内蒙古呼和浩特市 2020 年中考数学试题 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试卷和答题卡一并 交回． 3．本试卷考试时间 120 分钟． 一、选择题（本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. A. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）B. C. D. D【答案】 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念． 2. 2020 年 3 月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵 6 个汉语成语．将超过的个数记为正数， 不足的个数记为负数，某一周连续 5 天的背诵记录如下： ，0， 5 ，则这 5 天他共背诵汉语 ，，3 4 2 成语（ ）A. 38 个 【答案】 【解析】 【分析】 B. 36 个 C. 34 个 D. 30 个 A总成语数= 5 天数据记录结果的和+6×5，即可求解． 【详解】解：（+4+0+5-3+2）+5×6=38 个， ∴这 5 天他共背诵汉语成语 38 个， 故选 A. 【点睛】本题考查了正数和负数，正确理解所记录的数的意义，列出代数式是关键． 3. 下列运算正确的是（ ）172 12A. 72 288 288 3B. ab2 ab5 2xy 2y2 y x 4xy x y x y 2c (x y)2 C. D. x y 3c2 15a2c 8ab 4ab 5a C【答案】 【解析】 【分析】 分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可. 172 1412【详解】解：A、 ，故选项错误； 72 288 288 3ab2 a3b6 B、 ，故选项错误； 2xy 2y2 y x 4xy x y x y C、 x y 22xy 2y2 y x x y x y y x 4xy =x y x y y x 22x y x y ==x y y x x y 2 ，故选项正确； 3c2 15a2c 3c2 4ab cD、 ，故选项错误； 8ab 4ab 8ab 15a2c 10a2 故选 C. 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的 关键是学会计算，掌握运算法则. 4. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是 0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的 图示电路 A、B 之间，电流能够正常通过的概率是（ ）A. 0.75 B. 0.625 C. 0.5 D. 0.25 A【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为 0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为 0.25，进而由 概率的意义可得一定时间段内 AB 之间电流能够正常通过的概率． 【详解】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是 0.5， 即某一个电子元件不正常工作的概率为 0.5， 则两个元件同时不正常工作的概率为 0.25； 故在一定时间段内 AB 之间电流能够正常通过的概率为1 0.25 =0.75， 故选 A 【点睛】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题，用到的知识点为：电流能正常通过的概率=1-电流不 能正常通过的概率． 5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减 一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起， 由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）A. 102 里 B. 126 里 C. 192 里 D. 198 里 D【答案】 【解析】 【分析】 设第六天走的路程为 x 里，则第五天走的路程为 2x 里，依此往前推，第一天走的路程为 32x 里，根据前六 天的路程之和为 378 里，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第六天走的路程为 x 里，则第五天走的路程为 2x 里，依此往前推，第一天走的路程为 32x 里， 依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378， 解得：x=6． 32x=192， 6+192=198， 答：此人第一和第六这两天共走了 198 里， 故选 D. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． y a 2 x2 a 2 x 1 ，当 x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总 6. 