内蒙古通辽市 2020 年中考数学试题 注意事项： 1．本试卷共 6 页，26 小题，满分为 120 分，考试时间为 120 分钟． 2．根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答 案无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交． 一、选择题(本题包括 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确答案，请在答题 卡上将代表正确答案的字母用 2B 铅笔涂黑) 1. A. 2020 年我市初三毕业生超过 30000 人，将 30000 用科学记数法表示正确的是( ) B. C. D. 0.3105 3104 30103 3 万 B【答案】 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 【详解】解：将 30000 用科学记数法表示为 3×104． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 2. 下列说法不正确的是( ) A. C. 是 2 个数 a 的和 B. D. 是 2 和数 a 的积 2a 2a 2a 2a 是单项式 是偶数 D【答案】 【解析】 【分析】 的根据 2a 意义，分别判断各项即可. 【详解】解：A、 =a+a，是 2 个数 a 的和，故选项正确； 2a B、 C、 =2×a，是 2 和数 a 的积，故选项正确； 2a 2a 是单项式，故选项正确； D、当 a 为无理数时， 故选 D. 是无理数，不是偶数，故选项错误； 2a 【点睛】本题考查了代数式的意义，注意 a 不一定为整数是解题的关键. 3. 下列事件中是不可能事件的是( ) A 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 百步穿杨 C【答案】 【解析】 【分析】 不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合； B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合； C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合； D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合； 故选 C. 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事 件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随 机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 互余的摆放方式是( ) 4. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和A. B. C. D. A【答案】 【解析】 【分析】 根据图形，结合互余的定义判断即可． 【详解】解：A、∠α 与∠β 互余，故本选项正确； B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误； C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误； D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误； 故选 A. 【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力． 2﹣5. 6x+ 9=0有实数根，则 k的取值范围是（ ） 若关于 x的方程 kx k＜1k≤1 k ≠0 C. ＜1且 k k≤ ≠0 D. 1且 k A. B. B【答案】 【解析】 32【详解】解：（1）当 k=0 时，-6x+9=0，解得 x= ；（2）当 k≠0 时，此方程是一元二次方程， ∵关于 x 的方程 kx2-6x+9=0 有实数根， ∴△=（-6）2-4k×9≥0，解得 k≤1， 由（1）、（2）得，k 的取值范围是 k≤1． 故选 B． 6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） A. B. C. D. C【答案】 【解析】 【分析】 根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判 断． 【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线，从而可 用直尺成功找到三角形外心． 故选 C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知 角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外 心． PA, PB A, B 两点， 7. O 如图， 分别与 相切于 ，则 C ( ) P 72 A. 108 【答案】 【解析】 【分析】 B. 72 C. D. 36 54 C连接 OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形 AOBP 的内角和为 360°，即可推出∠AOB 的度数，然后 根据圆周角定理，即可推出∠C 的度数． 【详解】解：连接 OA、OB， ∵直线 PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∵∠P=72°， ∴∠AOB=108°， ∵C 是⊙O 上一点， ∴∠ACB=54°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过 作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果． 的ABC 中线，四边形 ADCE 8. 如图， 是是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE 是菱形的 AD 是( ) A. BAC 90 B. C. D. DAE 90 AB AC AB AE A【答案】 【解析】 【分析】 根据菱形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：A、若 BAC 90，则 AD=BD=CD=AE，∵四边形 ADCE 是平行四边形，则此时四边形 ADCE 为菱形，故选项正确； B、若 C、若 D、若 ，则四边形 ADCE 是矩形，故选项错误； DAE 90 ，则∠ADC=90°，则四边形 ADCE 是矩形，故选项错误； AB AC AB AE ，而 AB＞AD，则 AE≠AD，无法判断四边形 ADCE 为菱形，故选项错误. 