2020 年自贡中考数学 满分：150 分 时间：120 分钟 一.选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） ，则 2 的度数为 （） 1 50 a1. 如图， ∥，bA. B. C. D. 60° 40° 50° 55° B【答案】 【解析】 【分析】 利用平行线的性质与对顶角相等即可求出． 【详解】两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案. 故答案为 B． 【点晴】本题主要考查了平行线的性质与对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 2. 5 月 22 日晚，中国自贡第 26 届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进入“云游”时代， 70 余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数 700000 用科学记数法表示为（ ） 70104 7105 7106 0.7 107 A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 N1| a | 10 根据科学记数法规定 ，要求 ，即可得解. a10 【详解】由题意，得 5700000= ，710 故选：C. 【点睛】此题主要考查科学记数法的应用，熟练掌握，即可解题. 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 找到从几何体左面看得到的平面图形即可． 【详解】解：从几何体左面看得到两列正方形的个数分别为 1、3， 故选：C． 【点睛】考查三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键． 2×4. 关于 的一元二次方程 a有两个相等的实数根，则 的值为（） ax 2x 2 0 11A. B. C. D. 1122A【答案】 【解析】 【分析】 a由题意，根据一元二次方程根的判别式值为零，求 可解． 【详解】解：由一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于 0 可得， (2)2 4a2 4 8a 0 ，1a 得，2故应选 A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解答时注意△=0⇔方程有两个相等的实数 根． 2,1 5. 在平面直角坐标系中，将点 向下平移 3 个单位长度，所得点的坐标是（ ） 1, 1 5, 1 2, 4 2, 2 A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据点的平移规律为上加下减，左减右加即可求解． 【详解】解：点的平移规律为上加下减，左减右加，可得横坐标不变，纵坐标减 3，1-3=-2， 故答案为 D． 【点睛】本题考查点的坐标平移规律，根据“上加下减，左减右加”即可求解． 6. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确； B、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误； C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误； D、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿 对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 3, 7, 5, 3, 2 7. 对于一组数据 ，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是 5 B. 众数是 7 C. 平均数是 4 D. 方差是 3 C【答案】 【解析】 【分析】 分别计算该组数据的众数、平均数、中位数及方差后，选择正确的答案即可． 2 3 3 5 7 2,3,3,5,7 x 4 【详解】将数据按从小到大排列为 ，平均值 ，众数 是3，中位数为 3，方 5(2 4)2 (3 4)2 (3 4)2 (5 4)2 (7 4)2 16 2差为 ，s 55故选：C． 【点睛】本题是一道有关统计的综合题，具体考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，解题时分别计 算出众数、中位数、平均数及方差后找到正确的选项即可． 8. 2 如果一个角的度数比它的补角的度数 倍多 30° ，那么这个角的度数是（ ）50° 70° B. 130° 160° D. AC. C【答案】 【解析】 【分析】 根据互为补角的定义结合已知条件列方程求解即可． 180o – xo o()【详解】解：设这个角是 ，则它的补角是： x，根据题意，得： x = 2(180- x)+ 30 ，解得： ，x 130 即这个角的度数为130 ．C故选： ． 【点睛】此题考查了补角的知识，熟悉相关性质定义是解题的关键． 