已知二次函数 a 2 x2 a 2 x 1 0 相等，则关于 x 的一元二次方程 的两根之积为（ ）1214A. 0 B. C. D. 1 D【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可得二次函数图像的对称轴为 y 轴，从而求出 a 值，再利用根与系数的关系得出结果. 【详解】解：∵二次函数 y (a 2)x2 (a 2)x 1 ，当 x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总相等， 可知二次函数图像的对称轴为直线 x=0，即 y 轴， a 2 0 则，2(a 2) 解得：a=-2， 则关于 x 的一元二次方程 (a 2)x2 (a 2)x 1 0 为，24x 1 0 1则两根之积为 ，4故选 D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数 图像的对称轴为 y 轴. 1y x2 6x a 27 7. 关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）44,5 A. 若将图象向上平移 10 个单位，再向左平移 2 个单位后过点 ，则 a 5 B. 当 时，y 有最小值 x 12 a 9 C. 对应的函数值比最小值大 7 x 2 a 0 D. 当 时，图象与 x 轴有两个不同的交点 C【答案】 【解析】 【分析】 求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出 a 即可判断 A；将函数表达式化为顶点式，即可 判断 B；求出当 x=2 时的函数值，减去函数最小值即可判断 C；写出函数对应方程的根的判别式，根据 a 值 判断判别式的值，即可判断 D. 112y x2 6x a 27 x 12 a 9 【详解】解：A、将二次函数 向上平移 10 个单位，再向左平移 442 个单位后， 11422y x 2 12 a 9 10 x 10 a 1 表达式为： =，4若过点（4，5）， 125 4 10 a 1 则，解得：a=-5，故选项正确； 4112y x2 6x a 27 x 12 a 9 B、∵ ，开口向上， 44∴当 时，y 有最小值 ，故选项正确； x 12 a 9 C、当 x=2 时，y=a+16，最小值为 a-9，a+16-（a-9）=25，即 对应的函数值比最小值大 25，故选项错 x 2 误； 1126 4 a 27 x2 6x a 27 0 D、△= =9-a，当 a＜0 时，9-a＞0，即方程 有两个不同的实 44数根，即二次函数图象与 x 轴有两个不同的交点，故选项正确， 故选 C. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数 的性质，以及与一元二次方程的关系. 中，最多 A B, C A, C B 8. 命题①设ABC 的三个内角为 A、B、C 且 ，则 、、有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从 11 个评委分别给出某选手的不同原始评 分中，去掉 1 个最高分、1 个最低分，剩下的 9 个评分与 11 个原始评分相比，中位数和方差都不发生变 化．其中错误命题的个数为（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 B【答案】 【解析】 【分析】 中，有两个或三个锐角，分别判断有两个锐角和有三个锐角时矛盾，并且说明有一个锐角 ①设 、、的情况存在即可；②利用中位线的性质和矩形的判定可判断；③根据评分规则和中位数、方差的意义判断. 【详解】解：①设 、、中，有两个或三个锐角， 若有两个锐角，假设 、为锐角， 则 A+B＜90°，A+C＜90°， ∴A+A+B+C=A+180°＜180°， ∴A＜0°，不成立， 若有三个锐角，同理，不成立， 假设 A＜45°，B＜45°，则 α＜90°， ∴最多只有一个锐角，故命题①正确； ②如图，菱形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点， ∴HG∥EF，HE∥GF， ∴四边形 EFGH 是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴HE⊥HG， ∴四边形 EFGH 是矩形，故命题②正确； ③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数， 但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化， 故命题③错误； 综上：错误的命题个数为 1， 故选 B. 【点睛】本题考查了命题与定理，涉及到三角形内角和，菱形的性质与矩形的判定，中位数和方差，解题 时要根据所学知识逐一判定，同时要会运用反证法. k2 y k x k k 的图象没有交点，则 1 与 2 的关系，下面 9. y 在同一坐标系中，若正比例函数 与反比例函数 1xk k 0 k k k k k k k k „ 0；② |k k ||k k∣ 四种表述① 或；③ ；④ ．