四川省遂宁市 2020 年中考数学试题 一．选择题（共 10 小题） 1. －5 的相反数是（ ）1515A. B. C. D. －5 5B【答案】 【解析】 【分析】 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此即可得答案． 【详解】∵只有符号不同的两个数叫做互为相反数， ∴－5 的相反数是 5， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；熟练掌握定义是解题关键． 2. 已知某新型感冒病毒的直径约为 0.000000823 米，将 0.000000823 用科学记数法表示为（ ） A. 8.23×10﹣ B. 8.23×10﹣ C. 8.23×106 D. 8.23×107 67B【答案】 【解析】 分析：绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10-n，与较大数的科学记数法不同的 是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 详解：0.000000823=8.23×10-7． 故选 B． 点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10-n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个 不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 3. 下列计算正确的是（ ） 1a2 1A. 7ab﹣5a＝2b B. （a+ ）2＝a2+ aC. （﹣3a2b）2＝6a4b2 D. 3a2b÷b＝3a2 D【答案】 【解析】 【分析】 根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式除单项式分别进行计算，再判断即可． 【详解】7ab 与﹣5a 不是同类项，不能合并，因此选项 A 不正确； 11a2 根据完全平方公式可得(a+ )2=a2+ +2，因此选项 B 不正确； a(﹣3a2b)2=9a4b2，因此选项 C 不正确； 3a2b÷b=3a2，因此选项 D 正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式除单项式，掌握运算法则是正确计算 的前提． 4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 C【答案】 【解析】 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 详解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两部分能够 重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误； B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足 轴对称图形的定义．是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确； D、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两部分能够重合； 即不满足中心对称图形的定义．故错误． 故选 C． 点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． x 2 x 1 5. 函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A. x＞﹣2 B. x≥﹣2 C. x＞﹣2 且 x≠1 D. x≥﹣2 且 x≠1 D【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不为 0，列不等式组可求得自变量 x 的取值 范围． x 2 0 x 1 0 【详解】根据题意得： ，解得：x≥﹣2 且 x≠1． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表 达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数 表达式是二次根式时，被开方数非负． 3m6. 关于 x 的分式方程 ﹣＝1 有增根，则 m 的值（ ） x 2 2 x A. m＝2 【答案】 【解析】 【分析】 B. m＝1 C. m＝3 D. m＝﹣3 D分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出 m 的值即可． 【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到 x﹣2＝0，即 x＝2， 把 x＝2 代入整式方程得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增 根代入整式方程即可求得相关字母的值． 7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G， BE 若 AF＝2FD，则 的值为（ ） EG 1B. 23341A. C. D. 23C【答案】 【解析】 【分析】 由 AF＝2DF，可以假设 DF＝k，则 AF＝2k，AD＝3k，证明 AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线 段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由 AF＝2DF，可以假设 DF＝k，则 AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形 ABCD 平行四边形， 是∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， BE AB2k 23∴，EG CG 3k 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行 四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 28. 二次函数 y＝ax +bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线 x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ） A. b2＞4ac C. a﹣c＜0 B. abc＞0 D. am2+bm≥a﹣b（m 为任意实数） C【答案】 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． b【详解】解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，﹣ ＝﹣1， 2a ∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故 A 选项不合题意， ∴abc＞0，故 B 选项不合题意， 当 x＝﹣1 时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴﹣a+c＜0，即 a﹣c＞0，故 C 选项符合题意， 当 x＝m 时，y＝am2+bm+c， 当 x＝﹣1 时，y 有最小值为 a﹣b+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， ∴am2+bm≥a﹣b，故 D 选项不合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，结合图形确定 a,b,c 的符号和它们之间的关系是解题的关键． 