男，E 男 1） （C 女 1，E 男 1） （C 女 2，E 男 1） （C 男，E 男 2） （C 女 1，E 男 2） （C 女 2，E 男 2） 1E 男 2E 女 （C 男，E 女） （C 女 1，E 女） （C 女 2，E 女） 得到所有等可能的情况有 9 种， 其中满足条件的有 5 种：（C 女 1，E 男 1），（C 女 2，E 男 1），（C 女 1，E 男 2），C 女 2，E 男 2），（C 男， E 女） 5所以所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的概率是 ．9【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在解题过程中准确理解题意，列表格求概率是 关键． 22. 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化 2020 年 5 月 21 日以“茶和世界共品共 享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用 4000 元购进了 A 种茶叶若干盒，用 8400 元购进 B 种 茶叶若干盒，所购 B 种茶叶比 A 种茶叶多 10 盒，且 B 种茶叶每盒进价是 A 种茶叶每盒进价的 1.4 倍． （1）A，B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进 A，B 两种茶叶共 100 盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒 300 元，B 种茶叶的售价是每盒 400 元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售， 全部售出后，第二次所购茶叶的利润为 5800 元（不考虑其他因素），求本次购进 A，B 两种茶叶各多少盒？ 【答案】（1）A，B 两种茶叶每盒进价分别为 200 元，280 元；（2）第二次购进 A 种茶叶 40 盒，B 种茶叶 60 盒【解析】 【分析】 x1.4x （1）设 A 种茶叶每盒进价为 元，则B 种茶叶每盒进价为 元，根据“4000 元购进了 A 种茶叶若干盒， 用 8400 元购进 B 种茶叶若干盒，所购 B 种茶叶比 A 种茶叶多 10 盒”列出分式方程解答，并检验即可； m100 m （2）设第二次 A 种茶叶购进 盒，则B 种茶叶购进 盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种 茶叶的利润，列出方程即可解答． x1.4x 【详解】解：（1）设 A 种茶叶每盒进价为 元，则B 种茶叶每盒进价为 元． 根据题意，得 4000 8400 10 ．x1.4x 解得 ．x 200 经检验： 是原方程的根． x 200 ∴1.4x 1.4200 280 （元）． ∴A，B 两种茶叶每盒进价分别为 200 元，280 元． m100 m （2）设第二次 A 种茶叶购进 盒，则B 种茶叶购进 盒． m100 50m 打折前 A 种茶叶的利润为 ．2100 m 120 6000 60m B 种茶叶的利润为 ．2m10 5m 打折后 A 种茶叶的利润为 ．2B 种茶叶的利润为 0． 由题意得：50m 6000 60m 5m 5800 ．解方程，得： ．m 40 ∴100 m 100 40 60（盒）． ∴第二次购进 A 种茶叶 40 盒，B 种茶叶 60 盒． 【点睛】本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系， 列出方程，并注意分式方程一定要检验． 23. 若ABC 和均为等腰三角形，且 BAC EAD 90 ．AED （1）如图（1），点 B 是 的中点，判定四边形 BEAC 的形状，并说明理由； DE EC （2）如图（2），若点 G 是 的中点，连接 并延长至点 F，使 ．求证：① EB DC ，② CF CD GB EBG BFC ．【答案】（1）四边形 BEAC 是平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质证得 ，BAE 45 CBA 45 ，推出 ，再根据平行于同一直 BC//EA 线的两直线平行即可推出结论； （2）①利用“SAS”证得△AEB≌△ADC ，即可证明结论； ②延长 FG 至点 H，使 ，证得EHG≌CFG ，推出 BFC H，CF EH ，利用①的结 GH FG 论即可证明EBG BFC ．【详解】（1）证明：四边形 BEAC 是平行四边形． 