南充市二〇二〇年初中学业水平考试 数学试卷 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1的 -4 ，则 x 值是 （ 1. 若）x114A. B. C. D. ﹣4 44C【答案】 【解析】 【分析】 根据解分式方程即可求得 x 的值． 1 4 【详解】解： ，去分母得 ，1 4x x1x ∴，414x 经检验， 是原方程的解 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 2. 2020 年南充市各级各类学校学生人数约为 1 150 000 人，将 1 150 000用科学计数法表示为（ ）A. 1.15×106 B. 1.15×107 C. 11.5×105 D. 0.115×107 A【答案】 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 【详解】解：1150000 用科学计数法表示为：1.15×106， 故选：A． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值，注意保留的数位． 3. 如图，四个三角形拼成一个风车图形，若 AB=2 ，当风车转动 90° B 时，点 运动路径的长度为（ ）π2π 3π 4π D. A. B. C. A【答案】 【解析】 【分析】 1BAAB 点的运动路径是以 点为圆心，长为半径的圆的 的周长，然后根据圆的周长公式即可得到 点的运 B4π动路径长度为 ． 1∵B AAB 【详解】解： 点的运动路径是以点为圆心， 长为半径的圆的的周长， 490o ´ 2p´ 2 ∴= p ，360o A故选： ． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ）A. 3a+2b=5ab B. 3a·2a=6a2 C. a3+a4=a7 D. (a-b)2=a2-b2 B【答案】 【解析】 【分析】 根据同类项、同底数幂乘法、完全平方公式逐一进行判断即可． 【详解】A．不是同类项，不能合并，此选项错误； B．3a·2a=6a2，此选项正确； C．不是同类项，不能合并，此选项错误； D．(a-b)2=a2-2ab+b2，此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查整式的加法和乘法，熟练掌握同类项、同底数幂乘法、完全平方公式的运算法则是解题 的关键． 5. 八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7， 8．则下列说法错误的是（ A. 该组成绩的众数是 6 环 ）B. 该组成绩的中位数数是 6 环 C. 该组成绩的平均数是 6 环 D. 该组成绩数据的方差是 10 D【答案】 【解析】 【分析】 根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、∵6 出现了 3 次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是 6 环，故本选项正确； B、该组成绩的中位数是 6 环，故本选项正确； 1C、该组成绩的平均数是： （4+5+6+6+6+7+8）=6（环），故本选项正确； 7D、该组成绩数据的方差是： (4 6)2 (5 6)2 3(6 6)2 (7 6)2 (8 6)2 10 ，故本选项错误； 77故选：D． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义． 6. 如图，在等腰三角形 ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则 CD=（ ）a b 2a b 2A. B. C. a-b D. b-a C【答案】 【解析】 【分析】 根据等腰三角形的性质和判定得出 BD=BC=AD，进而解答即可． 【详解】解：∵在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°， ∴∠ABD=36°=∠A， ∴BD=AD， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C， ∴BD=BC， ∵AB=AC=a，BC=b， ∴CD=AC-AD=a-b， 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出 BD=BC=AD 解答． 7. 如图，面积为 S 的菱形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，点 E 是线段 BC 单位中点，过点 E 作 EF⊥BD 于 F，EG⊥AC 与 G，则四边形 EFOG 的面积为（ ）141811SSSSA. B. C. D. 16 12 B【答案】 【解析】 【分析】 1由菱形的性质得出 OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝ AC×BD，证出四边形 EFOG 是矩形，EF∥OC， 21111EG∥OB，得出 EF、EG 都是△OBC 的中位线，则 EF＝ OC＝ AC，EG＝ OB＝ BD，由矩形面积 2244即可得出答案． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形， 1∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝ AC×BD， 2∵EF⊥BD 于 F，EG⊥AC 于 G， ∴四边形 EFOG 是矩形，EF∥OC，EG∥OB， ∵点 E 是线段 BC 的中点， ∴EF、EG 都是△OBC 的中位线， 1111∴EF＝ OC＝ AC，EG＝ OB＝ BD， 224412111818AC BD ∴矩形 EFOG 的面积＝EF×EG＝ AC× BD＝ =S； 44故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及面积的求法、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握 菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 8. 如图，点 A，B，C 在正方形网格的格点上，则 sin∠BAC=（ ）226 26 26 13 13 13 A. B. C. D. 6B【答案】 【解析】 【分析】 作 BD⊥AC 于 D，根据勾股定理求出 AB、AC，利用三角形的面积求出 BD，最后在直角△ABD 中根据三 角函数的意义求解． 【详解】解：如图，作 BD⊥AC 于 D， 2222由勾股定理得， ，AB 3 2 13, AC 3 3 3 2 111SAC BD 3 2 BD 13 ∵∴，ABC 2222，BD 22BD AB 26 ．∴213 sin BAC 26 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直 角三角形和利用三角形的面积求出 BD 是解决问题的关键． 29. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线 y=ax 的图象与正方 形有公共顶点，则实数 a 的取值范围是（ ）19191313 a 3 a 1 a 3 a 1 A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 求出抛物线经过两个特殊点时的 a的值即可解决问题． 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 1当抛物线经过（3，1）时，a= ，91观察图象可知 ≤a≤3， 9故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知识，属于中考常考题型． 关于二次函数 y ax2 4ax 5(a 0)的三个结论：①对任意实数 m，都有 对x 2 m x 2 m 与10. 12443 a 1 1 a 或应的函数值相等；②若 3≤x≤4，对应的 y 的整数值有 4 个，则 ；③若抛物线与 x 35a 轴交于不同两点 A，B，且 AB≤6，则 或a 1．其中正确的结论是（ ）4A. ①② 【答案】 【解析】 【分析】 B. ①③ C. ②③ D. ①②③ D4a 2 2a 2x 由题意可求次函数 y=ax -4ax-5 的对称轴为直线 ，由对称性可判断①；分 a＞0 或 a＜0 两种 情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分 a＞0 或 a＜0 两种情况讨论，由题意列出不等式组， 可求解，可判断③；即可求解． 4a 2a x 2 【详解】解：∵抛物线的对称轴为 ，∴x1=2+m 与 x2=2-m 关于直线 x=2 对称， ∴对任意实数 m，都有 x1=2+m 与 x2=2-m 对应的函数值相等； 故①正确； 当 x=3 时，y=-3a-5，当 x=4 时，y=-5， 若 a＞0 时，当 3≤x≤4 时，-3a-5＜y≤-5， ∵当 3≤x≤4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， 41 a ∴，3若 a＜0 时，当 3≤x≤4 时，-5≤y＜-3a-5， ∵当 3≤x≤4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， 4 a 1 ∴，3故②正确； 若 a＞0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB≤6， ∴△＞0，25a-20a-5≥0， 216a 20a 0 ∴∴，5a 5 0 a 1 ；若 a＜0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB≤6， ∴△＞0，25a-20a-5≤0， 216a 20a 0 ∴5a 5 0 5∴a＜ ，454综上所述：当 a＜ 或 a≥1 时，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB≤6． 