9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，点 O 在 AB 上，经过点 A 的⊙O 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，若 CD＝ ，则图中阴影部分面积为（ ） 2A. 4﹣ 224B. 2﹣ C. 2﹣π D. 1﹣ B【答案】 【解析】 【分析】 连接 OD，OH⊥AC 于 H，如图，根据切线的性质得到 OD⊥BC，则四边形 ODCH 为矩形，所以 OH＝CD＝ ，则 OA＝ OH＝2，接着计算出∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，然后利用扇形的面积公式，利用图中 22阴影部分面积＝S△OBD﹣S 扇形 DOE 进行计算． 【详解】解：连接 OD，过 O 作 OH⊥AC 于 H，如图， ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝∠CAB＝45°， ∵⊙O 与 BC 相切于点 D， ∴OD⊥BC， ∴四边形 ODCH 为矩形， ∴OH＝CD＝ ，2在 Rt△OAH 中，∠OAH＝45°， ∴OA＝ OH＝2， 2在 Rt△OBD 中，∵∠B＝45°， ∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2， ∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S 扇形 DOE 45 2 ＝0.5×2×2﹣ 180 1＝2﹣ π． 2故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径， 构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算． 10. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，连接 AE、DE，分别交 BD、AC 于点 P、Q，过点 P 作 PF⊥AE 交 CB 的延长线于 F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， 10 ③AE＝ AO， 2④若四边形 OPEQ 的面积为 4，则该正方形 ABCD 的面积为 36， ⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（ ） A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 B【答案】 【解析】 【分析】 ①正确:证明∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角的性质即可得出答案； ②正确：利用四点共圆证明∠AFP=∠ABP=45°即可； ③正确：设 BE=EC=a，求出 AE，OA 即可解决问题； ④错误：通过计算正方形 ABCD 的面积为 48； ⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可. 【详解】①正确：如图，连接 OE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD， ∴∠BOC=90°， ∵BE=EC， ∴∠EOB=∠EOC=45°， ∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO， ∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正确； ②正确：如图，连接 AF， ∵PF⊥AE， ∴∠APF=∠ABF=90°， ∴A，P，B，F 四点共圆， ∴∠AFP=∠ABP＝45°， ∴∠PAF=∠PFA＝45°， ∴PA=PF，故②正确； ③正确：设 BE=EC=a，则 AE＝ a，OA＝OC＝OB＝OD＝ AO，故③正确； a， 25AE AO 5a 2a 10 210 2∴==，即 AE＝ △OPE △OQE ④错误：根据对称性可知， ，1SS四边形OPEQ =2， ∴=△OEQ 2∵OB=OD，BE=EC， ∴CD=2OE，OE⊥CD， EQ OE 1 ==△OEQ △CDQ ∴，，DQ CD 2 S=4 S△CDQ =8 ，∴∴∴，△ODQ S=12 ，△CDO S=48 ，故④错误； 正方形ABCD ⑤正确：∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC， ∴∴，△EPF △ECD EF PE =，ED EC ∴EQ=PE， ∴CE•EF=EQ•DE，故⑤正确； 综上所诉一共有 4个正确，故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质、四点共圆问题、全等与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关 概念与方法是解题关键. 二．填空题（共 5 小题） 1，1.212212221…， ，2﹣π，﹣2020， 3 中，无理数的个数有_____个． 11. 下列各数 3.1415926， 947【答案】3 【解析】 【分析】 根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有 π 的绝大部分数，找出无理数的 个数． 【详解】解：在所列实数中，无理数有 1.212212221…，2﹣π， 3 这 3 个， 4故答案为：3． 的【点睛】本题考查无理数 定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 12. 一列数 4、5、4、6、x、5、7、3 中，其中众数是 4，则 x 的值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】 众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义求出这组数的众数即可． 【详解】解：根据众数定义就可以得到：x＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了众数的定义，掌握知识点是解题关键． 13. 已知一个正多边形的内角和为 1440°，则它的一个外角的度数为_____度． 【答案】36 【解析】 【分析】 首先设此正多边形为 n 边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得 n=10，再由多边形的外角和 等于 360°，即可求得答案． 【详解】设此多边形为 n 边形， 根据题意得：180°（n﹣2）=1440°， 解得：n=10， ∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握定义与相关方法是解题关键. x 2 x 1 14. 