如图，在 Rt △中， ,以点 B为圆心， BC 长为半径画弧，交 于点 ,连接 DAB 9. ABC C 90 ,A 50 ;则 的度数为 （） CD ACD A. B. C. D. 20° 50° 40° 30° D【答案】 【解析】 【分析】 由作图过程可知 BC=BD，根据等边对等角得到∠BCD=∠BDC=70°，则 ACD 的度数即可求解． 【详解】∵∠A=50°，可得∠B=40°， ∵BC=BD， ∴∠BCD=∠BDC， ∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°， ∴∠BCD=70°， ∴∠ACD=90°-70°=20°， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质等内容，解题的关键是通过题目描述，得到 BC=BD． k与y ax2 bx c的图象如图所示，则 的大致图象为 （ ） y kx b 10. 函数 y xA. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据反比例函数过一、三象限可确定出 k 的符号，根据二次函数图像的对称轴可以确定出 a,b 的符号，进而 求解. 【详解】解：∵反比函数过一三象限，∴ k 0 ，a 0 由二次函数开口向下可得 ，bx 0 又二次函数的对称轴 ，2a ba,b 0 b 0 ，∴，∴ 同号，∴ 2a ∴b 0 y kx b ∴一次函数 故答案为 D． 经过第一、二、三象限， 的【点睛】本题考查了一次函数和二次函数图象 知识，解题的关键是掌握一次和二次函数的图象性质，此 类题属于中考常考题型． 11. 某工程队承接了 80 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计 x划提高了 35%，结果提前 40 天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为 万平方米，则下面所列 方程中正确的是（ ） 80 80 x80 1 35% 80 x 40 A. C. B. D. 40 1 35% x x80 x80 1 35% x 80 1 35% 80 x 40 40 xA【答案】 【解析】 【分析】 根据题意分别表示实际工作和原计划工作所用的时间，再以时间为等量构造方程即可； x【 详 解 】 解 ： 由 题 意 可 得 原 计 划 的 工 作 效 率 为 ， 所 以 原 计 划 的 工 作 时 间 为 1 35% 80 x80(1 35%) 80 ，实际的工作时间为 ，所以原计划的时间减去实际的时间为 40 天，则可得 xx1 35% 80 1 35% 80 x 40 x故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题列出分式方程，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程． ÐB 12. 如图，在平行四边形 中， ，是锐角， 于点 ，是的中点， ABCD AE BC EFAB AD 2,AB 6 连接 ；若 ，则 的长为（ ） DF、EF AE EFD 90 3 2 3 3 22A. B. C. D. 52B【答案】 【解析】 【分析】 延长 EF，DA 交于 G，连接 DE，先证明△AFG≌△BFE，进而得到 BE=AG，F 是 GE 的中点，结合条件 BF⊥GE 进而得到 BF 是线段 GE 的垂直平分线，得到 GD=DE，最后在 Rt△AED 中使用勾股定理即可求解. 【详解】解：延长 EF，DA 交于 G，连接 DE，如下图所示： ∵F 是 AB 的中点，∴AF=BF， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥BC，∴∠GAB=∠EBF 且∠GFA=∠EFB，∴△AFG≌△BFE(ASA)， 设BE AG=x ，由 GF=EF，且∠DFE=90°知， DF 是线段 GE 的垂直平分线， ∴，DE DG AG AD x 2 22222在 Rt△GAE 中， ．AE AB BE ( 6) x 在 Rt△AED 中， AE2 DE2 AD2 (x 2)2 22 ， ∴∴(x 2)2 22 6 x2 ，解得 ，x 1 22，AE ( 6) 1 5 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识点，能正确作出辅助 线是解题的关键. 第Ⅱ卷 非选择题（共 102 分） 注意事项：必须使用 0.5 毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题 可先用铅笔绘出，确认后用 0.5 毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 二.填空题(共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分) 2213. 分解因式： =．3a 6ab 3b 2【答案】3 ab ．