泸州市二○二○年初中学业水平考试 数学试题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页．全卷满分 120 分．考试 时间共 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将 试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用 2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题 号位置作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 2 的倒数是（ ） 1212A. B. C. D. -2 2B【答案】 【解析】 【分析】倒数定义：乘积为 1 的两个数互为倒数，由此即可得出答案. 1【详解】∵2× =1， 21∴2 的倒数是 故选 B . ，2【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为 1 的两个数互为倒数是解题的关键. 2. 将 867000 用科学记数法表示为（ ）867103 8.67104 8.67105 8.67106 D. A. B. C. C【答案】 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 【详解】解：867000=8.67×105， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 如下图所示的几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据主视图的意义和几何体得出即可． 【详解】解：几何体的主视图是： B故选： ． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图的应用，能理解三视图的意义是解此题的关键． A(2,3) 6,3 4. A. 在平面直角坐标系中，将点 向右平移 4 个单位长度，得到的对应点 A的坐标为（ ）2,7 2,3 2,1 B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 根据横坐标，右移加，左移减可得点 A（-2，3）向右平移 4 个单位长度后得到的对应点 A′的坐标为（-2+4， 3）． 【详解】解：点 A（-2，3）向右平移 4 个单位长度后得到的对应点 A′的坐标为（-2+4，3）， 即（2，3）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化—平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移 加，下移减． 5. 下列正多边形中，不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项正确； C、是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 6. 下列各式运算正确的是（ ）2D. x3 x6 x2 x3 x5 x3 x2 x x2 x3 x6 A. B. C. D【答案】 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可． 23【详解】解：A、 5 ，故选项 A 不合题意； x x x 32B、 C、 D、 ，故选项 B 不合题意； x x x 235 ，故选项 C 不合题意； x ×x = x 2×3 x6 ，正确，故选项 D 符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项的方法，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本 题的关键． 7. 如图， O 中， ，．则 BOC 的度数为（ ）ABC 70 AB AC A. 100° B. 90° C. 80° D. 70° C【答案】 【解析】 【分析】 首先根据弧、弦、圆心角的关系得到 AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得∠A 的度数，然后根据圆周角 定理可得∠BOC=2∠A，进而可得答案． 【详解】解：∵ ，AB AC ∴AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠A=180°-70°×2=40°， ∵圆 O 是△ABC 的外接圆， ∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°， 故选 C． 【点睛】此题主要考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形 的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键． 8. 某语文教师调查了本班 10 名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示： 那么这 10 名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（ A. 1.2 和 1.5 B. 1.2 和 4 C. 1.25 和 1.5 ）D. 1.25 和 4 A【答案】 【解析】 【分析】 根据平均数和众数的定义即可得出答案． 【详解】解：在这一组数据中 1.5 是出现次数最多的，故众数是 1.5， 1 0.52 131.54 21 平均数= =1.2， 10 故选：A． 【点睛】本题考查了众数及平均数的知识，掌握概念和算法是解题关键. 9. 下列命题是假命题的是（ ）A. 平行四边形的对角线互相平分 C. 菱形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 B【答案】 【解析】 【分析】 利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可. 