精品解析：2020年贵州省黔东南州中考数学试题（解析版）

2020 年贵州省黔东南州中考数学试卷一．选择题（共 10 小题） 1. ﹣2020 的倒数是（　　） 11A. B. C. D. ﹣2020 ﹣2020 2020 2020 B【答案】【解析】【分析】根据倒数的概念即可解答． 1【详解】解：根据倒数的概念可得，﹣2020 的倒数是故选：B．，2020 【点睛】本题考查了倒数的概念，熟练掌握是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（　　） A. （x+y）2＝x2+y2 C. x3•x2＝x6 B. x3+x4＝x7 D. （﹣3x）2＝9×2 D【答案】【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出答案．【详解】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误； B、x3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误； C、x3•x2＝x5，故此选项错误； D、（﹣3x）2＝9×2，正确．故选：D．【点睛】此题主要考查整式的运算，熟练掌握各种整式运算法则是解题关键． 3. 实数 2 介于（　　） 10 A. 4 和 5 之间 B. 5 和 6 之间 C. 6 和 7 之间 D. 7 和 8 之间 C【答案】【解析】【分析】首先化简＝，再估算，由此即可判定选项． 2 10 40 40 【详解】解：∵ ＝，且 6＜＜7， 40 2 10 40 ∴6＜＜7． 2 10 故选：C．【点睛】本题考查估算实数大小，方法就是用有理数来逼近，求该数的近似值，一般情况下要牢记 1到 20 整数的平方，可以快速准确地进行估算. 24. 已知关于 x 的一元二次方程 x +5x﹣m＝0 的一个根是 2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 A【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设另一个根为 x，则 x+2＝﹣5，解得 x＝﹣7．故选：A．【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 5. 如图，将矩形 ABCD 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 B′处，B′C 交 AD 于点 E，若∠1＝25°，则∠2 等于（　　） A. 25° B. 30° C. 50° D. 60° C【答案】【解析】【分析】由折叠的性质可得出∠ACB′的度数，由矩形的性质可得出 AD∥BC，再利用“两直线平行，内错角相等” 可求出∠2 的度数．【详解】解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°． ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°．故选：C．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解答关键是注意应用折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的性质． 6. 桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（　　） A. 12 个【答案】【解析】【分析】 B. 8 个 C. 14 个 D. 13 个 D易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．【详解】解：底层正方体最多有 9 个正方体，第二层最多有 4 个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有 13 个．故选：D．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需正方体的个数． 7. 如图，⊙O 的直径 CD＝20，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，OM：OD＝3：5，则 AB 的长为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 2 91 C【答案】【解析】【分析】连接 OA，先根据⊙O 的直径 CD＝20，OM：OD＝3：5 求出 OD 及 OM 的长，再根据勾股定理可求出 AM 的长，进而得出结论．【详解】连接 OA， ∵⊙O 的直径 CD＝20，OM：OD＝3：5， ∴OD＝10，OM＝6， ∵AB⊥CD， 2222∴，AM  OA OM  10  6 =8 ∴AB＝2AM＝16．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为 r，弦长为 a，这条弦的弦心距为 d，则有等式 2a  r2  d2  成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．   2  28. 若菱形 ABCD 的一条对角线长为 8，边 CD 的长是方程 x ﹣10x+24＝0 的一个根，则该菱形 ABCD 的周长为（　　） A. 16 B. 24 C. 16 或 24 D. 48 B【答案】【解析】【分析】解方程得出 x＝4 或 x＝6，分两种情况：①当 AB＝AD＝4 时，4+4＝8，不能构成三角形；②当 AB＝AD＝ 6 时，6+6＞8，即可得出菱形 ABCD 的周长．【详解】解：如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4 或 x＝6，分两种情况： ①当 AB＝AD＝4 时，4+4＝8，不能构成三角形； ②当 AB＝AD＝6 时，6+6＞8， ∴菱形 ABCD 的周长＝4AB＝24．故选：B．【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 69. 如图，点 A 是反比例函数 y （x＞0）上的一点，过点 A 作 AC⊥y 轴，垂足为点 C，AC 交反比例函数 y x2＝的图象于点 B，点 P 是 x 轴上的动点，则△PAB 的面积为（　　） xA. 2 B. 4 C. 6 D. 8 A【答案】【解析】【分析】连接 OA、OB、PC．由于 AC⊥y 轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数 k 的几何意义得到 S△APC ＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用 S△PAB＝S△APC﹣S△APB 进行计算．【详解】解：如图，连接 OA、OB、PC． ∵AC⊥y 轴， ∴S△APC＝S△AOC 1212＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC ＝×|2|＝1， ∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 10. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点，点 E、F 分别为 BC、AD 的中点．以 C 为圆心，2 为半径作圆弧，再分别以 E、F 为圆心，1 为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　） BO OD BD A. π﹣1 B. π﹣2 C. π﹣3 D. 4﹣π B【答案】【解析】【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以 2 为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以 1 为半径的半圆（扇形）的面积再减去 2 个以边长为 1 的正方形的面积减去以 1 半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得， 1121 12 阴影部分的面积是： •π×22﹣ ﹣2（1×1﹣ •π×12）＝π﹣2， 44故选：B．