德州市二○二○年初中学业水平考试 数学试题 本试题分选择题 48 分；非选择题 102 分；全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟．考试结束 后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的县（市、区）、学校、姓名、准考证号填 写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置， 不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、 胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共48 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确 的选项选出来．每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 2020 1. 的结果是（ ）11A. B. C. D. -2020 2020 2020 2020 B【答案】 【解析】 【分析】 根据绝对值的定义计算即可． 2020 =2020 【详解】解： ．故答案为：B 【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟知绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是 0，负数的 绝对值等于它的相反数”是解题关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵A 中的图形旋转 180°后不能与原图形重合， ∴A 中的图象不是中心对称图形， ∴选项 A 不正确； ∵B 中的图形旋转 180°后能与原图形重合， ∴B 中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形， ∴选项 B 正确； ∵C 中的图形旋转 180°后能与原图形重合， ∴C 中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形， ∴选项 C 不正确； ∵D 中的图形旋转 180°后不能与原图形重合， ∴D 中的图形不是中心对称图形， ∴选项 D 不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解 题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ）a2 a3 a5 a6 a2 a3 A. B. C. (2a)2 4a2 D. 6a 5a 1 B【答案】 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法逐一分析即可． 【详解】A． 6a 5a a ，该项不符合题意； 2323 B． C． D． 5 ，该项符合题意； a a a a 222(2a) 2 a =4a 2 ，该项不符合题意； 6262 4 ，该项不符合题意； a a a a 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，解题的关键是掌握运算法 则． 4. 如图 1 是用 5 个相同的正方体搭成的立体图形，若由图 1 变化至图 2，则三视图中没有发生变化的是（ ）A. 主视图 B. 主视图和左视图 D. 左视图和俯视图 C. 主视图和俯视图 D【答案】 【解析】 【分析】 根据从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 的【详解】解：从上边看得到 图形都是第一层一个小正方形，第二层是三个小正方形，从左边看第一层是 两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视 图． 5. 为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表： 47566785一周做饭次数 12 10 人数 那么一周内该班学生的平均做饭次数为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C【答案】 【解析】 【分析】 根据平均数的计算方法计算即可． 47+56+612+710+85 240 【详解】解： ==6， 7+6+12+10+5 40 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数的计算，掌握计算方法是解题关键． 6. 如图，小明从 A 点出发，沿直线前进 8 米后向左转 45°，再沿直线前进 8 米，又向左转 45°……照这样走 下去，他第一次回到出发点 A 时，共走路程为（ ）A. 80 米 【答案】 【解析】 【分析】 B. 96 米 C. 64 米 D. 48 米 C根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，他需要转 360÷45=8 次才会回到原点，所以一共走了 8×8=64 米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是 360°． ky kx 2(k 0) 7. 