数学 A 卷（共 100 分） 第Ⅰ卷（选择题，共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选项，其中只有 一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. －2 的绝对值是（ ）12A. B. C. 2D. －2 1C【答案】 【解析】 【分析】 根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：−2 的绝对值是 2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键． 2. 如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）A. B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据左视图的定义“从主视图的左边往右边看得到的视图就是左视图”进一步分析即可得到答案． 【详解】从主视图的左边往右边看得到的视图为： 故选：D. 【点睛】本题考查了左视图的识别，熟练掌握相关方法是解题关键． 3. 2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道， 它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约 36000 千米，将数据 36000 用科学记数法表示为（ ）3.6103 3.6104 3.6105 36104 A. B. C. D. B【答案】 【解析】 【分析】 nn1„ | a |10 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ，为整数，据此判断即可． a 10 4【详解】解： ．36000 3.610 故选： B ． n1„ | a |10 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为 ，其中 ，确 a 10 an定与的值是解题的关键．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小 数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． P(3,2) 4. 在平面直角坐标系中，将点 向下平移 2 个单位长度得到的点的坐标是（ ）(3,0) (1,2) (5,2) (3,4) A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，即可解答． 3,2 3,2 2 3,0 ，【详解】解：将点 P 故选：A． 向下平移 2 个单位长度所得到的点坐标为 ，即 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减； 纵坐标，上移加，下移减． 5. 下列计算正确的是（ ）a3 a2 a6 A. B. D. 3a 2b 5ab 2C. a3b a6b2 a2b3 a b3 C【答案】 【解析】 【分析】 根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；同底数幂相除， 底数不变指数相相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A．不 同类项，不能合并，选项A 错误； 是32B． C． D． 5 ； 选项B 错误； ，选项 C 正确； a a a 2a3b a6b2 233 ，选项 D 错误． a b a ab 故选：C． 【点睛】本题考查了整式运算的法则，涉及了合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方、同底数幂除法， 解题关键是熟记运算法则． 6. 成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底 蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数 据的众数和中位数分别是（ A. 5 人，7 人 B. 5 人，11 人 ）C. 5 人，12 人 D. 7 人，11 人 A【答案】 【解析】 【分析】 根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断． 【详解】解：将数据从小到大排列为：5，5，7，11，12 所以这组数据的众数为 5，中位数为 7. 故选：A． 【点睛】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义． 17. 如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 BC 的长为半径作弧，两弧 B和C为圆心，以大于 2相交于点 和；②作直线 交MN AC 于点 ，连接 D．若 AC 6 ，，则 的长为（ ）NMBD AD 2 BD A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 C【答案】 【解析】 【分析】 由作图可知， M N 是线段 BC 的垂直平分线，据此可得解． 【详解】解：由作图可知， M N 是线段 BC 的垂直平分线， ∴BD=CD=AC-AD=6-2=4， 故选：C 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这 一性质添加辅助线是解题的关键． kxx 3 x 1 8. 已知 x 2 是分式方程 1 的解，那么实数 的值为（ k）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B【答案】 【解析】 【分析】 将kx 2 代入原方程，即可求出 值． kxx 3 x 1 1 【详解】解：将 x 2 代入方程 中，得 k2 3 2 1 1 2解得： ．k 4 故选：B． 