【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算．二．填空题（共 10 小题） 0 = ______. 11. cos60 1【答案】 2【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值填空即可. 12【详解】由特殊角的三角函数值，能够确定 =.cos60 1故答案是 2【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值. 12. 2020 年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威胁．截止 6 月份，全球确诊人数约 3200000 人，其中 3200000 用科学记数法表示为_____．【答案】3.2×106 【解析】【分析】 n1 a 10 的科学记数法表示形式为的形式，其中，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 10 时，n 是正数；当原数 a  10 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值的绝对值时，n 是负数． 1 6【详解】由科学记数法的定义得： 3200000  3.210 6故答案为：．3.210 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题键． 213. 在实数范围内分解因式：xy ﹣4x＝_____． x(y  2)(y  2) 【答案】【解析】【分析】先提公因式 x，再运用平方差公式分解因式即可求解．【详解】解：xy2﹣4x ＝x(y2﹣4) x(y  2)(y  2) ＝.x(y  2)(y  2) 故答案为： .【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和公式法对因式进行分解是解题的关键. 5x 1 3(x 1) 14. 不等式组的解集为_____． 1 1x 1„ 4  x 23【答案】2＜x≤6 【解析】【分析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式 5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2， 11解不等式 x﹣1≤4﹣ x，得：x≤6， 23则不等式组的解集为 2＜x≤6，故答案为：2＜x≤6．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到的原则是解答此题的关键． 15. 把直线 y＝2x﹣1 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．【答案】y＝2x+3 【解析】【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．【详解】解：把直线 y＝2x﹣1 向左平移 1 个单位长度，得到 y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，再向上平移 2 个单位长度，得到 y＝2x+3．故答案为：y＝2x+3．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键． 216. 抛物线 y＝ax +bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为 x＝ ﹣1，则当 y＜0 时，x 的取值范围是_____．【答案】﹣3＜x＜1 【解析】【分析】根据抛物线与 x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当 y＜0 时，x 的取值范围．【详解】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为 x＝﹣1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当 y＜0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．【点睛】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 17. 以▱ABCD 对角线的交点 O 为原点，平行于 BC 边的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若 A 点坐标为（﹣2，1），则 C 点坐标为_____．【答案】（2，﹣1）【解析】【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD 对角线的交点 O 为原点和点 A 的坐标，即可得到点 C 的坐标．【详解】解：∵▱ABCD 对角线的交点 O 为原点，A 点坐标为（﹣2，1）， ∴点 C 的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示． 18. 某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是_____． 1【答案】 6【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画出树状图得： ∵共有 6 种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有 1 种结果， 1∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为，61故答案为：．6【点睛】本题考查了树状图法求概率问题，关键是根据题意正确画出树状图进而求解. 19. 如图,AB 是半圆 O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点 O 到 CD 的距离 OE=______. 【答案】 2【解析】 ∵∠CAB=30° AC=AD OA=OC ∴∠ACD=75° ∠ACO=30° ∴∠OCE=45° ∵OE⊥CD ∴△OCE 为等腰试题分析：，，，，，，，∵OC=2 ∴OE= ，.直角三角形， 2(1) (2) 考点：、圆的基本性质；、勾股定理 20. 如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝，E 为 CD 的中点，连接 AE、BD 交于点 P，过点 P 作 PQ⊥BC 2_____ 于点 Q，则 PQ＝．43【答案】【解析】【分析】 1根据矩形的性质得到 AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到 DE＝ CD＝ 21AB，根据相似三角形的判定证明△ABP∽△EDP，再利用相识三角形的性质和判定即可得到结论． 2【详解】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°， ∵E 为 CD 的中点， 11∴DE＝ CD＝ AB， 22∴△ABP∽△EDP， AB PB PD ∴∴∴＝，DE 2PB ＝，PD 1PB 2＝，BD 3∵PQ⊥BC， ∴PQ∥CD， ∴△BPQ∽△DBC， PQ BP 23∴＝＝，CD BD ∵CD＝2， 4∴PQ＝，343故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，运用矩形的性质和相似三角形判 21PB PD 定和性质证明△ABP∽△EDP 得到＝是解题的关键．三．