【解析】 试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出 来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 23先提取公因式 后继续应用完全平方公式分解即可： 3a2 6ab 3b2 3 a2 2ab b2 3 ab ．考点：提公因式法和应用公式法因式分解． 14. ________ ．与最接近的自然数是 14 2 【答案】2 【解析】 【分析】 先根据 得到 ，进而得到 ，因为 14 更接近 16，所以 最14 2 9 14 16 3 14 4 1 14 2 2 接近的自然数是 2． 【详解】解： ，可得 ，9 14 16 3 14 4 ∴，1 14 2 2 ∵14 接近 16， ∴故更靠近 4， 14 最接近的自然数是 2． 14 2 故答案为：2． 【点睛】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键． 15. 某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查 统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填番号）_________________． ①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图；④.整理所收集 的数据． 【答案】②④①③ 【解析】 【分析】 根据统计的一般顺序排列即可． 【详解】统计的一般步骤，一般要经过收集数据，整理数据，绘制统计图表，分析图表得出结论， 故答案为：②④①③． 【点睛】本题考查统计的一般步骤，一般要经过收集数据，整理数据，绘制统计图表，分析图表得出结 论． ,BC 长为 6 米，坡角 为45°， AB AD 16. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ，ABCD DC ∥的坡角 为30°，则 的长为 ________ 米 （结果保留根号） AD 【答案】 6 2 【解析】 【分析】 过 C 作 CE⊥AB 于 E，DF⊥AB 于 F，分别在 Rt△CEB 与 Rt△DFA 中使用三角函数即可求解. 【详解】解：过 C 作 CE⊥AB 于 E，DF⊥AB 于 F，可得矩形 CEFD 和 Rt△CEB 与 Rt△DFA， ∵BC=6， 2∴CE= ，BC sin 45 6 3 2 2∴DF=CE= ，3 2 DF AD 6 2 ∴，sin30 故答案为： ．6 2 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和 矩形，注意理解坡度与坡角的定义． 17. 如图，在矩形 中， 是上的一点，连接 ,将△ 进行翻折，恰好使点 落在BC 的中 ADE AABCD EAB DE OF 点处，在 上取一点 ，以点 为圆心， O的长为半径作半圆与 相切于点 G;若 AD 4 ,则图中 OCD FDF 阴影部分的面积为 ____ ． 2 3 9【答案】 .【解析】 【分析】 OG DO 连接 OG，证明△DOG∽△DFC，得出 ，设 OG=OF=r，进而求出圆的半径，再证明△OFQ 为等 FC DF 边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式求出答案． 【详解】解：连接 OG，过 O 点作 OH⊥BC 于 H 点，设圆 O 与 BC 交于 Q 点，如下图所示： 设圆的半径为 r， ∵CD 是圆的切线， ∴OG⊥CD， ∴△DOG∽△DFC， OG DO ∴，由翻折前后对应的线段相等可得 DF=DA=4， FC DF ∵F 是 BC 的中点，∴CF=BF=2，代入数据： r4 r 4∴∴∴∴，24r ，383OD DF OF ，OG 1sin ODG ，OD 2∴∠ODG=30°，∴∠DFC=60°， 且 OF=OQ，∴△OFQ 是等边三角形， ∴∠DOQ=180°-60°=120°， 同理△OGQ 也为等边三角形， 32 3 3∴OH= ，且 S 扇形 OGQ=S 扇形 OQF OQ 2S (S矩形OGCH S扇形OGQ SOQH ) (S扇形OQF SOQF ) ∴阴影 3 S矩形OGCH SOFQ 24 23 31 4 23 2 3 9. ( ) 332 23 32 3 .故答案为： 9【点睛】本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键． ky18. 如图， 直线 y 与轴交于点 ，与双曲线 A在第三象限交于 两点，且 B、C y 3x b xVOD EE D E E D E OE E E E E 3 ，…… 2AB AC 16 ；下列等边三角形 ，，，……的边 ，，12223312111xD ,D ,D , ……在该双曲线第一象限的分支上，则 = ____，前 25 个等边三角形的周长之 k3在轴上，顶点 12和为 _______． (1). (2). 