【详解】解：A、正确，平行四边形的对角线互相平分，故选项不符合； B、错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分，故选项符合； C、正确，菱形的对角线互相垂直且平分，故选项不符合； D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分，故选项不符合； 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属 于中考常考题型． m310. 已知关于 x 的分式方程 2 的解为非负数，则正整数 m 的所有个数为（ ）x 1 B. 4 1 x A. 3 C. 5 D. 6 B【答案】 【解析】 【分析】 根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题． 【详解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3， 5- m 移项、合并，解得：x= ，2∵分式方程的解为非负数， 5- m 5- m ∴≥0 且 ≠1， 22解得：m≤5 且 m≠3， ∵m 为正整数 ∴m=1，2，4，5，共 4 个， 故选：B． 的【点睛】本题考查了分式方程 解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解． 11. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 G 将一线段 MN 分为两线段 MG ，，使得其中较长的一段 MG 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 GN MN GN MG GN 5 1 25 1 2，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点 G 称为线段 的“黄金分割” MN MN MG 点．如图，在ABC 中，已知 AB AC 3 ，BC 4，若 D，E 是边 BC 的两个“黄金分割”点，则 ADE 的面积为（ ）5 2 5 A. B. C. D. 10 4 5 3 55 20 8 5 2A【答案】 【解析】 【分析】 作 AF⊥BC，根据等腰三角形 ABC 的性质求出 AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出 BE、CD 的长度， 得到 中DE 的长，利用三角形面积公式即可解题. ADE 【详解】解：过点 A 作 AF⊥BC， ∵AB=AC， 1∴BF= BC=2， 22222在 Rt ,AF= ，ABF AB BF 3 2 5 ∵D 是边 BC 的两个“黄金分割”点， CD BC 5 1 CD 5 1 ，2∴即24解得 CD= ，2 5 2 同理 BE= ，2 5 2 ∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ，2 5 2 5 ∴DE=CD-CE=4 -8， 5112 DE AF 4 58 5 ∴S△ABC= 故选：A. ==，10 4 5 2【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求 出 DE 和 AF 的长是解题的关键。 已知二次函数 y x2 2bx 2b2 4c （其中 x 是自变量）的图象经过不同两点 12. ，A(1 b,m) B(2b c,m) ，且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则b c 的值（ B. 2 C. 3 ）A. D. 4 1 C【答案】 【解析】 【分析】 根据二次函数 y x2 2bx 2b2 4c 的图像经过 1b 2b c ，可得到二次函数的对称轴 A(1 b,m) B(2b c,m) ，x= ，又根据对称轴公式可得 x=b，由此可得到 b 与 c 的数量关系，然后由该二次函数的图象 2与 x 轴有公共点列出不等式解答即可 【详解】解：∵二次函数 y x2 2bx 2b2 4c 的图像经过 ，A(1 b,m) B(2b c,m) ，1b 2b c 1 b c ∴对称轴 x= ，即 x= ，22∵对称轴 x=b， 1 b c ∴=b，化简得 c=b-1， 2∵该二次函数的图象与 x 轴有公共点， 22b 4 2b2 4c ∴△= 2===4b 16c 4b2 16 b 1 24 b 2 0 ∴b=2，c=1， ∴b+c=3， 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与 x 轴交点的 情况列出不等式，求得 b，c 的值. 第Ⅱ卷（非选择题 共84 分） 注意事项：用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） x13. 函数 中，自变量 的取值范围是_____． y x 2 【答案】 x 2 【解析】 【分析】 根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】依题意，得 x 2 0 解得： x 2 故答案为 x 2 ，，．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函 数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；③当函数解 析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式 有意义外，还要保证实际问题有意义． 1×4 y3 是同类项，则 a 的值是___________． xa1 y3 与14. 若2【答案】5 【解析】 【分析】 根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出 a 的值． 12×4 y3 是同类项， 【详解】解：∵ xa1 y3 与∴a-1=4， ∴a=5， 故答案为：5. 