解答题（共 6 小题） 1﹣2﹣| 2﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0； a2  4 21. （1）计算：（）23（2）先化简，再求值：（ ﹣a+1）÷ ，其中 a 从﹣1，2，3 中取一个你认为合适的数代入求 a2  2a 1 a 1 值．【答案】（1）2+ ；（2）﹣a﹣1，-4 2【解析】【分析】（1）先算负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、然后再算加减法即可；（2）先运用分式的相关运算法则化简，最后确保分式有意义的前提下，选择一个 a 的值代入计算即可． 1【详解】解：（1）（）﹣2﹣| ﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0 22＝4+ ＝4+ ＝2+ ﹣3+2×1﹣1 222﹣3+2﹣1 ；a2  4 3（2）（ ﹣a+1）÷ a2  2a 1 a 1 3 (a 1)(a 1) a 1 (a 1)2 (a  2)(a  2) ＝＝×2 a  2 a  2 a 1  a 1 a  2 a  2  ＝﹣a﹣1，要使原式有意义，只能 a＝3，则当 a＝3 时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．【点睛】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值以及分式的化简求值，掌握实数的相关知识以及分式四则运算的法则是解答本题的关键． 22. 某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩 x 分（x 为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用 A、B、C、D 表示），A 等级：90≤x≤100，B 等级：80≤x ＜90，C 等级：60≤x＜80，D 等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．等级 A频数（人数）频率 20% 40% aB16 CDbm410% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）上表中的 a　，b＝　，m＝　．（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．（3）若从 D 等级的 4 名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 2【答案】（1）8，12，30%；（2）40 名，补图见解析；（3） 3【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论；（2）用 D 等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【详解】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝ 1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%；故答案为：8，12，30%；（2）本次调查共抽取了 4÷10%＝40 名学生；补全条形图如图所示；（3）将男生分别标记为 A，B，女生标记为 a，b， ABabABa（A，B）（A，a）（A，b）（B，a）（B，b）（B，A）（a，A）（a，B）（a，b） b（b，A）（b，B）（b，a） ∵共有 12 种等可能的结果，恰为一男一女的有 8 种， 823∴抽得恰好为“一男一女”的概率为＝．12 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点（与点 A，B 不重合），过点 C 作直线 PQ，使得∠ACQ＝ ∠ABC．（1）求证：直线 PQ 是⊙O 的切线． 1（2）过点 A 作 AD⊥PQ 于点 D，交⊙O 于点 E，若⊙O 的半径为 2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面 2积． 2 3【答案】（1）见解析；（2） ﹣．3【解析】【分析】（1）连接 OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条件∠ACQ ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论． 1（2）由 sin∠DAC＝，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD 的度数，进而判定△AEO 为等边三角形， 2则∠AOE 的度数可得；利用 S 阴影＝S 扇形﹣S△AEO，可求得答案．【详解】解：（1）证明：如图，连接 OC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO． ∵∠ACQ＝∠ABC， ∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即 OC⊥PQ， ∴直线 PQ 是⊙O 的切线．（2）连接 OE， 1∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ， 2∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，又∵OA＝OE， ∴△AEO 为等边三角形， ∴∠AOE＝60°． ∴S 阴影＝S 扇形﹣S△AEO 1＝S 扇形 ﹣OA•OE•sin60° 260 360 1322  22 ＝222 3 3 ＝．2 3∴图中阴影部分的面积为 ﹣．3【点睛】本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 24. 黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进 3 件甲商品和 2 件乙商品，需 60 元；购进 2 件甲商品和 3 件乙商品，需 65 元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为 x（单位：元/件），在销售过程中发现：当 11≤x≤19 时，甲商品的日销售量 y （单位：件）与销售单价 x 之间存在一次函数关系，x、y 之间的部分数值对应关系如表：销售单价 x（元/件）日销售量 y（件） 11 18 19 2请写出当 11≤x≤19 时，y 与 x 之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为 w 元，当甲商品的销售单价 x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15 元/件；（2）y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）当甲商品的销售单价定为 15 元/件时，日销售利润最大，最大利润是 50 元．【解析】【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b 元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；（2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可；（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b 元/件，由题意得： 3a  2b  60 2a  3b  65 ，．a 10 b 15 解得： ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15 元/件．（2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得： 11k  b 18 k  2 111，解得：．