若关于 x 的不等式组 43有且只有三个整数解，则 m 的取值范围是______． 2x m 2 x 【答案】1＜m≤4 【解析】 【分析】 m 2 3m 2 3解不等式组得出其解集为﹣2＜x＜ ，根据不等式组有且只有三个整数解得出 1＜ ≤2，解之可 得答案． x 2 x 1 【详解】解不等式 ，得：x＞﹣2， 43m 2 ，解不等式 2x﹣m≤2﹣x，得：x＜ 则不等式组的解集为﹣2＜x＜ 3m 2 ，3∵不等式组有且只有三个整数解， m 2 3∴1＜ ≤2， 解得：1＜m≤4， 故答案为：1＜m≤4． 【点睛】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一 元一次不等式的解法． 15. 如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第 1 幅图中“▱”的个数为 a1，第 22222 幅图中“▱”的个数为 a2，第 3 幅图中“▱”的个数为 a3，…，以此类推，若 +++…+ ＝a1 a2 a3 an n．（n 为正整数），则 n 的值为_____． 2020 【答案】4039 【解析】 【分析】 111= 先根据已知图形得出 an＝n（n+1），代入到方程中，再将左边利用 裂项化简，解分式方 n(n 1) n n1 程可得答案． 【详解】解：由图形知 a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4， ∴an＝n（n+1）， 2222n∵+++…+ ＝，a1 a2 a3 an 2020 2222n∴+++…+ =，n(n 1) 12 23 34 2020 1 1 +3 3 111n1212∴2×（1﹣ +﹣﹣+……+ ﹣）= ，nn 1 2020 41n∴2×（1﹣ ）＝ ，n 1 2020 1n1﹣ ＝，n 1 4040 解得 n＝4039， 经检验：n＝4039 是分式方程的解． 故答案为：4039． 111= 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出 an＝n（n+1）及 关键. 是解题的 n(n 1) n n1 三．解答题（共 10 小题） 1）﹣2﹣（π﹣2020）0． 16. 计算： ﹣2sin30°﹣|1﹣ |+（ 822【答案】 +3 2【解析】 【分析】 先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计 算加减可得． 1【详解】 ﹣2sin30°﹣|1﹣ |+( )﹣2﹣(π﹣2020)0 8221﹣2× ﹣( 2=2 =2 =﹣1)+4﹣1 222﹣1﹣ +1+4﹣1 2+3． 2【点睛】本题考查了实数的运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、 绝对值等考点的运算以及熟记特殊角的三角函数值． x2 4x 4 x 2 17. 先化简，（ ﹣x﹣2）÷ ，然后从﹣2≤x≤2 范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代 x2 4 x 2 入求值． 【答案】﹣x+3，2 【解析】 【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得． 2x 2 x 2 x 2 x 2 【详解】解：原式＝ ×x 2 x-2 2x 2 x 4 x 2 ===x 2 x 2 x 2 x2 x 6 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 =﹣（x－3） =﹣x+3 ∵x≠ ±2， ∴可取 x＝1， 则原式＝﹣1+3＝2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义 的条件． 18. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E 分别是线段 BC、AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延 长线于点 F，连接 CF． （1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形 ADCF 为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）首先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，再根据线段中点的定义得到 AE=DE，根据全等三角形的 判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到 AF=BD，推出四边形 ADCF 是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到 ∠ADC=90°，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E 是线段 AD 的中点， ∴AE=DE， ∵∠AEF=∠DEB， ∴（AAS）； △BDE △FAE （2）证明：∵ ∴AF=BD， ，△BDE △FAE ∵D 是线段 BC 的中点， ∴BD=CD， ∴AF=CD， ∵AF∥CD， ∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∵AB=AC， ∴，AD BC ∴∠ADC=90°， ∴四边形 ADCF 为矩形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明与矩形证明，熟练掌握相关概念是解题关键. 19. 在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的 1、2 号楼进行测高实践，如图为 实践时绘制的截面图．无人机从地面点 B 垂直起飞到达点 A 处，测得 1 号楼顶部 E 的俯角为 67°，测得 2 号楼顶部 F 的俯角为 40°，此时航拍无人机的高度为 60 米，已知 1 号楼的高度为 20 米，且 EC 和 FD 分 别垂直地面于点 C 和 D，点 B 为 CD 的中点，求 2 号楼的高度．（结果精确到 0.1）（参考数据 sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36） 【答案】45.8 米 【解析】 【分析】 通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出 EM，AN，进而计算出 2 号楼的 高度 DF 即可． 【详解】解：过点 E、F 分别作 EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为 M、N， 由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60， ∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40， 在 Rt△AEM 中， AM ∵tan∠AEM＝ ，EM AM 40 ∴EM＝ ＝≈16.9， tan AEM tan 67 在 Rt△AFN 中， AN ∵tan∠AFN＝ ，FN ∴AN＝tan40°×16.9≈14.2， ∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8， 答：2 号楼的高度约为 45.8 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键． 