【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这 类题的解题通法． l //l //l l被 ， ll， 所截， 39. 如图，直线 ，直线 和，AB 5 BC 6 ，，则 的长为 AC DF EF 4 DE 12312（）10 A. 2 B. 3 C. 4 D. 3D【答案】 【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵直线 l1∥l2∥l3， AB DE ∴.BC EF ∵AB=5，BC=6，EF=4， 56DE ∴.410 ∴DE= .3故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此 题的关键． 关于二次函数 y x2 2x 8 ，下列说法正确的是（ ）10. yA. 图象的对称轴在 轴的右侧 yB. 图象与 轴的交点坐标为 (0,8) xC. 图象与 轴的交点坐标为 (2,0) (4,0) 和yD. 的最小值为－9 D【答案】 【解析】 【分析】 的先把抛物线 解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】∵ y x2 2x 8=(x 1)2 9 ∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在 y 轴的左侧，故选项 A 错误； y(0,8) 令 x=0，则 y=-8，所以图象与 轴的交点坐标为 ，故选项 B 错误； 2x(2,0) (4,0) 和 ，故选项C 错误； 令 y=0，则 ，解得 x =2，x =-4，图象与 轴的交点坐标为 x 2x 8=0 12∵y x2 2x 8=(x 1)2 9 ，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项 D 正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此 题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共 70 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，答案写在答题卡上） 211. 分解因式： ___________. x 3x x x 3 【答案】 【解析】 2.x 3x x(x 3) xmy (2m 1)x 2 12. 一次函数 的值随 值的增大而增大，则常数的取值范围为_________． 1m 【答案】 2【解析】 【分析】 根据一次函数的性质得 2m-1＞0，然后解不等式即可． x的值随 值的增大而增大， y (2m 1)x 2 【详解】解：因为一次函数 所以 2m-1＞0． 1m 解得 .212m 故答案为： ．【点睛】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随 x 的增 大而减小，函数从左到右下降. 13. 如图， O ，B，是上的三个点， AOB 50 ，B 55 ，则 的度数为_________． CAA 【答案】30° 【解析】 【分析】 1根据圆的基本性质以及圆周角定理，分别求出∠OCB=55°，∠ACB= ∠AOB=25°，即可求出∠OCA=30°， 2再求出∠A 即可． 【详解】解：∵OB=OC， ∴∠B=∠OCB=55°， ∵∠AOB=50°， 1∴∠ACB= ∠AOB=25°， 2∴∠OCA=∠OCB-∠AOB=55°-25°=30°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了圆的基本性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的性质以及圆周角定理． 14. 《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方 程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是： x5 头牛、2 只羊共值金 10 两．2 头牛、5 只羊共值金 8 两．每头牛、每只羊各值金多少两？设 1 头牛值金 y两，1 只羊值金 两，则可列方程组为_________． 5x 2y 10 2x 5y 8 【答案】 【解析】 【分析】 yx设 1 头牛值金 两，1 只羊值金 两，根据等量关系“①5 头牛，2 只羊共值 10 两金；②2 头牛，5 只羊共 价值 8 两金”，分别列出方程即可求解． yx【详解】设 1 头牛值金 两，1 只羊值金 两，由题意可得， 5x 2y 10 2x 5y 8 ．5x 2y 10 2x 5y 8 故答案为： ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上） 2 1 15. （1）计算： ．2sin 60 2 3 9 2 4(x 1) x 2 （2）解不等式组： 2x 1 x 1 3【答案】（1）3；（2） 【解析】 2 x 4 【分析】 （1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质、绝对值的性质及二次根式的化简分别求出各数的值， 由此进一步计算即可； （2）首先将原不等式组中各个不等式的解集求出来，然后进一步分析得出答案即可. 3【详解】（1）原式= 2 4 2 3 3 2=3 6 3 3 = ； 34(x 1) x 2 （2）解不等式 可得： ，x 2 2x 1 x 1 解不等式 可得： ，x 4 3∴原不等式组的解集为 ．2 x 4 【点睛】本题主要考查了含有特殊角的三角函数值的实数的混合运算以及解不等式组，熟练掌握相关概念 及方法是解题关键. 1x 2 1 16. 先化简，再求值： ，其中 ．x 3 2 x 3 x2 9 【答案】 ，x 3 2【解析】 【分析】 括号内先通分进行分式减法运算，然后再进行分式除法运算，化简后代入 x 的值进行计算即可． 1x 2 1 【详解】 x 3 x2 9 x 3 x 3 x 3 1x 2 ==x2 9 x 31 x 3 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 x 3 ==x 2 ．