故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与 x轴的 交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 1 2 20 11. 计算： __________． 【答案】 2【解析】 【分析】 原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值． 1 2 20 【详解】解： ==-1+1 22故答案为： ．2【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 如图，两直线交于点 O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度． 【答案】38 【解析】 【分析】 直接利用对顶角的性质结合已知得出答案． 【详解】解：∵两直线交于点 O， ∴∠1=∠2， ∵∠1+∠2=76°， ∴∠1=38°． 故答案为：38． 【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键． 13. 从长度分别为 1,2,3,4 的四条线段中任选 3 条，能构成三角形的概率为____． 1【答案】 4【解析】 【分析】 利用列举法就可以求出任意三条线段可以组成的组数．再根据三角形三边关系定理确定能构成三角形的组 数，就可求出概率． 【详解】解：这四条线段中任取三条，所有的结果有： （1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4） 共 4 个结果， 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 其中能构成三角形的只有（2，3，4）一种情况， 1故能构成三角形的概率是 ．41故答案为： .4【点睛】注意分析任取三条的总情况，再分析构成三角形的情况，从而求出构成三角形的概率．用到的知 识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 100 5/7/笔记本 元本，钢笔 元支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去 元，那么最多可以购买钢笔_______ 支． 【答案】10 【解析】 【分析】 xy+首先设某同学买了 支钢笔，则买了 本笔记本，根据题意购买钢笔的花费购买笔记本的花费 元，可 =100 7x y = 20- x 5 ，根据 最大且又能被 整除，即可求解． 得5100- 7x 7x y = = 20- xy7x+5y=100 【详解】设钢笔 支，笔记本 本，则有，则 ，55∵x 最大且又能被 5 整除，y 是正整数， ∴x=10 ，故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系． 12x- =__________ 15. 若，则 ．x 3x 1 x + 1 【答案】 2 【解析】 【分析】 12x- 中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据 ，代入化简即可得到结果． x 3x 1 x + 1 1×2 + x- 1 x2 + 3x- 2x- 1 – 2x- 2 – 2(x + 1) x- ===== – 2 【详解】解： x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 故答案为：-2 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 的16. △ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 直径，将△ABC 绕点 C 旋转到△EDC，点 E 在⊙上，已知 AE=2， tanD=3，则 AB=__________． 10 【答案】 3【解析】 【分析】 过 C 作 CH⊥AE 于 H 点，由旋转性质可得 D AEC ，根据三角函数可求得 AC，BC 长度，进而通过 解直角三角形即可求得 AB 长度． 【详解】解：过 C 作 CH⊥AE 于 H 点， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴，AEB ACB 90 由旋转可得 ECD ACB 90 ，∴∴D CED 90，AEC CED 90 D AEC ，，∴tanD=tan∠AEC=CH∶EH=3，AE=2， ∴HE=1，CH=3， ∴AC=CE= ，10 ∵tanD=tan∠ABC=AC∶BC=3， 10 3∴BC= ∴AB= ，10 3AC2 BC2 ，10 故答案为： ．