故选 A. 【点睛】本题考查了菱形的判定，还涉及到平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的 关键是掌握判定定理. k9. y 如图， 交双曲线 于点 A，且 ，若矩形 的面积是 8，且 轴，则 k AB//x OC OC :OA 5: 3 ABCD x的值是( ) 200 A. 18 B. 50 C. 12 D. 9A【答案】 【解析】 【分析】 过点 A 和点 C 分别作 x 轴的垂线，垂足为 E 和 F，得到△OAE∽△OCF，设点 A（m，n），求出 AB 和 BC，利用矩形 ABCD 的面积为 8 求出 mn，即 k 值. 【详解】解：过点 A 和点 C 分别作 x 轴的垂线，垂足为 E 和 F， ∴AE∥CF， ∴△OAE∽△OCF， ∵OC：OA=5：3， ∴OF：OE=CF：AE=5：3， 设点 A（m，n），则 mn=k， ∴OE=m，AE=n， 5m 5n ∴OF= ，CF= ，332m 2n ∴AB=OF-OE= ，BC=CF-AE= ，33∵矩形 ABCD 的面积为 8， 2m 2n ∴AB·BC= ×=8， 33∴mn=18=k， 故选 A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数表达式，矩形的性质，解题的关键是利用相似 三角形的性质表示出线段的长. 10. 从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( ) （1）无理数都是无限小数； ax2 a a x1 x 1 （2）因式分解 ；1cm （3）棱长是 （4）弧长是 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ； ，面积是 2 的扇形的圆心角是120 ．20cm 240cm 1A. 341B. C. D. 1 24C【答案】 【解析】 【分析】 分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解. 【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题， ax2 a a x1 x 1 （2）因式分解 ，是真命题， 1cm （3）棱长是 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题， （4）设扇形半径为 r，圆心角为 n， nπr ∵弧长是 ，则 =，则 nr 3600 20 ，20cm 180 nr2 360 2∵面积是 2 ，则 =240 ，则 nr 360×240， 240cm nr2 360240 则，则 n=3600÷24=150°， r 24 nr 3600 故扇形的圆心角是 ，是假命题， 150 3则随机抽取一个是真命题的概率是 ，4故选 C. 【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点 较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假. 二、填空题(本题包括 7 小题，每小题 3 分，共 21 分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上) 11. 计算： （1） (3.14 )0 ______；（2） ______；（3） ______． 22cos45 1 (1). (2). (3). -1 【答案】 12【解析】 【分析】 根据零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算法则分别计算即可. 【详解】解： (3.14 )0 1， 22× =，2cos45 222-1， 1 故答案 【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算，掌握运算法则是关键. 12. 为：1， ，-1. 2若数据 3，a，3，5，3 的平均数是 3，则这组数据中（1）众数是______；（2）a 的值是______；（3）方 差是______． 【答案】 (1). (2). (3). 1.6 31【解析】 【分析】 根据平均数的定义先求出 a 的值，再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， 3+a+3+5+3=3×5， 解得：a=1， 则一组数据 1，3，3，3，5 的众数为 3， 158522222 13 33 33 33 53 方差为： ==1.6， 故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6 【点睛】此题考查了众数、平均数和方差，用到的知识点是众数、平均数和方差的求法，注意计算不要出 错. ，则 BOC 的度数是______． 13. 如图，点 O 在直线 上， AB AOC 5317 28 【答案】12642 32 【解析】 【分析】 根据补角的定义，进行计算即可. 【详解】解：由图可知：∠AOC 和∠BOC 互补， AOC 5317 28 ∵， ∴∠BOC=180°-5317 28 12642 32 =， 故答案为：12642 32 .【点睛】本题考查了补角的定义，和角的计算，关键是掌握角的运算方法. 14. 如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小正方形，拼第 2 个正方形需要 9 n 1 个小正方形……，按这样的方法拼成的第 个正方形比第 n 个正方形多_____个小正方形． 【答案】2n+3 【解析】 【分析】 首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案． 【详解】解：∵第一个图形有 22=4 个正方形组成， 第二个图形有 32=9 个正方形组成， 第三个图形有 42=16 个正方形组成， ∴第 n 个图形有（n+1）2 个正方形组成，第 n+1 个图形有（n+2）2 个正方形组成 ∴（n+2）2-（n+1）2 =2n+3 故答案为：2n+3． 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，根据图形得出小正方形的变化规律是解题关键． 15. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 169 人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 ______个人． 