20. 新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家 植物种植基地购买 A、B 两种花苗．据了解，购买 A 种花苗 3 盆，B 种花苗 5 盆，则需 210 元；购买 A 种花 苗 4 盆，B 种花苗 10 盆，则需 380 元． （1）求 A、B 两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买 A、B 两种花苗共 12 盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为 了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆 B 种花苗，B 种花苗每盆就降价几元，请你为九年 级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 【答案】（1）A、B 两种花苗的单价分别是 20 元和 30 元；（2）本次购买至少准备 240 元，最多准备 290 元 【解析】 【分析】 3x 5y 210 4x 10y 380 （1）设 A、B 两种花苗的单价分别是 x 元和 y 元，则 ，即可求解； （2）设购买 B 花苗 x 盆，则购买 A 花苗为（12﹣x）盆，设总费用为 w 元，由题意得：w＝20（12﹣x）+ （30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），即可求解． 3x 5y 210 4x 10y 380 x 20 y 30 【详解】解：（1）设 A、B 两种花苗的单价分别是 x 元和 y 元，则 答：A、B 两种花苗的单价分别是 20 元和 30 元； ，解得 ，（2）设购买 B 花苗 x 盆，则购买 A 花苗为（12﹣x）盆，设总费用为 w 元， 由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12）， ∵-1＜0．故 w 有最大值，当 x＝5 时，w 的最大值为 265，当 x＝12 时，w 的最小值为 216， 故本次购买至少准备 216 元，最多准备 265 元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意准确找到等量关系，建立函数模型是解题的关键. 21. 阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1 是常数）与 y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2 是常 数）满足 a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数 y＝2×2﹣3x+1 的旋转函数， 小明是这样思考的，由函数 y＝2×2﹣3x+1 可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据 a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝ 0，求出 a2，b2，c2 就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数 y＝x2﹣4x+3 的旋转函数． （2）若函数 y＝5×2+（m﹣1）x+n 与 y＝﹣5×2﹣nx﹣3 互为旋转函数，求（m+n）2020 的值． （3）已知函数 y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、B、C 关于原点 的对称点分别是 A1、B1、C1，试求证：经过点 A1、B1、C1 的二次函数与 y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函 数”． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）1；（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）由二次函数的解析式可得出 a1，b1，c1 的值，结合“旋转函数”的定义可求出 a2，b2，c2 的值，此问 得解； （2）由函数 y＝5×2+（m﹣1）x+n 与 y＝﹣5×2﹣nx﹣3 互为“旋转函数”，可求出 m，n 的值，将其代入 （m+n）2020 即可求出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A，B，C 的坐标，结合对称的性质可求出点 A1，B1，C1 的坐标，由点 A1，B1，C1 的坐标，利用交点式可求出过点 A1，B1，C1 的二次函数解析式，由两函数的解析 式可找出 a1，b1，c1，a2，b2，c2 的值，再由 a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0 可证出经过点 A1，B1，C1 的二次 函数与函数 y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”． 【详解】解：（1）由 y＝x2﹣4x+3 函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3， ∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0， ∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3， ∴函数 y＝x2﹣4x+3 的“旋转函数”为 y＝﹣x2﹣4x﹣3； （2）∵y＝5×2+（m﹣1）x+n 与 y＝﹣5×2﹣nx﹣3 互为“旋转函数”， m 1 n n 3 0 ∴，m= 2 n=3 解得： ，∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1． （3）证明：当 x＝0 时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6， ∴点 C 的坐标为（0，﹣6）． 当 y＝0 时，2（x﹣1）（x+3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， ∴点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（﹣3，0）． ∵点 A，B，C 关于原点的对称点分别是 A1，B1，C1， ∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）． 