3【点睛】本题考查图形的旋转，圆的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题：本大题共 9 个小题，共 86 分． 1×2 x x 1 17. 先化简，再求值： ，其中 ．(1) x 2 1 x 1 12【答案】 ，x 1 2【解析】 【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可． 1x 1 x(x 1) 【详解】解：原式 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x(x 1) 1 x 1 2当时，原式 ． x 2 1 2【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的化简，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 18. 如图，点 C 在线段 BD 上，且 AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 ABC CDE ACB 90 根 据AB BD ， DE BD ， AC CE ， 可 以 得 到 ，全ACB ECD 90 ECD CED 90 ， ，从而有 ，可以验证 和ABC CDE ACB CED 等，从而得到 AB=CD． 【详解】证明： ∵∴，AB BD DE BD ，AC CE ABC CDE ACB 90 ∴∴，ACB ECD 90 ECD CED 90 ACB CED 在和ABC CDE 中ACB CED BC DE ABC CDE ∴≌ABC CDE 故．AB CD 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角 之间的关系是解题的关键． 19. 今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助，某批次派出 20 人组成的专家组， 分别赴 A、B、C、D 四个国家开展援助工作，七人员分布情况如统计图（不完整）所示： （1）计算赴 B 国女专家和 D 国男专家的人数，并将条形统计图补充完整; （2）根据需要，从赴 A 国的专家，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好 是一男一女的概率． 3P 【答案】（1）1，3，图详见解析；（2） 5【解析】 【分析】 （1）先求出 B 国专家总人数，然后减去男专家人数即可求出，先求 D 国专家的总人数，然后减去女专家人 数即可； （2）用列表法列出所有等可能的情况，然后找出两名专家恰好是一男一女的情况即可． 【详解】解：（1） B国女专家： （人）， 2040% 5 3 20(1 25% 40% 20%) 2 1 国男专家： （人）， D（注：补全条形图如图所示） ；（2）从 5 位专家中，随机抽取两名专家的所有可能结果是： 男 1 男 2 女 1 女 2 女 3 男 1 男 2 女 1 女 2 女 3 （男 1，男 2） （男1，女 1） （男1，女 2） （男1，女 3） （男 2，女 1） （男2，女 2） （男2，女 3） （男 2，男 1） （女 1，男 1） （女1，男 2） （女 1，女 2） （女1，女 3） （女 2，女 3） （女 2，男 1） （女2，男 2） （女2，女 1） （女 3，男 1） （女3，男 2） （女3，女 1） （女3，女 2） 由上表可知，随机抽取两名专家的所有可能有 20 种情况，并且出现的可能性相等， 其中恰好抽到一男一女的情况有 12 种， 12 20 35P 则抽到一男一女专家的概率为： ．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用列表法和树状图法求概率，列出所有等可能情况是解题 关键． 2xx是一元二次方程 220. 已知 ，的两个实数根． x 2x k 2 0 1（1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使得等式 由． 11 k 2 成立？如果存在，请求出 k 的值，如果不存在，请说明理 x1 x2 【答案】（1） k 1；（2） k 6 【解析】 【分析】 （1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围； 11 k 2 ，即可得出关于 k 的方程， （2）根据根与系数的关系可得出 x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合 解之即可得出 k 值，再结合（1）即可得出结论． x1 x2 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， 2∴ (2) 4(k 2)… 0 解得 k 1 ；x x 2, x x k 2 （2）由一元二次方程根与系数关系， 121 2 11 k 2 ∵，x1 x2 x1 x2 x1x2 2 k 2 ∴k 2 (k 2)(k 2) 2 即，解得 ．