函数 y 和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）xA. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答 本题． ky kx 2(k 0) y 【详解】∵反比例函数 和一次函数 xky kx 2 y ∴当 时，函数 在第一、三象限，一次函数 经过一、二、四象限，故选项 A、B 错 k 0 x误，选项 D 正确； ky kx 2 y 当时，函数 在第二、四象限，一次函数 经过一、二、三象限，故选项 C 错误， k 0 x故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的 方法解答． 8. 下列命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； ③一个角为 90°且一组邻边相等的四边形是正方形； ④对角线相等的平行四边形是矩形． 其中真命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B【答案】 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定逐一判断即可． 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题； ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题； ③一个角为 90°且一组邻边相等的四边形是正方形，是假命题； ④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定，熟知特殊四边形的判定定理是解题关键． 2 x 2x 4 9. 若关于 x 的不等式组 23的解集是 x 2 ，则 a 的取值范围是（ ）3x 2x a A. B. C. D. a 2 a 2 a 2 a 2 A【答案】 【解析】 【分析】 分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为 x 2 可得关于 a 的不等式，解之可得． 2 x 2x 4 【详解】解：解不等式 ＞，得： x 2 ，23解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a， ∵不等式组的解集为 x 2 ，∴，a 2 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小 取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 10. 如图，圆内接正六边形的边长为 4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 24 3 4 12 3 4 24 38 24 3 4 A【答案】 【解析】 【分析】 正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 1242 36 24 3 【详解】解：正六边形的面积为： ，22六个小半圆的面积为： ，中间大圆的面积为： ， 2 3 12 4 16 所以阴影部分的面积为： ，24 312 16 24 3 4 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的 关键． 二次函数 y ax2 bx c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ） 11. 5, y 2, y 1 y y A. 若 ，是图象上的两点，则 212B. 3a c 0 2C. 方程 有两个不相等的实数根 ax bx c 2 D. 当 时，y 随 x 的增大而减小 x 0 D【答案】 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得． b【详解】由函数的图象可知，二次函数 y ax2 bx c的对称轴为 x 1 2a 则当 x 1时，y 随 x 的增大而增大；当 x 1时，y 随 x 的增大而减小，选项 D 错误 由对称性可知， 时的函数值与时的函数值相等 x 4 x 2 y时，函数值为 1则当 x 4 4 5 y1 y 2 ，则选项 A 正确 b 1 2a b 2a 又当时， a b c 0 x 1 a (2a) c 0 ，即 ，选项 B 正确 3a c 0 由函数的图象可知，二次函数 y ax2 bx c的图象与 x 轴有两个交点 则将二次函数 y ax2 bx c的图象向上平移 2 个单位长度得到的二次函数 y ax2 bx c 2与 x 轴也 有两个交点 2因此，关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ax bx c 2 0 2即方程 有两个不相等的实数根，选项 C 正确 ax bx c 2 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系，掌握理 解二次函数的图象与性质是解题关键． 12. 