四川省甘孜州 2020 年中考数学试题 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有 一项符合题目要求） 1. 气温由-5℃上升了 4℃时的气温是（ ）A. B. C. D. －1℃ 1℃ －9℃ 9℃ A【答案】 【解析】 【分析】 根据题意列出算式，计算即可． 【详解】解：根据题意，得-5+4=-1， 则气温由-5℃上升了 4℃时的气温是-1℃． 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2. 如图摆放的下列几何体中，左视图是圆的是（ ）A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 分别找到四个立体图形的左视图即可，左视图是从左面看所得到的平面图形． 【详解】解：A、正方体的左视图是正方形，不符合题意； B、圆柱的左视图是矩形，不符合题意； C、球的三视图都是圆，符合题意； D、圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置． 3. 月球与地球之间的平均距离约为 38.4 万公里，38.4 万用科学记数法表示为（ ）38.4104 3.84105 0.384106 3.84106 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 nn1„ | a |10 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ，为整数，据此判断即可． a 10 5【详解】解：38.4 万 384000 3.8410 ．故选： B ． n1„ | a |10 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为 ，其中 ，确 a 10 an的值是解题的关键．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小 定与数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 1x中，自变量 的取值范围是（ 4. 函数 y ）x 3 A. B. C. D. x 3 x 3 x 3 x 3 C【答案】 【解析】 【分析】 根据分母不等于 0 列式计算即可得解． 【详解】解：由题意，得 x+3≠0， 解得 x≠-3． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． x关于 轴对称的点是（ 2,1 5. 在平面直角坐标系中，点 ）2,1 (1, 2) 1,2 2,1 A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数’解答即可. x关于 轴对称的点的坐标是 P 2,1 2,1 ，【详解】解：点 故选：A 【点睛】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律： (1)关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 31 0 6. 分式方程 的解为（ ）x 1 A. B. x 2 C. x 3 D. x 1 x 4 D【答案】 【解析】 【分析】 根据解分式方程的步骤解答即可． 31 【详解】解：方程变形得 .x 1 方程的两边同乘（x-1）,得 3=x-1. 解得 x=4. 经检验，x=4 是原方程的解． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键． 7. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点．若菱形 ABCD 的周长为 32，则 OE 的长为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B【答案】 【解析】 【分析】 利用菱形的对边相等以及对角线互相垂直，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD， ∴∠AOB=90°， 又∵AB+BC+CD+AD=32． ∴AB=8， 在 Rt△AOB 中，OE 是斜边上的中线， 1∴OE= AB=4． 2故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质．注意：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半． 8. 下列运算中，正确的是（ ）2a3 a5 a3 (a) a2 a 2a2 3a3 a4 a4 a16 A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方以及合并同类项法则即可逐一排除． 44【详解】解：A、 8 ，故 A 错误； a a a B、a 与 2a2 不是同类项，不能合并，故 B 错误； 3C、 D、 2 ，故 C 正确； a (a) a 2a3 a6 ，故 D 错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方以及合并同类项，解题的关键是熟悉基本的运算法则． 9. 如图，等腰△ 中，点 D，E 分别在腰 AB，AC 上，添加下列条件，不能判定 ≌的是 ABC ACD △ABE （）A. B. C. ADC AEB D. DCB EBC BE CD AD AE B【答案】 【解析】 【分析】 根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案． 【详解】解： A、若添加 ，由于 AB=AC，∠A 是公共角，则可根据 SAS 判定 ≌，ACD AD AE △ABE 故本选项不符合题意； B、若添加 C、若添加 ，不能判定 ≌，故本选项符合题意； BE CD ACD △ABE ADC AEB ，由于 AB=AC，∠A 是公共角，则可根据 AAS 判定 ≌ACD ，故本 △ABE 选项不符合题意； D、若添加 DCB EBC ，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A 是公共角，则可 根据 ASA 判定 故选：B． ≌，故本选项不符合题意． ACD △ABE 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定 方法是解题的关键． 