【答案】12 【解析】 【分析】 设平均一人传染了 x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，列方程求解 【详解】解：设平均一人传染了 x 人， x+1+（x+1）x=169 解得：x=12 或 x=-14（舍去）． ∴平均一人传染 12 人． 故答案为：12． 【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． ACB 90, AC BC 16. 如图，在ABC 中， ，点 P 在斜边 上，以 PC 为直角边作等腰直角三角 AB 222 三者之间的数量关系是_____． PCQ PCQ 90 ，形，则 PA , PB , PC 【答案】PA2+PB2=2PC2 【解析】 【分析】 把 AP2 和 PB2 都用 PC 和 CD 表示出来，结合 Rt△PCD 中，可找到 PC 和 PD 和 CD 的关系，从而可找到 PA2，PB2，PC2 三者之间的数量关系； 【详解】解：过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 于点 D ∵△ACB 为等腰直角三角形，CD⊥AB， ∴CD=AD=DB， ∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2， PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2， ∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2）， 在 Rt△PCD 中，由勾股定理可得 PC2=CD2+PD2， ∴PA2+PB2=2PC2， 故答案为 PA2+PB2=2PC2. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论 .证AB AC,BAC 120 17. 如图①，在ABC 中， ，点 E 是边 的中点，点 P 是边 BC 上一动点，设 AB PC x, PA PE y ．图②是 y 关于 x 的函数图象，其中 H 是图象上的最低点．．那么 的值为 ab _______ ．【答案】7 【解析】 【分析】 过 B 作 AC 的平行线，过 C 作 AB 的平行线，交于点 D，证明四边形 ABCD 为菱形，得到点 A 和点 D 关于 BC 对称，从而得到 PA+PE=PD+PE，推出当 P，D，E 共线时，PA+PE 最小，即 DE 的长，观察图像可知： 当点 P 与点 B 重合时，PD+PE= ，分别求出 PA+PE 的最小值为 3，PC 的长，即可得到结果. 3 3 【详解】解：如图，过 B 作 AC 的平行线，过 C 作 AB 的平行线，交于点 D， 可得四边形 ABCD 为平行四边形，又 AB=AC， ∴四边形 ABCD 为菱形，点 A 和点 D 关于 BC 对称， ∴PA+PE=PD+PE， 当 P，D，E 共线时，PA+PE 最小，即 DE 的长， 观察图像可知：当点 P 与点 B 重合时，PD+PE= ∵点 E 是 AB 中点， ，3 3 ∴BE+BD=3BE= ，3 3 ∴BE= ，AB=BD= ，32 3 ∵∠BAC=120°， ∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴DE⊥AB，∠BDE=30°， ∴DE=3，即 PA+PE 的最小值为 3， 即点 H 的纵坐标为 a=3， 当点 P 为 DE 和 BC 交点时， ∵AB∥CD， ∴△PBE∽△PCD， PB BE ∴，PC CD ∵菱形 ABCD 中，AD⊥BC， 22∴BC=2× =6， 2 3 36 PC PC 3∴，2 3 解得：PC=4， 即点 H 的横坐标为 b=4， ∴a+b=3+4=7， 故答案为：7. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数 形结合的思想解答． 三、解答题(本题包括 9 小题，共 69 分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出 各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤) 2x 2 .318. .解方程： x【答案】 【解析】 【分析】 x 6 首先去掉分母，观察可得最简公分母是 x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方 程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解． 2x 3 x 2 【详解】去分母，得 去括号，得 ，，2x 3x 6 x 6 移项，合并同类项，得 ，化 x 的系数为 1，得 ，x 6 经检验， 是原方程的根， x 6 ∴原方程的解为 ．x 6 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键． 19. 从 A 处看一栋楼顶部的仰角为 ，看这栋楼底部的俯角为 ，A 处与楼的水平距离 为，若 90m AD tan 0.27,tan 2.73 ，求这栋楼高． 【答案】270 米 【解析】 【分析】 根据正切的定义分别求出 BD、DC 的长，求和即可. BD 【详解】解：在 Rt△ABD 中，tanα= ，AD 则 BD=AD•tanα=90×0.27=24.3， CD 在 Rt△ACD 中，tanβ= ，AD 则 CD=AD•tanβ=90×2.73=245.7， ∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270， 答：这栋楼高约为 270 米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正切理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键． 220. 用※定义一种新运算：对于任意实数 m 和 n，规定 ，如： m※n m n mn 3n 2．1※2 1 2 12 32 6 2 ※ 3 （1）求 （2）若 ；，求 m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 3※m 6 【答案】(1) ；(2) m 2 ，图见解析 3 3 【解析】 【分析】 （1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得； （2）根据新定义列出关于 x 的不等式，解不等式即可得． 