下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第 10 个这样的图案需要黑色棋子的个数为 （）A. 148 B. 152 C. 174 D. 202 C【答案】 【解析】 【分析】 观察 各图 可知，第一个图案需要黑色棋子 的个数 为 (1+2+3)×2（ 个）， 第 二 个 图 案 需 要 的 个 数 为 [(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为 [(1+2+3+4+5+6)×2+2×3] （ 个 ） … 由 此 可 以 推 出 第 [1 2 3 n 2 ]2 2 n 1 （个），所以第 10 个图案需要的个数只需将 n=10 代入即可． n个 图 案 需 要 的 个 数 为 【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）； 第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）； 第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）； 第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）； …[1 2 3 n 2 ]2 2 n 1 第 n 个图案需要的个数为 （个） ∴第 10 个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+2×9=174（个） 故选 C． 【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律． 第Ⅱ卷（非选择题 共102 分） 二、填空题：本大題共 6 小题，共 24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分． 13. 计算： ＝_____． 27 3 【答案】 【解析】 2 3 【详解】解：原式= ．3 3 3 2 3 故答案为 ．2 3 14. 26若一个圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °．120 【答案】 【解析】 ．n 6 180 2π×2=4π cm （n），设圆心角的度数是 度．则 =4π ，解得： 试题分析：圆锥侧面展开图的弧长是： n=120 120 ．．故答案为 的考点：圆锥 计算． (2,1) 15. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 ，以原点 O 为位似中心，把线段 OA 放大为原来的 2 倍，点 ________ AA 的对应点为 ．若点 恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为 ．A8y 【答案】 x【解析】 【分析】 直接利用位似图形的性质以及结合 A 点坐标直接得出点 A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的 解析式． 【详解】∵以原点 O 为位似中心，将线段 OA 放大为原来的 2 倍，得到 OA’，A（-2，1）， ∴点 A 的对应点 A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）． kxy 设反比例函数的解析式为 ()， k 0 k xy 42 4 2 8 ∴，8y ∴反比例函数的解析式为： ．x8y 故答案为： ．x【点睛】本题主要考查了位似变换、坐标与图形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，正确把握 位似图形的性质是解题关键． 216. 菱形的一条对角线长为 8，其边长是方程 的一个根，则该菱形的周长为________． x 9x 20 0 【答案】20 【解析】 【分析】 解方程得出 x=4，或 x=5，分两种情况：①当 AB=AD=4 时，4+4=8，不能构成三角形；②当 AB=AD=5 时， 5+5＞8，即可得出菱形 ABCD 的周长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， 2∵x 9x 20 0 因式分解得：（x-4）（x-5）=0， 解得：x=4，或 x=5， 分两种情况： 当 AB=AD=4 时，4+4=8，不能构成三角形； 当 AB=AD=5 时，5+5＞8，可构成三角形； ∴菱形 ABCD 的周长=4AB=20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三 角形的三边关系得出 AB 是解决问题的关键． 17. 如图，在 的正方形网格中，有 4 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意 1 个白色的小正方形（每个白 44 色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是________． 16【答案】 【解析】 【分析】 根据轴对称的定义，确定可以构成轴对称图形的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：如图，图中共有 12 个白色正方形，其中涂黑 1 个使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的共 有 2种情况， 216=所以概率为 P= ．