如图，二次函数 y a(x 1)2 k 的图象与 轴交于 ，B 两点，下列说法错误的是（ ）xA 3,0 10. a 0 A. B. 图象的对称轴为直线 x 1 1,0 C. 点 B 的坐标为 D. 当 时，y 随 x 的增大而增大 x 0 D【答案】 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以 a<0,故 A 选项正确； 因为二次函数的解析式为 y a(x 1)2 k ，所以图象的对称轴为直线 ，故 B 选项正确； x 1 因为二次函数的对称轴为直线 ，A,B 两点是抛物线与 x 轴的交点， x 1 所以 A,B 两点到对称轴的距离相等， 设 B 点坐标为（b,0）,则有 b-(-1)=(-1)-(-3), 解得 b=1, 所以 B 点坐标为（-1,0）. 故 C 选项正确； 由图形可知当 x -1时,y 随 x 的增大而增大，当-1<x<0 时，y 随 x 的增大而减小，故 D 选项错误. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属 于基础题型． 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 5 11. _______． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义求解． 5 5 【详解】解：在数轴上，点﹣5 到原点的距离是 5，所以， 故答案为：5． 【点睛】本题考查绝对值的概念． EAD 40 12. 如图，在ABCD 中，过点 C 作CE AB ，垂足为 E，若 ，则 BCE 的度数为____． 【答案】50° 【解析】 【分析】 由平行四边形的性质得出∠B=∠EAD=40°，由角的互余关系得出∠BCE=90°-∠B 即可． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠B=∠EAD=40°， ∵CE⊥AB， ∴∠BCE=90°-∠B=50°； 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的内角和；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B 的度数是 解决问题的关键． 13. 某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了 10 名同学，得到如下数据： 锻炼时闭（小时） 人数 51647382则这 10 名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是__________小时． 【答案】6.6 【解析】 【分析】 根据加权平均数的定义解答即可． 51 64 7382 6.6 【详解】解：这 10 名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数= 故答案为：6.6． 小时． 10 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是解题关键． 14. 如图，AB 为 O CD AB 的直径，弦 于点H，若 ，CD 8 ，则 OH 的长度为__． AB 10 【答案】3 【解析】 【分析】 连接 OC，由垂径定理可求出 CH 的长度，在 Rt△OCH 中，根据 CH 和⊙O 的半径，即可由勾股定理求出 OH 的长． 【详解】连接 OC， 11Rt△OCH 中，OC= AB=5，CH= CD=4； 222222由勾股定理，得：OH= ；OC CH 5 4 3 即线段 OH 的长为 3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定 理． 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 54 分） 15. （1）计算： ．12 4sin60 (2020 ) x 2 1, （2）解不等式组： 2x 1 3. 3【答案】（1）1；（2）-3＜x≤5． 【解析】 【分析】 （1）原式根据二次根式的性质、特殊角三角函数值以及零指数幂的运算法则分别化简各项，然后再合并； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）计算： 12 4sin60 (2020 ) 3=，2 3 4 1 2=，2 3 2 31 =1； x 2 1① （2） 2x 1 3② 3解不等式①得，x＞-3， 解不等式②得，x≤5， 所以，不等式组的解集为：-3＜x≤5． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及求不等式组的解集，解答此题的关键是熟练掌握运算法则， 确定不等式组的解集就熟练掌握口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无 解）”． 31 a2 4 16. 化简： ．a 2 a 2 【答案】 2a 8 【解析】 【分析】 括号内先通分，化为同分母分式后，根据分式的运算法则计算可得． 31 a2 4 【详解】 a 2 a 2 3(a 2) (a 2)(a 2) (a 2)(a 2) a 2 ==(a 2)(a 2) 2a 8 (a 2)(a 2) (a 2)(a 2) ．2a8 【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则． 17. 热气球的探测器显示，从热气球 A 处看大楼 BC 顶部 C 的仰角为 30°，看大楼底部 B 的俯角为 45°， 热气球与该楼的水平距离 AD 为 60 米，求大楼 BC 的高度．（结果精确到 1 米，参考数据： ）3 1.73 【答案】这栋楼的高度约为 95 米． 