k 6 又由（1）知： k 1 ，∴．k 6 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0 时，方程有两个实 11 k 2 ，找出关于 k 的方程． 数根”；（2）根据根与系数的关系结合 x1 x2 k21. 如图，反比例函数 y (k 0, x 0) 的函数与 y=2x 的图象相交于点 C，过直线上一点 A（a，8）作 xAAB⊥y 轴交于点 B，交反比函数图象于点 D，且 AB=4BD． （1）求反比例函数的解析式； （2）求四边形 OCDB 的面积． 8y 【答案】（1） ；（2）10 x【解析】 【分析】 （1）求出点 D 的坐标即可解决问题； （2）构建方程组求出点 C 的坐标，利用分割法求面积即可． A(a,8) y 2x 在【详解】解：（1）由点 上，则 ，a 4 A(4,8) ∴∵∴∴，AB y 轴，与反比例函数图象交于点 ，且 DAB 4BD D(1,8) ，即 ，BD 1 8y ，反比例函数解析式为 ；k =8 x8y 2x y （2）∵ 是直线 与反比例函数 图象的交点 Cx82x x 0 x 2 ∴∵∴，xC(2,4) ，则 11∴SABO 48 16 S 34 6 ，，ADC 22S SABO SADC 10 ．∴四边形OCDB 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题 型． 22. A如图，点 ，， 是半径为 BC2⊙O AB 上三个点， 为直径， ∠BAC D的平分线交圆于点 ，过点 DAC 作 的 的AC EED AB F得延长线于点 ． 垂线交 得延长线于点 ，延长线 EF ⊙O 交1（ ）判断直线 与的位置关系，并证明． 2（ ）若 DF= tan∠EAD ，求 的值． 4 2 21【答案】（ ）直线 2与圆 相切，证明详见解析；（） OEF tan EAD 2【解析】 【分析】 1（ ）连接 OD OA OD∠OAD ∠ODA ，由 AD ∠EAF ∠DAE ∠DAO ，据此可得 ∠DAE ∠ADO ＝ ，继 ，由 ＝知＝平分 知＝OD∥AE ，根据 AE⊥EF 即可得证； 而知 222（ ）根据勾股定理得到 结论． ，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到 OF = OD + DF = 6 1【详解】解：（ ）直线 与圆 相切 OEF OD 理由如下：连接 BAC ∵平分 AD ∴∵∴∴由EAD OAD OA OD ODA OAD EAD OD / /AE AE EF ，得 OD EF ∵∴点在圆 上OD是圆 的切线 OEF 21（ ）由（ ）可得，在 中， ，，RtODF OD 2 DF 4 2 OF = OD2 + DF2 = 6 由勾股定理得 ∵∴OD / /AE OD OF DF AE AF EF 832684 2 4 2 3AE 即，得 ，ED AE ED 4 2 DE 2∴在RtAED 中， tan EAD AE 2【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图 形是解题的关键． 23. 某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 10 万元/件（1）如图，设第 x （0＜x≤20）个生产周期设备售价 z 万元/件，z 与 x 之间的关系用图中的函数图象表示，求 z 关于 x 的函数 解析式（写出 x 的范围）． （2）设第 x 个生产周期生产并销售的设备为 y 件，y 与 x 满足关系式 y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件 下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本） 16, (0 x„ 12) z 【答案】（1） ；（2）工厂在第 14 个生产周期创造的利润最大，最大是 605 1 x 19. (12 x„ 20) 4 万元． 【解析】 【分析】 0 x„ 12 （1）由图像可知，当 ，函数为常数函数 z=16；当 ，函数为一次函数，设函数解析式 12 x 20 y kx b(k 0) 为，直线过点(12，16)，(20，14)代入即可求出，从而可得到 z 关于 x 的函数解析式； 0 x„ 12 （2）根据 x 的不同取值范围，z 关于 x 的关系式不同，设 W 为利润，当 ，，可知 W 30x 240 5W (x 14)2 605 x=12 时有最大利润；当 ，，当 时有最大利润． 