正确的有 12121122121212（）A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 B【答案】 【解析】 【分析】 根据题意得出 k1 和 k2 异号，再分别判断各项即可. k2 xy k x y 【详解】解：∵同一坐标系中，正比例函数 与反比例函数 的图象没有交点， 1若 k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限， 则 k2＜0， 若 k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限， 则 k2＞0， 综上：k1 和 k2 异号， k k „ 0不一定成立，故①错误； ①∵k1 和 k2 的绝对值的大小未知，故 12k k k k k k k k k k ②③或，故②正确； 2121211212| k k | =k k k k = | k k∣ ，故③正确； 12121212k k 0 ④∵k1 和 k2 异号，则 ，故④正确； 12故正确的有 3 个， 故选 B. 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图像，绝对值的意义，解题的关键是得到 k1 和 k2 异号. 10. 如图，把某矩形纸片 沿，GH 折叠（点 E、H 在 边上，点 F，G 在 BC 边上），使点 B AD ABCD EF ¢，若 ¢ÐFPG =90° ，和点 C 落在 边上同一点 P 处，A 点的对称点为 A、D 点的对称点为 D为△A EP AD ¢8， 的面积为 2，则矩形 的长为（ ）ABCD △D PH A. B. C. D. 6 510 3 510 6 105 2 3 105 2 D【答案】 【解析】 【分析】 设 AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP 的面积为 4，△D′PH 的面积为 1，推出 D′H 12121＝x，由 S△D′PH =D′P·D′H= A′P·D′H，可解得 x=2 ，分别求出 PE 和 PH，从而得出 AD 的长. 22【详解】解：∵四边形 ABC 是矩形， ∴AB=CD，AD=BC， 设 AB=CD=x， 由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x， ∵△A′EP 的面积为 8，△D′PH 的面积为 2， ÐFPG =90° 又∵ ，∠A′PF=∠D′PG=90°， ∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°， ∴∠A′PE=∠D′HP， ∴△A′EP∽△D′PH， ∴A′P2：D′H2=8：2， ∴A′P：D′H=2：1， ∵A′P=x， 1∴D′H= x， 2121121 x x 2 ∵S△D′PH ∴x=2 =D′P·D′H= A′P·D′H，即 ，22（负根舍弃）， 2∴AB=CD=2 ∴PE= ，D′H=DH= ，D′P=A′P=CD=2 ，PH= ，A′E=2D′P=4 2，2222222，4 2 2 2 2 10 2 2 2 10 ∴AD= 故选 D. =，4 2 2 10 10 2 5 2 3 10 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学 会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题（本大题共 6 小题，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答 过程） 11. 如图，ABC 中， 为BC 的中点，以 为圆心， 长为半径画一弧交 AC 于点，若 A 60 E，DDBD B 100 ，BC 4，则扇形 的面积为_________． BDE 4【答案】 9【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理求出∠C，根据三角形的外角的性质求出∠BDE，根据扇形面积公式计算． 【详解】解：∵∠A=60°，∠B=100°， ∴∠C=20°， 又∵ 为BC 的中点， D1BC 2 ∵BD=DC= ，DE=DB， 2∴DE=DC=2， ∴∠DEC=∠C=20°， ∴∠BDE=40°， 40 22 4 ∴扇形 BDE 的面积= 4 360 9故答案为： ．9【点睛】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式 S 扇形 =n R2 是解题关键． 360 12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________． 【答案】3π+4 【解析】 【分析】 首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可． 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱， 半圆柱的直径为 2，高为 1， 故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4， 故答案为：3π+4． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度 不大． 2x 2x 8813. 1 分式 与的最简公分母是_______，方程 的解是____________． x2 2 x x 2 x 2 x2 2x x x 2 (1). (2). x=-4 【答案】 【解析】 【分析】 根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解． x2 2x x x 2 【详解】解：∵ ，2x 8x x 2 ∴分式 方程 与的最简公分母是 ，，x2 2 x x 2 2x 81 x 2 x2 2x 2×2 8 x x 2 去分母得： 去括号得： ，22，2x 8 x 2x 2x 2 x 4 0 移项合并得： ，变形得： ，x 2x 8 0 解得：x=2 或-4， x x 2 x x 2 ≠0， ∵当 x=2 时， ∴x=2 是增根， ∴方程的解为：x=-4． 【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． =0，当 x=-4 时， kg 10000kg 柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得 12000 元利润，在出售柑橘 14. 公司以 3 元/ 的成本价购进 （去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销售部 通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为_______（精确到 0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为_______元时（精确到 0.1），可获得 12000 元利润． m柑橘总质量 损坏柑橘质 柑橘损坏的频率 nm/kg n /kg 量0.001 （精确到 …）……250 300 350 450 500 24.75 30.93 35.12 44.54 50.62 0.099 0.103 0.100 0.099 0.101 (1). (2). 4.7 【答案】 0 9 【解析】 【分析】 利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在 0.1 左右，由此可估计柑橘完好率 大约是 0.9；设每千克柑橘的销售价为 x 元，然后根据“售价-进价=利润”列方程解答． 【详解】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数 0.1 左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明 显，所以柑橘的完好率应是 1-0.1=0.9； 设每千克柑橘的销售价为 x 元，则应有 10000×0.9x-3×10000=12000， 14 4.7 解得 x= ．3所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得 12000 元利润，完好柑橘每千克的售价应为 元， 4.7 故答案为：0.9， ．4.7 【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售 价与利润的等量关系是解决问题的关键． 15. “书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写 1 张， 每星期二写 2 张，……，每星期日写 7 张，若该同学从某年的 5 月 1 日开始练习，到 5 月 30 日练习完后累 积写完的宣纸总数过 120 张，则可算得 5 月 1 日到 5 月 28 日他共用宣纸张数为___________，并可推断出 5 月 30 日应该是星期几____________． (1). (2). 星期五或星期六或星期日 【答案】 【解析】 【分析】 112 首先得出 5 月 1 日～5 月 28 日，是四个完整的星期，即可得到这些天共用的宣纸张数；分别分析 5 月 30 日 当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案． 【详解】解：∵5 月 1 日～5 月 30 日共 30 天，包括四个完整的星期， ∴5 月 1 日～5 月 28 日写的张数为：（1+2+3+4+5+6+7）×4=112， 若 5 月 30 日为星期一，所写张数为 112+7+1=120， 若 5 月 30 日为星期二，所写张数为 112+1+2＜120， 若 5 月 30 日为星期三，所写张数为 112+2+3＜120， 若 5 月 30 日为星期四，所写张数为 112+3+4＜120， 若 5 月 30 日为星期五，所写张数为 112+4+5＞120， 若 5 月 30 日为星期六，所写张数为 112+5+6＞120， 若 5 月 30 日为星期日，所写张数为 112+6+7＞120， 故 5 月 30 日可能为星期五或星期六或星期日． 故答案为：112；星期五或星期六或星期日. 【点睛】此题主要考查了推理与论证，根据题意分别得出 5 月 30 日时所有的可能是解题关键． 