理由如下： ∵∴为等腰三角形且 EAD 90 ，EAD E 45 ，∵B 是 的中点， ，DE ∴AB DE ∴∵∴∴∴，BAE 45 ABC 是等腰三角形， BAC 90 ，，CBA 45 ，∠BAE ∠CBA ，BC//EA 又∵ ，AB DE ∴∴EBA BAC 90 ．．BE//AC ∴四边形 BEAC 是平行四边形． （2）证明：①∵ 和，ABC 为等腰三角形， AED ∴∵∴即AE AD，AB AC EAD BAC 90 ，EAD DAB BAC DAB ，，EAB DAC ∴∴△AEB≌△ADC EB DC ，；②延长 FG 至点 H，使 ．GH FG EC ∵G 是 中点， ，∴EG CG 又∴∴∵∴∴∴∴EGH FGC ，EHG≌CFG ，BFC H，CF EH ，，CF CD ，BE CF ，BE EH EBG H ，EBG BFC ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确 作出辅助线构建全等三角形是解答（2）②的关键． ACB 24. 小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， 与恰好为对顶角， ABC CDE 90，连接 ，BD AB BD ，点 F 是线段 上一点． ECD CE 探究发现： （1）当点 F 为线段 的中点时，连接 （如图（2），小明经过探究，得到结论： ．你认为 CE DF BD⊥ DF 此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即：若 ，则点 F 为线段 的中点．请判断此结论是否成 CE BD⊥ DF 立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： AB 6,CE 9 （3）若 ，求 的长． AD 24 5 5【答案】（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通过 AB=BD 求出∠A=∠ADB，紧接着根据直角三角形斜边的 中线等于斜边的一半求出 FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，据此进一步得出∠ADB=∠FDE，最终通过证 明∠ADB+∠EDC=90°证明结论成立即可； （2）根据垂直的性质可以得出 BDC CDF 90°， EDF CDF 90°，从而可得 BDC EDF ，接着证明出 ，利用 可知 ，从而推出 ，A EDF A E E EDF EF FD 最后通过证明ECD CDF 得出CF DF ，据此加以分析即可证明结论； 9EC GD GC （3）如图，设 G 为 的中点，连接 GD，由（1）得 DG BD ，故而 ，在 中， Rt△GDB 215 215 9 GB CB 3 利用勾股定理求出 ，由此得出 ，紧接着，继续通过勾股定理求出 223 5 9322，最后进一步证明ABC EDC ，再根据相似三角形性质得出 ，从而 AC 6 3 3 5 CD 9 5 5求出 ，最后进一步分析求解即可. CD 【详解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°， ∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD， ∵∠ACB=∠ECD， ∴∠A=∠E， ∵AB=BD， ∴∠A=∠ADB， 在Rt△ECD 中， ∵F 是斜边 CE 的中点， ∴FD=FE=FC， ∴∠E=∠FDE， ∵∠A=∠E， ∴∠ADB=∠FDE， ∵∠FDE+∠FDC=90°， ∴∠ADB+∠FDC=90°， 即∠FDB=90°， ∴BD⊥DF，结论成立， 故答案为：是； （2）结论成立，理由如下： ∵∴∴∵∴∴，ED AD BD⊥ DF BDC CDF 90°， EDF CDF 90°， BDC EDF ，，AB BD ．A BDC ．A EDF 又∵ ∴，A E ．E EDF ∴又∴．EF FD E ECD 90°， EDF FDC 90°， ，E EDF ECD CDF ，∴∴CF DF CF EF ．．∴F 为 的中点； CE EC （3）如图，设 G 为 的中点，连接 GD，由（1）可知 DG BD ，19GD EC EG GC ∴，22又∵ ，BD AB 6 2915 2 2在中， ，Rt△GDB GB 6 2 15 9 CB 3 ∴，2222在在中， ，RtABC ABC AC 6 3 3 5 与中， △EDC ∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD， ∴ABC EDC ，3 5 93∴，CD 9 5 5∴∴，CD 9 524 5 ．