22 ※ 3 【详解】解：（1） =2 3 2 3 3 3 =4 3 2 33 3 =3 3 （2）∵ ，3※m 6 2∴3 m 3m 3m 6 解得： m 2 将解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一 元一次不等式及解一元一次不等式的步骤 21. 甲口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 1，2；乙口袋中装有 3 个相同小球，它们分别写有数 字 3，4，5；丙口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 6，7．从三个口袋各随机取出 1 个小球．用 画树状图或列表法求： （1）取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率； （2）取出的 3 个小球上全是奇数的概率． 516【答案】（1） ；（2） 12 【解析】 【分析】 （1）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案； 【详解】解：画树状图得： （1）∵共有 12 种等可能的结果，取出的 3 个小球上恰好有 1 个偶数数字的有 5 种情况， 5∴取出的 3 个小球上只有 1 个偶数数字的概率是 ：12 （2）∵共有 12 种等可能的结果，取出的 3 个小球上全是奇数数字的有 2 种情况， 216∴取出的 3 个小球上全是奇数数字的概率是 .12 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步 或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 222. O 如图， 的直径 交弦(不是直径) 于点 P，且 ．求证： ．CD AB CD AB PC PB·PA 【答案】见解析 【解析】 【分析】 PA PC PA PC 2连接 AC 和 BD，证明△PAC∽△PDB，得到 ，再根据 得到 ，从而得到 PC PB·PA PC PB PD PB PC=PD，根据垂径定理得出结果. 【详解】解：连接 AC 和 BD， 在△PAC 和△PBD 中， ∠A=∠D，∠C=∠B， ∴△PAC∽△PDB， PA PC ∴，，PD PB PA PD ∴∵∴PC PB 2，PC PB·PA PA PC ，PC PB ∴PC=PD， ∵AB 为直径， ∴AB⊥CD. 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，解题的关键是证明 PA PC △PAC∽△PDB，得到 .PD PB 23. 某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干 名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答 下列问题： （1）在这次调查中，共调查了多少名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校爱好运动的学生共有 800 名，则该校学生总数大约有多少名． 【答案】（1）100；（2）见解析；（3）2000 【解析】 【分析】 （1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形． （3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数． 【详解】解：（1）爱好运动的人数为 40，所占百分比为 40% ∴共调查人数为：40÷40%=100 （2）爱好上网的人数所占百分比为 10% ∴爱好上网人数为：100×10%=10， ∴爱好阅读人数为：100-40-20-10=30， 补全条形统计图，如图所示， （3）爱好运动的学生人数所占的百分比为 40%， ∴该校共有学生大约有：800÷40%=2000 人； 的【点睛】本题考查统计，解题 关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型． A, B 24. 某服装专卖店计划购进 两种型号的精品服装．已知 2 件 A 型服装和 3 件 B 型服装共需 4600 元；1 件 A 型服装和 2 件 B 型服装共需 2800 元． A, B （1）求 型服装的单价； A, B （2）专卖店要购进 两种型号服装 60 件，其中 A 型件数不少于 B 型件数的 2 倍，如果 B 型打七五折， 那么该专卖店至少需要准备多少货款？ 【答案】（1）A 型女装的单价是 800 元，B 型女装的单价是 1000 元；（2）47000 【解析】 【分析】 （1）设 A 型女装的单价是 x 元，B 型女装的单价是 y 元．根据“2 件 A 型女装和 3 件 B 型女装共需 4600 元； 1 件 A 型女装和 2 件 B 型女装共需 2800 元”列出方程组并解答； （2）设购进 A 型女装 m 件，则购进 B 型女装（60-m）件，依据“A 型的件数不少于 B 型件数的 2 倍”求得 m 的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用． 【详解】解：（1）设 A 型女装的单价是 x 元，B 型女装的单价是 y 元， 2x 3y 4600 x 2y 2800 依题意得： x 800 解得： y 1000 答：A 型女装的单价是 800 元，B 型女装的单价是 1000 元； （2）设购进 A 型女装 m 件，则购进 B 型女装（60-m）件， 根据题意，得 m≥2（60-m）， ∴m≥40， 设购买 A、B 两种型号的女装的总费用为 w 元， w=800m+1000×0.75×（60-m）=50m+45000， ∴w 随 m 的增大而增大， ∴当 m=40 时，w 最小=50×40+45000=47000． 答：该专卖店至少需要准备 47000 元的贷款． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到 关键描述语，找到所求的量的等量关系． P,Q A, D 两点出发，以 25. 中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 ．点 同时分别从 的速度沿 6cm 1cm/s F,C PB, PE,QB,QE t s ，设运动时间为 ． AF, DC 向终点 运动，连接 PBQE （1）求证：四边形 为平行四边形； PBQE （2）求矩形 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比． 