16. 已知 为⊙O 的直径且长为 ，为⊙O 上异于 A，B 的点，若 与过点 C 的⊙O 的切线互相垂 AD CAB 2r 1CD r；②若 直，垂足为 D．①若等腰三角形 的顶角为 120 度，则 为正三角形，则 AOC △AOC 23；③若等腰三角形 的对称轴经过点 D，则 ；④无论点 C 在何处，将ADC 沿AOC CD r AC CD r2折叠，点 D 一定落在直径 【答案】②③④ 【解析】 上，其中正确结论的序号为_________． AB 【分析】 11① 过 点O 作 OE⊥AC ， 垂 足 为E ， 求出 ∠CAD=30° ， 得 到CD= AC， 再 说 明OE= r， 利 用 22∠OCA≠∠COE，得到 CE≠OE，即可判断；②过点 A 作 AE⊥OC，垂足为 E，证明四边形 AECD 为矩形， 即可判断；③画出图形，证明四边形 AOCD 为矩形，即可判断；④过点 C 作 CE⊥AO，垂足为 E，证明 △ADC≌△AEC，从而说明 AC 垂直平分 DE，得到点 D 和点 E 关于 AC 对称，即可判断. 【详解】解：①∵∠AOC=120°， ∴∠CAO=∠ACO=30°， ∵CD 和圆 O 相切，AD⊥CD， ∴∠OCD=90°，AD∥CO， ∴∠ACD=60°，∠CAD=30°， 1∴CD= AC，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E， 21则 CE=AE= AC=CD， 211而 OE= OC= r，∠OCA≠∠COE， 2∴CE≠OE， 12∴CD≠ r，故①错误； 2②若△AOC 为正三角形， ∠AOC=∠OAC=60°，AC=OC=OA=r， ∴∠OAE=30°， 133∴OE= AO，AE= AO= r， 222过点 A 作 AE⊥OC，垂足为 E， ∴四边形 AECD 为矩形， 3∴CD=AE= r，故②正确； 2③若等腰三角形 AOC 的对称轴经过点 D，如图， ∴AD=CD，而∠ADC=90°， ∴∠DAC=∠DCA=45°，又∠OCD=90°， ∴∠ACO=∠CAO=45° ∴∠DAO=90°， ∴四边形 AOCD 为矩形， ∴CD=AO=r，故③正确； ④过点 C 作 CE⊥AO，垂足为 E，连接 DE， ∵OC⊥CD，AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠CAD=∠ACO， ∵OC=OA， ∴∠OAC=∠ACO， ∴∠CAD=∠OAC， ∴CD=CE， 在△ADC 和△AEC 中， ∠ADC=∠AEC，CD=CE，AC=AC， ∴△ADC≌△AEC（HL）， ∴AD=AE， ∴AC 垂直平分 DE，则点 D 和点 E 关于 AC 对称， 即点 D 一定落在直径 上，故④正确. AB 故正确的序号为：②③④， 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质， 垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定理进行推导. 三、解答题（本大题共 8 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 2 12 17. （1）计算：|1 3 | 2 6 ； 3 2 3 4x 1 x 7 （2）已知 m 是小于 0 的常数，解关于 x 的不等式组： ． 1 3 x m 1 4 25【答案】（1） ；（2）x＞4-6m 4【解析】 【分析】 （1）先分别化简各项，再作加减法； （2）分别解两个不等式得到 x＞-2，x＞4-6m，再根据 m 的范围得出 4-6m＞0＞-2，最后得到到解集. 93 1 2 3 2 3 【详解】解：（1）原式= 45=；44x 1 x 7① （2） 13 x m 1② 4 2解不等式①得：x＞-2， 解不等式②得：x＞4-6m， ∵m 是小于 0 的常数， ∴4-6m＞0＞-2， ∴不等式组的解集为：x＞4-6m. 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握运算法则和解法. 18. 如图，正方形 ，G 是 BC 边上任意一点（不与 B、C 重合）， 于点 E， BF//DE ，且 DE AG ABCD 交AG 于点 F． （1）求证： （2）四边形 ；AF BF EF 是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点 G 的位置，如不可能请说明理由． BFDE 【答案】（1）见解析；（2）不可能，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）证明△ABF≌△DAE，从而得到 AF=DE，AE=BF，可得结果； （2）若要四边形 是平行四边形，则 DE=BF，则∠BAF=45°，再证明∠BAF≠45°即可. BFDE 【详解】解：（1）证明：∵正方形 ∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=90°， ∵DE⊥AG， ，ABCD ∴∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠BAF， 又∵ BF//DE ，∴∠BFA=90°=∠AED， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF=DE，AE=BF， ∴；AF BF AF AE EF （2）不可能，理由是： 如图，若要四边形 是平行四边形， BFDE 已知 DE∥BF，则当 DE=BF 时，四边形 BFDE 为平行四边形， ∵DE=AF， ∴BF=AF，即此时∠BAF=45°， 而点 G 不与 B 和 C 重合， ∴∠BAF≠45°，矛盾， ∴四边形 不能是平行四边形. BFDE 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是找到三 角形全等的条件. 19. 如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65°方向航行 到 B 港，然后再沿北偏西 42°方向航行至 C 港，已知 C 38km 港在 A 港北偏东 20°方向． C （1）直接写出 的度数； （2）求 A、C 两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可） 19 2 【答案】（1）62°；（2）（ +）km 19 2 tan 62 【解析】 【分析】 （1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案； （2）由题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=42°+20°=62°，AB=38，过 B 作 BE⊥AC 于 E，解直角三角 形即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，由题意得： ∠ACB=20°+42°=62°； （2）由题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=42°+20°=62°，AB=38， 过 B 作 BE⊥AC 于 E，如图所示： ∴∠AEB=∠CEB=90°， 在 Rt△ABE 中，∵∠EAB=45°， ∴△ABE 是等腰直角三角形， ∵AB=38， 2∴AE=BE= AB= ，19 2 2BE CE 在 Rt△CBE 中，∵∠ACB=62°，tan∠ACB= ，BE 19 2 ∴CE= =，tan 62 tan 62 19 2 ∴AC=AE+CE= +，19 2 tan 62 19 2 ∴A，C 两港之间的距离为（ +）km. 19 2 tan 62 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握 解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． y20. x已知自变量 x 与因变量 1 的对应关系如下表呈现的规律． 01928…………2 1 y1 12 11 10 （1）直接写出函数解析式及其图象与 x 轴和 y 轴的交点 M，N 的坐标； ky k 0 （2）设反比列函数 S△AOB 30 的图象与（1）求得的函数的图象交于 A，B 两点，O 为坐标原点且 2xa, y a, y ，求反比例函数解析式；已知 ，点 2 与1 分别在反比例函数与（1）求得的函 a 0 yy数的图象上，直接写出 2 与 1 的大小关系． 16 yyy＞ 1 ，当 2＜ y 【答案】（1） 1 =10-x，M（10，0），N（0，10）；（2） ，当 0＜a＜2 或 a＞8 时， 22xyyyy1 ，当 a=2 或 a=8 时， = ． 1a＜8 或 a＜0 时， ＜22【解析】 【分析】 （1）根据表格发现 x 和 y1 的关系，从而得出解析式，再求出与 x 轴和 y 轴交点坐标，即可得到结果； （2）设 A（m，10-m），B（n，10-n），利用 S△AOB=S△AOM -S△OBM 得出 n-m=6，再联立一次函数和反比例 22函数解析式，得到 ，利用根与系数的关系求出 k 值即可，解方程 得到点 A x 10x k 0 x 10x 16 0 yy和点 B 坐标，再根据图像比较 2 与 1 的大小. 【详解】解：（1）根据表格中数据发现： y1 和 x 的和为 10， y∴1 =10-x， y且当 x=0 时， 1 =10， y令1 =0，x=10， ∴M（10，0），N（0，10）； （2）设 A（m，10-m），B（n，10-n）， 分别过 A 和 B 作 x 轴的垂线，垂足为 C 和 D， ∵点 A 和点 B 都在反比例函数图像上， ∴S△AOB=S△AOM -S△OBM 12110 10 m 10 10 n =2=30， 化简得：n-m=6， y 10 x 12联立 ，得： ，ky2 xx 10x k 0 ∴m+n=10，mn=k， 2∴n-m= =6， m n 4mn 2则，解得：k=16， 10 4k 6 16 y ∴反比例函数解析式为： ，2×2解得：x=2 或 8， x 10x 16 0 ∴A（2，8），B（8，2）， 16 a, y y ∵2 在反比例函数 上， 2xa, y y=10-x 上， 1 在一次函数 yyyyyy1 ，当 a=2 或 a=8 时， = ． 