x 3 当时，原式 ．x 3 2 3 2 3 2 【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的加减法、乘除法、实数的混合运算等， 熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 17. 2021 年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动 会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮 球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有_________人； （2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________； （3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰 好选中甲、乙两位同学的概率． 1【答案】（1）180；（2）126°；（3） ．6【解析】 【分析】 （1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数； （2）先求出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到篮球人数，求出 其所占总数的百分比，最后乘以 360°即可得到结果； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公 式求解．. 【详解】（1）54÷30%=180（人） 故答案为：180； （2）田径人数：180×20%=36（人）， 游泳人数：180×15%=27（人）， 篮球人数为：180-54-36-27=63（人） 63 360 =126 图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为： ，180 故答案为：126°； （3）画树状图如下： 由上图可知，共有 12 种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有 2 种． 216=所以 P（恰好选中甲、乙两位同学）= ．12 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合 事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．也考查了统计图． 18. 成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为 测量电视塔观景台 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶 处测得塔 处的仰角为45°， DAA塔底部 B处的俯角为 22°．已知建筑物的高 约为 61 米，请计算观景台的高 的值． CD AB （结果精确到 1 米；参考数据：sin 22 0.37 ，cos22 0.93 ，）tan22 0.40 【答案】观景台的高 【解析】 约为 214 米． AB 【分析】 过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，由题意可得四边形 DCBM 是矩形，由矩形的性质可得 BM=CD=61 米；在 61 Rt△BDM 中，∠BDM=22°，BM=61 米，由此可得 tan22°= ，即可求得 DM=152.5 米；再证明△ADM DM 为等腰直角三角形，可得 DM=AM=152.5 米，由此即可求得观景台的高 的长． AB 【详解】过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，由题意可得四边形 DCBM 是矩形， ∴BM=CD=61 米， BM DM 在 Rt△BDM 中，∠BDM=22°，BM=61 米， tan∠BDM= ，61 ∴tan22°= ，DM 解得，DM=152.5 米； ∵∠ADM=45°，DM⊥AB， ∴△ADM 为等腰直角三角形， ∴DM=AM=152.5 米， ∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）． 答：观景台的高 约为 214 米． AB 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键． mA(3,4) y kx b ，过点 的直线 xOy 19. 在平面直角坐标系 y 中，反比例函数 yB轴、 轴分别交于 ， 两点． （）的图象经过点 x 0 Axx与C（1）求反比例函数的表达式； （2）若AOB 的面积为 的面积的 2 倍，求此直线的函数表达式． BOC 12 2y 2x 2 y y x 2 【答案】（1） ；（2） 或3x【解析】 【分析】 （1）根据题意将点 A 坐标代入原反比例函数解析式，由此进一步求解即可； y kx b （2）根据题意，将直线解析式 2 倍进一步分析求解即可. 分k 0 以及 k 0 两种情况结合AOB 的面积为 的面积的 BOC mxy 【详解】（1）∵反比例函数 ()的图象经过点 A(3，4)， x 0 m4 ∴，3解得： ，m 12 12 y ∴原反比例函数解析式为： y kx b ；x（2）①当直线 的k 0 时，函数图像如图所示， S S △AOB ，不符合题意，舍去； 此时 △BOC y kx b ②当直线 的k 0 时，函数图像如图所示， 设 OC 的长度为 m，OB 的长度为 n， ∵∴∴AOB 的面积为 的面积的 2 倍 BOC 121n4 mn2 ，2m 2 ，∴OC 的长为 2， ∴当 C 点在 y 轴正半轴时，点 C 坐标为(0，2)， y kx 2 ∴∵点 A 坐标为(3，4)， ∴∴4 3k 2 ，2k ，32y x 2 ∴直线解析式为： ，3当 C 点在 y 轴负半轴时，点 C 坐标为(0，−2)， y kx 2 ∴∵点 A 坐标为(3，4)， 4 3k 2 ∴∴，，k 2 y 2x 2 ∴直线解析式为： ，2y 2x 2 y x 2 综上所述，直线解析式为： 或.3【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 20. 