【答案】（1）见解析；（2）2：3 【解析】 【分析】 （1）只要证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得 BP=EQ，同理 PE=BQ，由此即可证明； PBQE （2）过点 B，点 E 作 BN⊥CD，EM⊥CD，连接 OC，OD，过点 O 作 OH⊥CD 分别求出矩形 的面积 和正六边形 ABCDEF 的面积，从而得到结果. 【详解】解：（1）证明：∵中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6cm， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F， ∵点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1cm/s 速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动， ∴AP=DQ=t，PF=QC=6-t， 在△ABP 和△DEQ 中， AB DE A D AP DQ ，∴△ABP≌△DEQ（SAS）， ∴BP=EQ，同理可证 PE=QB， ∴四边形 PEQB 是平行四边形； （2）由（1）可知四边形 PEQB 是平行四边形 ∴当∠BQE=90°时，四边形 PEQB 是矩形 过点 B，点 E 作 BN⊥CD，EM⊥CD，连接 OC，OD，过点 O 作 OH⊥CD ∴∠BNQ=∠QME=90°， ∴∠BQN+∠NBQ=90°，∠BQN+∠EQM=90° ∴∠NBQ=∠EQM ∴△NBQ∽△MQE BN QM =∴NQ EM 又∵正六边形 ABCDEF 的半径为 6， ∴正六边形 ABCDEF 的各边为 6，∠BCQ=∠EDQ=120° ∴在 Rt△BNC 和 Rt△EDM 中，∠NBC=∠DEM=30° 1BC 3 ∴NC=DM= ，BN=EM= 3 3 23 33+x ∴=，解得： 9 – x 3 3 x 6，x 0 （舍去） 12即当 P 与 F 重合，Q 与 C 重合时，四边形 PEQB 是矩形 此时矩形 PEQB 的面积为 BCCE = 6´ 6 3=36 3 ∵在正六边形 ABCDEF 中，∠COD=60°，OC=OD ∴△OCD 是等边三角形，OC=OD=CD=6，OH= 3 3 1CDOH 6 S 六边形 ABCDEF =2163 36 ==2，54 3 ∴S 矩形 PBQE：S 六边形 ABCDEF =：36 354 3 =2：3 【点睛】本题考查正多边形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质与判定，解题的关键是灵活运用所学 知识解决问题，属于中考常考题型． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 ，与 y 轴交于点 C，且直线 上一动点，过点 P 作 x 轴 A, B 26. y x 6 过点 B，与 y 轴交于点 D，点 C 与点 D 关于 x 轴对称．点 P 是线段 OB 的垂线交抛物线于点 M，交直线 于点 N． BD （1）求抛物线的函数解析式； （2）当 的面积最大时，求点P 的坐标； △MDB Q, M , N （3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 Q，使得以 存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 三点为顶点的三角形是直角三角形，若 【答案】（1） y x2 5x 6 ；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0， ）或（0， 4 2 15 ）. 4 2 15 【解析】 【分析】 y x 6 （1）根据直线 求出点 B 和点 D 坐标，再根据 C 和 D 之间的关系求出点 C 坐标，最后运用待定系 数法求出抛物线表达式； （2）设点 P 坐标为（m，0），表示出 M 和 N 的坐标，再利用三角形面积求法得出 2S△BMD =，再求最值即可； 3m 12m 36 （3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和 性质，分别求解即可. y x 6 【详解】解：（1）∵直线 过点 B，点 B 在 x 轴上， 令 y=0，解得 x=6，令 x=0，解得 y=-6， ∴B（6，0），D（0，-6）， ∵点 C 和点 D 关于 x 轴对称， ∴C（0，6）， ∵抛物线 y x2 bx c 经过点 B 和点 C，代入， 0 36 6b c 6 c b 5 ，解得： ，c 6 ∴抛物线的表达式为： y x2 5x 6 ；（2）设点 P 坐标为（m，0）， 2则点 M 坐标为（m， ），点 N 坐标为（m，m-6）， m 5m 6 22∴MN= -m+6= ，m 5m 6 m 4m 12 ∴S△BMD=S△MNB+S△MND 1 m2 4m 12 6 =22=3m 12m 36 =-3（m-2）2+48 当 m=2 时，S△BMD 最大=48， 此时点 P 的坐标为（2，0）； （3）存在， 由（2）可得：M（2，12），N（2，-4）， 设点 Q 的坐标为（0，n）， 当∠QMN=90°时，即 QM⊥MN，如图， 可得，此时点 Q 和点 M 的纵坐标相等， 即 Q（0，12）； 当∠QNM=90°时，即 QN⊥MN，如图， 可得，此时点 Q 和点 N 的纵坐标相等， 即 Q（0，-4）； 当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图， 分别过点 M 和 N 作 y 轴的垂线，垂足为 E 和 F， ∵∠MQN=90°， ∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°， ∴∠NQF=∠QME， ∴△MEQ∽△QFN， ME EQ 212 n ∴，即 ，QF FN n 4 2解得：n= 或4 2 154 2 15 ，∴点 Q（0， ）或（0， ）， 4 2 15 4 2 15 综上：点 Q 的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0， ）或（0， ）. 4 2 15 4 2 15 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性 质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用. 本试卷的题干 0635
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