【解析】 【分析】 利用正切函数分别在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中求得 BD 与 CD 的长即可． 【详解】由题意可知 BAD 45 ，，CAD 30 AD 60 米， 在RtABD 中， (米)， BD AD tan45 601 60 3在RtACD 中， (米)， CD AD tan30 60 20 3 3(米)． BC BD CD 60 20 3 60 201.73 60 34.6 95 答：这栋楼的高度约为 95 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确确定直角三角形，灵活运用相关知识是解此题的关键． 1kxA 2,m 18. 如图，一次函数 y x 1 y 的图象与反比例函数 的图象相交于 和 B 两点． 2（1）求反比例函数的解析式； （2）求点 B 的坐标． 4B 4,1 y 【答案】（1） ；（2） ．x【解析】 【分析】 1kA 2,m y x 1 y （1）将 代入一次函数 中，求出 m，再将点 A 代入反比例函数 即可； 2x（2）联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组即可解答． 1A 2,m y x 1 【详解】解：（1）将 代入一次函数 中得： 21m 2 1 2 ，2kkA 2,2 y 2 ∴，代入反比例函数 中得： ，2x解得：k=4， 4y ∴反比例函数解析式为 ；x1y x 1 24（2）联立一次函数与反比例函数解析式得： y xx 2 y 2 x 4 y 1 解得： 或，B 4,1 ∴．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 19. 为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查 结果，得到如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了________名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 ________； （2）若该学校有 1500 名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数； （3）现从最喜欢夏季的 3 名同学 A，B，C 中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛， 请用列表或画树状图的方法求恰好选到 A，B 去参加比赛的概率． 1【答案】（1）120；108°；（2） 名；（3） ．150 3【解析】 【分析】 （1）由“夏季”的人数除以占的百分比得出调查学生的总数即可；求出“春季”占的比例，乘以 可得到结果； 即360 （2）用全校学生数×最喜欢冬季的人数所占比例即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的 2 名学生中恰好有 A，B 的 情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）根据题意得：18÷15%=120（名）； “春季”占的角度为 36÷120×360°=108°． 故答案为：120；108°； 12 150 （2）该校最喜欢冬季的同学的人数为：1500 （3）画树状图得： （名）； 120 ∵共有 6 种等可能的结果，恰好选到 A，B 的有 2 种情况， 2613故恰好选到 A，B 的概率是： ．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．列表法或画树状 图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步 以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D． （1）求证： ；CAD CAB AD 2（2）若 ，，求 CD 的长． AC 2 6 AB 3【答案】(1)见解析；（2） .2 2 【解析】 【分析】 的（1）连接 OC，根据切线 性质，判断出AD∥OC，再应用平行线的性质，即可推得 ．CAD CAB ~(2)连接 BC，通过证明△ADC △ACB，可求出 AD 的长，再在 Rt△ADC 中，通过勾股定理可求出 CD 的 长. 【详解】解：（1）证明：如图，连接 OC， ，∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC⊥CD． ∵AD⊥CD， ∴AD∥OC， ∴∠DAC=∠ACO． ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠DAC=∠CAB. (2)如图，连接 BC ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°. ∵AD⊥CD， ∴∠ADC=90°. ∴∠ADC=∠ACB. 由（1）知∠DAC=∠CAB， ~∴△ADC △ACB. AD AC ∴AC AB AD AB 23∵∴，,则可设 AD=2x,AB=3x,x>0, AC 2 6 2x 2 6 .3x 2 6 解得 x=2 ∴AD=4. AC2 AD2 2 2 在 Rt△ADC 中，由勾股定理，得 CD= =.【点睛】此题主要考查了切线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是 要明确：若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系． 四、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） a21. 在单词 mathematics （数学）中任意选择-一个字母，选中字母“ ”的概率为______． 2【答案】 11 【解析】 【分析】 a由题意可知总共有 11 个字母，求出字母 的个数，利用概率公式进行求解即可． a【详解】解：共有 个字母，其中 11 有 个， 22a所以选中字母“ ”的概率为 .11 2故答案为： .11 【点睛】本题考查概率的求法，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m m种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= .n2222. 