如图，在ABC 的边 BC 上取一点 ，以 为圆心， OO为半径画⊙O，⊙O 与边 OC 相切于点 ，DAB AC AD ，连接 交⊙O 于点 ，连接 ，并延长交线段 于点 ．OA CE EAB F（1）求证： 是⊙O 的切线； AC AB 10 是4tan B （2）若 （3）若 ，，求⊙O 的半径； 3的中点，试探究 与的数量关系并说明理由． AF BD CE FAB 8【答案】（1）见解析；（2） ；（3） AF BD CE ，理由见解析 3【解析】 【分析】 （1）连接 OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°， 可得结论； （2）由锐角三角函数可设 AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求 BC=6，再由勾股定理可求解； （3）连接 OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得 ∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE ，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE ，可得∠DEF=∠DFE，可证 DE=DF=CE，可得结论． 【详解】解：（1）如图，连接 OD， ∵⊙O 与边 AB 相切于点 D， ∴OD⊥AB，即∠ADO=90°， ∵AO=AO，AC=AD，OC=OD， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠ADO=∠ACO=90°， 又∵OC 是半径， ∴AC 是⊙O 的切线； 43AC BC （2）在 Rt△ABC 中，tanB= =，∴设 AC=4x，BC=3x， ∵AC2+BC2=AB2， ∴16×2+9×2=100， ∴x=2， ∴BC=6， ∵AC=AD=8，AB=10， ∴BD=2， ∵OB2=OD2+BD2， ∴（6-OC）2=OC2+4， 8∴OC= ，383故⊙O 的半径为 ；（3）连接 OD，DE， 由（1）可知：△ACO≌△ADO， ∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD， 又∵CO=DO，OE=OE， ∴△COE≌△DOE（SAS）， ∴∠OCE=∠ODE， ∵OC=OE=OD， ∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE， ∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE， ∵点 F 是 AB 中点，∠ACB=90°， ∴CF=BF=AF， ∴∠FCB=∠FBC， ∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE， ∴∠DEF=∠DFE， ∴DE=DF=CE， ∴AF=BF=DF+BD=CE+BD． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股 定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． B 卷（共 50 分） 一、填空题（本大题共 5 个小題，每小題 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上） 2，则代数式 2 的值为_________． 21. 已知 a 7 3b a 6ab 9b 【答案】49 【解析】 【分析】 先将条件的式子转换成 a+3b=7，再平方即可求出代数式的值． 【详解】解：∵ ，a 7 3b ∴∴，a 3b 7 2a2 6ab 9b2 a 3b 72 49 ，故答案为：49． 【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 322. 2×2 4x m 0 xm有实数根，则实数 的取值范围是_________． 关的一元二次方程 27m 【答案】 2【解析】 【分析】 方程有实数根，则△≥0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围． 3(4)2 42(m ) 【详解】解：由题意知，△= ≥0， 27m ∴，272m 故答案为 ．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相 等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． …叫做“正六边形的渐开线”， ， FA B C D E F 23. 如图，六边形 ABCDEF 是正六边形，曲线 ，FA A B 1 1 1111111， , , ，…的圆心依次按 C1B C1D D E1 E1F 1，B，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为 CDFAE111FA B C D E F 1 的长度是_________． 1正六边形的一个外角．当 时，曲线 AB 1 11117 【答案】 【解析】 【分析】 利用弧长公式，分别计算出 ， ， , , 的长，然后将所有弧长相加即可. ，FA A BC1B C1D D E1 11111160 1 【详解】解：根据题意，得 = =；FA 1180 360 2 2 ===；A B 11180 360 3 C1B 1= ；180 60 4 4 = C1D 1=；；180 360 5 5 = D E1 1=180 360 6 =2 =.E1F 1180 32 34 5 FA B C D E F ++ + ++2 7 = . 