设过点 A1，B1，C1 的二次函数解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3）， 将 C1（0，6）代入 y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a， 解得：a＝﹣2， 过点 A1，B1，C1 的二次函数解析式为 y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即 y＝﹣2×2+4x+6． ∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2×2+4x﹣6， ∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6， ∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0， ∴经过点 A1，B1，C1 的二次函数与函数 y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质及待定系数法求二次函数的解析式，准确 理解题干中“旋转函数”的定义是解题的关键. 22. 端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对 A、B、C、 D 四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图： （1）本次参加抽样调查的居民有 人． （2）喜欢 C 种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图． （3）若该居民小区有 6000 人，请你估计爱吃 D 种粽子的有 人． （4）若有外型完全相同的 A、B、C、D 棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法 求他第二个吃的粽子恰好是 A 种粽子的概率． 14【答案】（1）600；（2）72，图见解析；（3）2400 人；（4 画图见解析， 【解析】 【分析】 （1）用喜欢 D 种口味粽子的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）先计算出喜欢 B 种口味粽子的人数，再计算出喜欢 C 种口味粽子的人数，则用 360 度乘以喜欢 C 种 口味粽子的人数所占的百分比得到它在扇形统计图中所占圆心角的度数，然后补全条形统计图； （3）用 D 占的百分比乘以 6000 即可得到结果； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出他第二个吃的粽子恰好是 A 种粽子的结果数，然后根 据概率公式求解． 【详解】解：（1）240÷40%＝600（人）， 所以本次参加抽样调查的居民有 600 人； 故答案为：600； （2）喜欢 B 种口味粽子的人数为 600×10%＝60（人）， 喜欢 C 种口味粽子的人数为 600﹣180﹣60﹣240＝120（人）， 120 所以喜欢 C 种口味粽子的人数所占圆心角的度数为 360°× ＝72°； 600 补全条形统计图为： 故答案为：72； （3）6000×40%＝2400， 所以估计爱吃 D 种粽子的有 2400 人； 故答案为 2400； （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是 A 种粽子的结果数为 3， 314所以他第二个吃的粽子恰好是 A 种粽子的概率＝ ＝．12 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的信息关联、由样本估计总体以及用列表或画树状图求简单事 件的概率．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示 出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．（4）中需注意是不放回实验． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（0，2），点 B 的坐标为（1，0），连结 AB，以 AB 为边 k在第一象限内作正方形 ABCD，直线 BD 交双曲线 y═ （k≠0）于 D、E 两点，连结 CE，交 x 轴于点 F． xk（1）求双曲线 y＝ （k≠0）和直线 DE 的解析式． x（2）求DEC 的面积． 615 2【答案】（1）y＝ ，y＝3x﹣3；（2） x【解析】 【分析】 （1）作 DM⊥y 轴于 M，通过证得AOB≌DMA （AAS），求得 D 的坐标，然后根据待定系数法即可求 k得双曲线 y＝ （k≠0）和直线 DE 的解析式． x（2）解析式联立求得 E 的坐标，然后根据勾股定理求得 DE 和 DB，进而求得 CN 的长，即可根据三角形面 积公式求得△DEC 的面积． 【详解】解：∵点 A 的坐标为（0，2），点 B 的坐标为（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， 作 DM⊥y 轴于 M， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠OAB+∠DAM＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠DAM＝∠ABO， 在AOB △DMA 和 中 ABO DAM AOB DMA 90 AB DA ，∴AOB≌DMA （AAS）， ∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2， ∴D（2，3）， ky k 0 ∵双曲线 经过 D 点， x∴k＝2×3＝6， ∴双曲线为 y＝ 6，x设直线 DE 的解析式为 y＝mx+n， m n 0 把 B（1，0），D（2，3）代入得 ，2m n 3 m 3 解得 ，n 3 ∴直线 DE 的解析式为 y＝3x﹣3； （2）连接 AC，交 BD 于 N， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BD 垂直平分 AC，AC＝BD， y 3x 3 解得6y xx 2 y 3 x 1 y 6 或，经检验：两组解都符合题意， ∴E（﹣1，﹣6）， ∵B（1，0），D（2，3）， (2 1)2 (3 6)2 3 10 (2 1)2 32 10 ∴DE＝ ＝，DB＝ ＝，110 2∴CN＝ BD＝ ，21110 15 ∴SDEC DE CN 3 10 .2222【点睛】 本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解 析式，函数的交点坐标的求解，化为一元二次方程的分式方程的解法，勾股定理的应用，掌握以上知识是 解题的关键． 24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为 AB 边上的一点，以 AD 为直径的⊙O 交 BC 于点 E，交 AC 于点 F，过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 于点 G，交 AE 于点 H，过点 E 的弦 EP 交 AB 于点 Q（EP 不是直径）， 点 Q 为弦 EP 的中点，连结 BP，BP 恰好为⊙O 的切线． （1）求证：BC 是⊙O 的切线． ＝EF ED （2）求证： ．3（3）若 sin∠ABC═ ，AC＝15，求四边形 CHQE 的面积． 5【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45 【解析】 【分析】 （1）连接 OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到 PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝ ∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论． 