12 1故答案为： 6【点睛】本题考查了列举法求概率，轴对称图形的判定，熟知求概率公式和轴对称图形的概念是解题关 键． ¢，把 AD 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在 AB 边上的 D18. 如图，在矩形 ABCD 中， ，AB 3 2 AD 3 处，再将 绕点 E 顺时针旋转 ，得到 ，使得 EA 恰好经过 的中点 F． 交 AB 于 A D △AED BD △A ED 5 3 ；③△A AF ≌△A EG ； 点 G，连接 有如下结论：① A F 的长度是 ；②弧 的长度是 6 2 D D AA 12 △AA F ∽△EGF ．上述结论中，所有正确的序号是________． ④【答案】①②④ 【解析】 【分析】 A E 的长，再根据勾股定理求出 EF 的长，即可求解； ①先根据图形反折变换的性质以及勾股定理得出 AE ，从而求得 D ED 75 ，根据弧长公式即可求解； ②利用特殊角的三角函数求得 D EF 30 ③由于 不是等边三角形，得出 ，从而说明 △A AF 和△A EG 不是全等三角形； AEA EA A A ④先利用“HL”证得 RtD EGRtD EG ，求得 FEG 7.5，再求得 A AF 7.5，从而推出 △AA F ∽△EGF ．【详解】①在矩形 ABCD 中， ADE DAD 90 ，∵△ADE 翻折后与△AD′E 重合， ∴AD′=AD，D′E=DE， DAE EAD 45 ，∴四边形 ADED′是正方形， ∴AD′=AD=D′E=DE= ，322AD2 DE2 3 3 6 ∴AE= ，将∴绕点 E 顺时针旋转 ，得到 ，△AED △A ED A E ，= = ED ，AEA D ED ，AE ED 6 3∵点 F 是 的中点， BD 111D F D B (AB AD ) ( 3 2 3) 1 ∴∴∴，2222222，EF D E D F ( 3) 1 2 ，故①正确； A F A E EF 6 2 ②由①得 AED 45 ，在RtD EF 中， ED F 90 ，，D F 13tan D EF D E 33∴， D EF 30 ∴ AEA D ED AED D EF 45 30 75 ，75 3 53 ∴弧 的长度是 ，故②正确； D D 180 12 ③中， AEA 75 ，AE A E ，在AEA ∴∴∴不是等边三角形， AEA ，EA A A 和△A EG 不是全等三角形，故③错误； △A AF GE ， 公共， ④在 RtD EG 和RtD EG 中， D E D E ∴RtD EGRtD EG (HL)， 1 D EG D EG 75 37.5 ∴，2∴在FEG D EG D EF 37.530 7.5 ，中， AEA 75 ，，AEA AE A E 11A AF A AE D AE (180 AEA ) 45 (180 75) 45 7.5 ∴，22∴又∴A AF FEG ，，AFA EFG △AA F ∽△EGF ，故④正确； 综上，①②④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换，特殊角的三角函数，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，全等三角形的判定和性质，弧长公式的应用，勾股定理的应用，熟知图形翻折不变性的性质是解答此 题的关键． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 78 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤． x 1 x 2 4 x 19. 先化简： ，然后选择一个合适的 x 值代入求值． x 2 xx2 4x 4 x 2 x【答案】化简结果是： ，选择 x=1 时代入求值为-1. 【解析】 【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的 x 的值代入进行计算即可 x 1 x 2 4 x 【详解】解：原式 x 2 xx2 4x 4 x(x 1) (x 2)(x 2) 4 x (x 2)2 x(x 2) x(x 2) x2 x x2 4 (x 2)2 x(x 2) 4 x 4 x (x 2)2 x(x 2) 4 x x 2 x.1 2 1 1 .当 x=1 时代入，原式= x 2 x故答案为：化简结果是 ，选择 x=1 时代入求值为-1. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，最后在选择合适的 x 求值时要保证选取的 x 不能使得分母为 0. 20. 某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成 扇形统计图和频数直方图．部分信息如下： （1）本次比赛参赛选手共有________人，扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比 为________； （2）补全图 2 频数直方图； （3）赛前规定，成绩由高到低前 40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为 88 分，试判断他能否获 奖，并说明理由； （4）成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生，若他们中任选 2 人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中 1 男 1 女为主持人的概率． 