【答案】 ；60 4 3 【解析】 【分析】 xB(x , y ),C(x , y ) H, A x , x 的坐标，得到∠HAO=30°，用含 2 的代 设，设直线与 轴的交点为H，先求解 11122AB, AC x , x 2 的方程，从而可得第一空的答案； 数式表示 ，联立函数解析式利用根与系数的关系得到关于 1x分别向 轴作垂线，垂足分别为 D , D , D , 过先根据等边三角形的性质与反比例函数的性质 E0 , E1 , 123VOD E 求解 1 的边长，依次同法可得后面等边三角形的边长，发现规律，再前 25 个等边三角形的周长之和 1即可． x，设直线与 轴的交点为H， B(x , y ),C(x , y ) 【详解】解：设 1122y 0, 令则 3x b 0, 3b x ,3x 0, y b, 令则3b ∴H（ ），又 A（0，b）， ,0 333b OH ,OA b, 3∴tan∠HAO= ，∴∠HAO=30°， 3CN y BM y M , 过过B作轴于 作轴于 ，，CNx CN x ，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM= 122x 2x ∴AB= 1 ，AC= ，2AB AC 4x x ∴，12y 3x b 联立 得到 ky x2。3x bx k 0 kx x 4x x16 ∴∴，由已知可得 ，12123，k 4 3 4 3 ∴反比例函数的解析式为 ，y xx分别向 轴作垂线，垂足分别为 D , D , D , 过设E0 , E1 , 1234 3 D x, ,1 x4 3 由等边三角形的性质得： OE0 E0E1 x, D E0 ,D OE0 60, 11×4 3 xxtan 60 3, 得： x2 4, x 2, x 2 （舍去） 经检验： x 2 符合题意， D O 4, 1VOD E 可得 1 的边长为 4， 14 3 D n, 同理设 ，2 n4 3 E1E1 n 4, D2E1 ,x4 3 nn 4 tan 60 3, n2 4n 4 0, 解得： （舍去） n 2 2 2,n 2 2 2 经检验： 符合题意， n 2 2 2 1E E 2E E 2 2 2 2 4 4 2 4, 121D2E1E2 的边长为 ，4 2 4 D2E2E3 同理可得： 的边长为 ，4 3 4 2 Dn En En1 的边长为 ．4 n 1 4 n ∴前 25 个等边三角形的周长之和为 3[4 (4 2 4) (4 3 4 2) (4 25 4 24)] =4 253 203 60. 故答案为： 4 3,60. 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，考查一元二次方程的根与系数的关系，等边三角形的性质的应 用，锐角三角函数的应用，同时考查与反比例函数相关的规律题，掌握以上知识是解题的关键． 三.解答题(共 8 个题，共 78 分) 1 01619. 计算： ．2 5 5 【答案】 【解析】 【分析】 根据实数的绝对值、零指数幂和负指数幂的知识进行计算即可． 12 1 1 6 5 1【详解】解：原式= ( )1 6【点睛】本题考查了实数的绝对值、零指数幂、和负指数幂的性质，解答关键是根据相关运算法则进行计 算． x 1 0 x 1 x2 4 1x，其中 为不等式组 1 20. 先化简，再求值： 的整数解． 5 2x 3 x 1 112【答案】 ，x 2 【解析】 【分析】 根据分式的运算法则化简式子，再解不等式组得到不等式组的整数解，代入即可． x 1 x2 4 1x 1 x 2 11 【详解】解： ，x 1 (x 2)(x 2) x 1 x 2 解不等式组可得 ，1 x 1 x，即 x 1，且 为整数， ∵∴x 1 0 112 ，代入 ．x 0 x 2 【点睛】本题考查分式的化简求值、不等式组的整数解，解题的关键是取值时，注意分式的分母不能为 0． 21. 如图，在正方形 中，点 在BC 边的延长线上，点 在边的延长线上，且CE DF ,连接 CD ABCD EF和AE BF 相交于点 ．M求证： ．AE BF 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】 利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明 BE=CF，可得三角形的全等，利用全 等三角形的性质可得答案． 【详解】证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°， 又∵CE=DF， ∴CE+BC=DF+CD 即 BE=CF， 在△BCF 和△ABE 中， BE CF ABE BCF AB BC ∴△ABE ≌ △BCF （SAS）， ∴AE=BF． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 22. 某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“ :文明礼仪； B：环境保护； ；卫生 CA保洁； :垃圾分类 ”四个主题，每个学生选一个主题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学 D生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图． m⑴.本次调查的学生人数是 ⑵.请补全条形统计图； 人， =；⑶.