12 x 20 x 14 40 x„ 12 【详解】解：（1）由图可知，当 时， z 16 zx时， 是关于 的一次函数，设 当12 x 20 z kx b 12k b 16 11k ,b 19 z x 19 则，得 ，即 20k b 14 4416, (0 x„ 12) zxz ∴ 关于 的函数解析式为 1 x 19. (12 x„ 20) 4 x（2）设第 个生产周期工厂创造的利润为万元 WW (16 10)(5x 40) 30x 240 0 x„ 12 ①当时， W 3012 240 600 时， （万元） x 12 最大值 1W x 19 10 (5x 40) ②时， 12 x 20 455 x2 35x 360 (x 14)2 605 44W 605 （万元） 当时， x 14 最大值 综上所述，工厂在第 14 个生产周期创造的利润最大，最大是 605 万元． 【点睛】（1）本题主要考查了一次函数解析式的求法，解本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的 解析式，能根据图像找到函数所过点； （2）根据等量关系：利润=收入-成本，列出函数关系从而求出最大值，其中根据等量关系列出函数关系式 是解本题的关键． 24. 如图，边长为 1的正方形 ABCD 中，点 K 在 AD 上，连接 BK，过点 A，C 作 BK 的垂线，垂足分别为 M，N，点 O 是正方形 ABCD 的中心，连接 OM，ON． （1）求证：AM=BN； （2）请判断△OMN 的形状，并说明理由； （3）若点 K在线段 AD上运动（不包括端点），设 AK=x，△OMN 的面积为 y，求 y关于 x的函数关系式（写 1出 x的范围）；若点 K 在射线 AD 上运动，且△OMN 的面积为 ，请直接写出 AK 长． 10 x2 2x 1 4×2 4 12【答案】（ ）详见解析；（ ） 3是等腰直角三角形，理由详见解析；（ ） ，OMN y (0 x 1) 13长为 或． AK 3【解析】 【分析】 1（ ）由“AAS”可证△ABM≌△BCN，可得 AM＝BN； （2）连接 OB，由“SAS”可证△AOM≌△BON，可得 MO＝NO，∠AOM＝∠BON，由余角的性质可得∠MON ＝90°，可得结论； VABM : VKBA ，（3）由勾股定理可求 BK 的值，由 ，四边形 ABCD 是正方形，可得： x2 – 2x + 1 AM BM 1- x MN = VAKM : VBKA y = ，则可求得 ，由三角形面积公式可求得 ；点 K 在射线 AD 上运 x2 + 1 4×2 + 4 动，分两种情况：当点 K 在线段 AD 上时和当点 K 在线段 AD 的延长线时分别求解即可得到结果． 1【详解】解：（ ）证明： AM BM ,CN BN ∵∴AMB BNC 90 ∵又ABC 90 ∴∴MAB MBA 90 ,CBN MBA 90 MAB CBN 又∴AB BC ≌BNC （AAS） AMB ∴AM BN 2（ ） 是等腰直角三角形 OMN 理由如下：连接 ，OB ∵∴为正方形的中心 OOA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO， ∵∠MAB＝∠CBM， ∴，即 MAB OAB NBC OBC MAO OBN OA OB, AM BN ∵∴AMO ≌BNO （SAS） ∴，OM ON AOM BON ∵∵AOB AON BON 90 ∠AON+∠BON＝90°， ∴∠AON+∠AOM＝90°， ∴MON 90 ∴是等腰直角三角形． OMN 2223（ ）在 由中， RtABK BK AK AB x 1 ABCD ，四边形 是正方形， AM BM VABM : VKBA VAKM : VBKA ，可得： AB MA AK MK ∴∴==，KB AK BK AK AB AK xBN AM ，得： BK AM AB AK x2 1 BK AK2 x2 x2 1 2KM ∴，得： AK KM BK BK xx2 x2 1 1 x x2 1 MN BK BN KM x2 1 ∴∴x2 1 1(1 x)2 4×2 4 SOMN MN2 4×2 2x 1 4×2 4 即： y (0 x 1) 1×2 – 2x + 1 4×2 + 4 1=当点 K 在线段 AD 上时，则 ，10 x 解得：x1＝3（不合题意舍去）， ，23×2 – 2x + 1 4×2 + 4 y = (x > 1) 当点 K 在线段 AD 的延长线时，同理可求得 1×2 – 2x + 1 4×2 + 4 ∴=，10 13x 解得：x1＝3， （不合题意舍去）， 211综上所述： 长为 或3时，△OMN 的面积为 3．10 AK 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，解分式方程等知识点，能熟练应用相关性质是本题的关键． 25. A-2 0B40已知二次函数图象过点 （ ，）， （ ， ）， （ ， ） C041（ ）求二次函数的解析式； 2（ ）如图，当点 PAC PB M上是否存在点 ，使得 ∠BMC=90° M ？若存在，求出点 的坐 为的中点时，在线段 标，若不存在，请说明理由． 