2【答案】（1）50，36%；（2）见解析；（3）能获奖．理由见解析；（4） 3【解析】 【分析】 （1）用“89.5～99.5”的人数和除以它们所占的百分比得到调查的总人数，再计算出“59.5～69.5”这两组 所占的百分比，然后计算出“79.5～89.5”所占的百分比； （2）根据“69.5～79.5”所占的百分比可求得“69.5～74.5”的人数，根据“79.5～89.5”所占的百分比可 求得“79.5～84.5”的人数，从而补全统计图； （3）计算出前 40%有 20 人，恰好落在“84.5～99.5” 这一范围，从而可判断他能获奖； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出恰好选中 1 男 1 女的结果数，然后根据概率公式求 解． 【详解】（1）“89.5～99.5”的人数和它们所占的百分比分别是：(8+4)人和 24%， ∴总人数为： (人)， 12 24% 50 5100% 10% “59.5～69.5”的人数是 5 人，所占百分比是： ，50 ∴“79.5～89.5”所占的百分比是：1-24%-10%-30%=36%， 故答案为：50，36%； （2）∵“69.5～79.5” 的人数是：50 30%=15(人)， ∴“69.5～74.5”的人数是：15-8=7(人)， “79.5～89.5” 的人数是：50 36%=18(人)， ∴“79.5～84.5”的人数是：18-8=10(人)， 补全条形图如图所示： （3）能获奖．理由： 因为本次参赛选手共 50 人，所以前 40%的人数为5040% 20 （人） 由频数直方图可得 84.5～99.5 这一范围人数恰好8 8 4 20 人， 又88 84.5，所以能获奖； （4）画树状图为： 由树状图可知共有 12 种等可能的结果，恰好选中一男一女为主持人的结果有 8 种， 823所以 P（一男一女为主持人） ．12 23答：恰好选中一男一女为主持人的概率为 ．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用以及列表法与树状图法，利用列表法或树状图法 展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事 件 B 的概率． 21. 如图，无人机在离地面 60 米的 C 处，观测楼房顶部 B 的俯角为 30°，观测楼房底部 A 的俯角为 60°，求 楼房的高度． 【答案】这栋楼高为 40 米 【解析】 【分析】 过点 B 作 BE CD 交于点 E，解 ，求出 AD，即可求出 BE，解 中，求出 CD，问 CD Rt△ACD RtVBCE 题得解． 【详解】解：过点 B 作 BE CD 交于点 E， CD CBE 30,CAD 60 由题意知， 在．CD AD tanCAD tan60 3 中， ，Rt△ACD 60 AD 20 3 ∴∴在，，3BE AD 20 3 CE 3中， ，RtVBCE tanCBE tan30 BE 33∴，CE 20 3 20 3∴∴ED CD CE 60 20 40 AB ED 40 （米）． ，答：这栋楼高为 40 米． 【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，应用已知 条件解直角三角形． 22. 如图，点 C 在以 AB 为直径的 O 上，点 D 是半圆 AB 的中点，连接 AC，BC，AD，BD，过点 D 作 DH//AB 交 CB 的延长线于点 H． O （1）求证：直线 DH 是 （2）若 的切线； ，，求 AD，BH 的长． AB 10 BC 6 25 4BH 【答案】（1）见解析；（2） ，AD 5 2 【解析】 【分析】 1OD O AOD AOB 90 （1）连接 ，先根据 是的直径，D 是半圆 的中点，得出 ，再根据 AB AB 2，得出ODH 90，即可证明； DH / /AB （2）连接 ，先证明 是等腰直角三角形，求出 AD 的长，再根据 AB，BC 的长求出 AC，根据 CD △ABD AC AD 四边形 是圆内接四边形，推出CAD DBH ，证明 ACD∽BDH ，得出 ，即可 ACBD BD BH 求出答案． OD 【详解】证明：（1）连接 ，O ∵∴是的直径，D 是半圆 的中点， AB AB 1AOD AOB 90 ，2∵∴∴∴，DH / /AB ODH 90 ，OD DH ，O 是的切线； ，DH （2）连接 CD O ∵∴是的直径， AB ADB 90，ACB 90 ，又 D 是半圆 的中点， AB ，∴ AD DB AD DB ∴∴∵，是等腰直角三角形， △ABD AB 10 ，2∴，AD 10sinABD 10sin45 10 5 2 2AB 10, BC 6 ∵，22∴在 中，RtABC AC 10 6 8 ∵四边形 是圆内接四边形， ACBD ∵∵∴CAD CBD 180 DBH CBD 180 CAD DBH ，，，由（1）知∠ ，AOD 90 ,OBD 45 ∴，ACD 45 ∵∴∴，DH / /AB BDH OBD 45 ACD BDH ，，∴∴ACD∽BDH ，AC AD 85 2 ，即 ，BD BH BH 5 2 25 BH 解得 ．