1∴当 0＜a＜2 或 a＞8 时， ＞1 ，当 2＜a＜8 或 a＜0 时， ＜222【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，涉及到解一元二次方程，根与系数的关系，解题时要根 据图像利用数形结合思想解题. 21. 为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全 校 2100 名学生 60 秒跳绳比赛成绩中，随机抽取 60 名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数 分布表． 跳绳的次数 60 x x 频数 4611 x 22 10 4 x x x x 的（1）已知样本中最小 数是60，最大的数是 198，组距是 20，请你将该表左侧的每组数据补充完整； 的（2）估计全校学生 60 秒跳绳成绩能达到最好一组成绩 人数； （3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别写出用样本平 均数和众数估计全校学生 60 秒跳绳成绩得到的推断性结论． 【答案】（1）见解析；（2）105 人；（3）样本平均数为 127，众数为 130，结论见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据最大值和最小值以及组距可填表，再求出最后一组的频数，补充表格即可； （2）用全校人数乘以成绩最好一组成绩的人数所占样本人总数的比值即可； （3）根据题意求出平均数和众数，再进行分析得出结论. 【详解】解：（1）由题意：最小的数是 60，最大的数是 198，组距是 20，可得分组， 60-（4+6+11+22+10+4）=3， 补充表格如下： （2）∵全校有 2100 名学生，样本中成绩能达到最好一组成绩的人数为 3， 3∴2100× =105 人， 60 故全校学生 60 秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数为 105 人； （3）由题意可得： 70 次的有 4 人，90 次的有 6 人，110 次的有 11 人，130 次的有 22 人，150 次的有 10 人，170 次的有 4 人， 190 次的有 3 人， 470 690 11110 22130 10150 4170 3190 则样本平均数= 众数为 130， ≈127， 60 从样本平均数来看：全校学生 60 秒跳绳平均水平约为 127 个； 从众数来看：全校学生 60 秒跳绳成绩在 120 到 140 之间的人数较多. 【点睛】本题考查了频数分布表，样本估计总体，平均数与众数，解题的关键是利用统计表获取信息，同 时必须认真观察、分析、研究，才能作出正确的判断和解决问题． 22. “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方 2程，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为： 这个熟悉的关于 y 的 y y 0 x y x x 0 一元二次方程，解出 y，再求 x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问 225x y 2x 2y 133 22题．已知实数 x，y 满足 ，求 的值． x y x y 4 2×2 y2 51 【答案】6 或 26 【解析】 【分析】 通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有 x2 y2 和x y ，因此可 22xy a, x y b 以令 ，列出方程组，从而求出 a，b 的值，再求出 的值. x y xy a, x y b 【详解】解：令 ，则原方程组可化为： 25a 2b 133 25a 2b 133① ，整理得： ，b16a2 2b 408② 2a2 51 4 2②-①得： ，11a 275 2解得： ，代入②可得：b=4， a 25 a 5 b 4 a 5 b 4 ∴方程组的解为： 或，x2 y2 =(x y)2 2xy b2 2a ，22当 a=5 时， 当 a=-5 时， =6， x y 22=26， x y 22因此 的值为 6 或 26. x y 【点睛】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为 二元一次方程组是解题关键． 23. 某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分 5 1 2ABCDE 割比 ．