19k1  b1  2 b  40 1∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）由题意得： w＝（﹣2x+40）（x﹣10）＝﹣2×2+60x﹣400 ＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）． ∴当 x＝15 时，w 取得最大值 50． ∴当甲商品的销售单价定为 15 元/件时，日销售利润最大，最大利润是 50 元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． 25. 如图 1，△ABC 和△DCE 都是等边三角形．探究发现（1）△BCD 与△ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若 B、C、E 三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求 BD 的长．（3）若 B、C、E 三点在一条直线上（如图 2），且△ABC 和△DCE 的边长分别为 1 和 2，求△ACD 的面积及 AD 的长． 3【答案】（1）全等，理由见解析；（2）BD＝；（3）△ACD 的面积为，AD＝．13 32【解析】【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据 SAS 可证明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算 AE 的长，可得 BD 的长；（3）过点 A 作 AF⊥CD 于 F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得 AF 的长，由三角形面积公式可得△ACD 的面积，最后根据勾股定理可得 AD 的长．【详解】解：（1）全等，理由是： ∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD 和△ACE 中， CD  CE BCD  ACE BC  AC ，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如图 3，由（1）得：△BCD≌△ACE， ∴BD＝AE， ∵△DCE 都是等边三角形， ∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在 Rt△ADE 中，AD＝3，DE＝2， 22∴，AE  AD  DE  9  4  13 ∴BD＝；13 （3）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于 F， ∵B、C、E 三点在一条直线上， ∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°， ∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°， AF 在 Rt△ACF 中，sin∠ACF＝，AC 33∴AF＝AC×sin∠ACF＝ 1 ，2212133∴S△ACD＝，CD AF  2 22212112   232∴CF＝AC×cos∠ACF＝1× ，FD＝CD﹣CF＝，22 233  在 Rt△AFD 中，AD2＝AF2+FD2＝  3 ，  22  ∴AD＝．3【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 226. 已知抛物线 y＝ax +bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C（0， ﹣3），顶点 D 的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在 y 轴上找一点 E，使得△EAC 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标．的（3）点 P 是 x 轴上动点，点Q 是抛物线上的动点，是否存在点 P、Q，使得以点 P、Q、B、D 为顶点， BD 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P、Q 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点 E 的坐标为（0，3）、（0，﹣3+ ）、（0，﹣3﹣ ）、，10 210 24（0，﹣ ）；（3）存在，P（﹣1+2 ，0）、Q（1+2 ，4）或 P（﹣1﹣2 2，0）、Q（1﹣2 234）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点 C 坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出点 A，C 坐标，设出点 E 坐标，表示出 AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点 Q 的纵坐标，代入抛物线解析式求出点 Q 的横坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2﹣4，将点 C（0，﹣3）代入抛物线 y＝a（x﹣1）2﹣4 中，得 a﹣4＝﹣3， ∴a＝1， 22的∴抛物线解析式为y＝a（x﹣1） ﹣4＝x ﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3，令 y＝0，则 x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝﹣1 或 x＝3， ∴B（3，0），A（﹣1，0），令 x＝0，则 y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴AC＝，10 2设点 E（0，m），则 AE＝ ∵△ACE 是等腰三角形，，CE＝|m+3|， m 1 2∴①当 AC＝AE 时，＝，10 m 1 ∴m＝3 或 m＝﹣3（点 C 的纵坐标，舍去）， ∴E（3，0）， ②当 AC＝CE 时，＝|m+3|， 10 ∴m＝﹣3± ，10 ∴E（0，﹣3+ ）或（0，﹣3﹣ ）， 10 10 2③当 AE＝CE 时，＝|m+3|， m 1 4∴m＝﹣ ，34∴E（0，﹣ ）， 34）、（0，﹣ ）； 3即满足条件的点 E 的坐标为（0，3）、（0，﹣3+ （3）如图，存在，∵D（1，﹣4），）、（0，﹣3﹣ 10 10 ∴将线段 BD 向上平移 4 个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点 B 的对应点落在抛物线上，这样便存在点 Q，此时点 D 的对应点就是点 P， ∴点 Q 的纵坐标为 4，设 Q（t，4），将点 Q 的坐标代入抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 中得，t2﹣2t﹣3＝4， ∴t＝1+2 或 t＝1﹣2 ，22∴Q（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4）， 22分别过点 D，Q 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，G， ∵抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 与 x 轴的右边的交点 B 的坐标为（3，0），且 D（1，﹣4）， ∴FB＝PG＝3﹣1＝2， ∴点 P 的横坐标为（1+2 ）﹣2＝﹣1+2 或（1﹣2 ）﹣2＝﹣1﹣2 ，2222即 P（﹣1+2 ，0）、Q（1+2 ，4）或 P（﹣1﹣2 ，0）、Q（1﹣2 ，4）． 2222【点睛】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．本试卷的题干 0635