的【点睛】本题考查了同类项 定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成 了中考的常考点． 15. 已知 x2 4x x x2 2x , x 是一元二次方程 的两个实数根，则 2 的值是_________． x 4x 7 0 1211 2 【答案】2 【解析】 【分析】 x x 2 2x1x x2 4x x x2 x x x x 由已知结合根与系数的关系可得： 2 =4， 2 = -7， =22 ，代入可得 2 111121答案. 2x , x 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根， x 4x 7 0 12x x x x 2 = -7， ∴∴2 =4， 11×2 4x x x2 1122x x 2 2x1x2 =2 142 2 7 ==2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，难度不大，属于基础题 E, F EC 16. 如图，在矩形 中， 分别为边 ，AB AD 的中点， 与，分别交于点 M，N．已知 ED ABCD BF ，，则 的长为_________． BC 6 MN AB 4 43【答案】 【解析】 【分析】 过点 E 作 EH∥AD，交点 BF 于点 G，交 CD 于点 H，证明△BEG∽△BAF，求出 EG 的长，再证明 51△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出 2NG NF 出 NG 和 MG，可得 MN 的长. ，4MG MB ，再求出 BG=GF= BF=，从而求 22【详解】解：过点 E 作 EH∥AD，交点 BF 于点 G，交 CD 于点 H， 由题意可知：EH∥BC， ∴△BEG∽△BAF， BE EG BG ∴，AB AF GF ∵AB=4，BC=6，点 E 为 AB 中点，F 为 AD 中点， ∴BE=2，AF=3， 24EG ∴，33∴EG= ，2∵EH∥BC， ∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM， EG NG EN EG MG EM ∴∴，DF NF DNBC MB CM ,33NG NF MG MB ，，，23NG 26MG 11即∴，NF 2MB 42NG NF ，4MG MB ，∵E 为 AB 中点，EH∥BC， ∴G 为 BF 中点， 12521AB2 AF2 ∴BG=GF= BF= ，21356112GF ∴NG= =，MG= BG= ，54∴MN=NG+MG= ，34故答案为： .3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线 EH，得到相似三角 形. 三、本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分． 1 1 017. 计算： ．| 5| ( 2020) 2cos60 3 【答案】8 【解析】 【分析】 根据绝对值的化简、零指数幂、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的计算方法运算. 12 【详解】解：原式=5-1+ +3 2=5-1+1+3 =8 【点睛】本题主要考查了实数的运算．用到零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值的计算方 法．这些是基础知识要熟练掌握． 18. 如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 AB ∠CAD ∠BAC ∠BAD ＝AC AD ＝AB AB ＝△ABC≌△ABD BC ，从而得到 ＝ 由平分 可知 ，再根据 ，可判断出 BD ．∵AB ∠CAD ，【详解】证明： 平分 ∴∠BAC ∠BAD ＝．∵AC ADAB AB ＝，＝，∴△ABC≌△ABD SAS （）． ∴BC BD ＝．x 2 xx2 1 x19. 1 化简： ．2【答案】 x 1 【解析】 【分析】 首先进行通分运算，进而利用因式分解变形，再约分化简分式. x 2 x x【详解】解：原式= xx2 1 2 x 1 x==xx 1 x 1 2x 1 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确利用分解因式再化简分式是解题关键． ．四、本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分 20. 某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了 n 辆该型号汽车耗油 所行使的路 1L 程作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据题中已有信息，解答下列问题： （1）求 n 的值，并补全频数分布直方图； （2）若该汽车公司有 600 辆该型号汽车，试估计耗油 所行使的路程低于13km 的该型号汽车的辆数； 1L （3）从被抽取的耗油 所行使路程在 ，12 x 12.5 14 x 14.5 这两个范围内的 4 辆汽车中，任意抽 1L 取 2 辆，求抽取的 2 辆汽车来自同一范围的概率． 【答案】（1）n=40，图见解析；（2）150 辆；（3） 13【解析】 【分析】 （1）根据 D 所占的百分比以及频数，即可得到 n 的值； （2）根据 A，B 所占的百分比之和乘上该汽车公司有 600 辆该型号汽车的总数，即可得到结果． （3）从被抽取的耗油 所行使路程在 的有 2 辆，记为 A，B，行使路程在 的有 12 x 12.5 14 x 14.5 1L 2 辆，记为 1，2，任意抽取 2 辆，利用列举法即可求出抽取的 2 辆汽车来自同一范围的概率． 