如图，圆内接正五边形 ，圆心为 O， 与BE 交于点 H， 、与BE OA AC AD 0.618 分别交于点 M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出） （1）求证： （2）求证： 是等腰三角形且底角等于 36°，并直接说出 的形状； BAN ABM BM BN BE 5 1 2，且其比值 ；k BN M N BM （3）由对称性知 AO BE ，由（1）（2）可知 也是一个黄金分割数，据此求 的值． sin18 5 1 4【答案】（1）见解析，△ABN 为等腰三角形；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）连接圆心 O 与正五边形各顶点，利用圆周角定理得出∠ABE=∠BAC=36°，即 AM=BM，再求出 ∠BNA=72°=∠BAD，得出结论； BM BN BN BE （2）证明△BAM∽△BEA，得到 ，设 BM=y，AB=x，则 AM=AN=y，AB=AE=BN=x，证明 yxx y yAM MN y，得到 ，设 =t，求出 t 值即可； AB AN xMH AM 1yx5 1 代入，即 2（3）根据题意求出∠MAH=∠NAH= ∠MAN=18°，再根据 sin∠MAH= ，将 2可求值. 【详解】解：（1）连接圆心 O 与正五边形各顶点， 在正五边形中， ∠AOE=360°÷5=72°， 11∴∠ABE= ∠AOE=36°，同理∠BAC= ×72°=36°， 22∴AM=BM， ∴△ABM 是是等腰三角形且底角等于 36°， ∵∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+72°=144°， 1∴∠BAD= ∠BOD=72°， 2∴∠BNA=180°-∠BAD-∠ABE=72°， ∴AB=NB，即△ABN 为等腰三角形； 1（2）∵∠ABM=∠ABE，∠AEB= ∠AOB=36°=∠BAM， 2∴△BAM∽△BEA， BM AB ∴∴，而 AB=BN， AB BE BM BN ，设 BM=y，AB=x，则 AM=AN=y，AB=AE=BN=x， BN BE ∵∠AMN=∠MAB+∠MBA=72°=∠BAN，∠ANM=∠ANB， ∴△AMN∽△BAN， yxx y yAM MN ，则 y2 x2 xy ，∴，即 AB AN 2yyyx 两边同时除以 x2，得： ，设 =t， 1 xx 5 1 1 5 2则∴，解得：t= 或（舍）， t t 1 0 22BM BN yx5 1 2；BN BE 1（3）∵∠MAN=36°，根据对称性可知：∠MAH=∠NAH= ∠MAN=18°， 2而 AO⊥BE， 12AM 12MN x y MH AM ∴sin 18°=sin∠MAH= yx y 1 x 2y 1121 2 y ==2225 1 5 1 4.【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，有一定难 度，解题的关键是算出相应角度，找到合适的相似三角形. t24. 已知某厂以 小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 ），且每小时可获得利润 0.1 t 1 560 3t 1 元． ty 180 ，所以得出结论：每小时获得的利润，最 （1）某人将每小时获得的利润设为 y 元，发现 时， t 1 少是 180 元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明； （2）若以生产该产品 2 小时获得利润 1800 元的速度进行生产，则 1 天（按 8 小时计算）可生产该产品多 少千克； （3）要使生产 680 千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． 1【答案】（1）见解析；（2）24 千克；（3）该厂应该选取 小时/千克的生产速度，最大利润为 207400 元. 6【解析】 【分析】 560 3t 1 （1）将 y= 看成一个正比例函数和一个反比例函数之和，再分贝根据两函数的增减性说明 t即可； 560 3t 1 （2）由以生产该产品 2 小时获得利润 1800 元的速度进行生产可得 ×2=1800，解出 t 值即 t可； 5的（3）根据题意表示出生产 680 千克该产品获得 利润为y=680t· 60 3t 1 ，再求出 y 的最大值以 t及此时 t 值即可. 【详解】解：（1）依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论； 560 3t 1 令 y= ，当 t=1 时，y=180， t5∵当 ，随 t 的增大而减小，-3t 也随 t 的增大而减小， 0.1 t 1 t5∴-3t+ 的值随 t 的增大而减小， t560 3t 1 ∴y= 随 t 的增大而减小， t当 t=1 时，y 取最小， ∴他的结论正确； 560 3t 1 （2）由题意可得： ×2=1800， t2整理得： ，3t 14t 5 0 1解得：t= 或-5（舍）， 31即以 小时/千克的速度匀速生产产品， 31则 1 天（按 8 小时计算）可生产该产品 8÷ =24 千克； 3560 3t 1 （3）生产 680 千克该产品获得的利润为：y=680t· t40800 3t2 t 5 整理得：y= ，1当 t= 时，y 最大，且为 207400 元. 61故该厂应该选取 小时/千克的生产速度，最大利润为 207400 元. 6【点睛】本题考查了函数模型的建立，涉及到一次函数、反比例函数和二次函数，以及二次函数的最值， 理解题意，确定函数模型是解题的关键. 本试卷的题干 0635
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