曲线 1 的长度是 11111337 故答案是： .【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟练运用弧长公式进行计算是解题得关键. 4y mx xOy 24. y 在平面直角坐标系 中，已知直线 （m 0）与双曲线 交于 ，两点（点 在第一 ACAx1y nx y 象限），直线 的周长为 （n 0 ）与双曲线 交于 B，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形 ABCD Dx时，点 的坐标为_________． A10 2 【答案】 或( 2,2 2)(2 2, 2) 【解析】 【分析】 44OA2 4m 首先根据题意求出点 A 坐标为( ，)，从而得出 ，然后分两种情况：①当点 B 在第二 4m mm11OB2 n )象 限 时 求 出 点B 坐 标 为 ( ，， 从 而 得 出 ， 由 此 可 知 n nn41AB2 OA2 OB2 4m n ， 再 利 用 平 面 直 角 坐 标 系 任 意 两 点 之 间 的 距 离 公 式 可 知 ： mn14414AB2 2 4m 2 4mn n 2 2 4mn 0 ，据此求出 n ，所以 ，由此进一步通过证 mmn nmn m明四边形 ABCD 是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点 B 在第四象限时，方法与前者一样，具体加以 分析即可. 4y mx y 【详解】∵直线 (m 0)与双曲线 交于 ，两点（点 在第一象限）， ACAxy mx 4∴联立二者解析式可得： ，由此得出点 A 坐标为( ，)， 44m y mx4OA2 4m ∴，m①当点 B 在第二象限时，如图所示： 1y nx y ∵直线 （n 0 ）与双曲线 交于 B，两点， Dxy nx 1 )，∴联立二者解析式可得： ，由此得出点 B 坐标为( ，1n ny x1OB2 n ∴，n∵AC⊥BD， 41AB2 OA2 OB2 4m n ∴，mn根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知： 22 41441AB2 4m n 2 4m 2 4mn n ，mnmmn n42 2 4mn 0 ∴，mn 1n 解得： ，m415AB2 4m m 5m ∴，mmm根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD， ∵AC⊥BD， ∴四边形 ABCD 是菱形， 10 25 2 ∴∴，AB 5m 422 55 2 2，m12m 解得： 或 2， ∴A 点坐标为( ，)或( ，)， 222 2 2 2 ②当点 B 在第四象限时，如图所示： 1y nx y ∵直线 （n 0 ）与双曲线 交于 B，两点， Dxy nx 1)，∴联立二者解析式可得： ，由此得出点 B 坐标为( ，1 n ny x1OB2 n ∴，n∵AC⊥BD， 41AB2 OA2 OB2 4m n ∴，mn根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知： 22 41441AB2 4m n 2 4m 2 4mn n ，mnmmn n42 2 4mn 0 ∴，mn 1n 解得： ，m415AB2 4m m 5m ∴，mmm根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD， ∵AC⊥BD， ∴四边形 ABCD 是菱形， 10 25 2 ∴∴，AB 5m 422 55 2 2，m12m 解得： 或 2， ∴A 点坐标为( ，)或( ，)， 222 2 2 2 综上所述，点 A 坐标为：( ，)或( ，)， 222 2 2 2 故答案为：( ，)或( ，). 222 2 2 2 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是 解题关键. 25. 如图，在矩形 中， ，，，分别为 ，P边的中点．动点 从点 出发 ABCD BC 3 CD AB 4 EFAB EQ向点 运动，同时，动点 从点 出发沿 PQ BH PQ FC 沿向点 运动，连接 C，过点 B作于点 PQ 长度的最大 H，EA AFQ连接 ．若点 P的速度是点 的速度的2 倍，在点 P从点 运动至点 的过程中，线段 DH EA值为_________，线段 长度的最小值为_________． DH (1). (2). 【答案】 13 2 3 2 【解析】 【分析】 连接 EF，则 EF⊥AB，过点 P 作 PG⊥CD 于点 G，如图 1，由于 PQ2 PG2 QG2 ，而 PG=3，所以当 GQ 最大时 PQ 最大，由题意可得当 P、A 重合时 GQ 最大，据此即可求出 PQ 的最大值；设 EF 与 PQ 交于点 M，连接 BM，取 BM 的中点 O，连接 HO，如图 2，易证△FQM∽△EPM，则根据相似三角形的性质可得 EM 为定值 2，于是 BM 的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得 B、E、H、M 四点共圆，且圆心为点 O，于 是当 D、H、O 三点共线时，DH 的长度最小，最小值为 DO－OH，为此只需连接 DO，求出 DO 的长即可， 可过点 O 作 ON⊥CD 于点 N，作 OK⊥BC 于点 K，如图 3，构建 Rt△DON，利用勾股定理即可求出 DO 的 长，进而可得答案． 