53K（ ）点在抛物线上，点 DAB KD BC tan =K，求点 的坐 为的中点，直线 与直线 的夹角为锐角 ，且 3标． æçèö124 56 ,1【答案】（ ） y x2 x 4 2；（ ）线段上存在 3，理由详见解析；（ ） ÷çM – ÷，使得 çBMC 90 ÷ø29 29 2æöæö3+ 145 – 1+ 145 3- 145 – 1- 145 ÷÷çç÷÷çççç,,(2,4) (8,36) 或抛物线上符合条件的点 坐标为： K或或ø．÷÷÷÷÷÷çèçè416 416 ø【解析】 【分析】 y a(x 2)(x 4) 1（ ）设二次函数的解析式为 C，将点 坐标代入可求解； ﹣2P（ ）利用中点坐标公式可求（ 12Q22， ），点（ ， ），由勾股定理可求 BC PB 的长，由待定系数法可求 2æçèö24 285æö÷÷÷ø2252÷çççça,- a + ÷Ma + + (a- 2) = 8 a 解析式，设点 求解； ，由两点距离公式可得 ，可求 或，即可 a 4 ç÷ø5è529 3 2 23（ ）过点 DDE⊥BC E于点 ，设直线 DK BC N交于点 ，先求出 作与，，由锐角三角函数 DB 3 DE DE 9 2 =N(m,4 m) N(m,4 m) DK EC DK EB 与射线 交于 可求 NE = ，分 与射线 交于点 和两种情况讨 tanq 10 DK K解析式，联立方程组可求点 坐标． 论，求出直线 【详解】 A(2,0), B(4,0) 1解：（ ）二次函数的图象过点 y a(x 2)(x 4) 设二次函数解析式为 又二次函数的图象过点 1C(0,4) ，∴a ，即 8a 4 21y x2 x 4 故二次函数解析式为 2æçèö÷÷÷ø24 56 ，理由如下： çM – ,2（ ）线段上存在 ，使得 çBMC 90 29 29 QQ(2,2) 设若BC 中点为 ，由题意，易知 的坐标为 ，BC 4 2 1MQ BC 2 2 ，则 BMC 90 2A(2,0),C(0,4) (1,2) ∵∴≈ AC ，P的中点 为 ì- k + b = 2 4k + b = 0 ïï285y kx b k ,b í设所在的直线为 ，则 ，得 PB ï5ïî2y x 585所在的直线为 PB Mæçèö285÷ça,- a + ç÷1„ a„ 4 ，其中 在线段 上，设 的坐标为 PB MQ÷ø5yx轴与 轴的垂线 ，2 ，设 ， 相交于点 llll1如图 ，分别过 ，作，MT11228225QT = -a + -2 = a + ∴555MT | a 2 | ∵∴MQ2 QT 2 MT 2 2æö÷÷÷ø2252çça + + (a- 2) = 8 çè524 29 2a 整理得 ，解得 或a 4 29a 92a 96 0 当时， B，重合，不合题意（舍去） a 4 M24 24 56 ∴a ( ,)，则 的坐标为 M29 29 29 æçèö÷÷÷ø24 56 ,ççM – 故线段 上存在 ，使得 PB BMC 90 29 29 32（ ）如图，过点 作于点 ，设直线 E与BC 交于点 DE BC NDDK ∵D(1,0), B(4,0),EBD 45 æö÷÷÷ø3 2 25 3 ç,çDB = 3, DE = , E ∴∵çè2 2 C(0,4) BC : y x 4 ∴直线 在中RtDNE 3 2 DE 9 2 10 25NE tan 3N(m,4 m) EC ①若与射线 交于点 DK æö÷59 2 10 ççNE = 2- m = ∴∴∴÷÷øçè28m 5æö8 12 ÷÷÷øçN,ççè5 5 DK : y 4x 4 ∴直线 ìïy = 4x- 4 ïïíïï∴1y = -x2 + x + 4 ïî2x 2 y 4 ìïïx = – 8 íï解得 或y = – 36 ïîN(m,4 m) ②若与射线 交于点 EB DK æçèö÷529 2 10 çNE = 2 m- =÷∴∴∴∴ç÷ø17 5m æö17 3 ÷÷÷øçN,ççè5 5 11DK : y x 直线 44ìïìïìï1143+ 145 3- 145 ïïïïíïïïïïïïïíïïïïïïy = x- x = x = y = ïï444íïïïï，解得 或1y = -x2 + x + 4 – 1+ 145 16 – 1- 145 16 y = 2ïîïîïî综上所述，抛物线上符合条件的点 坐标为： Kæöæö÷÷÷3+ 145 – 1+ 145 3- 145 – 1- 145 ÷çççç÷çç,,(2,4) (8,36) 或或或ø．÷÷÷÷÷çèçè416 416 ø【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰 直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是 本题的关键． 本试卷的题干 0635
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