学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天 是星期一的概率是 是星期三的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中一天 ．1412【答案】（1）60，30；（2）画图见解析；（3） ，【解析】 【分析】 (1)由 B 的人数是 12 人，所占的百分比为 20%即可求出总的学生人数，再用 18 除以总人数即可得到 m 的值； (2)总人数减去 A、B、D 的人数即可得到 C 的人数； (3)采用列举的形式，将所有可能的情况按照从星期一到星期五的顺序列出来，然后再用符合题意要求的情 况除以总的情况即可得到概率. 【详解】（1） ，12 20% 60 18 60 30% ∴本次调查的学生人数为 60 人， 故答案为：60，m=30. ，故 m=30． （2）C 的人数为：60-18-12-9=21(人)，补全图形如下所示： （3）星期一到星期五连续的两天为（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、星期四），（星期四、 星期五）共 4 种情况， 1符合题意的只有（星期一、星期二）这一种情况，故概率为 ；4在星期一到星期四任选两天的所有情况如下：（星期一、星期二），（星期一、星期三），（星期一、星期四）， （星期二、星期三）、（星期二、星期四），（星期三、星期四）共 6 种情况， 其中有一天是星期三的情况有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共 3 种情况， 312所以概率是 故答案为： .611，.24【点睛】本题考查了列表法、扇形统计图、条形统计图以及概率公式：通过列表法或树状图法展示所有等 可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概 率． 的23. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同 商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折 促销，甲商场所有商品按 9 折出售，乙商场对一次购物中超过 100 元后的价格部分打 8 折． y（单位：元）表示商品原价， （单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 yx⑴. 以x关于 的函数关系式； ⑵. 新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ ìï x 0„ x„ 100 )(ïy = í200 【答案】（1） ；（ ）当购买商品原价金额小于 2时，选择甲商场更划算；当购 乙ï0.8x + 20 (x > 100) ïî买商品原价金额等于 200 时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于 200 时，选择 乙商场更划算. 【解析】 【分析】 y（ ）根据题意，可以分别写出两家商场对应的关于 的函数解析式； x121（ ）根据（ ）中函数关系式，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选择这两家商场 去购物更省钱． 1【详解】解：（ ）由题意可得， y = 0.9x ，甲y x 0„ x„ 100 当当时， ，乙y = 100+ x- 100 ´ 0.8 = 0.8x + 20 ()时， ，x 100 乙ìï x 0„ x„ 100 )(ïy = í由上可得， ；乙ï0.8x + 20 (x > 100) ïî2（ ）由题意可知，当购买商品原价小于等于 100 9时，甲商场打 折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加 划算； 100 当购买商品原价超过 元时， 0.8x + 20 > 0.9x 0.8x + 20 = 0.9x 0.8x + 20 < 0.9x 若若若，即 此时甲商场花费更低，购物选择甲商场； ，此时甲乙商场购物花费一样； x 200 x 200 x 200 ，即 ，即 时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场； 200 200 时，选择 综上所述：当购买商品原价金额小于 时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于 200 甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于 时，选择乙商场更划算． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数 的性质和不等式的性质解答． 24. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想 x的几何意义是数轴上 所对应的点与2 所对应的点之间的距离；因为 x 2 方法.例如，代数式 x的几何意义就是数轴上 所对应的点与所对应的点之间的距离． x 1 x 1 x 1 ，所以 1 x 1 x 2 A, B, P ⑴. 