4【点睛】本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，灵活运用知 识点是解题关键． 23. 小刚去超市购买画笔，第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔，第二次超市推荐了 B 型画笔，但 B 型画笔 比 A 型画笔的单价贵 2 元，他又花 100 元买了相同支数的 B 型画笔． （1）超市 B 型画笔单价多少元？ （2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优 惠方案：一次购买不超过 20 支，则每支 B 型画笔打九折；若一次购买超过 20 支，则前 20 支打九折，超过 的部分打八折．设小刚购买的 B 型画笔 x 支，购买费用为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数关系式． （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔，则能购买多少支 B 型画笔？ 4.5x,1„ x„ 20 4x 10, x 20 y 【答案】（1）超市 B 型画笔单价为 5 元；（2） ，其中 x 是正整数；（3）小刚能购买 65 支 B 型画笔． 【解析】 【分析】 （1）设超市 B 型画笔单价 a 元，根据“花 100 元买了相同支数的 B 型画笔”，列出分式方程，即可求解； （2）分两种情况：当小刚购买的 B 型画笔支数 x 20 时， 当小刚购买的B 型画笔支数 出函数表达式，即可； 时，分别列 x 20 （3）把 y=270 代入第（2）小题的函数表达式，即可求解． a 2 【详解】解：（1）设超市 B 型画笔单价 a 元，则 A 型画笔单价为 元， 60 100 由题意列方程得， a 2 a解得 a 5 经检验， 是原方程的解． a 5 答：超市 B 型画笔单价为 5 元 （2）由题意知， y 0.95x 4.5x 当小刚购买的 B 型画笔支数 x 20 时，费用为 y 200.95 (x 20) 0.85 4x 10 时，费用为 当小刚购买的 B 型画笔支数 x 20 4.5x,1„ x„ 20 4x 10, x 20 y 所以 其中 x 是正整数 （3）当 4.5x 270 时，解得 ，因为60 20，故不符合题意，舍去． x 60 当4x 10 270时， ，符合题意 x 65 答：小刚能购买 65 支 B 型画笔． 【点睛】本题主要考查分式方程和一次函数的实际应用，理解题目中的数量关系，列出方程和函数表达式， 是解题的关键． 24. 问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中， ，AB 6 AC 4 ，AD 是中线，求 AD 的取值范围．她的 做法是：延长 AD 到 E，使 ，连接 BE，证明△BED≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解 DE AD 决． 请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD 的判定定理是：__________________________________________； （2）AD 的取值范围是________________________； 方法运用： （3）如图 2，AD 是ABC 的中线，在 AD 上取一点 F，连结 BF 并延长交 AC 于点 E，使 ，求 AE EF 证： ．BF AC AB BC 12EF 1（4）如图 3，在矩形 ABCD 中， ，在 BD 上取一点 F，以 BF 为斜边作 ，且 ，Rt△BEF BE 2点 G 是 DF 的中点，连接 EG，CG，求证： ．EG CG 【答案】（1）SAS；（2） 【解析】 ；（3）见解析；（4）见解析 1 AD 5 【分析】 （1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明△BED≌△CAD ，从而可得证明全等的依据； AC BE, 2（ ）利用全等三角形的性质得到 求解 的范围，从而可得答案； AE （3）延长 至点 A，使 ，证明ADC≌A DB ，利用全等三角形的性质与 ，从而可得答案； ，证 AD A D AD AE EF 明，得到 BFD A BF A B CG （4）延长 至点 H使，连接 、、，证明HGF≌CGD ，得到 HG CG CE HF HE HF CD,HFG CDG ，利用锐角三角函数证明 ，再证明EFH∽EBC ，利用 EBF ADB 相似三角形的性质可得△CEH 是直角三角形，从而可得答案． 【详解】解：（1）如图，AD 是中线， BD CD, 在ADC 与△EDB 中， AD ED ADC EDB CD BD ADC≌EDB SAS. 