【详解】解：（1）n=12÷30%=40（辆）， B：40-2-16-12-2=8， 补全频数分布直方图如下： 2 8 40 600 （2） =150（辆）， 答：耗油 所行使的路程低于13km 的该型号汽车的有 150 辆； 1L （3）从被抽取的耗油 所行使路程在 的有 2 辆，记为 A，B，行使路程在 的有 12 x 12.5 14 x 14.5 1L 2 辆，记为 1，2，任意抽取 2 辆的可能结果有 6 种，分别为： （A，1），（A，2），（A，B），（B，1），（B，2），（1，2） 其中抽取的 2 辆汽车来自同一范围的的结果有 2 种， 1326所以抽取的 2 辆汽车来自同一范围的的概率 P= =.【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图以及列举法求概率的运用，解题时注意：通过扇形 统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位 1），用圆的扇 形面积表示各部分占总数的百分数． 21. 某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共 30 件．其中甲种奖品每件 30 元， 乙种奖品每件 20 元． （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费 800 元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ 的（2）若购买乙种奖品 件数不超过甲种奖品件数的3 倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？ 【答案】（1）甲购买了 20 件，乙购买了 10 件；（2）购买甲奖品 8 件，乙奖品 22 件，总花费最少 【解析】 【分析】 （1）设甲购买了 x 件乙购买了 y 件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了 800 元列方程组，然后解方程组计 算即可； （2）设甲种奖品购买了 a 件，乙种奖品购买了（30-a）件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数 的 3 倍，然后列不等式后确定 x 的范围即可得到该校的购买方案． 【详解】解：（1）设甲购买了 x 件，乙购买了 y 件， x y 30 ，30x 20y 800 x 20 y 10 解得 ，答：甲购买了 20 件，乙购买了 10 件； （2）设购买甲奖品为 a 件．则乙奖品为（30-a）件，根据题意可得： 30-a≤3a， 15 解得 a≥ ，2又∵甲种奖品每件 30 元，乙种奖品每件 20 元， 总花费=30a+20（30-a）=10a+600，总花费随 a的增大而增大 ∴当 a=8 时，总花费最少， 答：购买甲奖品 8 件，乙奖品 22 件，总费用最少. 【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是找出等量关系. 五、本大题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分． 312 xOy 22. 如图，在平面直角坐标系 y x b y 中，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 2xa,6 ．A，B 两点．且点 A 的坐标为 （1）求该一次函数的解析式； （2）求AOB 的面积． 3y x 3 【答案】（1） ；（2）9 2【解析】 【分析】 （1）由点 A 在反比例函数图像上，求出 a 的值得到点 A 坐标，代入一次函数解析式即可； （2）联立两个函数的解析式，即可求得点 B 的坐标，然后由 S△AOB=S△AOC+S△BOC 求得答案. 12 y 【详解】解：∵点 A 在反比例函数 上， x12 6 ∴，解得 a=2， a2,6 ，∴A 点坐标 3y x b ∵点 A 在一次函数 上， 232 b 6 ∴，解得 b=3， 23y x 3 ∴该一次函数的解析式为 ；2（2）设直线与 x 轴交于点 C， 3x 3 0 令，解得 x=- 2， 2∴一次函数与 x 轴的交点坐标 C（- 2，0）， 3y x 3 212 ∵，y xx 4 x 2 12解得 或，y1 3 y2 6 ∴B（- 4，-3）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC ，11OC h OC h2 ===1212OC h h 2 1212 6 3 2=9 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、点与函数的关系以及三角形的面积，难度适中，注意掌 握方程思想与数形结合思想的应用. 23. 如图，为了测量某条河的对岸边 C，D 两点间的距离，在河的岸边与 平行的直线 上取两点 A， CD EF B，测得 ，BAC 45 ABC 37，DBF 60 ，量得 长为 70 米．求 C，D 两点间的距离（参考 AB 453534sin37 cos37 tan37 数据： ，，）． 【答案】40+10 3【解析】 【分析】 过点 C 作 CH⊥AB，垂足为点 H，过点 D 作 DG⊥AB，垂足为点 G，,先求出 CH 的长，然后在 Rt△BCH 中求得 BH 的长，则 CD=GH=BH+BG 即可求出 【详解】解：过点 C 作 CH⊥AB，垂足为点 H，过点 D 作 DG⊥AB，垂足为点 G， CH AH 在△ACH 中，tan∠A＝ ，得 AH=CH， 4同理可得 BH= CH， 3∵AH+BH=AB， 4∴CH+CH=70．解得 CH＝30， 3CH 在△BCH 中，tan∠ABC= ，BH 3430 即，解得 BH=40， BH 又∵DG=CH=30， 同理可得 BG=10 ，3∴CD=GH=BH+BG=40+10 （米）， 3答：C、D 两点之间的距离约等于 40+10 米． 3【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 六、本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分． 