发现问题：代数式 的最小值是多少？ 1, 2, x AB 3 ．⑵. 探究问题：如图，点 分别表示的是 ，x 1 x 2 ∵的几何意义是线段 与的长度之和 PB PA ∴当点 P在线段 上时， PA PB 3;当点点 最小值是 3． PB在点 的左侧或点 的右侧时PA PB 3 AB Ax 1 x 2 的∴⑶.解决问题： x 4 x 2 ①. 的最小值是 ；x 3 x 1 4 ②.利用上述思想方法解不等式： ax a x 3 ③.当 为何值时，代数式 的最小值是 2． 【答案】①6；② x 3 【解析】 或x 1；③ 或a 1 a 5 【分析】 (3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2 的距离和到 4 的距离之和的最小值； ②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可； ③根据原式的最小值为 2，得到 3 左边和右边，且到 3 距离为 2 的点即可． 【详解】解：(3)①设 A 表示的数为 4，B 表示的数为-2，P 表示的数为 x， | x 4 | ∴表示数轴上的点 P 到 4 的距离，用线段 PA 表示， | x 2 || x (2) | 表示数轴上的点 P 到-2 的距离，用线段 PB 表示， | x 4 | | x 2 | ∴的几何意义表示为 PA+PB，当 P 在线段 AB 上时取得最小值为 AB， 且线段 AB 的长度为 6， | x 4 | | x 2 | ∴的最小值为 6. 故答案为：6. ②设 A 表示-3，B 表示 1，P 表示 x， ∴线段 AB 的长度为 4，则， | x 3| | x 1| 的几何意义表示为 PA+PB， ∴不等式的几何意义是 PA+PB＞AB， ∴P 不能在线段 AB 上，应该在 A 的左侧或者 B 的右侧， 即不等式的解集为 x 3 故答案为： x 3 ③设 A 表示-a，B 表示 3，P 表示 x， 或x 1 ．或x 1 ．a 3 则线段 AB 的长度为 ，x a x 3 a 3 2 的几何意义表示为 PA+PB，当 P 在线段 AB 上时 PA+PB 取得最小值， ∴∴即或a 3 2 a 3 2 ，或a 1 a 5 ；故答案为： 或a 1 a 5 .【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分 类讨论是解决本题的关键． 25. 如图，⊙ 是△ O的外接圆， 为直径，点 P是⊙ 外一点，且 O，连接 ABC PO AB PA PC 2AB 交于点 ，延长 D交⊙ 于点 O．AC PO F⑴.证明： = ；CF AF ⑵.若 ，证明： 是⊙ 的切线； OPA tan ABC 2 2 ⑶.在⑵的条件下，连接 交⊙ 于点 ,连接 ;若 ，求 的长． OBC 2 PB DE DE E4 3 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3） 3【解析】 【分析】 （1）连接 CO，易证△PCO≌△PAO，得 PO 为∠APC 的角平分线，根据条件证出 F 为优弧 中点，即 AC 可证明 = ；CF AF （2）因为 AB 是直径，所以∠ACB=90°，由 tan∠ABC= 可求得∠ABC 的正弦和余弦，设⊙O 的半径 2 2 为 r，则 AB=2r，根据三角函数表示出 BC，AC 的长度，由勾股定理表示出 OD 的长度，易得 8PD PA2 AD2 r 22PA=PC= ，，PO=PD+OD=3r，由 2 可得 PA⊥OA，即可 PA AO PO 2 2r 3证明 是⊙ 的切线； OPA （3）连接 AE，过 E 作 EN⊥PD 于 N，过 B 作 BH⊥PF 于 H，由（2）可得， ，PB= ，证出 r 3 2 3r 4 3 2 2 3△PEA∽△PAB，可得 ，证出四边形 BCDH 是矩形，得 BH=CD= ，在 Rt△BPH 和 rPE r320 4 2 9PN PE2 EN2 r，ND=PD-PN= Rt△PEN 中表示出 sin∠BPH，可得 ，EN r98320 44 3 9ND2 EN2 r r r ，在 Rt△NED 中，DE= ，代入 r=3 即可 r99【详解】解：（1）证明：如图，连接 CO， 在△PCO 和△PAO 中， CO AO PO PO , PA PC ∴△PCO≌△PAO（SSS）， ∴∠CPO=∠APO，即 PO 为∠APC 的角平分线， ∵PA=PC， ∴CD=AD，PF⊥AC， ∵AC 为⊙O 的弦，PF 过圆心 O， ∴F 为优弧 中点， AC ∴ = ，CF AF （2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，且弦 AB 所对圆周角为∠ACB， ∴∠ACB=90°， ∵tan∠ABC= ∴sin∠ABC= ，2 2 132 2 3，cos∠ABC= ，设⊙O 的半径为 r，则 AB=2r， 2r 4 2r ∴BC=ABcos∠ABC= ，AC=ABsin∠ABC= ，331OD CO2 CD2 r ∴，3∵PA=PC= AB， 2∴PA=PC= ，2 2r 8PD PA2 AD2 