AD AC CD 3 5 55【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是 解题关键. yxy 3x 3 3,0 ，二次函数 25. 若一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于A，C 两点，点 B 的坐标为 y ax2 bx c的图象过 A，B，C 三点，如图（1）． （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1），过点 C 作 y轴交抛物线于点 D，点 E 在抛物线上（ 轴左侧），若BC 恰好平分 CD//x ．求直线 BE 的表达式； DBE y（3）如图（2），若点 P 在抛物线上（点 P 在 轴右侧），连接 交BC 于点 F，连接 ，BP AP SBFP mSBAF ．1m ①当 时，求点 P 的坐标； 2m②求 的最大值． 19【答案】（1） y x2 2x 3 ；（2） ；（3）①点 P(2,3) P(1,4) 或y x 1 m；② 最大值 316 【解析】 【分析】 （1）先求的点 A、C 的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可； B(3, 0), C (0, 3) CD//AB ，（2）设 BE 交于点 M．由 可得 ，．再由 OC OB OC OBC OCB 45 根据平行线的性质可得 ，所以OCB BCD ．已知 BC 平分 ，根据角平分线的定 DBE BCD 45 义可得EBC DBC ．利用 AAS证得MBC≌DBC ．由全等三角形的性质可得 ． 由此即 CM CD 1B(3,0) y x 1 可求得点 M的坐标为（0，-1）．再由 ，即可求得直线 BE 解析式为 ；311S SBAF PF AF （3）①由 可得 ．过点 P 作 PN//AB 交BC 于点 N，则ABF∽PNF ．根据 BFP 22P t,t2 2t 3 相似三角形的性质可得 AB 2NP ．由此即可求得 NP 2 ．设 ，可得 PN t t2 2t t 2,t 1 t2 2t 3 x 3 x t2 2t ．所以 ．由此即可得 =2，解得 ．即可求得 12NNt t2 2t 2PN t 1329P(2,3) P(1,4) 或m 点；②由①得 ．即 ．再根据二次函数的 m 44416 9m性质即可得 ．最大值 16 y 3 【详解】（1）解：令 3x 3 0 ，得 A(1,0),C(0,3) ．令 时， ．x 1 x 0 ∴．C(0,3) ∵抛物线过点 ，∴则．c 3 0 a b 3, y ax2 bx 3，将 代入得 A(1,0), B(3,0) 0 9a 3b 3. a 1, 解得 b 2. ∴二次函数表达式为 y x2 2x 3 ．（2）解：设 BE 交于点 M． OC B(3, 0), C (0, 3) ∵∴，，．OB OC CD//AB OBC OCB 45 ∵∴，．BCD 45 OCB BCD BC 平分 ∴∵．，DBE ∴EBC DBC ．又∵ ，BC BC ∴∴MBC≌DBC ．．CM CD D(2,3) 由条件得： ．∴∴CD CM 2 ．OM 3 2 1 ．M (0,1) ∴∵．B(3,0) ，1y x 1 ∴直线 BE 解析式为 ．31S SBAF （3）① ，BFP 21PF AF ∴．2过点 P 作 PN//AB 交BC 于点 N，则ABF∽PNF ．∴∵∴AB 2NP ．，AB 4 NP 2 ．y x 3 ∵直线 BC 的表达式为 P t,t2 2t 3 ，设∴，t2 2t 3 x 3 ．Nx t2 2t ∴．NPN t t2 2t t t2 2t 2 t 2,t 1 ∴，则 ，解得 ．12P(2,3) P(1,4) 或∴点 ．PN m ②由①得： ．4t t2 2t t2 3t 22t2 3t 132941329m t t ∴∴．4444416 9mm有最大值， ．最大值 16 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数及一 次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解决第（2）问时，求得点 M 的坐标是关键；解决（3）①问 时，作出辅助线求得 NP 2 是解题的关键；解决（3）②问时，构建函数模型是解决问题的关键． 本试卷的题干 0635
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