的（2）根据平行线和等腰三角形 性质即可得到结论． （3）根据垂径定理得到 EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形 AC2 AG2 的性质得到 CE＝QE，推出四边形 CHQE 是菱形，解直角三角形得到 CG＝ ＝12，根据勾股 定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接 OE，OP， ∵PE⊥AB，点 Q 为弦 EP 的中点， ∴AB 垂直平分 EP， ∴PB＝BE， ∵OE＝OP，OB＝OB， ∴△BEO≌△BPO（SSS）， ∴∠BEO＝∠BPO， ∵BP 为⊙O 的切线， ∴∠BPO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴OE⊥BC， ∴BC 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠OEA， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO， ∴．EF ED （3）解：∵AD 为的⊙O 直径，点 Q 为弦 EP 的中点， ∴EP⊥AB， ∵CG⊥AB， ∴CG∥EP， ∵∠ACB＝∠BEO＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠AEO， ∵OA＝OE， ∴∠EAQ＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO， ∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE， ∴△ACE≌△AQE（AAS）， ∴CE＝QE， ∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°， ∴∠CEH＝∠AHG， ∵∠AHG＝∠CHE， ∴∠CHE＝∠CEH， ∴CH＝CE， ∴CH＝EQ， ∴四边形 CHQE 是平行四边形， ∵CH＝CE， ∴四边形 CHQE 是菱形， AG AC 35∵sin∠ABC═sin∠ACG═ ＝，∵AC＝15， ∴AG＝9， AC2 AG2 ∴CG＝ ＝12， ∵△ACE≌△AQE， ∴AQ＝AC＝15， ∴QG＝6， ∵HQ2＝HG2+QG2， ∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62， 15 解得：HQ＝ ∴CH＝HQ＝ ，215 ，215 2∴四边形 CHQE 的面积＝CH•GQ＝ ×6＝45． 【点睛】此题考查了圆的综合问题，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股 定理以及解直角三角形等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用． 225. 如图，抛物线 y＝ax +bx+c（a≠0）的图象经过 A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线的顶点 M 与对称轴 l 上的点 N 关于 x 轴对称，直线 AN 交抛物线于点 D，直线 BE 交 AD 于点 E，若直线 BE 将△ABD 的面积分为 1：2 两部分，求点 E 的坐标． （3）P 为抛物线上的一动点，Q 为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 P，使 A、D、P、Q 为顶点的四 边形为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣8x+6；（2）点 E(2，2)或(3，4)；（3）存在，当点 P 坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0) 时，使 A、D、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形 【解析】 【分析】 （1）设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，把点 C 坐标代入解析式，可求解； （2）先求出点 M，点 N 坐标，利用待定系数法可求 AD 解析式，联立方程组可求点 D 坐标，可求 S△ABD ＝1×2×6＝6，设点 E(m，2m﹣2)，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解； 2的（3）分两种情况讨论，利用平行四边形 性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过 A(1，0)，B(3，0)， ∴设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)， ∵抛物线 y＝a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0)的图象经过点 C(0，6)， ∴6＝a(0﹣1)(0﹣3)， ∴a＝2， ∴抛物线解析式为：y＝2(x﹣1)(x﹣3)＝2×2﹣8x+6； （2）∵y＝2×2﹣8x+6＝2(x﹣2)2﹣2， ∴顶点 M 的坐标为(2，﹣2)， ∵抛物线的顶点 M 与对称轴 l 上的点 N 关于 x 轴对称， ∴点 N(2，2)， 设直线 AN 解析式为：y＝kx+b， 0 k b 由题意可得： ，2 2k b k 2 解得： ，b 2 ∴直线 AN 解析式为：y＝2x﹣2， y 2x 2 y 2×2 8x 6 联立方程组得： ，x 1 x 4 12解得： ，，y2 6 y1 0 ∴点 D（4，6）， 1∴S△ABD ＝×2×6＝6， 2设点 E(m，2m﹣2)， ∵直线 BE 将△ABD 的面积分为 1：2 两部分， 1323∴S△ABE ＝S△ABD＝2 或 S△ABE ＝S△ABD＝4， 11∴×2×(2m﹣2)＝2 或 ×2×(2m﹣2)＝4， 22∴m＝2 或 3， ∴点 E(2，2)或(3，4)； （3）若 AD 为平行四边形的边， ∵以 A、D、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD＝PQ， ∴xD﹣xA＝xP﹣xQ 或 xD﹣xA＝xQ﹣xP， ∴xP＝4﹣1+2＝5 或 xP＝2﹣4+1＝﹣1， ∴点 P 坐标为(5，16)或(﹣1，16)； 若 AD 为平行四边形的对角线， ∵以 A、D、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD 与 PQ 互相平分， xP xQ xA xD ∴，22∴xP＝3， ∴点 P 坐标为(3，0)， 综上所述：当点 P 坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使 A、D、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利 用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 本试卷的题干 0635
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