r ∴，3∴PO=PD+OD=3r， 22∴2 ，即 PA⊥OA， PA AO PO 又∵OA 是⊙O 半径， ∴PA 是⊙O 的切线； 2BC r 2 （3）由（2）可得 ，3∴，r 3 2222在 Rt△PBA 中， ，连接 AE，可得∠AEB=90°， PB PA AB 8r 4r 2 3r ∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB， ∴△PEA∽△PAB， PE PA ∴∴，PA PB 4 3 ，PE r3过 E 作 EN⊥PD 于 N，过 B 作 BH⊥PF 于 H，如图所示， ∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°， ∴四边形 BCDH 是矩形， 2 2 ∴BH=CD= ，r32 2 32 3r rBH PB 6，在 Rt△BPH 中，sin∠BPH= 9EN PE 4 2 9在 Rt△PEN 中，sin∠BPH= ，∴ ，EN r20 PN PE2 EN2 r∴，98320 4r r r ∴ND=PD-PN= ，994 3 9ND2 EN2 r在 Rt△NED 中，DE= ，∵，r 3 4 3 3∴DE= ．【点睛】此题考查了圆的综合应用，用到的知识点是矩形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理以 及解直角三角形等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用． 在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx 3 26. 与轴相交于 、yxA 3,0 B 1,0 ，交 轴于点，点 NMx抛物线的顶点，对称轴与 轴交于点 ．C⑴.求抛物线的解析式； ⑵.如图 1，连接 ,点 是线段 上方抛物线上的一动点， EF AM 于点 ；过点 E作轴于 EH x EFAM AM y点H,交 于点 .点 P是轴上一动点，当 取最大值时． DEF AM ①.求 PD PC 的最小值； 1yQDQ OQ ②.如图 2， 点是 轴上一动点,请直接写出 的最小值． 45；② 2【答案】（1） y x2 2x 3 ；（2）① 13 【解析】 【分析】 （1）直接利用待定系数法，把 A,B 两点代入解析式即可求出． （2）利用配方法求出 M 点，求出直线 AM 的解析式，从而可以得出经过点 E 且与直线 AM 平行的直线 l解析式，再根据当直线 与抛物线只有一个交点时，EF 取最大值，利用根的判别式可求出 E 点和 D 点的坐 l标，再根据当 P,B,D 三点共线时，PD+PC 有最小值，利用勾股定理即可求出． （3）利用添加辅助线，对线段 OQ 进行转化，再根据三点共线求出最小值． 【详解】1）将 A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数 y ax2 bx 3得， 9a 3b 3 0 a 1 ，∴二次函数的解析式为 y x2 2x 3 ；{{解之得 a b 3 0 b 2 （2）①将二次函数 y x2 2x 3 配方得 y (x 1)2 4 ∴M（-1,4） ，y px q A(3,0), M (1,4) 设直线 AM 的解析式为 ，将 代入直线可得， 3p q 0 p 2 {{解得 ， p q 4 q 6 y 2x 6 ∴直线 AM 的解析式为 ，y 2x m 过 E 作直线 ，平行于直线AM，且解析式为 ，l∵E 在直线 AM 上方的抛物线上， 3 x 1 ∴；E当直线 与AM 距离最大时，EF 取得最大值， l∴当 与抛物线只有一个交点时，EF 取得最大值， l2将直线 的解析式代入抛物线得 l，x 4x m 3 0 16 41(m 3) 0 由题意可得，△= ，经计算得 ，将 代入二次方程可得， m 7 m 7 2，x 4x 4 0 y 3 ，∴∴，即 E 点的横坐标为-2，将 代入抛物线得 x 2 x 2 E(2,3) ，x⊥ 轴， 又∵ ED x x 2 x 2 ∴∴∵，将 代入直线 AM， DEDD(2,2) ，C(1,0), B(1,0) ，y∴B、C 两点关于 轴对称， ∴∴，PB PC ，当 P、B、D 三点不共线时 ，PC PD PB PD PB PD BD 当 P、B、D 三点共线时， ，PB PD BD ∴当 P、B、D 三点共线时 PC+PD 取得最小值， 22在 Rt△BHD 中。DH=2，BH=3，∴BD= ，DH BH 13 ∴的最小值为 ；PC PD 13 yx②过 Q 作直线平行于 轴，并在 轴右侧该直线上取一点G，使得， 1OQ QG= ，41D,Q,G DQ OQ DQ QG ∴，当 三点共线时， 41G( y, y) DQ+QG 取得最小值，设 Q（0，y），则 ，4x∵QG∥ 轴， y y y 2 ∴，DGQy 2 ∴∴，15452DQ OQ y 的最小值为 ．4【点晴】本题主要考查了二次函数综合应用，利用待定系数求解析式，根的判别式求点的坐标，利用三点 共线求最值的问题． 本试卷的题干 0635
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