【详解】解：连接 EF，则 EF⊥AB，过点 P 作 PG⊥CD 于点 G，如图 1，则 PE=GF，PG=AD=3， 设 FQ=t，则 GF=PE=2t，GQ=3t， 2在 Rt△PGQ 中，由勾股定理得： PQ2 PG2 QG2 32 3t 9 9t2 ， ∴当 t 最大即 EP 最大时，PQ 最大， 由题意知：当点 P、A 重合时，EP 最大，此时 EP=2，则 t=1， ∴PQ 的最大值= ；9 9 3 2 设 EF 与 PQ 交于点 M，连接 BM，取 BM 的中点 O，连接 HO，如图 2， ∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM， FM FQ 12∴，EM PE ∵EF=3， ∴FM=1，ME=2， 22∴，BM ME BE 2 2 ∵∠BHM=∠BEM=90°， ∴B、E、H、M 四点共圆，且圆心为点 O， 1OH OB BM 2 ∴，2∴当 D、H、O 三点共线时，DH 的长度最小， 连接 DO，过点 O 作 ON⊥CD 于点 N，作 OK⊥BC 于点 K，如图 3，则 OK=BK=1， ∴NO=2，CN=1，∴DN=3， 22则在 Rt△DON 中， ，DO DN ON 13 ∴DH 的最小值=DO－OH= ．13 2 故答案为： ，．13 2 3 2 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识， 涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是 解题的关键． 二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分解答过程写在答题卡上） 26. 在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区 用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为 10 元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线 yx下的月销量 （单位：件）与线下售价 （单位：元/件， ）满足一次函数的关系，部分数据如 12 x 24 下表： yx与 的函数关系式； （1）求 x（2）若线上售价始终比线下每件便宜 2 元，且线上的月销量固定为 400 件．试问：当 为多少时，线上和 线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． y 100x 2400 【答案】（1） ；（2）当线下售价定为 19 元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是 7300 元． 【解析】 【分析】 （1）由待定系数法求出 y 与 x 的函数关系式即可； （2）设线上和线下月利润总和为 w 元，则 w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10） =-100（x-19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）因为 y 与 x 满足一次函数的关系，所以设 y=kx+b. 12k b 1200, 将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得 13k b 1100, k 100, b 2400, 解得 yxy 100x 2400 ∴与的函数关系式为 ．w（2）设商家线上和线下的月利润总和为 元，则可得 w 400(x 2 10) y(x 10) =400（x-12）+（-100x+2400）（x-10） =-100×2+3800x-28800 2=，100(x 19) 7300 因为-100<0， 所以当 x=19 时，w 有最大值，为 7300， 所以当线下售价定为 19 元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是 7300 元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式等知识；弄清题意，找准各量间的 关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27. 在矩形 的ABCD CD 边上取一点 ，将 E沿BE 翻折，使点 恰好落在 边上点 处． FBCE CAD （1）如图 1，若 ，求 的度数； BC 2BA CBE （2）如图 2，当 ，且 时，求 BC 的长； AF FD 10 AB 5 （3）如图 3，延长 ，与 的角平分线交于点 ，交于点 ，当 N时， BM NF AN FD EF ABF MAD AB 求出的值． BC 35【答案】（1）15°；（2） ；（3） 3 5 【解析】 【分析】 （1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到 ，再由折叠的性质可得到 CBE 15° ；AFB 30 EF CE 3，再由勾股定理求出 DE，则 DE 2 （2）由三等角证得 ，从而得 ，FAB∽EDF ；BC AD 3 5 （3）过点 作NG BF 于点 G，可证得 NFG∽BFA ．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例 N及角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）∵矩形 ，ABCD ∴A 90 ，AD / /BC 1CBE CBF 由折叠的性质可知 BF=BC=2AB， ，2∴∴，AFB 30 ，FBC AFB 30° ∴CBE 15° （2）由题意可得 ，A D 90 ，AFB DFE 90 FED DFE 90° ∴∴AFB DEF FAB∽EDF AF AB ∴，DE DF AFDF 10 DE 2 ∴∴AB EF CE 3 5，22由勾股定理得 ，DF 3 2 5 10 AF 2 5 ∴，5∴；BC AD AF FD 3 5 （3）过点 作NG BF 于点G ．N∴NGF A 90° BFA NFG 又∵ ∴∴NFG∽BFA ．NG FG NF ．AB FA BF 111NF AD BC BF ∵∴，即 NF AN FD 222NG FG NF 12，AB FA BF 又∵BM 平分 ，，NG BF，A 90 ABF ∴NG=AN， 1NG AN AB ∴，2FG BF BG FA AN NF BC AB 12121∴AB BC 2AB BC 35整理得： ．