若，则代数式 的值为________． 2m 4m 3 m 2m 1 【答案】5 【解析】 【分析】 化为 2(m2 2m) 3 的形式，再整体代入求值即可. 2把2m 4m 3 2【详解】解：∵ ，m 2m 1 22∴．2m 4m 3 2(m 2m) 3 21 3 5 故答案为：5． 【点睛】本题考查了求代数式的值，运用整体的数学思想是解决问题的关键． 223. 三角形的两边长分别为 4 和 7，第三边的长是方程 的解，则这个三角形的周长是________． x 8x 12 0 【答案】17 【解析】 【分析】 先利用因式分解法求解得出 x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 2【详解】解：解方程 得 x =2，x =6， 1 2 x 8x 12 0 当 x=2 时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去； 当 x=6 时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为 4+7+6=17. 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 24. 如图，有一张长方形片 ABCD， AB 8cm ，BC 10cm ．点 E 为 CD 上一点，将纸片沿 AE 折叠，BC 的对应边 恰好经过点 D，则线段 DE 的长为________cm． B C 【答案】5 【解析】 【分析】 根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在 Rt△ 中，由勾股定理求出 的长，则可得出 的C ‘D B’D AB’D 长，再在 Rt△ EC ‘D 利用勾股定理进行计算即可求 DE 的长. 【详解】解：∵四边形 ABCD 是长方形， ∴AD=BC=10,CD=AB=8,∠B=∠C=90°. AB AB’ 8, 根据折叠的性质,得 =8-DE, B’C ‘ CB 10,∠ =∠B=90°. B’ CE C ‘E AD2 AB’2 在 Rt△ 中,由勾股定理，得 ==6. B’D AB’D ∴=10-6=4. C ‘D 222在 Rt△ EC ‘D 中,由勾股定理，得 .C ‘E C ‘D DE ∴（8-DE）2+42=DE2. 解得 DE=5. 故答案是：5. 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 2y x 1 xOy 25. 如图，在平面直角坐标系 y 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点， x若点 P 是第一象限内反比例函数图象上一点，且 为________． 的面积是AOB 的面积的 2 倍，则点 P 的横坐标 △ABP 【答案】2． 【解析】 【分析】 y x 1 2P x, (x＞0) 联立方程组 求出 A，B 两点坐标，设 ，过 P 作 轴，过 B 作 BF x 轴， PE x 2y xx过 A 作 轴，交 BF 于 F 点，交 PE 于点 E，分别求出梯形 BFEP、△APE、△ABF、△AOB、△ABP AE / /x 的面积，根据 的面积是AOB 的面积的 2 倍列方程求解即可． △ABP y x 1 【详解】联立方程组 ，2y xx 1 x 2 12解得， ，，y1 2 y2 1 A(2,1) B(1,2) ，2P x, (x＞0) 设，过 P 作 轴，过 B 作 BF x 轴，过 A 作 轴，交 BF 于 F 点，交 PE 于 AE / /x PE x x点 E，如图， 11 2 124SAPE PE AE 1 (x 2) 4 x ，22 x x1 2 122S梯形BFEP 1 3 (x 1) 4x 2 ，2 x x19SABF (2 1)(2 1) ，22对于 y=x+1，当 x=0 时，y=1；当 y=0 时，x=-1； 1132S 21 11 ∴，AOB 22SABP SABF S梯形BFEP SAPE 1229 1 44x 2 4 x x2 2 x1263 3x xSABP 2SADB 3 12623 3x 3 ，整理得， x x 2 0 xx 1 ， x 2， 解得， 经检验 12x 1 ， x 2是原方程的解， 12∵x＞0， ∴x=2． ∴点 P 的横坐标为：2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象 的交点坐标满足两函数的解析式． 五、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分） 26. 某商品的进价为每件 40 元，在销售过程中发现，每周的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系 y kx b 可以近似看作一次函数 周销售 10 件． （1）求 k，b 的值； ，且当售价定为 50 元/件时，每周销售 30 件，当售价定为 70 元/件时，每 （2）求销售该商品每周的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可 获得的最大利润． 2【答案】（1）k=-1，b=80；（2） ，最大利润为 400 元． w x 120x 3200 【解析】 【分析】 （1）将“当售价定为 50 元/件时，每周销售 30 件，当售价定为 70 元/件时，每周销售 10 件”代入一次函 y kx b 数，即可解答； 2（2）根据利润=销售量×（销售单价-进价），得到 最大为 400 元即可． ，再根据二次函数的性质得到利润 w (x 60) 400 【详解】解：（1）由题意可得，当 x=50 时，y=30；当 x=70 时，y=10， y kx b 代入 中得： 50k b 30 70k b 10 k 1 b 80 ，解得： ，∴k=-1，b=80； （2）由（1）可知，y=-x+80， 22∴，w (x 40)y (x 40)(x 80) x 120x 3200 (x 60) 400 ∵y=-x+80≥0， ∴40 x 80 ∵-1＜0， ∴当 x=60 时，w 有最大值，此时 w=400， 即最大利润为 400 元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意列出 函数关系式，并熟悉二次函数的性质． 