24. 如图， O O 是的直径，点 D 在 上， 的延长线与过点 B 的切线交于点 C，E 为线段 AD 上的 AB AD 点，过点 E 的弦 于点 H． FG AB （1）求证： C AGD （2）已知 ；，BC 6 CD 4 ，且CE 2AE ，求 的长． EF 23【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意得到∠ODA=∠OAD，∠ABC=90°，再利用三角形内角和得到∠C=∠AGD； （2）连接 BD，求出 BD 的长，证明△BOD≌AOG，得到 AG=BD= ，再证明△AEG≌△DCB，得到 2 5 EG=BC=6，AE=CD=4，再利用面积法求出 AH，再求出 HG，最后用 EF=FG-EG 求出结果． 【详解】解：（1）∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∵BC 和 AB 相切， ∴∠ABC=90°， ∵DG 为圆 O 直径， ∴∠DAG=90°， ∵∠C=180°-∠CAB-∠ABC，∠AGD=180°-∠DAG-∠ADO， ∴∠C=∠AGD； （2）连接 BD， ∵AB 为直径， ∴∠ADB=∠CDB=90°， ∵，BC 6 CD 4 ，22∴BD= ，6 4 2 5 ∵OA=OB=OD=OG，∠AOG=∠BOD， ∴△BOD≌AOG（SAS）， ∴AG=BD= ，2 5 ∵FG⊥AB，BC⊥AB， ∴FG∥BC， ∴∠AEG=∠C， ∵∠EAG=∠CDB=90°，AG=BD， ∴△AEG≌△DCB（AAS）， ∴EG=BC=6，AE=CD=4， ∵AH⊥FG，AB 为直径， 4 5 3∴AH=AE×AG÷EG= ，FH=GH， 22 10 34 5 ∴FH=GH= 2 5 =，320 ∴FG=2HG= ，320 32∴EF=FG-EG= -6= ．3【点睛】本题考查了切线的性质和全等三角形的判定和性质，属于圆的综合问题，熟练掌握定理的运用是 解题的关键． 如图，已知抛物线 y ax2 bx c经过 25. ，，三点． A(2,0) B(4,0) C(0,4) （1）求该抛物线的解析式； BD 5DE （2）经过点 B 的直线交 y 轴于点 D，交线段 于点 E，若 ．AC ①求直线 的解析式； BD ②已知点 Q 在该抛物线的对称轴 l 上，且纵坐标为 1，点 P 是该抛物线上位于第一象限的动点，且在 l 右 PQR 侧．点 R 是直线 上的动点，若 是以点 Q 为直角顶点的等腰直角三角形，求点 P 的坐标． BD 11y x2 x 4 【答案】（1） ；（2）① ；②（2，4）或（ ，13 1 2 13 4 ）y x 2 22【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点 E 作 EG⊥x 轴，垂足为 G，设直线 BD 的表达式为：y=k（x-4），求出直线 AC 的表达式，和 BD BD BO 联立，求出点 E 坐标，证明△BDO∽△BEG，得到 ，根据比例关系求出 k 值即可； BE BG ②根据题意分点 R 在 y 轴右侧时，点 R 在 y 轴左侧时两种情况，利用等腰直角三角形的性质求解即可. A(2,0) B(4,0) C(0,4) 【详解】解：（1）∵抛物线 y ax2 bx c经过点 ，，，代入， 12b 1 c 4 a 4a 2b c 0 16a 4b c 0 ∴，解得： ，c 4 1y x2 x 4 ∴抛物线表达式为： ；2（2）①过点 E 作 EG⊥x 轴，垂足为 G， ∵B（4，0）， 设直线 BD 的表达式为：y=k（x-4）， 设 AC 表达式为：y=mx+n，将 A 和 C 代入， 2m n 0 n 4 m 2 n 4 得： ，解得： ，∴直线 AC 的表达式为：y=2x+4， y k x 4 ，联立： 解得： y 2x 4 4k 4 x k 2 12k ，y k 2 4k 4 12k ∴E（ ∴G（ ∴BG= ，）， k 2 k 2 4k 4 ，0）， k 2 12 ，k 2 ∵EG⊥x 轴， ∴△BDO∽△BEG， BD BO ∴∵∴,BE BG BD 5DE ，BD BO 5，，，BE BG 6412 k 2 5∴61解得：k= 21∴直线 BD 的表达式为： ；y x 2 21 s2 s 4 ②由题意：设 P（s， ），1＜s＜4， 2∵△PQR 是以点 Q 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠PQR=90°，PQ=RQ， 当点 R 在 y 轴右侧时，如图， 分别过点 P，R 作 l 的垂线，垂足为 M 和 N， ∵∠PQR=90°， ∴∠PQM+∠RQN=90°， ∵∠MPQ+∠PQM=90°， ∴∠RQN=∠MPQ，又 PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°， ∴△PMQ≌△QNR， ∴MQ=NR，PM=QN， ∵Q 在抛物线对称轴 l 上，纵坐标为 1， ∴Q（1，1）， ∴QN=PM=1，MQ=RN， 则点 P 的横坐标为 2，代入抛物线得：y=4， ∴P（2，4）； 当点 R 在 y 轴左侧时， 如图，分别过点 P，R 作 l 的垂线，垂足为 M 和 N， 同理：△PMQ≌△QNR， ∴NR=QM，NQ=PM， 1 t 2 设 R（t， ）， 211 t 2 1 t 1 ∴RN= =QM， 22NQ=1-t=PM， 1 t 2 ∴P（ ，2-t），代入抛物线， 2解得：t= 或（舍）， 2 13 6 2 13 6 ∴点 P 的坐标为（ ，13 1 2 13 4 ）， 综上：点 P 的坐标为（2，4）或（ ，13 1 2 13 4 ）. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质， 一次函数，难度较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形. 本试卷的题干 0635
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