故答案为：SAS ADC≌EDB, （2） AC BE 4, AB 6, 2＜AE＜10, AE 2AD, 1＜AD＜5, 故答案为： 1 AD 5 （3）证明：延长 至点 A，使 A D AD ，AD ∵是ABC 的中线 AD ∴在BD CD ADC 和中A DB AD A D ADC A DB CD BD ∴∴ADC≌A DB ，CAD A , AC A B ，又∵ ，AE EF ∵∴CAD AFE ，，A AFE 又∵ ，AFE BFD ∴∴BFD A ，BF A B 又∵ A B AC ∴BF AC CG （4）证明：延长 ∵G 为 至点 H使，连接 、、HG CG CE HF HE 的中点 FD FG DG ∴在△HGF 和△CGD 中HG CG HGF CGD FG DG ∴∴HGF≌CGD HF CD,HFG CDG EF BE 12在∴中，∵ ，Rt△BEF 1tanEBF 2AB BC 1又矩形 中， ABCD 2AB ∴1，AD 21tan∠ADB ∴，2∴又∴∴又∴即∵∴∴即在，EBF ADB AD / /BC ，，ADB DBC EBF ADB DBC ，为的外角， EFD BEF EFD EBF BEF EFH HFD EBF 90 ，，ADB BDC 90 ，EFH HFD EBF ADB BDC ，，EFH 2EBF EFH EBC ，△EFH 和EBC 中， EF 1 HF 1 , BE 2 BC 2EF HF ∴，BE BC 又∴∴∵∴∴EBC EFH ，，EFH∽EBC ，FEH BEC HEC CEF BEF CEF HEC BEF 90 △CEH 是直角三角形， 的中点， ，，∵G 为 CH 1EG CH 2∴即，．EG CG 【点睛】本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性 质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是 解题的关键． (0,2) 25. 如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 ，在 x 轴上任取一点 M．连接 AM，分别以点 A 和 1AM 点 M 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 G，H 两点，作直线 GH，过点 M 作 x 轴的垂线 l 2交直线 GH 于点 P．根据以上操作，完成下列问题． 探究： （1）线段 PA 与 PM 的数量关系为________，其理由为：________________． （2）在 x 轴上多次改变点 M 的位置，按上述作图方法得到相应点 P 的坐标，并完成下列表格： M的坐 (2,0) (0,0) (2,0) (4,0) …………标(0,1) (2,2) P的坐标 猜想： （3）请根据上述表格中 P 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图 2 中连接起来；观察画出的曲线 L，猜想 曲线 L 的形状是________． 验证： (x, y) （4）设点 P 的坐标是 ，根据图 1 中线段 PA 与 PM 的关系，求出 y 关于 x 的函数解析式． 应用： y，点 D 为曲线 L 上任意一点，且 BDC 30 ，求点 D 的纵坐标 B(1, 3)C(1, 3) （5）如图 3，点 ，D的取值范围． 【答案】（1） ，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）图见解析，抛物线； PA PM 1y x2 1 （3）见解析；（4） ；（5） yD 2 2 3 4【解析】 【分析】 （1）由尺规作图的步骤可知，HG 是 AM 的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答案； （2）根据第（1）的作图方法，得到相应点 P 的位置，即可求解； （3）用平滑的曲线作出图象，即可； PE y （4）过点 P 作 轴于点 E，用含 x，y 的代数式表示 ，，，结合勾股定理，即可得到答 PA AE PE 案； OB,OC 的（5）连接 ，由题意得当 时，在 外接圆上，弧 BC 所对的圆心角为 60°， BDC 30 D a,b ，求出 b 的值，进而即可求解． BDC 的外接圆圆心为坐标原点 O，设 BDC 【详解】解：（1） 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 PA PM （2） (2,0) (0,0) (2,0) (4,0) M 的坐标 P 的坐标 …………(2,2) (0,1) (2,2) (4,5) （3）草图见图 2：形状：抛物线 PE y （4）如图 1，过点 P 作 轴于点 E， PA PM | y | AE OE OA | y 2 |PE | x | ，，222在即中， RtPAE PA AE PE | y |2 | x |2 | y 2 |2 1y x2 1 化简，得 41y x2 1 ∴y 关于 x 的函数解析式为 ．4OB,OC （5）连接 ，易得 ，又 OB OC 2 BC 2 ∴当OBC 为等边三角形，∴ BOC 60 时，在 的外接圆上，弧 BC 所对的圆心角为 60° BDC 30 BDC 其圆心在 BC 的垂直平分线 y 轴上， ∴设的外接圆圆心为坐标原点 O， BDC 222D a,b ，则 OD 2 ，即 ①a b 2 又点 D 在该抛物线上 1b a2 1 ∴②4由①②联立解得： 数形结合可得， （舍去） b 2 2 3,b2 2 2 3 1yBDC 30 时，点 D 的纵坐标 D 的取值范围为 当yD 2 2 3 【点睛】本题主要考查尺规作作中垂线，二次函数的图象和性质，圆周角定理，解题关键是：熟练掌握垂 直平分线的性质定理，构造三角形的外接圆． 本试卷的题干 0635
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