27. 如图， 中， ，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC ，点 D 落 线段AB 上， RtABC ACB 90 在连接 BE． （1）求证：DC 平分 ；ADE （2）试判断 BE 与 AB 的位置关系，并说明理由： （3）若 ，求 的值． tan ABC BE BD 【答案】（1）见解析；（2）BE⊥AB，理由见解析；（3） ．2 1 【解析】 【分析】 （1）根据旋转的性质可得 AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性质得到∠A=∠ADC 即可证明 ∠ADC=∠CDE； （2）根据旋转的性质得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，从而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再 根据∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°； （3）设 BD=BE=a，根据勾股定理计算出 AB=DE= ，表达出 AD，再证明△ACD∽△BCE，得到 2a AD AC 2a a a即可． 2 1 BE BC 【详解】解：（1）由旋转可知：AC=CD，∠A=∠CDE， ∴∠A=∠ADC， ∴∠ADC=∠CDE，即 DC 平分∠ADE； （2）BE⊥AB， 理由：由旋转可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB， 又∵∠ACB=90°， ∴∠CAD+∠ABC=90°， ∴∠CBE+∠ABC=90°， 即∠ABE=90°， ∴BE⊥AB； （3）∵∠ABE=90°，BD=BE， 22∴设 BD=BE=a，则 又∵AB=DE， ，DE BD BE 2a ∴AB= ，则 AD= ，2a 2a a 由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB， ∴△ACD∽△BCE， AD AC 2a a a∴， 2 1 BE BC AC BC 2 1 ∴tan∠ABC= ．【点睛】本题考查了旋转的综合应用以及相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，解题的关键是 熟练掌握旋转的性质，并熟记锐角三角函数的定义． xOy y kx 3 C 1,0 ．28. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，经过 A，B 两点的抛 物线 y x2 bx c 与 x 轴的正半轴相交于点 （1）求抛物线的解析式； （2）若 P 为线段 AB 上一点， APO ACB ，求 AP 的长； （3）在（2）的条件下，设 M 是 y 轴上一点，试问：抛物线上是否存在点 N，使得以 A，P，M，N 为顶点 的四边形为平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） y x2 2x 3 ；（2） ；（3）存在，点 N 的坐标为( 2 ，3) 或( ，)5 22 2 【解析】 【分析】 与 y 轴的交点求得点 B 的坐标，然后把点 B、C 的坐标代入 y x2 bx c ，即 y kx 3 （1）利用直线 可求解； ~（2）先求得点 A 的坐标，证得△PAO △CAB，利用对应边成比例即可求解； （3）分点 N 在 AB 的上方或下方两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，利 用三角形全等，即可求解． y 3 ，【详解】（1）令 ，则 x 0 ∴点 B 的坐标为(0，3)， 抛物线 y x2 bx c 经过点 B (0，3)，C (1，0)， c 3 b 2 c 3 ∴，解得 ，1 b c 0 ∴抛物线的解析式为： y x2 2x 3 ；2y 0 （2）令 ，则 ，x 2x 3 0 x 1，x 3 解得： ，12∴点 A 的坐标为( ，0)， 3 ∴OA=3，OB=3，OC=1， 2222，AB OA OB 3 3 3 2 APO ACB PAO CAB ，∵，且 ~∴△PAO △CAB， AP 3AP OA ∴∴，即 ；，4AC AB 3 2 AP 2 2 （3）存在， 过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D， ∵OA=3，OB=3，∠AOB= ，90 ∴∠BAO=∠ABO= ，45 ∴△PAD 为等腰直角三角形， ∵，AP 2 2 ∴PD=AD=2， ∴点 P 的坐标为( ，2)， 1 当 N 在 AB 的上方时，过点 N 作 NE⊥y 轴于点 E，如图， ∵四边形 APMN 为平行四边形， ∴NM∥AP，NM=AP= ，2 2 ∴∠NME=∠ABO= ，45 ∴△NME 为等腰直角三角形， ∴Rt△NME Rt△APD， ∴NE=AD=2， 当时， y (2)2 2(2) 3 3， x 2 ∴点 N 的坐标为( 2 ，3)， 当 N 在 AB 的下方时，过点 N 作 NF⊥y 轴于点 F，如图， 同理可得：Rt△NMF Rt△APD， ∴NF=AD=2， 当x 2 时， y 22 22 3 5 ，5 )， ∴点 N 的坐标为( ，25 ) ． 综上，点 N 的坐标为( 2 ，3) 或( ，2【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二 次函数的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．正确作 出图形是解题的关键． 本试卷的题干 0635
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