【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判 定与性质的综合应用，是中考真题． 中，已知抛物线 y ax2 bx c 与轴交于 y两点，与 轴交 xxOy A(1,0) B(4,0) ，28. 在平面直角坐标系 C(0,2) 于点 ．（1）求抛物线的函数表达式 （2）如图 1，点 为第四象限抛物线上一点，连接 ，BC 交于点 ，连接 BD ，记 的面积为 DBDE AD ES1 S1 S的面积为 2 ，求 ，的最大值； ABE S2 Q（3）如图 2，连接 ，BC ，过点 作直线l//BC ，点 P，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在 AC OQPQB∽CAB 第一象限是否存在这样的点 不存在，请说明理由． P，，使 ．若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若 P68 34 6 2 41 3 41 134y x2 x 2 ,,【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或9955225【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点 轴于点，交 BC 于点 ，过点 作G作AK x 轴交 BC 的延长线于点 ，则可得 DG x DFKAS1 SBDE DE DE DF △AEK∽△DEF，继而可得 ，先求出 BC 的解析式，继而求得 AK 长，由 可得 S2 SABE AE AE AK S1 DF S1 S2 14131 m2 m D m, m2 m 2 DF m2 2m ，设点 ，进而可得 ，从而可得 ，S2 AK 55222再利用二次函数的性质即可求得答案； t1，然后分点 y xt, （3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线 的表达式为 ．设点 P的坐标为 P在直 l22BQ BQ 左侧两种情况分别进行讨论即可． 线右侧，点 P在直线 【详解】（1）∵抛物线 y ax2 bx c 与轴交于 ．y两点，与 轴交于点 xA(1,0) B(4,0) ，C(0,2) a b c 0 16a 4b c 0 ∴，c 2 1a 2c 2 ∴，3b 213y x2 x 2 ∴抛物线的函数表达式为 （2）过点 ；22作轴于点 G，交 BC 于点 ，过点 作AK x 轴交 BC 的延长线于点 K．DG x DFA则 DG//AK， ∴△AEK∽△DEF， DE DF ∴，AE AK 设直线 BC 的解析式为 y=kx+n， B(4,0) C(0,2) 4k n 0 n 2 将、代入则有： ，12k 解得 ，n 2 1y x 2 ∴直线 BC 的表达式为 ，251y x 2 当 x=-1 时， ，225即 K（-1， ）， 25AK ∴．2S1 SBDE DE ∵．S2 SABE AE S1 DF ∴S2 AK 1312D m, m2 m 2 m 2 设点 ，则 F 点坐标为（m， ）， 221131DF m 2 m2 m 2 m2 2m ∴∴．22221 m2 2m S1 S2 1414522 m2 m m 2 ，52555S1 45当m 2 时， 有最大值 ．S2 A(1,0) B(4,0) C(0,2) （3）∵ ∴AC= ，，．2222，BC= ，AB=5， 1 2 5 4 2 2 5 ∴AC2+BC2=25=52=AB2， ∴∠ACB=90°， 1y x 2 ∵过点 作直线l//BC ，直线 BC 的表达式为 ，O21y x．∴直线 的表达式为 l2tt, 设点 P的坐标为 ．2BQ ①当点 在直线 右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N，过点 Q 作 QM⊥PN 于点 M， P∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， QPM∽PBN ∴，QM PM PQ ∴，，PN BN PB PQB∽CAB 又∵ ∴PQ CA ，PB BC QM PM PQ CA 12∴，PN BN PBBC t∵NB=t-4，PN= ，2QM PM 1∴t，t 4 22t1t 2 ∴QM= ，PM= ，4211t3t 2 t t 2 t t ，∴MN= +，224434Qt,t 2 ∴点 的坐标为 ．313y x2 x 2 Q将点 的坐标为 t,t 2 代入 ，得 42299t 2 t2 t 2 ，32 868 9t 解得： ，t2=0（舍去）， 168 34 ,此时点 P的坐标为 ．99BQ ②当点 在直线 左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N，过点 Q 作 QM⊥PN 于点 M， P∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， QPM∽PBN ∴，QM PM PQ ∴，，PN BN PB PQB∽CAB 又∵ ∴PQ CA ，PB BC QM PM PQ CA 12∴，PN BN PBBC t∵NB=4-t，PN= ，2QM PM 1∴t，4 t 22t12 t ∴QM= ，PM= ，4212 t 21t5t 2 t t ，∴MN= +，24454Qt,2 ∴点 的坐标为 ．513y x2 x 2 Q将点 的坐标为 t,2 代入 ，得 42225 15 2 t2 t 2 ，32 86 2 41 6 2 41 解得： 此时点 ，<0（舍去）， t1 t2 556 2 41 3 41 ,P的坐标为 ．55【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形 的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键． 本试卷的题干 0635
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